Рівняння коливань та методи їх розв"язання

Міністерство освіти і науки України Кіровоградський державний педагогічний університет

імені Володимира Винниченка Кафедра математики Курсова робота з математики

Рівняння коливань та методи їх розв’язання

2010 р.

ЗМІСТ Вступ

1. Рівняння коливань струни

1.1 Виведення рівняння коливань струни

1.2 Постановка початкових і кінцевих умов

2. Коливання нескінченної і напівнескінченних струни. Метод Даламбера

2.1 Нескінченна струна. Формула Даламбера

2.2 Фізичний зміст формули Даламбера

2.3 Розповсюдження хвиль відхилення

3. Метод Фур'є

3.1 Метод Фур'є

3.2 Стоячі хвилі

Висновки Список використаних джерел

ВСТУП Коливамння — фізичний процес, під час якого чергуються інтервали збільшення й зменшення фізичної величини.

Коливання можуть мати найрізноманітнішу природу, наприклад, механічні коливання тіл, коливання тиску й температури, сили струму, напруги тощо.

Коливання називаються періодичними, якщо фізичний стан системи повністю повторюється через який певний проміжок часу, що називається періодом.

Коливання, для яких залежність змінної від часу описується синусоподібною кривою, називаються гармонічними. Періодичні коливання із іншою залежністю від часу називаються ангармонічними.

Коливання, які виникають при відхиленні стану фізичної ситеми від рівноважного, називають власними коливанями. Коливання, які виникають внаслідок дії зовнішньої періодичної сили, називають вимушеними коливаннями.

Якщо відхилення фізичної величини від середнього положення в процесі коливань зменшуються в часі, говорять про затухання коливань, а якщо збільшуються — про наростання коливань.

Затухаючі коливання— коливання які, поступово слабнучи, зникають. Амплітуда затухаючих гармонічних коливань зменшується, а частота залишається незмінною.

В більшості фізичних систем коливання виникають при виведенні системи з положення рівноваги. Такі коливання здебільшого розсіюють енергію й затухають з часом. Однак у відкритих дисипативних системах із сталим притоком енергії можуть виникнути коливання, які не затухають, доки не припиниться приплив енергії. Такі коливання називають автоколиваннями.

1. РІВНЯННЯ КОЛИВАНЬ СТРУНИ

1.1 Виведення рівняння коливань струни Нехай кінцеві точки струни закріплені, а сама струна туго натягнута. Якщо вивести струну з положення рівноваги (наприклад, відтягнути її або вдарити по ній), то струна почне коливатися. Будемо припускати, що всі точки струни рухаються перпендикулярно її положенню рівноваги (поперечні коливання), причому в кожен момент часу струна лежить в одній і тій же площині.

Візьмемо в цій площині систему прямокутних координат хОи. Тоді, якщо в початковий момент часу струна розташовувалася вздовж осі Ох, то воно означатиме відхилення струни від положення рівноваги.

Рис. 2

У процесі коливання величина відхилення залежатиме від абсциси точки струни х і від часу t. Таким чином, щоб знайти положення будь-якої точки струни в довільний момент часу, нам треба знайти залежність від x і t, тобто знайти функцію и (х, t). При кожному фіксованому значенні t графік функції и (х, t) представляє форму коливання струни у момент часу t, часткова похідна = и?_х(x, t) дає при цьому кутовий коефіцієнт дотичної в точці с абсцис х. При зміні t форма струни, очевидно, змінюється, і, щоб уявити собі процес коливань, ми повинні побудувати декілька графіків функції и (х, t) при різних значеннях t, тобто зробити декілька миттєвих знімків коливання струни. При постійному значенні x функція и (х, t) дає закон руху точки с абсцис х вздовж прямої, паралельної осі Оu, похідна = u_t(х, t) швидкість цього руху, а друга похідна прискорення.

Наше завдання полягає в тому, щоб скласти рівняння, яким повинна задовольняти функція и (х, t). Будемо вважати струну абсолютно гнучкою, тобто не чинить опір вигину; це означає, що якщо видалити частину струни, що лежить по одну сторону від будь-якої її точки, то сила натягу Т, яка замінює дію віддаленій частині, завжди буде спрямована по дотичній до струни. Струна, передбачається пружною і підкоряється закону Гука; зміна величини сили натягу при цьому пропорційно зміні довжини струни. Припустимо, що струна однорідна; лінійну щільність її позначимо буквою р (р — маса одиниці довжини струни).

Припустимо, далі, що на струну в площині коливання діють сили, паралельні осі Оu, які можуть змінюватися вздовж струни з часом. Сили ці будемо вважати безперервно розподіленими вздовж струни; величину сили, спрямованої вгору, домовимося вважати позитивною, а вниз негативною. Щільність розподілу цих сил вздовж струни є функцією абсциси х і часу t; позначимо її через g (x, t). Якщо, зокрема, єдиною зовнішньою силою є вага струни, то g (x, t) =- pg, де p — щільність струни, g-прискорення сили тяжіння.

Силами опору середовища, в якому коливається струна, ми поки нехтуємо.

Ми будемо вивчати лише малі коливання струни. Якщо позначити через а (х, t) гострий кут між віссю абсцис і дотичною до струни в точці с абсцис х в момент часу t, то умова малості коливань полягає в тому, що величиною, а а²(х, t) можна нехтувати:

а² 0. (1.1)

Оскільки розкладання функції в ряд Маклорена має вигляд

то в силу умови (1.1) можна вважати, що

(1.2)

Рис. 3

Далі,

1- - отже,

1. (1.3)

І нарешті,

tg a — tg a (1-)0 і

tg a. (1.4)

Так як = tga то в силу отриманих умов накладаємо, що

0 (1.5)

Звідси одразу випливає, що в процесі коливання ми можемо знехтувати зміною довжини будь-якої ділянки струни. Дійсно, довжина ділянки М₁М₂ в момент часу t дорівнює

=(1.6)

Згідно (1.5) маємо,

х₂ — х₁ (1.7)

Покажемо тепер, що при наших припущеннях величину сили натягу Т можна вважати постійною, що не залежить від точки її програми, ні від часу t. Візьмемо для цього якої-небудь ділянку струни М₁М₂

3) в момент часу t і замінимо дію відкинуті ділянок силами натягу Т₁ і Т₁. Так як за умовою всі точки струни рухаються паралельно осі Оu і зовнішні сили також паралельні цієї осі, то сума проектної сил натягу на вісь Ох повинна дорівнювати, нулю:

— T₁cosx₁+ T₂cosx₂ =0 (1.8)

Від сюди в силу (1.3) укладаємо, що T₁= T₂. Так як точки М₁ і М₂ вибрані довільно, то це і доводить, що в даний момент часу сили натягу в усіх точках рівні між собою.

Оскільки ми нехтуємо зміною довжини будь-якої ділянки струни, то в силу закону Гука незмінним залишається натяг струни. Отже, ми показали, що в межах обраної точності Т є величина постійна:

Т = Т₀ (1.9)

Перейдемо тепер до висновку рівняння коливань струни.

Виділимо нескінченно малу ділянку струни М₁М₂ проектуючи інтервал [х, х+dх] осі абсцис. На нього діють сили натягу Т₁ і Т₂ замінюють вплив відкинуті частин струни. Як вже зазначалося вище, сили Т₁ і Т₂ направлені по дотичних до струни в точках М₁ і М₂ величина цих сил постійно дорівнює Т _0. Згідно з рівності (1.8) сума проекцій сил Т₁ і Т₂ на вісь Ох дорівнює нулю. Обчислимо суму проекцій цих же сил на вісь Ои:

—T₀ sin a₁+ Т₀ sin a₂ =T ₀ (sin a₂ — sin a₁).

У силу (1.4) можна записати, що

sin a₂ = tg a₂ = и'_х (х + dx, t), sin a₁ = tg a₂ = и'_х (х, t),

Отже, Т₀ (sin a₂ — sin a₁)= Т₀[и'_x(х+dх, t) — и'_х (х, t)] = (1.10)

Тут ми замінили частковий приріст похідної при переході від аргументів (х, t) до аргументів (x + dx, t) її частковим диференціалом,

Рівнодіюча зовнішніх сил, прикладених до ділянки М₁ М₂ в момент часу t, позначимо через F. Відповідно до визначення функції g (х, t) і наближеному рівності (1.7) можна вважати, що

F g (х, t) dx (1.11)

Напрямок рівнодіюча F визначиться знаком функції g (х, t) (напрямок F відповідає випадку g (х, t) <0).

Після того, як знайдені всі сили, що діють на ділянку М₁ М₂ застосуємо до нього другий закон Ньютона, згідно з яким добуток маси на прискорення дорівнює сумі всіх діючих сил (в силу малості ділянки М₁М₂, ми розглядаємо його просто як матеріальну точку).

Оскільки маса ділянки М₁М₂ струни дорівнює =, то, використовуючи формули (1.10) і (1.11), отримаємо

=T₀+ g (х, t) dx

Скоротив на dх і розділивши всі члени рівності на, приведемо отримане рівняння до вигляду

g (х, t) (1.12)

(a² = - позитивна стала величина). В результаті в ми отримали лінійне диференціальне рівняння з частковими похідними другого порядку з постійними коефіцієнтами. Рівняння (1.12) називається рівнянням коливань струни або одновимірним хвильовим рівнянням. Це одне з найпростіших і в той же час найважливіших диференціальних рівнянь математичної фізики. Як ми пізніше побачимо, до нього зводиться не тільки розглянута задача, а й багато інших.

Якщо g (х, t) 0, то рівняння (1.12) називається однорідним; воно описує вільні коливання струни без впливу зовнішніх зусиль.

Якщо g (х, t) не тотожно дорівнює нулю, то рівняння називається неоднорідним; в цьому випадку розглядаються вимушені коливання струни. Коли на струну діють тільки сили тяжіння, а натяг струни Т₀ велике, ми маємо право знехтувати другим складовою в правій частини рівняння струни в порівнянні з першими і розглядати, таким чином, коливання струни як вільні.

Звернув увагу на те, що виведення рівняння коливань струни (1.12) супроводжувався цілою низкою припущень як механічного, так і геометричного порядків. Таке ж становище, зрозуміло, має місце і при виведенні диференціальних рівнянь (як в часткових похідних, так і звичайних) інших задач математичної фізики. Питання про те, наскільки точно рівняння вписує фізичний процес, може бути вирішене тільки порівнянням результатів, отриманих при вирішенні рівняння екстремальним шляхом. Цим питанням ми займатися не будемо, щоб зосередити основну увагу на методи розв’язання рівнянь.

У зв’язку зі сказаним доречно зробити наступне зауваження. Добре відома роль моделей при вивченні різних питань технікі. Наприклад, гідротехніки при проектуванні греблі часто будують у значно зменшеному розмірі її модель, щоб, проводячи досліди, над нею в лабораторних умовах, зробити деякі висновки б характер зусиль, що діють на реальну греблю. Таку ж роль відіграють моделі проектованих мостів, крил і фюзеляжу літаків та ін Зрозуміло, дані, отримані при дослідженні моделей, не можна просто переносити на реальні об'єкти. Адже в лабораторії не можна створити всі умови, які можуть зустрітися в дійсності, та й, крім того, явища, що відбуваються при досліджень моделі, далеко не завжди в точності копіюють відповідні явища в природі. Однак найбільш істотні риси процесу все-таки часто вдається зловити, і подальша завдання проектувальника в тому й полягає, щоб пов’язати спостережені на моделі факти з тими, що зустрінуться в натурі.

Подібну ж роль у фізиці відіграє і вивчення диференціальних рівнянь математичної фізики. З огляду на основні закономірності фізичного процесу, ми створюємо його математичну модель. Вивчення цієї моделі, і дозволяє робити певні судження про характер процесу. Образно кажучи, ми знайомимимся тільки з основними методами вивчення математичних моделей, залишаючись, так би мовити, в «лабораторних умовах математики».

1.2 Постановка початкових і кінцевих умов Як вже зазначалося у вступі, диференціальні рівняння з частинними похідними другого порядку мають безліч рішень, що залежать від двох довільних функцій. Щоб визначити ці довільні функції, або, інакше кажучи, виділити необхідний нам частковий розв’язок, потрібно на шукану функцію и (х, t) накласти додаткові умови С, аналогічним явищем ми зустрічалися вже при вирішенні звичайних диференціальних рівнянь, коли виділення часткового розв’язка із загального полягало в процесі відшукання довільних сталих за заданими початковими умовами.

При розгляді задачі про коливання струни додаткові умови можуть бути двох видів: початкові та кінцеві (або граничні).

Початкові умови показують, в якому стані перебувала струна в момент початку коливання. Зручніше за все вважати, що струна початку коливатися в момент часу (t = 0). Первинне положення точок струни задається умовою

u¦_t=0= f (x) (1.13)

А початкова швидкість

¦_t=0=F (x) (1.14)

Де f (x) і F (х) — задані функції.

Запис u¦_t=0 означає, що функція и (х, t) взята при довільному значенні х та за, t = 0, тобто u¦_t=0 = и (х, 0); аналогічно ¦_t=0 =и'₁(х, 0). Така форма запису постійно застосовується в подальшому; так, наприклад, u¦_x=0 = и (0, t) і т. д.

Умови (1.13) і (1.14) аналогічні початковим умовам в найпростішої задачі динаміки матеріальної точки. Там для визначення закону руху точки, крім диференціального рівняння, потрібно знати початкове положення точки і її початкову швидкість.

Інший характер мають кінцеві умови. Вони показують, що відбувається на кінцях струни в увесь час коливань. І простому випадку, коли кінці струни закріплені (початок струни — на початку координат, а кінець — у точці (t, 0)), функції и (х, t) буде підкорятися умовам

u¦_x=0 = 0 u¦_{x= t} =0 (1.15)

З такими ж точно умовами читач зустрічався в курсі опорам матеріалів при вивченні вигину балки, лежачи щей на двох опорах, під дією статичного навантаження.

Фізичний сенс того факту, що завдання початкових і кінцевих умов повністю визначає процес, найпростіше простежити для випадку вільних коливань струни.

Нехай, наприклад, струну, закріплену на кінцях, як-то відтягнули, тобто поставили функцію f (х) — рівняння початковому форми струни, і відпустили без початкової швидкості (це означає, що F (х) 0). Ясно, що цим самим подальший характер коливань буде повністю визначений і ми знайдемо єдину функцію и (х, t,), вирішуючи однорідне рівняння при відповідних умовах. Можна змусити струну коливатися й інакше, а саме надавши точокам струни деяку початкову швидкість. Фізично ясно, що і в цьому випадку подальший процес коливань буде цілком визначений. Додання точокам струни початкової швидкості може бути здійснено за допомогою удару по струні (як це має місце при грі на роялі); перший спосіб збудження струни застосовується при грі на щипкових інструментах (наприклад, гітарі).

Сформулюємо тепер остаточно математичну задачу, до якої приводить вивчення вільних коливань струни, закріпленої на обох кінцях.

Потрібно розв’язати однорідне лінійне диференціальне рівняння з частинними похідними другого порядку з постійними коефіцієнтами

(1.16)

по початкових умовах

u¦_x=0 = f (х) ¦_{x= t} =F (x)

і кінцевих умовах

u¦_x=0 = 0 u¦_x=l =0 (1.18)

Функції f (х) та Р (х) визначені на інтервалі [0, l] і, як це випливає з першої умови (1.17) і умов (1.18), f (0) =f (l) = 0.

Можна довести, не спираючись на фізичні уявлення, що при деяких обмеженнях, накладених на функції f (х) і F (х), це завдання має єдиний розв’язок.

2. КОЛИВАННЯ НЕСКІНЧЕННОЇ І НАПІВНЕСКІНЧЕННИХ СТРУНИ. МЕТОД ДАЛАМБЕРА

2.1 Нескінченна струна. Формула Даламбера Перед тим, як розв’язати задачу про коливання закріпленої струни, ми розглянемо більш просте завдання про коливання нескінченної струни. Якщо уявити собі дуже довгу струну, то ясно, що на коливання, що виникли в її середній частині, кінці струни не будуть надавати помітного впливу. Так, якщо взяти довгу натягнутий мотузок і злегка качнуть її середині, то по мотузці вліво і вправо побіжать хвилі. Картина почне спотворюватися тільки тоді, коли хвилі дійдуть до кінців мотузки і, відбившись, підуть назад. Отже, не враховуючи впливу решт струни, ми тим самим будемо враховувати впливу відбитих хвиль.

Розглядаючи вільні коливання, ми повинні, таким чином, розв’язати однорідне рівняння

(2.1)

при початкових умовах

u¦_x=0 = f (х) ¦_{t =0} =F (x) (2.2)

функції f (х) і F (х) задані на всій числової осі. Ніякі кінцеві умови на шукану функцію и (х, t) не накладаються. Така задача називається задачею з початковими умовами або завданням Коші. Метод розв’язання її, який ми зараз викладемо, називається методом Даламбера або методом біжащих хвиль.

Перш за все покажемо, що спільний розв’язок рівняння (2.1), тобто розв’язок, який залежить від двох довільних функцій має вигляд

и (х, t) = (х — at) +(х + at), (2.3)

де функції і передбачаються двічі диференційовними.

Дійсно, послідовно диференціюючи, знаходимо:

u?_x=(x-at) +(х + at)

u?_xx=(x-at) +(х + at)

u?_t=(x-at) +(х + at)

u?_u=(x-at) +(х + at)

Звідси зрозуміло, що

тобто що рівність (2.1) дотримується.

Наше завдання полягає тепер у тому, щоб, користуючись початковими умовами (2.2), визначити невідомі функції. Вважаючи в (2.3) t = 0 і підставляючи вираз для и (х, 0) в першу з умов (2.2), отримаємо

(x)+(х)= f (х) (2.4)

Вважаючи тепер t = 0 у виразі для u?_t і користуючись другою умовою (2.2), прийдемо до рівняння

(x) +(х) = F (x) (2.5)

Інтегруючи цю рівність в межах від 0 до х, отримаємо співвідношення

— а [(x) — (0)] + а [ (х) — (0)] =

яке приведемо до вигляду

(x) + (х) = С, (2.6)

де С (0)+(0) — деяка постійна величина.

Із системи рівнянь (2.4) та (2.6) знаходимо шукані функції (x) і (х):

(x) =, (2.7)

(х) =, (2.7)

Замінюючи у формулах (2.7) аргумент відповідно на і підставляючи отриманий вираз у формулу (2.3) знайдемо функцію и (х, t):

и (х, t)=

Позначаючи, що

==

Додамо розв’язкам и (х, t) такий вигляд:

и (х, t)=+ (2.8)

Формула (2.8) називається розв’язком Даламбера задачі Коші для рівняння коливань струни.

2.2 Фізичний зміст формули Даламбера Для того щоб з’ясувати фізичний зміст отриманого розв’язка, розглянемо насамперед окремо функції, що входять в загальний вираз (2.3) для и (х, t). Почнемо з функції (х — at) і побудуємо графіки цієї функції при зростаючих значеннях t: t=t₀, t=t₁, t=t₂ і т. д. Другий графік буде здвинуться щодо першого на величину аt₁, третій — на величину аt₂ і т. д. Якщо по черзі проектувати ці картинки на нерухомий екран, то глядач побачить, що графік, який ви бачите на верхньому малюнку, «побіжить» праворуч. (Цей спосіб зображення руху покладено, між іншим, в основу зйомки мультиплікаційних фільмів.) При цьому, якщо в думках переміщатися вправо уздовж струни з постійною швидкістю а, то відхилення струни буде здаватися весь час постійним. Дійсно, розпочавши рух, скажімо, в точку х₀ і перемістившісь за час t в точку х, матимемо

х = х₀ + at або х — at= х₀

Але тоді

и (х, t) = (х — at)=(х₀)

Процес пересування відхилення по струні називається хвилею. При цьому коефіцієнт а= в рівнянні коливань струни є швидкістю поширення хвилі. Швидкість поширення сінусондальними хвилі дорівнює а і точка, що збігається з початком координат, коливається за законом и = Аsin t, то відхилення и (х, t) дорівнює и (х, t)= Аsin t —)

Підставивши останній вираз у вигляді Аsin tx) відразу помічаємо, що це функція аргументу tx (або, аргументу tx)

Другий доданок формули (2.3), функція (х + at) буде представляти такий же процес, але тільки хвиля буде розповсюджуватися зі швидкістю, а вліво (показуватиме моментальні знімки хвилі, якщо на нього дивитися знизу вгору, тобто вважати t ₂< t₁ < t₀).

Тепер ми перейдемо до дослідження розв’язка, що дається формолую Даламбера (2.8), і розглянемо для найбільш цікавого випадку: коли відсутні початкові швидкості (F (x)? 0) і коли відсутні початкові відхилення (f (x)? 0). Загальний випадок буде результатом накладання (суперпозиції) обох випадків.

2.3 Розповсюдження хвиль відхилення Нехай початкові швидкості точок струни дорівнюють нулю і струна коливається врезультаті початкового відхилення. У цьому разі у формулу (2.8) треба покласти F (x) = 0, і ми отримаємо

и (х, t) = (2.9)

Оскільки функція f (x) відома, то ми можемо обчислити значення и (х, t) для будь-яких х і t. Відповідно до сказаного вище, коливання и (х, t) складається з двох хвиль: перша хвиля поширюється зі швидкістю, а вправо (пряма хвиля), а друга хвиля поширюється з тією ж швидкістю вліво (зворотна хвиля). У початковий момент часу t = 0 профілі обох хвиль збігаються.

Припустимо, що в початковий момент функція f (x) відмінна від нуля тільки на деякому інтервалі (-l, l). Для простоти викладу вважаємо функцію f (x) парной. Тоді f (x) = 0 при х < - l і при х > l. Легко чисто геометрично простежити за зміною форми струни в будь-який момент часу. В різні моменти часу хвиля біжить вліво, а у ті ж моменти часу хвиля біжить вправо. До тих пір, поки t <, є ділянка, де хвилі накладаються один на одного, починаючи з моменту t= ці хвилі вже не накладаються і розходяться в різні боки.

Зі сказаного можна зробити висновок про характер коливання точки струни з фіксованою абсцис х. Якщо a > l то в початковий момент точка струни лежить на осі абсцис, вона не бере участі в початковому відхиленні. Хвиля, що біжить вправо, дійде до цієї точки в момент часу t₁= ,і з цього моменту точка струни почне коливатися, хвиля пройде через розглянуту точку, і починаючи з моменту t₂= ця точка знову буде перебувати в спокої. У момент часу t₁ до точки х доходить передній фронт хвилі, а в момент t₂ — задній фронт. Таким чином, розглянута точка струни бере участь у коливальному процесі при < t < .Це нерівність зручніше записати так: -l < x-at < l.

Якщо 0 ₁= а задній фронт прямої хвилі в момент t₁=. При t₁ > t₂ точка струни буде знаходитися в спокої, тобто лежать на осі Ох. Аналогічно, якщо x < - l, то точка бере участь у коливальному процесі приl x>-l то коливання закінчаться, коли через точку пройде задній фронт зворотної хвилі, тобто при t= .

Приклад1. Початкові відхилення точок струни мають форму трикутника, а початкові швидкості дорівнюють нулю. Складемо виразу для функції u (х, t) в різні моменти часу і при різних значеннях х.

Функція має вигляд У точках х = -l, х = 0, х = l функція f (х) неперервна, але не має похідної.

Як ми вже бачили, вирази для відхилення u (х, t) = кращи писати, розглядаючи рух точки (х, t) в фазової площини. Тут завдання ускладнюється тільки тим, що при переході аргументів x + at і x — at через нуль функції змінюють своє вираження. Тому на фазової площини ми додатково проводимо прямі х ± аt = 0, у точках яких і відбувається зазначена зміна. Точки струни, що лежать в інтервалах, , (l,), по-різному переходять із зони в зону (в силу парності функції f (х) ми розглядаємо тільки позитивні значення х). Провівши необхідні викладки отримаємо вирази для функції u (х, t):

a) 0 < x <

б) < x < l

в) x > l

Якщо ми хочемо отримати форму хвилі в фіксований момент часу, то повинні виписати значення функції для трьох періодів часу:, ,, (Знову ж таки, обмежуємося значеннями x.)

а) 0 < t <

б)< t <

в) x >

У всіх випадках функція неперервна.

коливання струна даламбер фур'є

3. Метод Фур'є

3.1 Метод Фур'є

Ми розглянемо в цьому параграфі задачу про вільні коливання струни, закріпленої на обох кінцях. Завдання зводиться до вирішення однорідного рівняння струни

(3.1)

При початкових умовах

u¦_x=0 = f (х) ¦_{x= t} =F (x) (3.2)

і кінцевихвих умовах

u¦_x=0=0 u¦_x=1=0 (3.3)

Метод Фур'є (або, як його ще називають, метод розподілу змінних) належить до числа найважливіших методів розв’язання рівнянь математичної фізики. Ми з ним будемо в подальшому неодноразово зустрічатися.

Перша частина методу Фур'є полягає в тому, що ми знаходимо часткові розв’язки рівняння (3.1), задовольняють кінцевим умовам (3.3), виду

и (х, t)=Х (х)Т (t), (3.4)

Кожне з часткових розв’язків, таким чином, представляється у вигляді двох функцій, одна з яких залежить тільки від х, а інша — тільки від t.

Диференціюючи двічі вираз (3.4) по х і по t, отримаємо

= XT ,

(Для скорочення запису ми не пишемо аргументів функцій Х (х) і. T (t)

Підставляючи вирази для похідних в рівняння (3.1), отримаємо

= а² XT

або, ділячи обидві частини рівності на а²ХТ,

= (3.5)

Щоб функція и (х, t)=Х (х)Т (t) була розв’язком рівняння (3.1), рівність (3.5) повинна дотримуватися при всіх значеннях х і t. Ліва частина цієї рівності залежить тільки від змінної t і не може змінюватися при зміні х. Тому, якщо зафіксувати t і міняти х, ліва частина, а отже і права, буде зберігати постійне значення. Розмірковуючи аналогічно, встановимо, що права частина, а отже і ліва, не може змінюватися і при вимірюванні t. Це буде справедливо тільки в тому випадку, коли обидві частини рівності (3.5) взагалі не залежать ні від х, ні від t, тобто коли обидва відносини і є величинами постійними:

= = c = const (3.6)

Звідси випливає, що функції T і X повинні задовольняти диференціальних рівнянь

Х" (х) — сХ (х) = 0 і Т" (t) — са²T (t)= 0. (3.7)

Оскільки ми шукаємо часткові розв’язки, що задовольняють кінцевим умовам (3.3), то при будь-якому значенні t повинні дотримуватися рівності

u¦_x=0 =X (0)T (t)=0, u¦_x=t = X (l)T (t)=0

Якщо б перетворювався в нуль другий множник, то розв’язок и (х, t) дорівнював б нулю при всіх значеннях х і t. Тому, щоб відшукати розв’язок, не тотожно рівні нулю (а тільки такі нас і цікавлять), ми повинні вважати що

X (0) = 0 і X (l) = 0.

В результаті для відшукання функції Х (х) ми прийшли до наступної задачі: знайти розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку

Х «(х) — сХ (х) = 0 (3.8)

за умов

X (0) = X (l) = 0 (3.9)

Зрозуміло, це завдання за будь-якого с має розв’язок, тотожно рівне нулю: Х (х)? 0. Виявляється, однак, що при деяких значеннях постійної с ця задача має й інші розв’язки.

Зауважимо, що в цьому полягає суттєва відмінність рівняння розглянутої задачі від розв’язка звичайних диференціальних рівнянь з початковими умовами, коли для визначення часткового розв’язка задаються значення функції та її похідної до деякої початкової точки. Як відомо, останнє завдання має єдиний розв’язок.

Вважаючи Х (х) = е^rx, складемо для рівняння (3.8) характеристичне рівняння

г² — с = 0

і розглянемо різні випадки.

1) Нехай с = ²>0. Тоді корені характеристичного рівняння дійсні, r = ± л, та спільний розв’язок має вигляд

Х (х) = С₁ + С₂

Щоб дотримувалися умови (3.9), ми повинні покласти

С₁ + С₂ = 0,

С₁ + С₂ = 0.

Так як визначник цієї однорідний системи

=

не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок С₁ = С₂ = 0.

Таким чином, у цьому випадку розв’язок, відмінних від тотожного нуля, не існує.

2) Нехай с = 0. Тоді обидва кореня характеристичного рівняння дорівнюють нулю і

Х (х) = С₁+С₂ х.

Підставляючи в умови (3.9), отримаємо

С₁=0, С₁ + С₂l = 0,

тобто знову ж таки С₁ = С₂ = 0.

3) Нехай, нарешті, с = — ² < 0. Коренні характеристичного рівняння чисто уявні, r = ± l л, і рішення буде містити тригонометричні функції

Х (Х) = С₁ cos x + С₂ sin х.

при х = 0 має бути

Х (0) = С₁ = 0,

а при х = l

Х (l) = С₂sin = 0.

Остання рівність можливо, коли С₂0, саме воно буде задовольняти при

sin лl = 0,

тобто при

лl = рк (к = ± 1, ± 2, …)

(к не дорівнює нулю, так як за умовою л? 0).

Отже, якщо =, тобто с = існують розв’язки рівняння (3.8), не рівні тотожно нулю.

Розв’язкок, що відповідає деякому фіксованому к, позначимо через Х_к(х). Воно має вигляд

Х_к(х) = А_к sin, (3.10)

де А_к — довільна постійна. Ми маємо право надалі надавати к тільки позитивні значення: к = 1, 2, …, оскільки при негативних к виходитимуть розв’язки того ж виду (адже А_к — довільні постійні, які можуть мати будь-які знаки).

Як ми бачимо, кожному значенню _x =, відповідає незліченна безліч розв’язків (3.10), що відрізняються один від одного постійним множником.

Величини _x =, називають власними числами, а функції sin власними функціями диференціального рівняння (3.8) з кінцевими умовами (3.9).

Нагадаємо, що система функцій ₁(x), ₂(x),…, _n(x), … називається ортогональної в інтервалі [а, b], якщо інтеграл від будь-яких двох різних функцій системи дорівнює нулю: _m(x)dx= 0, якщо n? m. Легко встановити, що знайдені власні функції ортогональні на інтервалі [0, l]. Дійсно, при n? m

= = 0

Тепер звернемося до відшукання функцій T (t). Кожному власному числу _k буде відповідати своя функція T_k(t), що визначається друге з рівнянь (3.7) (нагадаємо, що с = — ²):

T_k (t) +T_k(t)=0

Його загальний розв’язок має вигляд

T_k(t)=B_k cos +D_k sin (3.11)

де В_к і D_k — довільні постійні.

Підставляючи вирази (3.10) і (3.11) у формулу (3.4), знайдемо часткові розв’язки рівняння (3.1), що задовольняють кінцевим умовам (3.3). При цьому кожному значенню к = 1, 2, … відповідатиме розв’язок и_к(x, t)= (B_k cos +D_k sin) A_k sin .

Вносячи множник А_к в дужку і вводячи позначення А_кВ_к = а_к и А_кD_к = b_к, запишемо и_к(х, t) у вигляді

и_к(x, t)= (a_k cos +b_k sin) sin (3.12)

Розв’язки и_к(х, t) називаються власними функціями задачі; відповідні їхні коливання струни називаються власними коливаннями.

Фізичний зміст розв’язка (3.12) ми розглянемо декілька пізніше, а зараз перейдемо до другої частини методу Фур'є і при допомоги власних функцій побудуємо рівняння, яке задовольняє початковим умовам (3.2). Для цього візьмемо суму розв’язків (3.12), яка в силу лінійності і однорідності рівняння (3.1) також буде його розв’язком:

u (x, t)=. (3.13)

Оскільки ми склали нескінченний ряд, то, зрозуміло, треба, щоб він був сходяться в одному. Ми припустимо також, що його можна двічі почленно диференціювати. Ясно, що функція u (x, t) задовольняє кінцевим умовам (3.3), так як їм задовольняє кожна з функцій и_к(х, t).

Будемо тепер підбирати довільні сталі а_к і b_к так, щоб функція (3.13) задовольняла початковим умовам. Підставляючи значення t = 0, отримаємо

u¦_t=0 = = f (x) (3.14)

Диференціюючи ряд (3.13) по t:

=sin

і підставляючи t = 0, задовольнимо другу початкового умову:

¦_t=0 = = F (x) (3.15)

Формули (3.14) і (3.15) показують, що величини а_к і є коефіцієнтами розкладання функцій f (x) і F (x) в ряд Фур'є по синусам в інтервалі (0,l). Згадуючи формули для коефіцієнтів цього розкладу, знайдемо а_к :

а_к = (3.16)

Так як =, то

=. (3.17)

Підставляючи вирази для коефіцієнтів а_к і в ряд (3.13), ми остаточно знайдемо розв’язок поставленої задачі.

Ми не зупиняємося на умовах, які треба накласти на функції f (x) і F (x), щоб було виправдано зроблене припущення про можливість почленного диференціювання ряда (3.13). Формула (3.13) показує, що в моменти часу t =, t =, … струна, повертається у свій первинний стан; це означає, що коливання струни незгасаючі і періодично повторюються, з періодом T=. Так відбувається тому, що ми знехтували силами тертя.

3.2 Стоячі хвилі

Перш ніж перейти до прикладів, з’ясуємо фізичний зміст власних функцій u_k(х, t), визначених формулою (3.12). Перепишемо її у вигляді

u_k(х, t) = F_k sin sin + _k), (3.18)

де

F_k =

tg _k =

З формули (3.18) видно, що всі точки струни здійснюють гармонійні коливання з однією і тією ж частотою _k = і фазою _k. Амплітуда коливання залежить від абсциси х точки струни дорівнює F_k sin. При такому коливанні всі точки струни одночасно досягають свого максимального відхилення в ту чи іншу сторону і одночасно проходять положення рівноваги. Такі коливання струни називаються стоячими хвилями.

Взагалі стояча хвиля u_k(х, t) буде мати стільки нерухомих точок, скільки коренів має рівняння sin =0 в інтервалі [0, l]. Таких точок буде до k +1; їх абсциси: 0,, , …,, l.

Нерухомі точки називаються вузлами стоячій хвилі. Посередині між вузлами розташовуються точки, в яких відхилення досягають максимуму; такі точки називаються пучностямі. Кожна струна може мати власні коливання лише строго певних частот _k =. Ці частоти називаються власними частотами струни. Найменшою власною частотою буде

_k = = (3.19)

де T₀ — натяг, а — щільність струни.

Коли струна коливається, вона видає звук, висота якого зростає разом з частотою коливань. Якщо струна здійснює власні коливання, то найнижчий тон буде, коли частота дорівнює ₁. З формули (3.19) видно, що при цьому звук тим вище, чим більше натяг T₀ і чим коротше і легше струна і менше l і. Решта тони, відповідні частотах _k називаються обертонами або гармоніками. Якщо струна здійснює вільні коливання, які визначаються початковими умовами, то функція u (х, t), видається, як це видно з формули (3.13), у вигляді суми окремих гармонік. При цьому характер звучання струни (тон, сила звуку, тембр) буде залежати від співвідношення між амплітудами окремих гармонік.

Основне призначення розвязку (3.13) як раз і полягає в тому, що воно дозволяє провести порівняння цих амплітуд.

Приклад 2. Нехай у початковому положенні струна знаходиться у спокої і точкам її на ділянці (,) додана постійна початкова швидкість v₀ (цього можна домогтися, б’ючи по струні на цій ділянці плоским жорстким молоточком). Знайдемо коливання струни.

Зберігаючи попередні позначення, будемо мати

F (x) =

(ми вже відзначали той факт, що функція F (x) може бути розривна). Коефіцієнти a_k загальної формули (3.13) дорівнюють нулю, а коефіцієнти b_k знаходяться за формулами (3.17):

= Отже,

u (x, t) = (3.23)

В окремому випадку, якщо початкові швидкості отримують всі точки струни (= 0, = l), то

u (x, t) = sin

(для парних k різниця 1-cosдорівнює нулю, а для непарних — двома). Неважко знайти в цьому випадку найбільше відхилення струни від положення рівноваги. Фізично ясно, що більше всього відхилилася від положення рівноваги середина струни, тобто точка х = Вибираючи ще момент часу t =, получимо

u= sin²

Так як sin² =1, то це значення u і буде найбільшим. З огляду на формулу знайдемо, що u_max=.

ВИСНОВКИ У ході виконання курсової роботи було розглянуто що таке коливання, основні види коливань такі: як гармонійні, вимушені, вільні, затухаючі, наростаючі. Розглядали різні види рівняння коливань та їх застосування на практиці. Також значну увагу приділялося основним методи розв’язанням цих рівнянь, а саме: методом Даламбера або методом біжащих хвиль та методом Фур'є. В ході дослідження було розв’язано задачі, поданих у курсовій роботі.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. И. Г. Араманович, В. И. Левин «Уравнения математической физики» ,

Москва, 1969.

2. А. Н. Тихонов, А. А. Самаровский «Уравнения математической физики», Гостехиздат, 1954.

3. В. Я. Арсенин «Методы математической физики и специальные функции», Москва, 1984р.

4. Н. С. Пискунов «Диференциальное и интегральное исчисление», т.ч., Москва, 1972.