Математика і фізика у неповній середній школе

Зміст: Запровадження Глава 1. Математика і фізика у неповній середній школі. § 1.1. Принцип зв’язку фізик коїться з іншими навчальними предметами. § 1.2. Зміст межпредметных зв’язків фізиків і математиків. § 1.3. Взаємозв'язок навчання фізиці та математиці. Глава 2. Вектор у фізиці й математиці. § 2.1. Запровадження поняття вектора і із векторами щодо механіки і математики 9 класі середньої школи. § 2.2. векторна величина у неповній середній школі. Глава 3. розвиток поняття функції в шкільному курсі фізиці. § 3.1. Функція як найважливіше ланка межпредметных зв’язків. § 3.2.Формирование фізико-математичних понять: похідна, первообразная і інтеграл у шкільництві. Укладання Литература.

Математика і фізика зазвичай вважаються найбільш важкими предметами шкільного курсу. В мені весь переходи формування людської свідомості ці напрями наукової думки розвивалися взаємозалежне, стимулюючи обопільний прогрес. Поширена думка у тому, що у шкільному викладанні інтеграція фізики з математикою можливе тільки в класах із поглибленим вивченням цих предметів. А я вважаю, що чимало елементи такий інтеграції може зробити виклад фізики більш ясним і доступнішим всіх рівнях її вивчення. Нерозуміння школярами і абітурієнтами якогось питання з курсу фізики чи невміння вирішити фізичну завдання часто пов’язані з відсутністю навичок аналізу функціональних залежностей, упорядкуванням і рішенням математичних рівнянь, невмінням проводити алгебраїчні і геометричні построения.

Сучасне викладання вимагає органічного поєднання експериментального і теоретичного методів вивчення фізики, виявлення суті фізичних законів з урахуванням доступних школяреві понять елементарної математиці. Такий їхній підхід одночасно реформує з підвищення рівня математичних знань, формує логічне мислення, усвідомлення єдності матеріального мира.

Тому метою курсової роботи является:

1) Визначити сутність, функції межпредметных зв’язків та його классификацию;

2) Показати які поняття математики як використовують у физике.

Курсова робота складається з запровадження, трьох глав, ув’язнення й списку літератури з 15-ти наименований.

Глава 1. Математика і фізика у неповній середній школе.

§ 1.1. Принцип зв’язку фізик коїться з іншими навчальними предметами.

Принцип межпредметной зв’язку є основою вивчення фізики, оскільки це наука включає знання з інших й у своє чергу необхідна їхнього розуміння. Зблизька багатьох явищ і процесів під час уроків фізики потрібні знання математики, географії, хімії, біології та інші. Разом водночас і з вивчення цих навчальних дисциплін необхідні глибокі й міцні знання фізики та методів фізичної науки (наприклад, застосування понять енергії і силою закону збереження та перетворення енергії в біологічних процесах; фізичні явища, закони та методи в астрономії тощо.). це отже, що у принципі межпредметных зв’язків знаходить своє втілення диференціація і інтеграція наук, що на даний час розвинені так добре [1]. Ці процеси впливають і розвиток загальної середньої образования.

Шкільні програми з фізиці побудовано отже багато уваги приділяється у яких здійсненню межпредметных зв’язків. У цьому переслідуються такі цілі [1]:

. формування систематичності спільного уявлення про природу з урахуванням діалектичного єдності всіх природничонаукових знаний;

. забезпечення систематичності знань (внутрипредметные і межпредметные зв’язку), ведущеё до свідомому і міцному їх засвоєнню, сприяє розвитку наукового мислення та памяти;

. вироблення у учнів вміння встановлювати всебічні зв’язок між поняттями і чи теоріями, відбивають об'єктивно існуючі відносини у природе;

. розвиток природничонаукового та науково-технічного мышления;

Межпредметные зв’язку можна здійснити різними шляхами в органічному єдності, цілеспрямовано й систематично. Розглянемо найважливіші з них:

. Синхронні многопредметные зв’язку. Під час вивчення математично-природничої грамотності розкривається механізм явищ (фізичних, хімічних, біологічних, астрономічних) різних рівнях будівлі речовини (молекулярному, атомному, ядерному і елементарних частинок), встановлюється зв’язок між властивостями матеріальних об'єктів та його внутрішнім будовою. Перенесення знань із області науки у різні ситуації інших галузей переконує які у тому, що сила наукового знання у логічному побудові будь-якої нього, а й у універсальності, загальності фундаментальних положень науки. Засвоєння фундаментальних положень науки, її принципів, вміння отримувати їх окремі випадки і застосовувати в суміжних навчальних дисциплінах є високий рівень усвідомленості, міці й застосовності знань. Усе це допомагає підвищувати науковий рівень кожного навчального предмета в школе.

. Асинхронні (взаємні) зв’язку. Тимчасові зв’язок між навчальними предметами потрібен те щоб не порушувати логічного структури будь-якого їх, тому межпредметные зв’язку повинні прагнути бути взаємними. З цього випливає, що у деяких випадках корисно провести вивчення деяких понять суміжною навчальної дисципліни, наприклад, ознайомити школярів із поняттями сили, швидкості і прискорення під час уроків фізиці, а й за тим сформулювати поняття про вектори, першої та другої похідною в математике.

. Понятійні зв’язку беруться до розробці навчальні програми, планів, підручників та практиці преподавания.

. Ідейні зв’язку — це узгодження і взаємодоповнюють трактування одним і тієї ж фундаментальних фактів, понять законів і теорій у різних навчальних предметах основі спільних керівних ідей, концепцій і принципов.

. Зв’язки методами науки забезпечують глибоко змістовне взаємне проникнення навчальних предметів за умови, що у кожному їх, крім специфічних методів своєї науки, буде використано методи суміжних дисциплін. Така зв’язок багатьох предметів з курсом фізики обумовлена насамперед поширеністю фізичних методів у естествознании.

. Системно-синтетические зв’язку навчальних предметів, кожен із яких своїм змістом потребують і методами своєї науки розкриває властивості об'єктів і закони матеріального світу, дозволяють дати школярам загального уявлення про речовині і полі як і справу два види матерії, про форми руху матерії, досліджуваних під час занять природноматематичного циклу дисциплін. У період великий диференціації знань синтез навчального матеріалу певному освіти украй потрібен [2].

Системно-синтетические зв’язку реалізуються тоді, коли понятійні і ідейні зв’язку, і навіть зв’язку з методам науки виступають одночасно у органічному единстве.

Слід пам’ятати що реалізація у процесі навчання межпредметных зв’язків полегшує школярам розуміння нового матеріалу, підвищує ефективність навчального процесса.

§ 1.2. Зміст межпредметных зв’язків фізики та математики.

Зв’язки між науками математики фізики різноманітні і постійні [2]. Об'єктом чистої математики є дуже реальний матеріал: просторові форми ці відносини матеріального світу. Той факт, що це матеріал приймає надзвичайно абстрактну форму, може лише слабко затушувати його походження із зовнішнього світу. Але от щоб бути, у стані досліджувати ці форми й стосунку в чистому вигляді, необхідно скоєно відокремити їхню відмінність від її змісту, залишити ця остання осторонь, чимось байдуже. З положень цих міркувань випливає, основним методом математики є метод абстракції. По способу відображення дійсності вона є аспектной наукою. Її предметної областю є вся дійсність, інакше кажучи, немає жодної матеріальної області, в якої проявилися б закономірності, студійовані математикою. Таким чином, математика вивчає кількісні стосунки держави й просторові форми як існуючих областей об'єктів, і тих, які можна «сконструювати» [4].

Фізика, як наука, має власної предметної області фундаментальні властивості матерії у двох її формах — у вигляді речовини і ниви. Вони є комплекс самостійних областей знання, об'єднаних вихідними принципами, фундаментальними теоріями і методи дослідження. У початку фізика переважно досліджувала властивості навколишніх тел.

Але вже цьому етапі вивчалися і пояснюються деякі спільні проблеми — рух, взаємодія тіл, будова речовини, Природа і механізм низки явищ, наприклад теплових, звукових, оптичних. Отже спочатку фізика був у основному об'єктної наукою. Однак у ХХІ столітті головним об'єктом фізики стають фундаментальні явища природи й описують їх законы.

Математика як наука сформувалася першої, зате принаймні розвитку фізичних знань математичні методи знаходили все більше використання у фізичних исследованиях.

Взаємозв'язку математики фізики визначаються, перш всього наявністю загальної предметної області, досліджуваної ними, хоч і з різних точок зору. Взаємозв'язок математики фізики виражається у взаємодії їх ідей методів. Ці зв’язку можна умовно розділити втричі виду, саме [3]:

1. Фізика ставить завдання й створює необхідних розв’язання математичні ідеї, й методи, які надалі служать базою у розвиток математичної теории.

2. Розвинена математична теорія з її ідеями і математичним апаратом використовується для аналізу фізичних явищ, що часто призводить до нової фізичної теорії, що у своє чергу призводить до розвитку фізичної картини світу виникнення нових фізичних проблем.

3. Розвиток фізичної теорії спирається на наявний певний математичний апарат, але останній вдосконалюється розвивається у його використання їх у физике.

§ 1.3. Взаємозв'язок навчання фізики й математике.

Сучасний курс математики побудований на ідеях безлічі, функції геометричних перетворень, що охоплюють різні види симетрії. Школярі вивчають похідні елементарних функцій, інтеграли і диференціальні рівняння. Математика як дає фізики обчислювальний апарат, а й збагачує їх у ідейному плане.

На уроках математики школярі навчаються працювати з математичними висловлюваннями, а завдання викладання фізики у тому, щоб ознайомити учнів переходити від фізичних явищ і перетинів поміж ними до математичного вираженню і навпаки [5].

Один із центральних математичних понять в шкільному курсі фізики — поняття функції. Це містить ідеї зміни та відповідності, що важливо задля розкриття динаміки фізичних явищ і запровадження причиннослідчих отношений.

У шкільному курсі математики розглядають координатний метод, вивчають пряму і зворотний пропорційні залежності, квадратичную, кубічну, показову, логарифмічну і тригонометрические функції, будують їх графіки, досліджують і застосовують їх основні свойства.

Усе це дозволяє школярам осмислювати математичні висловлювання фізичних законів, з допомогою графіків аналізувати фізичні явища і процеси, наприклад різноманітні випадки механічного руху, изопроцессы в газах, фазові перетворення, коливальні і хвильові процеси, спектральні криві електромагнітних випромінювань та інших. [13].

Засвоєння координатного методу допомагає також свідомо користуватися поняттям системи відліку і принципом відносності руху щодо всього курсу фізики та особливо основ теорії відносності і релятивістських эффектов.

Знання поняття похідною дозволяє кількісно оцінити швидкість зміни фізичних явищ і процесів в часі та просторі, наприклад швидкість випаровування рідини, радіоактивного розпаду, зміни сили струму і др.

Уміння диференціювати і інтегрувати відкриває великі можливості з вивчення коливань і хвиль різної фізичної природи й водночас для повторення основних понять механіки (швидкості, прискорення) більш глибоко, що вони трактувались під час введення, і навіть висновку формули потужності змінного струму та інших. Користуючись ідеями симетрії, із якими учні ознайомлюються під час уроків математики, можна фізично змістовно розглянути будова молекул і кристалів, вивчити побудова зображень в пласких дзеркалах і лінзах, з’ясувати картину електричних і магнітних полів [1].

Тісна зв’язок між шкільними курсами фізиків і математиків є традиційної. Через війну корінний перебудови викладання цих дисциплін зв’язок з-поміж них посилилася, проте мають місце і пояснюються деякі порушення [6], і хоча де вони так уже значні знання їх дозволить вчителю фізики більш ефективно побудувати викладання предмета.

1. Нерідко нові математичні поняття вводяться під час уроків фізики раніше, ніж математики:

. Поняття аргументу? x і збільшення функції ?f уводять у математиці в10 класі, а курсі фізики о 9-й класі щодо миттєвою швидкості. Тут курсу фізики поняття збільшення аргументу і збільшення функції ще виражені нечётко, при цьому час є скалярной величиною, а переміщення — векторної, тоді як і математиці 10 класу вводиться поняття збільшення тільки до скалярних величин.

. З радианным виміром кутів учні також знайомляться раніше під час уроків фізики, а чи не математики: у математиці про радианном вимірі кутів вперше в 10 класі, а фізиці воно розглядається вже о 9-й класі у зв’язку з вивченням кутовий скорости.

. Поняття краю фізики у 10 класі під час уроків математики фізики, але у фізиці трохи раніше. Коли проводиться аналіз рівняння Менделєєва — Клапейрона.

[pic], записано: «Це тиск зникає лише за m[pic]0 чи V[pic]?, а також за Т[pic]0 [5].

Роз’яснюючи учням цей матеріал, вчитель фізики повинен тут користуватися інтуїтивним поняттям краю, попередньо з’ясувавши, як змінюється дріб, коли чисельник необмежено зменшується, знаменник необмежено зростає, а чисельник не меняется.

2. Трапляються випадки, коли суто математичні поняття на математиці не розглядаються, а фізиці вводяться і используются.

У геометрії докладно розглядаються операції складання вирахування векторів, множення вектора на число, і немає відсутня поняття проекції вектора на ось.

3. Не завжди під час уроків фізики використовуються деякі математичні поняття, які міцно утвердилися у математиці. У фізиці не користуються поняттям протилежних векторів і нульового вектора, хоча вони знані учням з курсу геометрії 8 класса.

4. У підручниках фізиків і математиків іноді використовується різна терминология.

. У підручниках математики замість старого терміна «абсолютна величина числа» застосовується термін «модуль числа». У підручниках із фізики продовжують користуватися терміном «абсолютна величина».

. У шкільному курсі математики застосовується термін «довжина вектора», оскільки розглядаються виключно геометричні вектори. У шкільному ж курсі фізики користуються термінами «модуль вектора» и.

«абсолютне значення вектора».

5. Іноді в шкільних курсах математики фізики має місце невідповідність між символикой.

Хоча порушення настільки вже значні, знання їх дозволить вчителю фізики ефективніше побудувати викладання предмета.

Роблячи висновок з усього вище сказаного, можна сказати, що успішне вирішення завдань навчання великою мірою залежить від всерединіі межпредметных связей.

Глава 2. Вектор у фізиці й математике.

§ 2.1. Запровадження поняття вектора і із векторами щодо механіки і математики 9 класі середньої школы.

З поняттям «вектор» учні ознайомлюються під час уроків геометрії з прикладу паралельного перенесення [9].

Паралельний перенесення — це відбиток площині він, у якому все її точки відбиваються щодо одного і те напрямку те й теж відстань. Паралельний перенесення, який інакше називають вектором, відображає точку На точку У (рис. 2.1.), точку А1 в точку В1 тощо. буд. Це записується так: В=Т (А)=[pic](А), [pic] тощо. буд. Один і хоча б перенесення Т (вектор) можна поставити з допомогою еквівалентних пар точок (А, В)~(А1,В1)~…~(Аn, Bn). Отже, для завдання паралельного перенесення досить взяти будь-яку пару точок з класу еквівалентних пар. Якщо вектор задається точками Проте й У, його позначають [pic]. Спрямовані відтинки [pic] і [pic] (див. рис. 2.1) зображують і той ж перенесення [pic].

Визначення вектора, яке давалася в шкільному курсі геометрії, дозволяє логічно послідовно вивчити всі операції над векторами: складання, віднімання, множення на число та інших. Наприклад під сумою двох векторів [pic][pic]и [pic] розуміють відображення площині він, що є результатом послідовного виконання відбиття [pic] і [pic] (див. рис. 2.2).

Рис 2.1.

Рис 2.2.

Вектор [pic] відображає точку На точку У, а вектор [pic] - точку У в точку З. Вектор [pic], є сумою векторов[pic] і [pic], відображає точку На точку С.

[pic] спрямовані відтинки АВ, ВР і АС задовольняють правилу треугольника.

Ставлення до направленому відрізку дозволяє можливість перейти до запровадження фізичних векторних величин, такі ж, як і паралельний перенесення, зображуються спрямованими отрезками.

О дев’ятій класі учні під час уроків математиці набувають необхідні навички операцій над векторами, які полегшують вивчення механіки на векторної основі. Проте часом школярі не можуть виконувати дії з перетворенню векторних рівнянь: переносити складові з частині рівняння до іншої, множити ліву праву частини рівняння на число. Для здобуття права на уроках фізики могли цілком свідомо виробляти дії з векторными рівняннями, доцільно домовитися з учителем геометрії, що він приділив більше уваги виконання дій зі перетворенню векторних співвідношень, наприклад: [8] «У двох коллинеарным векторах [pic], які входять у выражение:

[pic] знайти й побудувати вектор [pic]", і др.

Найбільш підхожим величиною запровадження векторів і операцій з них є переміщення з його «природним» правилом сложения.

Переступаючи до пояснення матеріалу про переміщення, вчитель фізики повинен пам’ятати, що у поняття «переміщення» математики вкладають інший сенс: переміщення в геометрії - це математичне перетворення. З ці поняттям учні ознайомлюються під час уроків геометрії з прикладу паралельного перенесення, повороту, осьової симметрии.

Переміщення у фізиці є більш вузьке поняття. Вектор переміщення вводиться під час розгляду руху матеріальної точки чи поступального руху твердого тіла. За такої русі всі крапки тіла рухаються однаково. Переміщенню при поступальному русі тіла в механіці відповідає паралельний перенесення в геометрії. Отже, переміщення не що інше, як геометричний вектор [pic].

Слід пам’ятати, що вектор можна визначити, не вдаючись до геометричній інтерпретації, не ладу спрямованих відрізків. Вектор в просторі при обраної системі координат визначається трьома числами (проекціями вектора), вектор на площині - двома числами. При додаванні векторів ([pic]) їх проекції складаються (s1x+s2x), при вирахуванні векторів ([pic]) їх проекції віднімаються, при множенні вектора на число [pic], проекція вектора як і збільшується на число ksx тощо. д.

На уроках фізики слід звернути увагу до поняття проекції вектора, теорему про проекціях, формулу [pic].

На початку 9 класу знає геометрії після вивчення тригонометрических функцій (sin (х), cos (x)) вводиться поняття координат вектора. Останні визначаються: вибирається координатна площину, і з початку координат відкладається вектор [pic], точка Про є початком вектора, а точка [pic] - його кінцем; координатами вектора називається координати його конца.

У курсі геометрії вводиться формули, котрі пов’язують координати вектора з його модулем і кутом, який вектор становить з позитивним напрямом осі абсцис: [pic].

На уроках вивчають скалярне твір векторів (з прикладу роботи). Коли введена формула [pic], слід звернути увагу учнів на те що неї входять модулі двох величин.

Для фізиків важливий розподільний закон [pic], оскільки знання його дозволяє: зробити важливий висновок у тому, робота результуючої сили дорівнює сумі робіт складових сил.

За позитивного рішення векторних рівнянь поруч із графічним методом використовується метод проекцій (координатний). Розглянемо використання цього методу під час вирішення завдання [8]: Завдання 1: Конічний маятник масою m обертається горизонтальної площині. Знайти кутову швидкість обертання і сила натягу нитки, якщо її довжина l, а кут, і його становить з вертикаллю, дорівнює ?. Рішення: на маятник діє дві сили — гравітація [pic] і сила пружності нитки [pic] (див. рис. 2.3) По II закону Ньютона: [pic] Рис 2.3 Від векторної форми записи час торкнутися рівнянням в проекціях на осі координат:

[pic]. Висловивши проекції векторів через модулі і до уваги, що [pic] имеем:

[pic] з рівняння (2) получим:

[pic] враховуючи, що [pic], і підставляючи в рівняння (1) знайдене значення [pic], обчислимо кутову скорость:

[pic].

§ 2.2. Векторна величина у неповній середній школе.

Велике місце у шкільному курсі фізиці займають векторні величини. Поняття векторної величини був із поняттям вектора, але з тотожний йому. Векторна величина характеризує якесь властивість тіла, явища, процесу, існуючі реально; їх можна виміряти. Поняття «вимір вектора» не существует.

Фізика оперує векторными величинами, які задаються зазначенням розміру й напрями у просторі. Тому спрямований відрізок є зручним наочним зображенням векторної величини. Операцію побудови спрямованого відрізка MN, котрій [pic] дорівнює [pic], може бути відкладанням будь-якої векторної величини [pic] від точки М [7].

При визначенні багатьох фізичних величин (і навіть при записах деяких законів) підкреслюється і векторний характер, тоді як розрахунок про чисельні значень цих величин виконується в скалярной формі. У цьому сенсі виникла потреба роз’яснення учням основних прийомів і керував переходу від рівнянь, записаних в векторної формі, до рівнянням в скалярной форме.

Перші труднощі виникають під час запису рівняння кінематики прямолінійного равнопеременного руху. І тут [9] на вирішення основної мети механіки досить оперувати двома рівняннями: рівнянням для миттєвою скорости.

[pic] і рівнянням для координаты.

[pic], де х0 — координата початковій точки, V0x і ax — проекції векторів [pic] на вісь Х, яка паралельна траєкторії движения.

Аби вирішити багатьох завдань досить знати лише чисельна значення миттєвою швидкості, обумовлений з відповідного рівняння в скалярной формі. Треба лише рівняння миттєвою швидкості записати його проекції на вісь x, т. е.

[pic].

Отже, основне завдання механіки вирішується питання з допомогою двох незалежних уравнений:

[pic].

[pic].

Якщо початок координат збігаються з початковій точкою руху рівняння спрощуються і приймають вид:

[pic].

[pic].

Крім рівняння координати вводиться також формула для обчислення шляху (шлях — скалярная величина, рівна довжині траектории):

[pic].

Чітке уявлення про величинах, які входять у рівняння миттєвою швидкості і координати, і про їхніх змінах з часом складається в учнів при вычерчивании графиков.

На малюнку 2.4 показано зміни проекцій векторів [pic], і навіть координати x тіла, кинутого вертикально вверх.

Рис 2.4 і 2.5.

На малюнку 2.5 зображені графіки зміни прискорення і швидкості тіла по модулю, і навіть графік його від шляху [7].

Рівняння динаміки спочатку також вони дають у векторної формі. І природно виникла потреба початку запис їхніх в скалярной форме.

Другий закон Ньютона учні висловлюють так [14]: [pic], де [pic] - рівнодіюча всіх сил, прикладених до тіла. У деяких навчальних посібниках це ж рівняння записується так:

[pic].

Для початку скалярной формі записи можна рекомендувати наступний премо. Припустимо, що тілу прикладені дві сили [pic] і [pic]. Тоді тілу повідомляється прискорення [pic], спрямований у бік рівнодіючої (рис. 2.6):

Рис 2.6.

Якщо спроектувати вектора [pic] і [pic] на довільну вісь x, то, враховуючи пропорційність відрізків, отсеченных на сторони кута паралельними прямими, можна записать:

[pic].

Звідки [pic], де [pic]- проекція рівнодіючої на вісь х.

З малюнка 2.6 також видно, що проекція рівнодіючої дорівнює сумі допомоги проекцій прикладених сил, то есть.

[pic], отже, [pic].

Останнє рівняння висловлює дуже важливе слідство: сума проекцій сил, прикладених до тіла, за якою осі дорівнює твору маси тіла на проекцію прискорення із цієї оси.

У практиці середньої школи зустрічаються фізичні завдання, які зводяться до пошуку рішень системи рівнянь, у тому числі одні є рівняння динаміки, інші - кінематики. Якщо завданню розглядається равноускоренное рух, її рішення залежить від того, проекції чи модулі векторів входить у рівняння кінематики. Якщо ж у завданню розглядається равнозамедленное рух, необхідно попередньо висловити все рівняння системи через однорідні величини, тобто модулі відповідних векторів. І тут формула швидкості [pic] має вид [pic], формула шляху [pic] буде, а формула [pic] виявиться так [pic].

Недотримання цього правила часто призводить до помилковим рішенням. Розглянемо на прикладі наступній завдання (завдання № 4 з упр. 17 підручника для 9 класса):

«Ковзанярем, маса якого дорівнює 50 кг, після розгону ковзає по льоду, пройшовши до зупинки 40 м. Сила тертя постійна і дорівнює 10 М. Скільки часу триває гальмування?» рис 2.7.

Виконавши креслення, звертаємо увагу учнів те що, що ковзаняреві прикладені три сили: тяжкість [pic], сила реакції [pic] (спрямована нормально поверхні руху ковзаняра) і сила опору [pic]. Розглянемо проекції цих сил на вертикальну вісь y і запишемо відповідне рівняння динамики:

[pic], оскільки [pic] оскільки [pic], то [pic].

Тим більше що для проекцій на вісь x рівняння динаміки має вид:

[pic] звідки (оскільки [pic] і [pic]) получим:

[pic], чи [pic] (де [pic] і [pic] - модулі векторів [pic] і [pic]).

Потрібну величину — час — можна висунути зі рівнянь кинематики:

[pic].

Якщо тепер висловити проекції векторів через їх модулі, то получим:

[pic].

Звідки знаходимо, що [pic], чи [pic]. Оскільки [pic], то [pic].

Зазвичай учні надходять з іншого: вони записують рівняння відповідно до підручника так:

[pic].

Звідки отримують [pic] чи [pic]. Якщо заздалегідь ухилитися роз’яснень, то учні вважають, що величини, що входять до формули, — модулі відповідних векторів і тоді знак мінус викликає в них подив. Якщо ж зробити подальше перетворення і підставити до останньої формулу [pic], то вийти [pic].

Цей результат викликає в школярів ще більший невміння, тому що їм незрозуміло, як позбутися знака минус.

У цьому завданню легко знайти вихід зі скрутного становища. Проте на більш складних завданнях годі й помітити цього й отримати неправильний ответ.

Тому є сенс першому етапі рішення з динаміці розглядати лише випадки равноускоренного руху тіл, та був, після придбання учнями міцних знань навичок, обережно можливість перейти до аналізові досягнень і рішенню завдань на равнозамедленное рух. Глава 3. розвиток поняття функції в шкільному курсі физике.

§ 3.1. Функція як найважливіше ланка межпредметных связей.

У загальній системі теоретичних знань учнів з фізики та математиці в середньої школи велике його місце займає поняття «функція». Вона має пізнавальне світоглядний значення і відіграє значної ролі в реалізації межпредметных зв’язків [13].

Функція одна із основних понять математики, виражають залежність одних змінних величин з інших. Як і інші поняття математики, воно склалося не відразу, а минуло довгий шлях розвитку, спираючись на початку подання про перемінної величині, та був на поняття теорії множеств.

Трактування функції як залежності одних змінних величин з інших вводиться так. Якщо величини x і y пов’язані отже кожному значенням x відповідає певне значення y, то y називають функцією аргументу х.

Співвідношення між x і y записують так: [pic]. Якщо зв’язок між x і y така, що одному й тому значенням x відповідає кілька значень y, те в називають багатозначній функцією аргументу х.

Інакше кажучи, це можна зробити сформулювати так [11], щоб поставити функцію [pic], слід зазначити: 1) безліч значень Х, яке може приймати x (область завдання функції); 2) безліч значень Y, що може приймати в (область значення функції); 3) правило, по якому значення x з Х співвідносяться зі значеннями у з Y. У фізиці частіше всього правило віднесення значенням x відповідних значень у задається формулою, встановлює, які обчислювальні операції треба зробити над x, щоб отримати у.

Функція [pic] іноді задається своїм графіком, ті є безліччю точок x, у — площині, що має x належить області завдання функції, а [pic].

Розвиток математики XIX-XX ст. призвело до необхідності подальшого узагальнення поняття функції. Воно полягала, з одного боку, у перенесенні цього поняття з змінних дійсних чисел на перемінні об'єкти будь-який природи, з іншого боку, у визначенні поняття «функція» без згадування про її аналітичному зображенні. Таке визначення функції можна було завдяки розвитку теорії множеств.

Поняття «безліч» можна уявити [10] як сукупність деяких об'єктів, об'єднаних між собою по якомусь ознакою. Важливим питанням, що виникли стосовно безлічам, було питання про їхнє кількісному порівнянні між собою. Можливість порівняльної оцінки множин спирається на поняття взаємно однозначного відповідності між двома множинами [11]. Якщо кожному елементу безлічі Х поставлене відповідність з будь-якого правила чи закону певний певний елемент безлічі Y і навіть кожен елемент безлічі Y виявляється поставленим у відповідність одному і лише елементу безлічі Х, то кажуть, що множинами Х і Y встановлено взаємно однозначне соответствие.

Загальне визначення однозначної функції можна сформулювати наступним чином: нехай Проте й У — два безлічі, що складаються з елементів будь-який природи, і М — безліч упорядкованих пар[pic], таке, кожен елемент x, приналежний, А [pic], входить у один, і тільки один пару з М; тоді М задає на, А функцію [pic] [11]. Безліч, А називають областю визначення функції [pic], а безліч У — областю значення цієї функции.

Поняття функції грає у фізиці винятково важливу роль. Фактично будь-який фізичний закон буде лише тоді вважається чітко сформульований, коли йому підпорядкована математична форма, точніше — коли він записаний у вигляді деякою функціональної залежності між фізичними величинами.

Важливо враховуватиме й інше. Не всяка формула, котра зв’язує фізичні величини, висловлює причинно-наслідковий залежність з-поміж них. Нерідко аналітична запис відбиває тільки певне відповідність між фізичними величинами. Прикладами можуть бути формули до розрахунку щільності твердих тіл ([pic]), удільної теплоти плавлення ([pic]). На підставі, наприклад, першої формули можна, начебто, сказати, що [pic] при [pic], але таке (математично правильне) висловлювання не так з фізичної точки зрения.

Функціональне відповідність, що пов’язує тиск Р і обсяг V ідеального газу при постійної температурі (закон Бойля — Мариотта), записується так: [pic].

При изотермическом процесі причиною зміни тиску ідеального газу служить зміна обсягу, і навпаки. Причинно-наслідковий зв’язок між фізичними величинами тих і аналогічних випадків назвемо взаимной.

§ 3.2. Формування фізико-математичних понять: похідна, первообразная і інтеграл в школе.

Як може реалізуватися межпредметные зв’язку фізиків і математиків при формуванні таких понять, як функція, величина, похідна, первообразная і інтеграл. Причини, що спонукали повернеться цього питання такі. По-перше, пізніше вивчення у курсі математики названих понять утрудняє викладання, наприклад, механіки знає фізики. По-друге, вивченню всього курсу фізики перешкоджає недостатнє використання математичного апарату, що відбувається або через пізнього його формування в учнів, або через брак узгодженості дій викладачів фізиків і математиків використання загальних физикоматематичних понятий.

Вихід із ситуації полягає у спільному формуванні у учнів понять математичного аналізу, у курсі фізиків і математиків. Саме за паралельному вивченні основ механіки і засад математичного аналізу відкриваються найбільші змогу формування як фізичних понять — миттєва швидкість, миттєва прискорення, переміщення, роботу і т. буд., і математичних — похідна, первообразная і интеграл.

За такою методиці реалізація межпредметных зв’язків перевагу слід віддати скоріше наочності фізики, ніж суворості математичних доказів. Тому на згадуваній уроках математики, наприклад, похідну суму вводити з допомогою закону складання швидкостей; при виведення формули похідною функції, заснованому на використанні на індукції, математичні викладки підтверджуються прикладами з фізики. Розгляд фізичного прикладу — рух тіла, кинутого вертикально вгору — полегшує завдання формування понять зростаючій і зменшення функцій, дозволяє умотивовано запровадити поняття другий похідною і основі отримати правило визначення опуклості графіка. Що ж до понять «первообразная» (невизначений інтеграл) і «інтеграл» (певний інтеграл), їх формування є доцільним із широкою використанням фізичних прикладів, починаючи зі своїми визначення, отримання основного властивості первообразной і інтеграла і закінчуючи правилами інтегрування багаточлена [14].

Для курсу фізики знання похідною і інтеграла відкриває в плані змозі суворого визначення роду фізичних величин: точної записи другого закону Ньютона і проекту закону електромагнітної індукції; отримання формули роботи сила тяжіння в сферически симетричному полі з наступним виведенням другої космічної швидкості; ЭДС індукції, виникає на тлі під час обертання у магнітному полі; докази інваріантності дії сил щодо інерціальних систем відліку; спрощення роботи з графіками; і, нарешті, розгляду видів рівноваги тіл лише з позицій дії сил, але й енергетичної погляду. Знання учнями похідною і інтеграла дозволяє виробити вони загальний підхід до визначенню фізичних величин й розв’язання графічних завдань фізичного содержания.

Для цього він можна, наприклад, використовувати алгоритмічні схеми, є загальними визначення математичних і функціональних фізичних залежностей. Так схема загального підходи до визначенню фізичних понять з допомогою похідною то, можливо наступній [12]:

1. Переконавшись щодо можливості застосування поняття похідною, записати функціональну залежність як [pic].

2. Знайти ставлення збільшення функції до збільшенню аргументу, тобто середню швидкість зміни функції [pic].

3. Здійснити граничний перехід над функцією [pic] при условии.

[pic], записавши выражение:

[pic].

4. Сформулювати визначення фізичної величини за схемою: назва фізичного поняття, що визначається як похідна від даної функції; назва аргумента.

Для визначення фізичного поняття з допомогою інтеграла можна обрати таку схему дії [14]:

1. В можливість застосування поняття «інтеграл» у цій ситуації: приблизне значення шуканої фізичної величини то, можливо представлена як сума висловів [pic], де [pic] - деяке середнє функції на проміжку [pic]; графічно ця сума має відповідати значенням площі східчастої постаті, а при [pic] площа повинна зводиться на площу криволінійної трапеции.

2. Записати потрібну фізичну величину як [pic].

3. Сформулювати: визначення знайденою фізичної величини, обумовленою як інтеграл від даної функції; назва функції; назва аргумента.

Найчастіше схема записи інтеграла може бути іншої. Оскільки інтегрування — це дію, зворотне диференціюванню, застосуємо наступний порядок действий:

1. Записати похідну шуканої функції відповідному аргументу, наприклад — [pic].

2. Визначити функцію, від якої був знайдено похідна, тобто первообразную [pic].

3. Знайти зміна шуканої функції при відповідних значеннях аргумента:[pic] і [pic], тобто інтеграл [pic], після чого сформулювати визначення фізичної величини (див. вище пункт.

3).

Переваги, що дає знання похідною і інтеграла з вивчення курсу фізики о 9-й — 11 класах, можна отримати тільки внаслідок співпраці над формуванням понять математичного аналізу уроках фізиків і математиків. На малюнку 3.1 наводиться схема формування понять похідна, первообразная і інтеграл під час уроків фізиків і математиків [13].

Рис 3.1.

За позитивного рішення запропонованих завдань використовуються визначення похідною і первообразной, тобто понять які розділ вищої математики, званому математичним аналізом і досліджуваному у шкільництві [15]: Завдання 1. Определите, у якому співвідношенні між внутрішнім і зовнішніх опором електричної ланцюга корисна потужність має максимальне значення. Рішення: корисна потужність, выделяющаяся на резисторе R, згідно із законом Джоуля — ленца равна:

[pic] де [pic] - сила струму, обумовлена згідно із законом Ома для повної ланцюга. Вочевидь, що [pic] при [pic] (коротке замикання) і за [pic] (ланцюг розімкнута). Досліджуємо, у якому співвідношенні між опорами r і R корисна потужність максимальна. Отже завдання звелася з дослідженню функції [pic] на екстремум. Пригадаємо умови экстремума. Побудувати графік залежності корисною потужності від R:

1. Необхідна умова экстремума: якщо [pic] - точку екстремуму дифференцируемой функції [pic] на интервале.

[pic], то [pic] (теорема Ферма).

2. Досить значного умова экстремума: якщо функція [pic] безупинна у точці [pic], у лівій півкола цієї точки має позитивну похідну, а правої - негативну, то [pic] - точка максимуму функції [pic]. Аналогічно, якщо переході через точку [pic] похідна змінює свого знака з «-» на «+», то [pic] - точка мінімуму функції. Обчислимо производную:

[pic].

Отже, потужність [pic] сягає максимуму при [pic], оскільки похідна тут наближається до нуля і навіть змінює знак. Максимум у цій точці найбільший значенням функції на сюжеті, який нас інтервалі, оскільки це єдиний екстремум. Візьмемо другу производную:

[pic].

Вочевидь, що з [pic] є точка перегину. Побудуємо графік функції, використовуючи всю отриману информацию:

Рис 3.2.

Задача 2: покажемо, що діюча (ефективне) значення сили струму у ланцюзі одно [pic]. Рішення: чинне значення сили змінного струму — це значення сили такого постійного струму, при протікання що його резисторе протягом одного періоду виділяється стільки ж теплоти, що й за протікання даного змінного струму. Нехай перемінний струм змінюється по синусоидальному закону:

[pic], де [pic] - кругова частота, тоді [pic].

Використовуючи тотожність: [pic].

Отже :[pic].

Вочевидь, що останні складова одно нулю. За визначенням це ж кількість теплоти [pic], в такий спосіб [pic], звідки [pic].

Заключение

:

Аналіз науково-методичних публікацій з методиці викладання фізики в середньої школи показав, що у вона найчастіше запропоновані підходи до навчанні фізики є традиційними, спрямованими на засвоєння фізичних понять і закономірностей, певних програмою. Оскільки об'єм і зміст навчального матеріалу, що є основою сучасного освіти великі, вони можуть бути засвоєно учнями лише у системному единстве.

У загальноосвітньої школі вивчення математики природних дисциплін відбувається паралельно, отже, математика часто використовують у фізики й в певній мері визначає хід фізичного освіти. Викладання фізиків і математиків треба будувати на взаємній використанні елементів математики курсі фізики та фізичних уявлень щодо алгебри і міст початку аналізу. Це рішенню трьох головних дидактичних задач:

1. Підвищення науковості послідовності навчальної информации;

2. Стимулюванню пізнавальних інтересів і активної відносини школярів до засвоєння знань і як наслідок прискорення їх розумового развития;

3. Формування у учнів наукового мировоззрения.

Математичний апарат, використовуваний під час уроків фізики необхідно попередньо накинути у відповідність до фундаментальними фактами, поняттями і чи теоріями, які у навчальної інформації курсу физики.

1. Методика навчання фізиці у шкільництві до шкіл СРСР і НДР, під ред. Зубова У. Р., Разумовського У. Р., Вюншмана М., Либерса.

До. — М., Просвітництво, 1978.

2. Морозова Про. А., Активне використання понять і методів математичного аналізу, у процесі викладання темы.

«Електромагнітні коливання», Дипл. робота, Кемерово, КемГУ,.

Кафедра загальної фізики, 1995.

3. Іванов А. І., Про взаємозв'язок шкільних курсів фізиків і математиків щодо величин, — «Фізика у шкільництві», 1997,.

№ 7, стор. 48.

4. Кожекина Т. У., Взаємозв'язок навчання фізиці та математиці в одинадцятирічної школі, — «Фізика у шкільництві», 1987, № 5, стр.

65.

5. Тамашев Б.І., Деякі запитання зв’язок між шкільними курсами фізиків і математиків, — «Фізика у шкільництві», 1982, № 2, стор. 54.

6. Кожекина Т. У., Никіфоров Р. Р., Шляхи реалізації зв’язки й з математикою в викладанні фізики, — «Фізики у шкільництві», 1982,.

№ 3, стор. 38.

7. Лернер Я. Ф., Векторні величини знає механіці середньої школи, — «Фізика у шкільництві», 1971, № 2, стор. 36.

8. Фурсов У. До., Окрестіна І. А. Конкретизація даних про вектори в VIII класі, — «Фізика у шкільництві», 1977, № 4, стр.

54.

9. Урвачев Л. П., Эвинчик Еге. Є., Запровадження поняття вектора і із векторами щодо механіки і математики середньої школи, — «Фізика у шкільництві», 1977, № 5, стор. 40.

10. Кожекина Т. У., Поняття функції в шкільному курсі фізики, ;

«Фізика у шкільництві», 1981, № 1, стор. 39.

11. Пінський А. А., До формування поняття «функція» у шкільництві, ;

«Фізика в школе», 1977, № 2,стр. 42.

12. Синців А. З., Про використання поняття похідною знає фізики середньої школи, — «Фізика у шкільництві», 1976, № 4, стор. 37.

13. Коробів У. А., Досвід застосування математики викладанні фізики, — «Фізика у шкільництві», 1991, № 4, стор. 23.

14. Пінський А. А., Самойлова Т. З., Фірсов У. У., Формування у учнів загальних фізико-математичних понять, — «Фізика у шкільництві», 1986, № 2, стор. 50.

15. Парфентьева М. А., Липкин Р. І., Використання елементів математичного аналізу, — «Фізика», 2000, № 3, стор. 9.