Геометрія сфери евклідова простору

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Головне управління освіти і науки Київської облдержадміністрації

Київське обласне територіальне відділення МАН України Відділення: математика Секція: прикладна математика

ГЕОМЕТРІЯ СФЕРИ ЕВКЛІДОВА ПРОСТОРУ

Роботу виконала: Ярмоленко Вікторія Валеріївна учениця 42 групи Білоцерківського економіко-правового ліцею Науковий керівник: Ільченко Тетяна Анатоліївна,

вчитель математики Рецензент: Лісовська Валентина Петрівна Біла Церква — 2013

Актуальність та завдання наукового дослідження. В наш час все більшого значення набуває визначення зміни положення точок земної поверхні, які спричиняються глобальними еволюційними процесами в житті Землі і проявляються в рухах Землі, переміщенням літосферних плит, нерівномірності обертання Землі, переміщення полюсів та центра мас.

Вивчення спотворень площ земельних ділянок особливо актуально в цей час в зв’язку з проведенням земельної реформи.

Сферичні координати широко використовуються для визначення положення тіл у просторі. Наприклад, у навігації при визначенні місця знаходження літака, корабля тощо, в астрономії при визначенні положення зірок та інших небесних тіл, в географії при визначенні положення об'єктів на поверхні Землі і т.д.

Основними завданнями є розробка теоретичних та практичних основ визначення відстаней між точками на Земній кулі, побудова земної системи геодезичних координат та зв’язок їх з сферичними.

Мета дослідження є теоретичне обґрунтування та засоби практичної реалізації основних понять сферичної геометрії.

Висновок та одержані результати. Застосували теорему косинусів для розв’язування стереометричних задач як обчислювального, так і теоретичного характеру. Отримані результати відстані між об'єктами порівняно з довідниковими даними. Відносна похибка обчисленої нами відстані дорівнює 0,5%.

Зміст

• Вступ
• Розділ 1. Історична довідка
• Розділ 2. Основні поняття сферичної геометрії
• 2.1 Сфера, велике і мале кола
• 2.2 Сферичний відрізок
• 2.3 Полюс і поляра
• 2.4 Багатокутники на сфері
• 2.5 Сферичний трикутник
• 2.6 Площа сферичного трикутника
• 2.7 Сферична теорема синусів та косинусів
• 2.7.1 Теорема конусів
• 2.7.2 Теорема синусів
• Розділ 3. Відстань між и на земній кулі
• 3.1 Зв’язок між географічними і сферичними координатами
• 3.2 Формула відстані через сферичні координати
• 3.3 Розв’язання сферичних трикутників
• Висновок
• Список використаних джерел

Вступ

Перші згадки про кулеподібність Землі виникли у VI — V ст. до н. е. Вони з’явились у результаті астрономічних спостережень. Ще стародавні елліни вважали коло та сферу ідеальними формами. Форму кулі має і наша планета та більшість комічних тіл. А так як планети, Сонце, Місяць та зірки рухаються по уявній «небесній сфері», то обов’язковими для вивчення їх руху необхідні були знання сферичної геометрії.

Вимірювання великих відстаней на поверхні Землі виявляється не такою простою справою, як може здатись на перший погляд. Однак, земна поверхня не рівна. Одні її точки розміщені вище, інші нижче.

В процесі розв’язання завдань практичного характеру і, в першу чергу, завдань з астрономії виникла сферична геометрія. Ці знання були необхідні насамперед мандрівникам і мореплавцям, які орієнтувались за зірками.

Ділянки земної поверхні невеликих розмірів (порівняно з радіусом Землі) можна вважати практично плоскими, і для їх математичного вивчення цілком придатна планіметрія. Земні ж ділянки великих розмірів (довжиною в сотні і тисячі кілометрів) вже не можна вважати плоскими і тому для дослідження таких ділянок потрібна саме сферична геометрія.

В наш час існують різні науки в основі яких лежить сферична геометрія.

Дані про сферу були необхідні і при вирішенні звичайних завдань — обчисленні географічних координат, для складання географічних карт, для знаходження курсу корабля.

Наприклад, математична картографія вивчає способи відображення поверхні Землі на площині. Оскільки поверхня Землі (приблизно сферична) має кінцеву кривизну, її не можна відобразити на площині із збереженням всіх просторових відношень одночасно: кутів між напрямками, відстаней і площ поверхонь. Можна зберегти тільки деякі з цих співвідношень.

геометрія сферична стереометричний координата Тепер можна точніше сформулювати основну мету та завдання роботи: розробка теоретичних та практичних основ визначення площ ділянок поверхні сфери по координатам їх вершин.

Об'єктом дослідження є:

· сфера та її елементи;

· сферичні трикутники та їх елементи;

· сферичний відрізок;

· сферичні багатокутники;

· теорема косинусів на синусів та її застосування при розв’язуванні сферичних трикутників;

· зв’язок між сферичними та географічними координатами.

Предмет дослідження - багатокутники на сфері, сферичні трикутники.

Основою даної роботи є побудова земної системи геодезичних координат, теоретичного дослідження наземних вимірювань.

Змістова складова матеріалів визначається системою завдань — вивчення теоретичних питань сферичної геометрії, порівняння фігур на площині та фігур на сфері, їхніх властивості, розгляд розв’язоків задач навігації.

Ми дослідили зв’язок географічних і сферичних координат, показали їх практичне застосування на основі поданих задач. Завдання, запропоновані нами, сприяють поглибленню знань учнів, що робить процес навчання математики більше ефективним і цікавим.

Однією з основних задач в землеустрої є визначення площ окремих земельних ділянок. Завжди важливим також було забезпечення необхідної точності обчислення площ значних територій — населених пунктів, районів, областей тощо.

Традиційна методика визначення площі ділянки пов’язана з її проектуванням на площину, при якому виникають спотворення, що залежать від обраної проекції та системи координат, положення та розміру ділянки, відхилення проекцій геодезичних ліній від сторін ділянки на площині та інших факторів. Тому обчислена площа земельної ділянки може суттєво відрізнятися від фактичної. Особливо це стосується площ великих територій, коли неможливо досягнути необхідної точності без врахування цих спотворень.

Вивчення спотворень площ земельних ділянок особливо актуально в цей час в зв’язку з проведенням земельної реформи.

Думаю, що зібраний нами матеріал можна використовувати в якості основи для елективного курсу в класах фізико-математичного профіля, при підготовці до олімпіад з математики, а також на позакласних заняттях для розширення кругозору учнів.

Розділ 1. Історична довідка

Першою за часом геометрією, відмінною від евклідової, була сферична геометрія, або сферика, як її називали стародавні жителі. Сферика виникла пізніше, ніж евклідова геометрія площини і простору. Основними мотивами для виникнення геометрії площини і простору була необхідність вимірювання площі полів та інших плоских фігур, а також місткості посудин і комор різної форми, тобто об'ємів різних тіл. Основним мотивом для виникнення сферики було вивчення зоряного неба.

Спостереження небесних світил відбувалося ще в Давньому Єгипті і Вавилоні, насамперед з метою встановлення календаря. Ми зобов’язані єгиптянам поділом доби на 24 години. Вклад вавилонян у розвиток астрономії був більш значний: спостереження затемнень і зірок перших століть «ери Набонасара», що почалася в VIII ст. до н. е. Стародавні греки познайомилися з вавилонською астрономією принаймні в IV ст. до н. е., коли початкові назви планет були замінені назвами за вавилонським зразком, латинськими перекладами яких є загальноприйняті нами назви. Астрономія, викладена в «Альмагесті» Птолемея, була результатом розвитку науки протягом кількох століть, яка увібрала традиції як вавилонських астрономів, так і грецьких геометрів.

Після того як виникла перша гіпотеза про кулеподібність Землі, виникло питання про її розміри. Перший спосіб вимірювання розмірів Землі, що дійшов до нас, був запропонований і здійснений вченим з Олександрії Ератосфеном у ІІІ ст. до н. е. Ератосфен визначив довжину земного меридіана. Вона виявилась рівною 250 тисячам стадій. Стадій не був точною мірою довжини. За стадій брали відстань, яку проходить людина за час повного виходу Сонця із-за горизонту. Враховуючи середню швидкість людини, і те, що вихід Сонця із-за горизонту відбувається протягом 2 хвилин, можна встановити, що стадій становить приблизно 160−185 м. Якщо взяти значення 160 м, то для довжини земного меридіана отримується досить точний результат 40 000 км. Але зрозуміло, що вимірювання Ератосфена не могли бути такими точними хоча б тому, що Сієна розміщена не зовсім строго на південь від Олександрії, та й точність вимірювання кроками не дуже велика.

Більш точні вимірювання Землі з використанням астрономічних спостережень були проведені лише у ХVII столітті. Для цього на поверхні Землі вибирались два пункти, розміщені на одному меридіані. Спостерігаючи з них за Сонцем або зірками, наприклад, за Полярною зіркою, визначали величину дуги цього меридіана. Вимірявши потім відстань між даними пунктами, знаходили довжину всього великого кола Землі.

Розділ 2. Основні поняття сферичної геометрії

2.1 Сфера, велике і мале кола

Сферою називається геометричне місце точок простору, розташованих на даній відстані від даної точки, що називається її центром.

Відрізок, що сполучає центр сфери з якою-небудь його точкою, називається радіусом сфери. Відрізок, що сполучає дві точки сфери і проходить через її центр, називається діаметром. З визначення випливає, що всі радіуси рівні і що діаметр дорівнює подвоєному радіусу. Площина, що проходить через центр сфери, називається діаметральної площиною.

Нехай S-деяка сфера з центром O радіуса R. Візьмемо площину, віддалену від точки O на відстань, меншу за R. Тоді перетин площини і сфери S є колом. Радіус r цього кола є катетом прямокутного трикутника (рис.1), гіпотенуза якого — радіус R, а другий катет — перпендикуляр h, опущений з центра сфери на площину. Тому в силу теореми Піфагора r =

Рис. 1. Рис. 2.

Ця формула показує, що величина r приймає максимальне значення r = R при h = 0, тобто є діаметральною площиною. У цьому випадку коло на сфері і називається великим колом. В геометрії на сфері великі кола грають роль прямих на площині. При h > 0 ми маємо r < R, коло на сфері називається в цьому випадку малим колом.

Так як через будь-які три точки простору, що не лежать на одній прямій, проходить єдина площина, то через будь-які дві точки сфери, які не є діаметрально протилежними проходить єдина діаметральна площина. Тому через будь-які дві точки сфери, які не є діаметрально протилежними, проходить єдине велике коло (рис.2). Цей факт цілком аналогічний тому, що на площині через будь-які дві точки проходить єдина пряма. Через дві діаметрально протилежні точки сфери, навпаки, можна провести безліч великих кіл (рис.3). Так як будь-які дві діаметральні площини сфери перетинаються по її діаметру, то будь-які два великі кола перетинаються в двох діаметрально протилежних точках сфери (рис.4). Тут ми спостерігаємо відмінність сферичної геометрії від геометрії площини, в якій дві прямі перетинаються не більше ніж в одній точці.

Рис. 3. Рис. 4.

Так як площина ділить простір на дві області, то велике коло ділить сферу на дві області (рис.2); ці області називаються напівсферами, а саме коло — краєм цих півсфер. Далі, так як дві площини, що перетинаються, вони ділять простір на чотири області, то два великі кола ділять сферу на чотири області (рис.4). Нарешті, так як три площини, що перетинаються в одній точці, ділять простір на вісім областей, то три великі кола, які не перетинаються в одній точці, ділять сферу на вісім областей (на рис.5) зображені вісім областей ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, на які ділять сферу великі кола AB, AC и BC, причому точки A, B, C діаметрально протилежні точкам A, B, C і, отже, області ABC і ABC, ABC і ABC, ABC і ABC, ABC і ABC попарно діаметрально протилежні.

Рис. 5.

Якщо перші дві з цих властивостей аналогічні властивостям прямих на площині, яка ділиться на дві частини прямою і на чотири частини двома прямими, що перетинаються, то третя з вказаних властивостей не цілком аналогічна відповідній властивості прямих на площині, так як три прямі, які попарно перетинаються, що не проходять три через одну точку, ділять площину не на вісім, а на сім частин (рис.6).

Рис. 6.

2.2 Сферичний відрізок

Якщо дві точки сфери, А і В не є діаметрально протилежними, то існує єдина площина, що проходить через центр сфери і ці дві точки. Лінія перетину цієї площини зі сферою є велике коло, а менша із двох дуг цього кола, що з'єднує точки, А і В, є єдиним сферичним відрізком, що з'єднує точки, А і В.

Якщо точки, А і В діаметрально протилежні на сфері, існує нескінченне число великих кіл, що проходять через ці дві точки, причому ці дві точки ділять кожне таке велике коло на два півкола, які є сферичними відрізками, що з'єднують точки, А і В (рис.7).

Сферичний відрізок володіє чудовою властивістю (як і відрізок на площині): сферичний відрізок, що сполучає дві точки на сфері, коротше будь-якої лінії на сфері, що сполучає ці дві точки (рис.7).

Рис. 7.

2.3 Полюс і поляра

Кожному великому колу відповідають дві діаметрально протилежні точки сфери, що відрізаються з нього діаметром, перпендикулярним до площини великого кола. Ці дві точки називаються полюсами великого кола; зокрема, полюсами екватора Землі є її географічні полюси — Північний і Південний. Очевидно, що кожним двом діаметрально протилежним точкам, А і В на сфері відповідає єдине велике коло, для якого точки, А і В є полюсами; це велике коло називається полярой пари діаметрально протилежних точок, А і В. Кожна точка поляри називається полярно сполученою з кожним з її полюсів; інакше кажучи, точки P, Q сфери є попарно сполученими, якщо радіуси OP і OQ перпендикулярні (О — центр сфери) (рис.9). Зрозуміло, що всі точки поляри віддалені від свого полюса на відстань, що дорівнює (або квадранту).

Рис. 8.

2.4 Багатокутники на сфері

Сферичним багатокутником називається частина сфери, обмежена дугами великих кіл, меншими півкола, кінцями яких служать точки перетину цих великих кіл, взятих у послідовному порядку. Сферичний багатокутник називається опуклим, якщо він розташований по одну сторону від кожного з більших кіл, частиною яких служать його сторони; в іншому випадку він називається неопуклим. У випадку, коли багатокутник опуклий, кожне велике коло, частиною якого служить сторона багатокутника, ділить сферу на дві півсфери, з яких одна містить увесь многокутник; загальна область R всіх таких півсфер, які містять даний багатокутник, і буде внутрішньою областю багатокутника (рис. 9,10).

Рис. 9. Рис. 10.

Сферичний двокутник — фігура, утворена двома півколами великих кіл сфери, що виходять із діаметрально протилежних точок (рис.11).

Рис. 11.

На відміну від площини, де трикутник є багатокутником з найменшою кількістю сторін, на сфері є багатокутники з числом сторін менше трьох — двокутники. Двокутником є частина сфери, обмежена двома половинами великих кіл із загальними кінцями; ці загальні кінці, звані вершинами двокутника, є діаметрально протилежними точками сфери.

Величина внутрішнього кута при вершині В сферичного многокутника, утвореного дугами АВ і ВС на сфері, визначається як кут між двома променями, що виходять з точки В і дотикаються до дуг АВ і ВС в точці В. Оскільки ці промені перпендикулярні радіусу ОВ, то кут при вершині В дорівнює двогранному куту між площинами ОАВ і ОВС. Зрозуміло, що два кути сферичного двокутника завжди рівні (рис.12).

Рис. 12.

2.5 Сферичний трикутник

Серед усіх сферичних багатокутників найбільший інтерес представляє сферичний трикутник.

Сферичним трикутником називається частина поверхні сфери, що обмежена трьома попарно сполученими дугами великих кіл (рис.13). Сферичний трикутник ABC має шість основних елементів: три кути A, B, C та три сторони a, b, c. Кути позначають тими ж великими літерами, що й вершини трикутника, а протилежні їм сторони — відповідними малими буквами. Кути та сторони можуть приймати значення лише в межах від 0° до 180°.

Сферичні трикутники мають висоти, медіани та бісектриси, означення яких аналогічні означенням цих елементів у плоскій геометрії. Наприклад, бісектрисою кута A сферичного трикутника ABC називається дуга AL великого кола, що ділить цей кут навпіл. Бісектриси трьох кутів сферичного трикутника перетинаються у сферичному центрі малого кола, вписаного в трикутник. Серединні перпендикуляри до трьох сторін сферичного трикутника перетинаються у сферичному центрі малого кола, описаного навколо трикутника.

Рис. 13.

Три великих кола, перетинаючись попарно в двох точках, утворюють на сфері вісім сферичних трикутників. Знаючи елементи (сторони і кути) одного з них можна визначити елементи всіх інших, тому розглядають співвідношення між елементами одного з них, того, у якого всі сторони менше половини великого кола.

Більшість властивостей сферичного трикутника (а вони одночасно є і властивостями тригранних кутів) майже повністю повторюють властивості звичайного трикутника, серед них і нерівність трикутника. Всі планіметричні наслідки згаданих теорем залишаються справедливими на сфері. Так, безліч точок, рівновіддалених від кінців відрізка, буде і на сфері перпендикулярною до нього прямою, що проходить через його середину, звідки випливає, що серединні перпендикуляри до сторін сферичного трикутника мають спільну точку, точніше, дві діаметрально протилежні спільні точки, що є полюсами його єдиного описаного кола. У стереометрії це означає, що навколо будь-якого тригранного кута можна описати конус. Можна перенести на сферу і теорему про те, що бісектриси трикутника перетинаються в центрі його вписаного кола. Теореми про перетин висот і медіан також залишаються вірними.

А от сума кутів будь-якого сферичного трикутника завжди більша 180.

2.6 Площа сферичного трикутника

Площа сферичної фігури, за аналогією з площею плоскої фігури, має такі властивості:

1) площа сферичної фігури є додатнім числом (властивість позитивності);

2) площа сферичної фігури не змінюється при русі (властивість інваріативності);

3) якщо сферична фігура розкладена на дві сферичні фігури, то площа даної фігури дорівнює сумі площ двох фігур, на які вона поділена (властивість адитивності),

4) площа всієї поверхні сфери радіуса R дорівнює 4R² (властивість нормування).

Насамперед знайдемо площу двокутника. З властивості адитивності, інваріантності та нормування випливає, що якщо розділити сферу на n рівних двокутників (рис.14), то площа кожного з них (тобто площа двокутника з кутом) дорівнює. Тому площа двокутника з кутом, складеного з m розглянутих двокутників, дорівнює, а якщо кут деякого двокутника більше і менше, то площа цього двокутника знаходиться між і (це випливає з першої і третьої властивості площі). Необмежено збільшуючи число n, ми можемо за допомогою граничного переходу знайти площу будь-якого двокутника: площа двокутника, кути при вершинах якого рівні , дорівнює

, Тобто (1)

Рис. 14. Рис. 15.

Якщо нам дано сферичний трикутник АВС, то пара великих кіл, що проходять через дві його сторони, визначає два двокутника, кути яких рівні куту сферичного трикутника між цими сторонами (рис.15). Всього таким чином виходить шість двокутників, два з кутом А, два — з кутом В і два — з кутом С. Трикутник АВС і діаметрально протилежний йому трикутник А’В’С' (рівний трикутнику АВС), входять у три двокутника, інші точки сфери, що не лежать на сторонах двокутників, входять тільки в один двокутник. Тому сума площ шести двокутників рівна сумі площ S усієї сфери й четвертій частині площі трикутника АВС, тобто

2S (A) +2S (B) +2S © =S+4S (). оскільки

S (A) =2r²A, S (B) =2r²B, S © =2r²C, то ми отримуємо

4r² (A+B+C) =4r²+4S (), тобто

S () =r² (A+B+C-). (2)

Через те, що величини S () і r² додатні, то величина А+В+Стакож додатня, звідки слідує, що А+В+С, тобто сума кутів сферичного трикутника більша розгорнутого кута. Різниця (вимірюється в радіанах) — величина додатня і називається сферичним надлишком даного сферичного трикутника.

Таким чином, площа сферичного трикутника дорівнює добуткові його кутового надлишку на квадрат радіуса сфери.

Замінюючи в нерівності (2) кути А, В і С рівними їм виразами де, а', b', с' - сторони полярного трикутника, ми отримаємо нерівність а'+ b'+ с' 2r, що показує, що сума сторін сферичного трикутника менша довжини великого кола.

2.7 Сферична теорема синусів та косинусів

2.7.1 Теорема конусів

Розглянемо рис. 17, на якому зображено трикутник ABC на сфері з радіусом, що дорівнює одиниці, та центром у точці O. У вершині A проведені дотичні AE та AD до сторін b та c. Ці дотичні перетинаються у точках D і E з продовженням радіусів сфери, що проходять через вершини C і B.

Рис. 16.

Застосуємо теорему косинусів тригонометрії на площині до трикутників AED та OED і запишемо її для сторони DE:

Прирівняємо між собою праві частини рівнянь і знайдемо:

Зважаючи, що радіус сфери R = 1 маємо:

; ;

Далі одержуємо:

Помножимо всі доданки останнього рівняння на cosb cosc і остаточно дістанемо:

Побудова на рис. 17 можлива, якщо кожна зі сторін b і c менша 90°. Тому вираз потрібно узагальнити на той випадок, коли трикутник має сторони більші за 90°. Для цього звернемося до рис. 13. На ньому зображено? ABC, що має сторони b > 90° і c > 90°. Якщо продовжимо сторони b і c до їх перетину в точці D, то одержимо спряжений трикутник BCD, в якому кожна зі сторін 180°? b і 180°? c буде менша за 90°. Застосовуючи цей вираз до трикутника BCD, можемо записати:

або

.

Отже, маємо теорему косинусів.

Теорема. Косинус сторони сферичного трикутника дорівнює добутку двох інших сторін плюс добуток синусів цих сторін на косинус кута між ними.

2.7.2 Теорема синусів

Синуси сторін сферичного трикутника відносяться як синуси протилежних кутів.

Рис. 17.

Нехай довжини сторін сферичного трикутника (рис. 17) дорівнюють а, b, с, а протилежні їм кути цього трикутника рівні А, В, С відповідно, r-радіус сфери, тоді

.

За теоремою косинусів досліджується відношення і доводять, що воно є сталим:

Розділ 3. Відстань між и на земній кулі

3.1 Зв’язок між географічними і сферичними координатами

Як відомо з географії, земна куля лише наближено може вважатися кулею з погляду математичного означення: на ній є гори і западини, земна куля сплюснута на полюсах і витягнута на рівні екватора. У представленому математичному дослідженні ми нехтуємо цими відхиленнями і вважаємо земну кулю ідеальною кулею у розумінні математичного означення. Радіус кулі R приймемо за 6370 км, поверхню кулі - сферу позначимо C.

Для знаходження відстані між пунктами на земній поверхні буде потрібна система координат на сфері, дещо відмінна від загальноприйнятої географічної системи координат. Нехай O — центр кулі на мал., N і S — географічні північний і південний полюси, так що NS — діаметр кулі. Дугу великого кола — півколо NQS, що збігається з меридіаном Гринвіча, назвемо нульовим меридіаном. Через центр кулі перпендикулярно до діаметра NS проведемо площину. Перетин цієї площини зі сферою C назвемо екватором і позначимо літерою K. Координати точки P C, відмінної від полюсів, визначимо таким чином. Проведемо велике півколо NQS. Через E і F позначимо точки перетину півкіл NQS і NPS з екватором K. Сферичною довготою точки P назвемо градусну міру дуги EF. Відмітимо, що і вимірюється проти годинникової стрілки, якщо дивитися з північного полюса N. Сферичною широтою назвемо градусну міру

Введенні координати — сферична довгота і сферична широта — однозначно визначають положення точки P C. Для полюсів сферичну довготу вважатимемо не визначеною, а сферичну широту північного полюса N — рівною, а південного полюса S —. Позначимо географічну широту через, а географічну довготу через і встановимо формули переходу від географічних до визначених нами сферичних координат. Розглянемо 4 випадки.

1. Східна частина північної півкулі:

2. Західна частина північної півкулі:

3. Східна частина південної півкулі

4. Західна частина південної півкулі:

Приклад.

Географічні координати Києва північної широти і східної довготи. Це східна частина північної півкулі. Тому за допомогою формул знаходимо: Отже, сферичні координати Києва .

3.2 Формула відстані через сферичні координати

За допомогою теореми косинусів для тригранного кута виведемо формулу для обчислення відстані між точками на сфері за їх сферичними координатами.

Нехай — точки на сфері C, що не збігаються з полюсами N, S і не лежать на одному меридіані. Проведемо дуги великих кіл NA, NB i AB. При цьому отримаємо сферичний трикутник ABN.

Сполучимо вершини сферичного трикутника ABN з центром O сфери C і проведемо площини через кожну пару радіусів OA, OB, ON. Отримаємо тригранний кут OABN, що відповідає сферичному трикутнику ABN.

Враховуючи, що у тригранному куті OABN плоскі кути вимірюються дугами, на які вони спираються, тобто сторонами сферичного трикутника.

Повертаючись до обраних на сфері C точок, маємо:. Тут. Двогранний кут при ребрі ON дорівнює. Внаслідок теореми косинусів для тригранного кута, .

Оскільки

то

.

Нарешті,

У випадку, коли одна з точок збігається з полюсом, при

а при

Приклад.

Знайдемо сферичне відстань між крайньою західною та крайньою східною точками України. Крайньою західною точкою України є м. Чоп Закарпатської області (пункти A) з географічними координатами північної широти та східної довготи, а крайньою східною — с. Червона Зірка Міловського району Луганської області (пункт B) з географічними координатами північної широти та східної довготи. За формулами знаходимо сферичні координати цих пунктів.

Сферичні координати пункту A, а пункт B має сферичні координати. За формулами знаходимо

За довідковими даними протяжність території України з заходу на схід становить 1 316 км. Відносна похибка обчисленої нами відстані дорівнює 0,5% і пояснюється похибками у географічних координатах пунктів (зокрема, ми знехтували секундами), неточностями у значенні радіуса Землі та недосконалістю математичної моделі (припущення, що Земля — ідеальна куля)

3.3 Розв’язання сферичних трикутників

Досліджені нами тригонометричні співвідношення дозволяють «розв'язати сферичний трикутник»

ЗАДАЧА 1

Визначити найкоротшу відстань (ортодромію) між двома точками М (52°17ґ; 55°36ґ), що лежать у північній частині земної кулі (R = 6370 км). Знайти азимут точки М по відношенню до точки М.

Рис. 18.

Розглянемо сферичний трикутник МРМ (рис.18). Тут Р — полюс; АВ — екватор; РМР та РМР — медіани, що проходять відповідно через точки М та М; ММ — дуга великого кола, що проходить через точки М та М. Дуга ММ визначає найкоротшу відстань між точками М та М.

У цьому трикутнику кути:

МРМ=; РММ = і РММ =, а сторони МР = 90° - .

Різниця довгот:

55°36ґ - 49°30ґ; = 6°06ґ.

Для визначення ортодромії ММ скористаємось формулою косинуса сторони сферичного трикутника:

cosa = cosbcosc + sinbsinccosA.

У даному випадку формула набуває вигляду:

сosММ = cos (90° -) cos (90° -) + sin (90° -) sin (90° -) cos; сosММ = sinsin + cos cos cos.

Обчислення:

= 6°, 100 000; cos = 0,9 943 379;

= 52°183 333; sin = 0,789 977; cos = 0,613 137;

— 58°, 283 333; sin = 0,850 658; cos = 0,525 719;

сosММ = 0,992 513, ММ = 7°, 15 608;

ММ = 0,122 455 (рад);

ММ = R • 0.122 445 = 6370 • 0.122 445 = 780 (км).

Азимут = РММ — сферичний кут трикутника МРМ.

Для обчислення азимуту точки М по відношенню до точки М, що задані своїми координатами, необхідно розв’язати косокутний трикутник за двома сторонами та кутом між ними.

У даному випадку знайти азимут можна за формулою:

сosРМ = сos МРсosММ + sinМРsinММсosРММ,

де РМ = 90° -; МР = 90° -; ММ = 7°, 156 078

(знайдено у першій частині); РММ = .

Обчислення:

сos = =

=== 0,889 262

= 27°, 219 322 = 27°13ґ09ґґ.

У даному прикладі відносна похибка між знайденими величинами азимуту становить 0,024%.

ЗАДАЧА 2

Нехай О — центр земної кулі; ААВ — дуга кола широти, і треба довести, що ортодромія коротше локсодромії.

Ортодромія — найкоротша лінія між двома точками на поверхні обертання.

Локсодромія — лінія на сфері, що перетинає всі меридіани під постійним кутом.

Розв’язання. Нехай АаВ — дуга великого кола, тоді АО = OB = R, так як точка, А і точка В лежать на широті 60, тобто радіуси ОА і ОВ складають з ОС кут в 30 АСО — прямокутний:

AC = N n =, ac =.

Довжина дуги АВ становить довжини кола широти, а тому коло цей має вдвічі менше довжину, ніж велике коло, то довжина малого кола дорівнює:

АВ = для того щоб визначити довжину дуги великого кола — АаВ, треба знати градусну мepy AOB АВ =, так як АВ — є сторона правильного шестикутника, стягуючого дугу в 60., АВ = R.

Проведемо = DB і розглянемо ODA, він прямокутний, тому що D = 90.

ЗАДАЧА 3

Мореплавець Христофор Веспуччі проплив 1800 миль в одному напрямку з точки, А в точку В, повернув на 60 градусів і проплив в новому напрямку ще 2700 миль, опинився в точці С. Потрібно знайти відстань між точками, А і С (по поверхні земної кулі).

Розв’язання. Позначимо через a, b і с довжини дуг ВС, АС і АВ відповідно, — внутрішній кут при вершині В сферичного трикутника АВС. Тоді

де R — радіус земної кулі, виражений в морських милях.

За теоремою косинусів для сферичного трикутника

За таблицею або за допомогою калькулятора знаходимо, що

радиан.

Відповідно, двжина дуги АС = b дорівнює b = R•0.90 662 = 3437.4•0.90 662? 3116.7 миль.

Відповідь: 3117 морських миль 5772 км.

Висновок

В наш час все більшого значення набуває визначення зміни положення точок земної поверхні, які спричиняються глобальними еволюційними процесами в житті Землі і проявляються в рухах Землі, переміщенням літосферних плит, нерівномірності обертання Землі, переміщення полюсів та центра мас.

Були досліджені теорема косинусів та синусів для сферичного трикутника, формули для знаходження площі в сферичному трикутнику.

Матеріал, який використовувався під час роботи буде корисним учням 11 класів, які збираються по закінченню школи навчатись на кафедрі геодезії та картографії.

Вивчаючи теорію сферичної геометрії і розглядаючи практичні задачі, ми прийшли до висновку, що елементи сфери: кути, відрізки, многокутники розглядаються по-іншому, ніж ці фігури на площині або в просторі в евклідовій геометрії.

По-різному трактуються знайомі нам теореми. Наприклад, ми знаємо, що сума кутів трикутника 180 градусів, але сума кутів будь-якого сферичного трикутника завжди більша за 180 градусів. (вимірюється в радіанах) — величина позитивна і називається сферичним надлишком даного сферичного трикутника.

В шкільному курсі геометрії ми вивчали, що мінімальне число вершин многокутника дорівнює трьом. Насправді, неможливо побудувати многокутник з меншою кількістю вершин. Вивчаючи сферичну геометрію ми дізналась про нову для нас фігуру — двокутник.

Також ми продемонстрували як за допомогу переходу від географічних координат до сферичних можна визначити відстань між точками на земній поверхні більш точно та якісно.

Сферичні координати широко використовуються для визначення положення тіл у просторі. Наприклад, у навігації при визначенні місця знаходження літака, корабля тощо, в астрономії при визначенні положення зірок та інших небесних тіл, в географії при визначенні положення об'єктів на поверхні Землі і т.д.

Список використаних джерел

1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч.2.М. Учпедгиз, 1958. Андреев

2. Атанасян Л. С. Геометрия. Ч.2. — М: Просвещение, 1987. — 352с.

3. Базылев В. Т. Геометрия. М: Просвещение, 1975.

4. Базылев В. Т. Сборник задач по геометрии. М: Просвещение, 1980. — 240с.

5. Егоров И. П. Геометрия. — М: Просвещение, 1979. — 256с.

6. Егоров И. П. Основания геометрии. — М: Просвещение, 1984. — 144с.

7. Задачник «Кванта»: Математика. Часть 1. / Под ред.Н. Б. Васильева. М: 1997.

8. Розенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом пространстве.М. Наука., 1976. — 408с.

9. Энциклопедия элементарной математики. Кн.4 — Геометрия. М., 1963

10. Борисенко О. А., Ушакова Л. М. Аналітична геометрія. — Х.: Основа, 1993. — 192 с.

11. Волынский Б. А. Сферическая тригонометрия. — М.: Наука, 1977. — 135 с.

12. Кашкаха В. Е., Откидач В. В. Сферическая тригонометрия и вычислительные методы в маркшейдерском деле. — Донецк: ДонГУ, 1984. — 112 с.

13. Кранц П. Сферическая тригонометрия. — М.: URSS. ЛКИ, 2007. — 93 с.

14. Матвиевская Г. П. Становление плоской и сферической тригонометрии. Из истории математических идей. — М.: Знание, 1982. — 64 с.

15. Пандул И. С. Сферическая тригонометрия и сферическая астрономия применительно к решению инженерно-геодезических задач. — Л.: ЛГИ, 1982. — 99 с.

16. Сандраков П. В. Решение сферических треугольников. — Пермь: ПермПИ, 1970. — 81 с.

17. Тарасенкова Н. А., Петрова Є.В. Вступ до сферичної геометрії. — Черкаси: ЧНУ, 2008. — 80 с.