Представление чисел як суми двох квадратів і

Министерство загального характеру і професійного образования.

Російської Федерации.

!!! Державний университет.

Імені Ярослав Мудрий. [pic].

Кафедра «Прикладна математика і информатика».

Реферат.

ВИСТАВУ ЧИСЕЛ У ВИГЛЯДІ СУМИ ДВУХ.

КВАДРАТІВ І У ВИГЛЯДІ [pic].

Преподаватель:

Неустроєв Н.В.

Студент групи № 3311.

Russo Fascisto.

!!!

план:

ТЕОРЕМА ФЕРМА-ЭЙЛЕРА.

5 Доказ (Лагранжа).

5 Одиничність уявлення простого вересня вигляді суми двох квадратов.

КОЛИЧЕСТВО представЛЕНИЙ ЧИСЛА як суми двух.

квадратов.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА У ВИГЛЯДІ [pic].

9 ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

11 ЛИТЕРАТУРА.

Можливо, потомство буде вдячне мені за те, що показав йому, що Давні знали-не все.

П'єр Ферма.

Лише один математик удостоївся те, що ім'я його стало загальним. Якщо вимовляється слово «ферматист », отже, йдеться про людину, одержимому до безумства якийсь незбутньою ідеєю. Але це слово у жодній мері неспроможна бути віднесене до самого П'єру Ферма (1601—1665), одного з найсвітліших умів Франції. Ферма — людина надзвичайної долі: одне із найбільших математиків всіх часів, він був, у сучасній термінології, «професійним «математиком. За фахом Ферма був юристом. Він здобув чудове гуманітарний освіту й був видатним знавцем мистецтва і літератури. Завжди пропрацював державному службі, останні 17 років було радником місцевого парламенту, у Тулузі. До математиці його вабила безкорислива і піднесене кохання (це інколи може бути з людьми), що саме ця наука дала їй усе, що може дати людині любов: захоплення красою, насолоду та обдаровує щастям. На той час був ще математичних журналів, і Ферма майже не надрукував за життя. Але він листувався зі своїми сучасниками, і з допомогою цієї листування його досягнення були відомі. П'єру Ферма з дітьми: син обробив архів батька і видав його. «Я довів багато виключно гарних теорем » , — сказав якось Ферма. Особливо багато гарних фактів вдалося йому знайти у теорії чисел, яку, власне, і заснував. У паперах й у листуванні Ферма було сформульовано чимало чудових тверджень, про що їх писав, що розміщує їх доказом. І, рік за роком, таких недоведених тверджень ставало дедалі менше. І нарешті, залишилося одне. Відомо, що квадрати деяких чисел розкласти сумою двох квадратів. Такий єгипетський трикутник зі сторонами 3, 4 і п’яти: 32+42=52. Можна описати все целочисленные рішення рівняння x2+y2=z2. Це було зроблено Диофантом, грецьким математиком, жили (мабуть) в III столітті нашої ери, на другий книзі його трактату «Арифметика «(до нас дійшли 6 книжок із 13). На полях близько рішення Диофанта Ферма написав: «Не можна розкласти куб на два куба, ні квадрато-квадрат (т. е. четверту ступінь числа) на два квадрато-квадрата, і взагалі жодну ступінь вище квадрата і по нескінченності розкласти на дві ступеня з тим самим показником. Я відкрив цьому воістину чудесний доказ, але це поля надто для нього вузькі «. Інакше висловлюючись, рівняння xn+yn=zn при натуральному n>2 у цілих числах нерозв’язно. У паперах Ферма знайшли доказ цього твердження для n=4 (це єдине докладний доказ теореми з теорії чисел, знайдене в паперах Ферма). Для n=3 теорему Ферма довів Эйлер в 1768 року. У протягом ХІХ століття як доказ теореми Ферма було здійснено величезні зусилля. Особливих успіхів домігся німецький математик Куммер. Після його робіт теорема Ферма виявилася доведеною всім простих n (а довести її лише них), менших 100, крім 37, 59 і 97. У нашому столітті теорема Ферма було доведено простих чисел, менших 100,000, але остаточне рішення не знайшли. У 1908 року любитель математики Вольфскель заповідав 100,000 марок тому, хто доведе теорему Ферма. Це було лихом для математиків багатьох країн. Потекли сотні й тисячі листів із доказами теореми Ферма. Зазвичай, вони містили елементарні помилки, але їх перебування витрачалися чималі сили багатьох математиків. Під час Першої Першої світової цієї премії знецінилася. Потік псевдодоказательств скоротився, але з вичерпався. І вже здавалося, що цю проблему перейде через новий погляд на століть, але не всітаки п’ять років тому англійський математик Уайлс «залатав останню діру «у своїй доказі цієї великої теореми, з яким він вперше став перед математичним світом в 1993 року. Світ визнав: Велика теорема Ферма доведено! Проте, тим, хто цікавиться математикою, ім'я Ферма каже дуже багато незалежно з його Великої теореми. Він був, поза всяким сумнівом, однією з самих проникливих умів свого часу — часу Гігантів. Його з права вважають основоположником теорії чисел, він зробив величезний внесок у зароджувані нові напрями, визначили наступне розвиток науки: математичний аналіз, аналітичну геометрію. Ми вдячні Ферма за очевидно: він відкрив нам світ, повний вроди й загадочности.

ТЕОРЕМА ФЕРМА-ЭЙЛЕРА Наступна теорема, безсумнівно, належить до найвищих досягнень математики XVII—XVIII століть. Погляньте кілька перших непарних простих чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …

Числа 5, 13, 17 представимы як суми двох квадратів: 5=22+12, 13=22+32, 17=12+42, інші ж числа (3, 7, 11, 19) цією властивістю що немає. Чи можна пояснити цього прикрого феномена? Відповідь це питання дає наступна теорема:

Теорема: А, щоб парне просте число було представимо як суми двох квадратів, необхідне й досить, щоб він під час ділення на виборах 4 давало поза стінами вузу 1.

Доказ (Лагранжа) Это доказ спирається для наступної лемму Вільсона: якщо p —- просте число, то число (p-1)!+1 ділиться на p. Щоб не відволікатися на доказ цього допоміжного факту, продемонструю лише основну ідею цього докази з прикладу простого числа 13. Для будь-якого числа x, 2 [pic]x[pic] 11, знайдеться така кількість y, 2[pic] y[pic] 11, що x* y під час ділення на13 дае поза стінами вузу 1. Справді, (13−1)≠12≠(2* 7)(3* 9)(4* 10)(5* 8)(6* 11)* 12, і навіть всі твори в дужках під час ділення на13 дають на залишку 1, а отже, 12! під час ділення на13 дасть поза стінами вузу 12, звідки (для обраного нами числа 13) слід твердження леми Вільсона. З леми Вільсона витягнемо таке слідство: якщо p=4n+1, де n —- натуральне число, то ((2n)!)2+1 ділиться на p. Справді, з леми Вільсона слід, що (4n)!+1 ділиться на p, і тепер необхідне твердження випливає з такої викладки: (4n)!+1=(2n)!(2n+1)*…*(4n)+1=.

=(2n)!(p-2n)(p-2n-1)*…*(p-1)+1=.

=(2n)!(-1)2n (2n)!+pk+1 [pic]((2n)!)2+1(mod p). Означимо (2N)! через N. Ми, що N2[pic] -1(mod p). Тепер ми маємо подолати основну труднощі. Розглянемо все пари цілих чисел (m, s), такі що 0 [pic]m[pic] [ [pic]], 0[pic] s[pic] [[pic]], через [[pic]] позначена ціла частина числа [pic]—- найбільше ціла кількість, не перевершували [pic]. Кількість таких пар ([ [pic]]+1)2>p. Отже, по крайньої мері обох різних пар (m1,s1) і (m2,s2) залишки від розподілу m1+Ns1 і m2+Ns2 на p однакові, т. е. число a+Nb, де a=m1-m2, b=s1-s2, буде ділитися на p. У цьому |a|[pic][[pic]], |b| [pic][[pic]]. Але тоді число a2-N2 b2=(a+Nb)(a-Nb) ділиться на p, і отже, враховуючи, що N2[pic] -1(mod p), одержимо, що a2+b2 ділиться на p, т. е. a2+b2=rp, де r —- натуральне число (r[pic]0, бо інакше пари ми б однакові). З іншого боку, a2+b2[pic] 2[[pic]]2.