Види доказів

содержание ПРяМОЕ І НЕПРЯМЕ ДОКАЗ 3 Пряме доказ 4 Непряме доказ 5 Наслідки, суперечать фактам 7 Внутрішньо суперечливі слідства 7 Розділове доказ 9 Укладання 11 ЛІТЕРАТУРА 12.

Пряме і непрямий доказательство.

Німецький філософ ХІХ ст. А. Шопенгауер вважав математику досить цікавою наукою, але з має ніяких додатків, зокрема й у фізиці. Навіть відкидав саму техніку суворих математичних доказів. Шопенгауер називав їх мишоловками і наводив він на як приклад доказ відомої теореми Піфагора. Воно є, звісно, точним; не може злічити його хибним. Але він вона цілком штучний спосіб міркування. Кожен крок його переконливий, проте наприкінці докази виникає відчуття, що ви потрапили до мишоловку. Математик змушує вас допустити справедливість теореми, але отримуєте ніякого реального розуміння. Це саме, коли б вас провели лабіринтом. Ви нарешті виходите з лабіринту і кажете собі: «Так, вийшов, але з знаю, як очутился».

Позиція Шопенгауера, звісно, курйоз, проте у ній є момент, вартий уваги. Потрібно вміти простежити кожен крок докази. Інакше його частину втратять зв’язку, і це будь-якої миті може розсипатися, як сірникова хатинка. Проте важливо усвідомити доказ загалом, як єдину конструкцію, кожна частину якого необхідна своєму місці. Саме такого цілісного розуміння бракувало, цілком імовірно, Шопенгауэру. У результаті загальн-те просте доказ здалося йому блуканням в лабіринті: кожен крок шляху ясний, але загальна лінія руху покрита мраком.

Доказ, не зрозуміле як єдине ціле, нічого не переконує. Навіть якщо його вивчити його напам’ять, пропозицію за пропозицією, до наявного знання предмета це не додасть. Стежити за доказом і тільки переконуватися у правильності кожного наступного кроку — це, за словами французького математика А. Пуанкаре, рівносильне такому спостереженню за грою в шахи, коли помічаєш тільки те, кожен хід підпорядкований правилам игры.

Мінімальна вимога — таке розуміння логічного виведення як цілеспрямованої процедури. Лише цього разі досягається интуитивная ясність те, що ми делаем.

«Я примушений зізнатися, — зазначив одного разу Пуанкаре, — що позитивно неспроможний зробити безпомилково складання. Моя пам’ять не погана; але щоб стати хорошим гравцем у шахи, вона була б недостатньою. Чому ж Україні вона змінює мені складних математичних міркуваннях, у яких заплуталися б більшість шахових гравців? Це відбувається, очевидно, оскільки у тому випадку пам’ять моя іде загальним ходом міркування. Математичне доказ не є просте зчеплення умовиводів: це умовиводи, які працюють у певному порядку; і порядок, у якому розташовані ці елементи. Якщо в мене є сантимент… цього близько, через що відразу можу обійняти всю сукупність міркувань, мені вже нічого боятися забути будь-якої елемент; кожен із них сама собі займе своє место…».

Те, що створює, за словами Пуанкаре, «єдність докази», можна у вигляді загальної схеми, що охоплює основні його кроки, яка втілює у собі загальний принцип або його підсумкову структуру. Саме таке схема залишається у пам’яті, коли забуваються подробиці докази. З погляду спільного прямування думки, всі докази поділяються на прямі і косвенные.

Прямое доказательство.

При прямому доказі завдання у цьому, щоб підшукати такі переконливішими арґументами, з яких за логічним правилам виходить тезис.

Наприклад, потрібно довести, сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. З яких тверджень можна було вивести йому цю тезу? Відзначаємо, що діагональ ділить чотирикутник на два трикутника. Отже, сума його кутів дорівнює сумі кутів двох трикутників. Відомо, сума кутів трикутника становить 180°. З таких положень виводимо, сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.

У побудові прямого докази можна назвати два пов’язаних між собою етапу: пошук тих, визнаних обгрунтованими тверджень, які спроможні перебувати переконливими аргументами для доказуваного становища; встановлення логічного зв’язок між знайденими аргументами і тезою. Нерідко перший етап вважається підготовчим й під доказом розуміється дедукція, котра зв’язує підібрані аргументи і доказуваний тезис.

Ще приклад. Потрібно довести, що космічні кораблі підпорядковуються дії законів небесної механіки. Відомо, що це закони універсальні: їм підпорядковуються все тіла у різноманітних точках космічного простору. Вочевидь також, що космічний корабель є космічне тіло. Відзначивши це, будуємо відповідне дедуктивное умовивід. Воно є доказом аналізованого утверждения.

Косвенное доказательство.

Непряме доказ встановлює справедливість тези тим, що розкриває хибність протилежного йому припущення, антитезиса.

Як із іронією помічає американський математик Д. Пойа, «непряме доказ має деяке схожість із надувательским прийомом політикана, підтримує свого кандидата тим, що опорочує репутацію кандидата інший партии».

У непрямому доказі міркування відбувається як б манівцем. Замість Прямо відшукувати аргументи виведення їх доказуваного становища, формулюється антитезис, заперечення цього становища. Далі тим чи іншим способом показується неспроможність антитезису. За законом виключеного третього, якщо одна з суперечать одна одній тверджень помилково, друге має бути вірним. Антитезис помилковий, отже, теза є верным.

Оскільки непряме доказ використовує заперечення доказуваного становища, є, кажуть, доказом від противного.

Припустимо, потрібно побудувати непряме доказ такого дуже тривіального тези: «Квадрат перестав бути окружністю». Ставиться антитезис: «Квадрат є окружність». Необхідно показати неправдивість цього затвердження. Для цього він виводимо потім із нього слідства. Коли б одна з них хибним, це означатиме, як і саме твердження, з якого виведено слідство, також брехливо. Неправильним є, зокрема, таке слідство: у квадрата немає кутів. Оскільки антитезис хибна, вихідний теза може бути истинным.

Інший приклад. Лікар, переконуючи пацієнта, що не хворий грипом, розмірковує так. Якби справді був грип, були б характерні для нього симптоми: біль голови, підвищена температура тощо. І нічого подібного немає. Отже, немає і гриппа.

Це ж таки непряме доказ. Замість прямого обгрунтування тези висувається антитезис, що з пацієнта справді грип. З антитезису виводяться слідства, але де вони спростовуються об'єктивними даними. Це означає, що припущення про грип не так. Звідси випливає, що теза «Грипу немає» истинен.

Докази від протилежного звичні в міркуваннях, особливо у суперечці. При вмілому застосуванні можуть мати особливою убедительностью.

Отже, хід думок в непрямому доказі залежить від того, що замість обгрунтування справедливості тези прагнуть показати неспроможність його заперечення. Залежно від цього, як вирі-шується останнє завдання, можна виокремити декілька різновидів непрямого доказательства.

Следствия, суперечать фактам.

Найчастіше неправдивість антитезису вдасться встановити простим зіставленням що випливають із нього наслідків з фактами. Так було, в частковості, залежить від прикладі з гриппом.

Друг винахідника паровий машини Д. Уатта шотландський учений Д. Блек впровадив поняття про прихованої теплоту плавлення і випаровування, важливе розуміння роботи такий машини. Блек, спостерігаючи звичне явище — танення снігу наприкінці зими, розмірковував так: якби сніг, скопившийся за зиму, танув відразу, як лише температура повітря стала вище нуля, то неминучі було б спустошливі повені, а раз цього немає, отже, на танення снігу має бути витрачено певну кількість теплоти. Її Блек і назвав скрытой.

Це — непряме доказ. Слідство антитезису, отже, і він сам, спростовується посиланням на очевидне обставина: наприкінці зими повеней зазвичай немає, сніг тане постепенно.

Внутренне суперечливі следствия.

По логічному закону непротиріччя з двох суперечать друг другу тверджень бреше. Тому, тоді як числі наслідків якогоабо становища зустрілися й затвердження Кабміном і заперечення однієї й тієї ж, можна відразу ж потрапити укласти, що це положення ложно.

Наприклад, становище «Квадрат — це окружність» брехливо, оскільки з нього виводиться, а саме, що квадрат має кути, і те що в нього немає углов.

Хибним буде також положення, з яких виводиться внутрішньо суперечливе висловлювання чи висловлювання про тотожність затвердження, ідучи отрицания.

Одне з прийомів непрямого докази — виведення з антитезису логічного протиріччя. Якщо антитезис містить протиріччя, він вочевидь помилковий. Тоді його заперечення — теза докази — верно.

Гарним прикладом такого міркування служить відоме доказ Евкліда, що кілька простих чисел бесконечен.

Прості — це натуральні числа більше одиниці, діляться лише з себе і одиницю. Прості числа — це хіба що «первинні елементи», на котрі всі цілі числа (більше 1) може бути розкладені. Природно припустити, що кілька простих чисел:

2, 3, 5, 7, 11,13,… — нескінченний. Аби довести цієї тези скажімо, що тут інше, й подивимося, чого веде таке припущення. Якщо ряд простих чисел конечен, існує останнє просте число низки — А. Утворюємо далі інше число: У = (2 • 3 • 5 •… • А) + 1. Кількість У більше Тож Не то, можливо простим числом. Отже, У має ділитися на просте число. Але якщо У розділити будь-яку з чисел 2, 3, 5, … Бо ж у залишку вийде 1. Отже, Не ділиться ні на із зазначених простих чисел і є, в такий спосіб, простим. У результаті, з припущення, що є останнє просте число, домовилися до протиріччю: існує число це й просте, і що є простим. Це означає, що зроблене припущення брехливо і протилежне твердження: ряд простих чисел бесконечен.

У цьому вся непрямому доказі з антитезису виводиться логічне протиріччя, аж говорить про помилковості антитезису і про істинності тези. Такі докази широко використовують у математике.

Якщо мають на увазі лише не та частина подібних доказів, у якій показується хибність будь-якого припущення, їх називають по традиції приведенням до абсурду. Хибність припущення розкривається тим, що потім із нього виводиться відверта нелепость.

Є ще одне різновид непрямого докази, коли прямо годі й говорити шукати хибні слідства. Річ у тім, що з докази затвердження досить показати, що його логічно випливає зі свого власного отрицания.

Цей прийом спирається на закон Клавия, який провіщає, що з помилковості затвердження випливає його істинність, то твердження истинно.

Приміром, коли з припущення, що двічі по два одно п’яти, виведено, що тут інше, цим доведено, що вдруге два не дорівнює пяти.

За такою схемою розмірковував ще Евклид у своїй «Геометрії». Цю ж схему використовував якось давньогрецький філософ Демокріт у спорі з іншим давньогрецьким філософом, софістом Протагором. Протагор стверджував, що істинно усе те, що комусь спадає на думку. А ще Демокріт відповів, що з положення «Кожне висловлювання істинно» випливає істинність та її заперечення «Не все висловлювання істинними». А отже, це заперечення, а чи не становище Протагора насправді истинно.

Разделительное доказательство.

В усіх життєвих розглянутих непрямих доказах висуваються дві альтернативи: теза і антитезис. Потім показується неправдивість останнього, в результаті залишається тільки тезис.

Можна не обмежувати число прийнятих до уваги можливостей лише двома. Це спричинить різке до так званому разделительному непрямому доведенню, чи доведенню через виняток. Воно застосовується у тих випадках, коли відомо, що доказуваний теза входить у альтернатив, повністю вичерпних всіх можливих альтернативи даної области.

Наприклад, потрібно довести, що одне величина дорівнює інший. Зрозуміло, що можливі лише три варіанта: чи дві величини рівні, чи перша більше другий, чи, нарешті, друга більше першої. Якщо вдалося показати, що одне з величин не перевершує іншу, два варіанта будуть відкинуті і залишиться лише третій: величини равны.

Доказ йде з простий схемою: одна одною виключаються все можливості, крім однієї, що є доказуваним тезою. У стандартних непрямих доказах альтернативи — теза і антитезис — виключають одне одного у силу законів логіки. У разделительном доказі взаємна несумісність можливостей та те, що ними вичерпуються все мислимі альтернативи, визначаються не логічними, а фактичними обставинами. Звідси звичайна помилка розділювальних доказів: розглядаються в усіх возможности.

З допомогою розподільного докази можна спробувати, наприклад, показати, що у Сонячну систему життя є лише з Землі. Як можливих альтернатив висунемо затвердження, що таке життя є Меркурії, Венері, Землі т.д., перераховуючи все планети Сонячної системи. Спростовуючи потім вони альтернативи, крім однієї — промовляючої про наявність життя Землі, одержимо доказ вихідного утверждения.

Слід зазначити, що під час докази розглядаються і спростовуються припущення про існування життя інших планетах. Питання тому, якщо життя Землі, взагалі піднімається. Відповідь виходить у спосіб: шляхом показу те, що на жодному інший планеті немає життя. Це доказ була б, звісно, неспроможним, якби, скажімо, з’ясувалося, що, хоча в одній планеті, крім Землі, життя немає, живі істоти є одній із комет чи одній з так званих малих планет, теж входять до складу Сонячної системы.

Заключение

.

Закінчуючи балачки про непрямих доказах, звернемо увагу на їх своєрідність, котре обмежує певною мірою їх применимость.

Немає сумніву, що непряме доказ є ефективний засіб обгрунтування. Але, маючи з нею справа, змушені все час зосереджуватись не так на правильному становищі, справедливість якого необхідно обгрунтувати, але в хибних твердженнях. Самий перебіг докази у тому, що з антитезису, що є хибним, ми виводимо слідства до того часу, доки то дійдемо утвердженню, хибність якого несомненна.

1. Арно А., Ніколь П. Логіка, чи Мистецтво мислити, М: Наука, 1981. 2. Гарднер М. Нумо, здогадайся! М.: Світ, 1984. 3. Горський Д. П., Івін А.А., Никіфоров О. Л. Короткий словник за логікою. М:

Просвітництво, 1991. 4. Івін А, А. Мистецтво правильно мислити. М: Просвітництво, 1991. 5. Івін А. А, За законами логіки. М., 1983. 6. Кирилов У. І. Вправи за логікою, М, 1994. 7. Ковальски Р. Логіка у вирішенні питань, М.: Наука, 1991. 8. Поварнин З. І. Мистецтво спору. М., 1995.