Математичний аналіз

§ 1. Числові функции.

Поняття функції одна із основних у математиці. З його допомогою висловлюють залежності між різними перемінними величинами. Вивчення властивостей функцій, заснований на методі меж, становить зміст математичного анализа.

1. Определение.

Нехай [pic]- деяке числове безліч, і нехай кожному елементу [pic] поставлено відповідність число [pic]. Тоді кажуть, що у безлічі [pic] визначено числова функція. Функцію позначають деяким символом, наприклад [pic], і пишут.

[pic]. (1) Безліч [pic] називається областю визначення функції [pic], [pic] - її аргументом, а [pic] - значенням функції у точці [pic]. Використовуються також позначення: [pic] області ухвали і [pic] для безлічі значень функции.

Графіком функції [pic] називається безліч всіх точок координатної площині виду [pic], де [pic]. Графік дає наочне уявлення щодо поведінки функції, проте він більше зручним в теоретичних дослідженнях є аналітичний спосіб завдання функцій з допомогою формул. Насправді використовують також табличний спосіб, коли значення функції вказуються окремих значень аргумента.

Як області визначення функції можуть виступати різні числові безлічі, наприклад: а) відрізок [pic]; б) інтервал [pic]; в) полуинтервалы [pic] чи [pic]; р) нескінченні полуинтервалы [pic] чи [pic]; буд) безліч всіх дійсних чисел R =[pic].

Під областю визначення функції, заданої формулою, розуміють зазвичай безліч всіх значень аргументу, котрим ця формула має смысл.

Приклади. 1) Для функції [pic] область ухвали і безліч значений имеют вид: [pic], [pic]; графік функції представлений рис. 1.

Рис. 1.

2) Для функції [pic]имеем [pic], [pic]; графік функції зображений на рис. 2.

Рис. 2.

3) Для функції [pic] маємо: [pic],.

[pic]; її графік наведено на рис. 3.

Рис. 3.

2. Основні елементарні функций.

Нагадаємо ухвали і властивості деяких елементарних функцій, відомі з шкільного курсу математики. У кожній оказії зазначимо аналітичне вираз і науковотехнологічна галузь визначення функції, наведемо її график.

а) Лінійна функция:

[pic]R, де [pic] і [pic] - деякі постійні (числа); графік — пряма з кутовим коэффициентому [pic] ([pic], де [pic] - кут нахилу прямий до осі [pic]):

Рис. 4.

б) Квадратична функция:

[pic]R,.

Рис. 5.

где [pic], [pic], [pic] - постійні коефіцієнти; графік — парабола, її розташування істотно залежить від величины.

[pic], званої дискриминантом функції, і зажадав від знака першого коефіцієнта [pic]:

в) Назад пропорційна зависимость:

[pic], де [pic] - стала. Графік — гипербола:

Рис. 6.

р) Статечна функция:

[pic], де [pic] і [pic] - постійні; область визначення істотно залежить від [pic]. У п. в) розглянутий випадок [pic], а прикладі 1 — випадок [pic]. Наведемо ще графіки функцій для [pic] і [pic]:

Рис. 7.

е) Показова функция:

[pic]R, де [pic] - стала; графік залежно від значення [pic] має вид:

Рис. 8.

Усі перелічені тут функції, і навіть логарифмічна, тригонометрические і зворотні тригонометрические функції основними елементарними функциями.

3. Складна функция.

Нехай задано функції [pic] і [pic], причому безліч значень функції [pic] належить області визначення функції [pic]: [pic]. Тоді можна визначити складну функцию.

[pic], звану також композицією функцій [pic] і [pic].

Приклад. З функцій [pic] і [pic] з допомогою зазначеної операції можна скласти дві складні функції: [pic]и [pic].

Використовуючи операцію композиції, можна з основних елементарних функцій, отримувати нові функції, також звані елементарними. Взагалі, елементарної функцією називають функцію, яку можна отримати з основних елементарних функцій з допомогою кінцевого числа арифметичних операцій та композиций.

Приклад. Функція [pic] (читається: «модуль [pic]») є елементарної, оскільки всім [pic]R справедливо уявлення [pic]. Графік цієї функції наведено на рис. 9.

Рис. 9.

4. Зворотний функция.

Розглянемо функцію [pic] із ділянкою визначення [pic] і безліччю значень [pic]. Припустимо, що з будь-якого [pic] рівняння [pic] має єдине решение[pic]. Тоді на безлічі [pic] можна визначити функцію, сопоставляющую кожному [pic] таке значення [pic], що [pic]. Цю функцію називають зворотної для функції [pic] і позначають [pic]:

[pic].

Функцію, що має існує зворотна функція, назвемо обратимой.

Позначаючи, звісно ж, аргумент функції через [pic], а значення функції через [pic], можна записать.

[pic]. Оскільки взаємна перестановка змінних [pic] і [pic] рівносильна переобозначению координатних осей, можна показати, що графік функції [pic] симетричний графіку функції [pic] щодо биссектрисы першого заступника та третього координатних кутів (тобто щодо прямий [pic]).

Приклади. 1) Для лінійної функції [pic] зворотна функція також линейна і має вигляд [pic]. Змінюючи місцями [pic] і [pic], отримуємо [pic]. Графіки вихідної і зворотної функцій наведено на рис. 10.

Рис. 10.

2) Для функції [pic], [pic], безліч значень має вигляд [pic]. До кожного [pic] рівняння [pic] має єдине рішення [pic]. Змінивши місцями [pic] і [pic], одержимо [pic], [pic]. Графіки функцій наведено на рис. 11 .

Рис. 11.

Рис. 11.

3) Зворотної до показовою функції [pic] є логарифмічна функція [pic]. На рис. 12 представлені графіки функцій [pic] і [pic] .

Рис. 12.

Упражнения.

1. Знайти області визначення наступних функцій: 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) [pic]; 6) [pic]; 7) [pic]; 8) [pic]; 9) [pic]; 10) [pic]; 11) [pic]; 12) [pic]; 13) [pic]; 14) [pic]; 15) [pic]; 16) [pic]; 17) [pic]; 18) [pic]; 19) [pic]; 20) [pic]; 21) [pic]; 22) [pic].

2. Побудувати графіки функцій: 1) [pic], 2) [pic]; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) [pic], 6) [pic]; 7) [pic]; 8) [pic]; 9) [pic]; 10) [pic]; 11) [pic]; 12) [pic]; 13) [pic]; 14) [pic]; 15) [pic].

3. Знайти функції зворотні до функції [pic], вказати їхній області ухвали і побудувати графіки: 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic], [pic]; 4) [pic], [pic]; 5) [pic], [pic]; 6) [pic]; 7) [pic]; 8) [pic]; 9) [pic]; 10) [pic].

Відповіді 1. 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) [pic] R; 6) [pic] R; 7) [pic]; 8); [pic] 9) [pic]; 10) [pic]; 11) [pic]; 12) [pic]; 13) [pic]; 14) [pic] R; 15) [pic]; 16) [pic]; 17) [pic]; 18) [pic]; 19) [pic]; 20) [pic]; 21) [pic]; 22)[pic]. .

3. 1) [pic], [pic]R; 2) [pic], [pic] R; 3)[pic], [pic]; 4) [pic], [pic]; 5) [pic], [pic]; 6) [pic], [pic]; 7) [pic], [pic]; 8) [pic]; 9) [pic], [pic]; 10) [pic], [pic] R.

———————————;

[pic].