Математичне моделювання реальних процесів звичайними диференціальними рівняннями

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ БЕРДЯНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Інститут фізико-математичної і технологічної освіти Кафедра математики та методики викладання математики МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ реальних процесів звичайними ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ РІВНЯННЯМИ

(Курсова робота) Бердянськ, 2012

ЗМІСТ ВСТУП РОЗДІЛ I. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ РІВНЯННЯМИ

1.1 Поняття математичного моделювання

1.2 Види математичних моделей

1.3 Основні поняття диференціальних рівнянь Висновки до розділу I

РОЗДІЛ II. ЗАСТОСУВАННЯ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ РІВНЯННЯМИ

2.1 Приклади процесів, що моделюються диференціальними рівняннями експоненціальної змінної

2.2 Рівняння гармонічних коливань Висновки до розділу II

ВИСНОВКИ СПИСОК ВИКОРАСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП Математичне моделювання — метод дослідження процесів або явищ шляхом створення математичних моделей і дослідження цих моделей.

Математичною моделлю називається сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному процесу, об'єкту або системі.

Види моделей:

Ш динамічні або статичні;

Ш детерміновані або стохастичні;

Ш неперервні, дискретні або дискретно-неперервні;

Ш лінійні чи нелінійні;

Ш з розподіленими або зосередженими параметрами;

Ш аналітичні, імітаційні чи комп’ютерні.

Адекватність визначає відповідність моделі поставленій задачі. Модель завжди відображає об'єкт-оригінал не у всіх його властивостях і функціях.

Під час розв’язування багатьох практичних задач доводиться знаходити невідому функцію з рівняння, яке містить поряд з цією невідомою функцією її похідні.

Рівняння, яке містить невідому функцію й її похідні, називається диференціальним рівнянням.

Диференціальні рівняння досить повно і просто описують виробничі процеси. Тому важливо не лише вміти їх розв’язувати, а й складати.

Коливанням називається всякий рух або зміна стану тіла, що характеризується тим чи іншим степенем повторюваності в часі значень фізичних величин, які визначають цей рух або стан тіла.

Найпростішим типом періодичних коливань є так звані гармонічні коливання — коливання, при яких значення фізичної величини змінюється з часом за законом косинуса (синуса).

Мета дослідження: описати математичне моделювання процесів диференціальними рівняннями.

Об'єкт дослідження: диференціальні рівняння.

Предмет дослідження: застосування диференціальних рівнянь.

Завдання:

1. Проаналізувати літературу з предмету дослідження.

2. Розкрити сутність математичного моделювання диференціальними рівняннями.

3. Застосування диференціальних рівнянь.

Методи дослідження:

теоретичні (аналіз літератури, систематизація і актуалізація даної теми).

РОЗДІЛ I. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ РІВНЯННЯМИ

1.1 Поняття математичного моделювання Математичне моделювання — метод дослідження процесів або явищ шляхом створення їхніх математичних моделей і дослідження цих моделей.

В основу методу покладено ідентичність форми рівнянь і однозначність співвідношень між змінними в рівняннях оригіналу і моделі, тобто, їхню аналогію. Математичні моделі досліджуються, як правило, із допомогою аналогових обчислювальних машин, цифрових обчислювальних машин, комп'ютерів.

На початку 60-их років було розроблено один із методів математичного моделювання — квазіаналогове моделювання. Цей метод полягає в дослідженні не досліджуваного явища, а явища або процесу іншої фізичної природи, яке описується співвідношеннями, еквівалентними відносно отримуваних результатів.

Математичне моделювання тією чи іншою мірою застосовують всі природничі і суспільні науки, що використовують математичний апарат для одержання спрощеного опису реальності за допомогою математичних понять. Математичне моделювання дозволяє замінити реальний об'єкт його моделлю і потім вивчати останню. Як і у разі будь-якого моделювання, математична модель не описує явище абсолютно адекватно, що залишає актуальним питання про застосовність отриманих таким шляхом даних. Математичне моделювання широко застосовується у гірництві, геології, для вивчення і аналізу процесів переробки корисних копалин [13, c.16].

Формальна класифікація моделей ґрунтується на класифікації використовуваних математичних засобів, які використовуються. Часто будується у формі дихотомій. Наприклад, один з популярних наборів дихотомій.

Ш Лінійні або нелінійні моделі;

Ш Зосереджені або розподілені системи;

Ш Детерміновані або стохастичні;

Ш Статичні або динамічні.

Існує ще декілька підходів. Разом з тим, кожна побудована модель є лінійною або нелінійною, детермінованою або стохастичною. Природно, що можливі і змішані типи: у одному відношенні зосереджені (за частиною параметрів), в іншому — розподіленні моделі і так далі.

Математична модель — система математичних співвідношень, які описують досліджуваний процес або явище. Математична модель має важливе значення для таких наук, як: економіка, екологія, соціологія, фізика, хімія, механіка, інформатика, біологія, та ін.

При одержані математичної моделі використовують загальні закони природознавства, спеціальні закони конкретних наук, результати пасивних та активних експериментів,імітаційне моделювання за допомогою ЕОМ. Математичні моделі дозволяють передбачити хід процесу, розрахувати цільову функцію (вихідні параметри процесу), керувати процесом, проектувати системи з бажаними характеристиками Для створення математичних моделей можна використовувати будь які математичні засоби — мову диференційних або інтегральних рівнянь, теорії множин, абстрактної алгебри, математичну логіку, теорії ймовірностей, графи та інші. Процес створення математичної моделі називається математичним моделюванням. Це найзагальніший та найбільш використовуваний в науці, зокрема, в кібернетиці, метод досліджень [13, c.50].

Якщо відношення задаються аналітично, то їх можна розв’язати в замкнутому вигляді (явно) відносно шуканих змінних як функції від параметрів моделі, або частково замкненому вигляді (неявно), коли шукані змінні залежать від одного або багатьох параметрів моделі. До моделей цього класу належать диференційні, інтегральні, різницеві рівняння, ймовірності моделі, моделі математичного програмування та ін.

Якщо не можна здобути точний розв’язок математичної моделі, використовуються чисельні (обчислювальні) методи або інші.

У залежності від того, якими є параметри системи та зовнішні збурення математичні моделі можуть бути детермінованими та стохастичними. Останні мають особливо важливе значення при дослідженні і проектуванні великих систем зі складними зв’язками і властивостями, які важко врахувати. Математичний опис неперервного процесу (наприклад, диференційними рівняннями) являє собою неперервну математичну модель.

Якщо ж математична модель описує стан системи тільки для дискретних значень незалежної змінної і нехтує характером процесів, які протікають у проміжках між ними, то така модель є дискретною (тут важливим є вибір кроку дискретності, від якого залежить точність опису реального об'єкта його математичної моделі). Якщо параметри об'єкта, для якого розробляють математичну модель, можна вважати незалежними від часу, то така система описується стаціонарною моделлю, характерна особливість якої - постійні коефіцієнти. У протилежному випадку математична модель є нестаціонарною [14, c.56].

При математичному моделюванні орієнтуються на моделі стандартного вигляду, які забезпечені відповідним математичним апаратом. Так фізичні процеси характеризуються просторово-часовими співвідношеннями і у загальному випадку описуються диференційними рівняннями у часткових похідних.

Важливим моментом структурування моделі є феноменологічний метод, коли субпроцеси можуть бути представлені окремими моделями, вихідні величини яких є вхідними для інших (наступних) субпроцесів. У цьому випадку математичні моделі складного процесу являє собою систему моделей (рівнянь), знайдених для кожного субпроцесу.

Для розробки математичної моделі широко використовується диференційне числення, теорія множин, матриці і графи, а також планування експерименту. Відповідно розрізняють теоретико-множинні, матричні, топологічні та поліномні математичні моделі. Приклади математичних моделей:

Ш Модель Мальтуса — закон про пропорційну залежність між швидкістю росту і розміром популяції.

Ш Система хижак-жертва (Вольтера-Лотки) — показує залежність між чисельністю хижаків та жертв.

Ш Модель оптимальної поведінки покупця — виражає вибір покупця між множиною продуктів при обмеженому бюджеті.

Ш Модель всесвіту.

Таким чином, створення кожної моделі завжди має яку-небудь мету.

Під метою розуміється кінцевий стан, при якому досліджуваний об'єкт досягає певної відповідності в часі й просторі з іншим об'єктом.

Серед основних цілей створення моделі можна виділити наступні:

Ш Гносеологічні (пізнавальні);

Ш Освітні;

Ш Управлінські;

Ш Експериментальні;

Ш Творчі (проектування).

Для досягнення поставлених цілей модель повинна мати деякі властивості, які одночасно є й критеріями оцінки якості побудови моделі.

Серед властивостей моделі можна виділити наступні:

Ш Ефективність;

Ш Універсальність;

Ш Стійкість;

Ш Змістовність;

Ш Адекватність;

Ш Обмеженість;

Ш Повнота;

Ш Динамічність.

Властивість ефективності показує, наскільки правильним було створення й використання моделі для досягнення поставленої мети. Під універсальністю моделі розуміється можливість її застосування в інших задачах і для досягнення інших цілей. Стійкість моделі означає її правильну роботу в зовнішніх умовах, що змінюються, і екстрених ситуаціях. Властивість змістовності визначає кількість функції моделі.

Серед функцій моделі виділяють описову, інтерпретаторську, пояснювальну, вимірювальну функції.

Адекватність визначає відповідність моделі поставленій задачі. Модель завжди відображає об'єкт-оригінал не у всіх його властивостях і функціях. Таким чином, модель є обмеженою. Під повнотою моделі розуміється наявність відомостей про об'єкт-оригіналі, необхідних для досягнення поставленої мети. Динамічність визначає зміна моделі із часом.

Історія моделювання визначається серединою XX століття, коли була опублікована монографія Норберта Вінера «Кібернетика або керування й зв’язок у тварині й машині».

Найважливішим у моделюванні є поняття інформації. Під інформацією можна розуміти наступне:

«Це позначення змісту отриманого із зовнішнього миру в процесі нашого пристосування до нього. При цьому процес одержання й використання інформації є процесом нашого пристосування до випадків нашого середовища й нашої життєдіяльності в цьому середовищі».

Це сукупність, відчужена від творця й усуспільнена форма знання.

Це модель, тобто спрощене неадекватне подання знань.

Приміром, інформаційною моделлю знання можна вважати текст, закріплений на матеріальному носії. При цьому інформаційна модель дозволяє відокремити коштовну інформацію від несуттєвої, вибрати аналогії серед різних видів об'єктів і вибрати як робоча гіпотеза одне з можливих рішень.

1.2 Види математичних моделей математичний моделювання диференціальний рівняння Зупинимося на одному з найбільш універсальних видів моделювання — математичному, що ставить у відповідність модельованому фізичному процесу систему математичних співвідношень, вирішення якої дозволяє отримати відповідь на питання про поведінку об'єкту без створення фізичної моделі, яка часто є дорогою і малоефективною. Отже, математичною моделлю називається сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному процесу, об'єкту або системі.

На підставі різних критеріїв класифікації, виділяють наступні види моделей [17, c. 75 — 77]:

Ш динамічні або статичні;

Ш детерміновані або стохастичні;

Ш неперервні, дискретні або дискретно-неперервні;

Ш лінійні чи нелінійні;

Ш з розподіленими або зосередженими параметрами;

Ш аналітичні, імітаційні чи комп’ютерні.

Динамічні моделі відтворюють поведінку нестаціонарних об'єктів, що змінюються у часі. Статичні моделі описують стан об'єкта у деякий момент часу. Такі моделі розробляються для стаціонарних об'єктів, зміни яких у часі не є істотними стосовно періоду розробки та використання моделі.

Детерміновані моделі використовують для опису процесів, що не містять істотної випадковості. Наприклад, поведінку більшості технічних систем можна охарактеризувати за допомогою так званих фазових змінних — фізичних величин типу потоку і потенціалу. При цьому доцільно виділити в об'єктах моделювання досить великі елементи, що розглядаються як неділимі одиниці. Закони функціонування елементів системи задаються компонентними рівняннями, що зв’язують різнорідні фазові змінні. Загальність опису процесів, що відбуваються в різних технічних системах, дозволяє виділити декілька типів елементів: — елемент розсіювання енергії; і - елементи накопичення енергії. Поєднанням цих простих елементів і джерел фазових змінних отримують еквівалентну схему технічної системи будь-якої складності і її математичну модель.

Детерміністичні моделі описують закономірності, що виявляються в одиночному, у кожнім окремо узятому елементі сукупності. Такій закономірності властива тверда механічна причинність, що конкретно визначає поводження кожної одиниці сукупності. Вона одержала назву динамічної або закономірності з твердою детермінацією. Типовими прикладами динамічних закономірностей можуть служити закони класичної механіки. У динамічних закономірностях зв’язок між причиною і наслідком може бути виражений цілком точно у вигляді конкретних математичних формул. Тут кожному наборові значень пояснюючих змінних завжди відповідає визначене значення пояснюваної змінної. Такий зв’язок називається функціональним. Детерміністична модель служить вираженням функціонального зв’язку.

Для моделювання нестаціонарних імовірнісних процесів використовують стохастичні моделі. Якщо об'єкт моделювання стаціонарний і піддається випадковим впливам, то модель називають статистичною. Наприклад, для моделювання функцій перетворення вимірювальних пристроїв досить скористатися детермінованим способом опису, тоді як для аналізу похибок, оцінки інформаційних характеристик необхідно застосувати ймовірнісно-статистичні методи.

Стохастичні моделі описують закономірності, які обумовлені одночасною дією на об'єкт багатьох факторів і які проявляються чітко тільки при масових спостереженнях. До найбільш розповсюджених методів побудови стохастичних моделей відносяться методи, об'єднані під загальною назвою — багатовимірний статистичний аналіз, зокрема — кореляційний і регресійний аналізи. Практика показує, що стохастичні моделі, одержані за допомогою кореляційного і регресійного аналізів, мають перевагу при кількісному описі причинно-наслідкових відносин в економіці і соціальній сфері в порівнянні з детерміністичними моделями. Виявлення кількісних співвідношень у вигляді регресії дає можливість краще зрозуміти природу досліджуваного явища. А це, у свою чергу, дозволяє впливати на виявлені фактори, втручатися у відповідний економічний процес з метою одержання потрібних результатів.

Неперервні моделі представляють системи з неперервними процесами, а дискретні моделі відображають поведінку систем з дискретними станами. Дискретно-неперевні моделі використовуються, коли на об'єкті виділяються обидва типи процесів.

Якщо при описі моделі використовуються лише лінійні математичні конструкції (наприклад, лінійні алгебраїчні рівняння), то модель називають лінійною, інакше — нелінійною.

Моделі з розподіленими параметрами описують просторове поширення явищ, а моделі з зосередженими параметрами нехтують просторовою складовою. Динамічні неперервні детерміновані моделі з розподіленими параметрами використовують апарат диференціальних рівнянь у частинних похідних, а з зосередженими параметрами — звичайних диференціальних рівнянь.

Для аналітичних моделей властиво те, що процеси функціонування об'єкта представляються у вигляді аналітичних математичних залежностей: алгебраїчних, диференціальних, інтегральних рівнянь або їх систем, логічних умов. Наприклад, закон Ома чи рівняння Максвелла. Дослідження аналітичних моделей можливе за допомогою методів:

Ш аналітичних;

Ш чисельних;

Ш якісних.

Аналітичні методи полягають у пошуку явних залежностей між характеристиками. Однак такі залежності можливо отримати лише для невеликої кількості простих моделей, як правило, лінійних. Інколи виконують спрощення моделей для отримання можливості вивчити хоча б загальні властивості об'єкта.

Чисельні методи дозволяють отримати розв’язок аналітичних моделей, для котрих застосування аналітичних методів неможливо або недоцільно. Розв’язок чисельними методами здійснюється для конкретних вихідних даних і має додаткову похибку.

Якісні методи дозволяють зробити певні висновки по моделі, не маючи розв’язку у явному вигляді. Наприклад, такі методи використовуються у теорії автоматичного управління для оцінки ефективності різних варіантів систем управління.

Імітаційне моделювання передбачає представлення моделі у вигляді алгоритму та комп’ютерної програми, яка дозволяє відтворити поведінку об'єкту. Імітаційні моделі розглядаються як експерименти, що проводяться на комп’ютерах, з математичними моделями, що імітують поведінку реальних об'єктів. При цьому імітуються елементарні явища, що складають процес, зі збереженням їх логічної структури та послідовності у часі, що дозволяє отримати відомості про стан системи у певний момент часу та оцінити характеристики системи. Імітаційні моделі дозволяють вирішувати більш складні задачі, ніж аналітичні. Наприклад, вони дозволяють досить легко враховувати вплив випадкових факторів [20, c.80].

Традиційно під моделюванням на комп’ютері розумілося лише імітаційне моделювання. Але завдяки розвитку графічного інтерфейсу та графічних пакетів значного поширення набуло комп’ютерне структурно-функціональне моделювання, а також розпочалося використання комп’ютера з метою концептуального моделювання, наприклад для побудови систем штучного інтелекту.

Під комп’ютерним моделюванням найчастіше розуміють: умовний образ об'єкта чи деякої системи об'єктів (або процесів), описаних за допомогою взаємозалежних комп’ютерних таблиць, схем, діаграм, графіків, малюнків, анімаційних фрагментів, гіпертекстів і т. ін., що відбивають структуру та взаємозв'язки між елементами об'єкта чи системи. Комп’ютерні моделі такого типу називають структурно-функціональними; окрему програму, сукупність програм чи програмний комплекс, що дає змогу виконанням послідовності обчислень з подальшим графічним відображенням їх результатів відтворювати (імітувати) процеси функціонування об'єкта (системи об'єктів), що функціонує під впливом різних, як правило випадкових, факторів (імітаційну модель).

Інколи застосовується комбіноване (аналітико-імітаційне) моделювання, яке полягає в тому, що об'єкт декомпозується на окремі підсистеми. Для тих підсистем, для яких це можливе, використовуються аналітичні моделі, а для інших розробляються імітаційні моделі.

Розробка моделей поєднує в собі науку і мистецтво. На жаль, немає чіткого формального алгоритму, який би дозволив побудувати модель для будь-якого об'єкту.

Моделі прогнозування. Існує множина математичних моделей, за допомогою яких вирішуються ті, або інші задачі. У всіх сферах діяльності людини важливим моментом є прогнозування наступних подій. Зараз існує більше 100 методів і методик прогнозування. Умовно їх можна розділити на фактографічні й експертні. Фактографічні методи засновані на аналізі інформації про об'єкт, а експертні - на судженнях експертів, які отримані при проведенні колективних або індивідуальних опитувань. Серед фактографічних методів можна виділити наступні:

Ш Статистичні методи.

Ш Методи аналогії.

До статистичних методів ставляться апроксимація, інтерполяція,, методи дослідження тимчасових рядів.

До методів аналогії ставляться моделі планування експерименту, а також математичної, історичної й іншої аналогії.

Серед моделей прогнозування можна виділити наступні:

Моделі апроксимації. Методи апроксимації застосовні до детермінованих і статистичних систем. Апроксимація — наближення. Вибір апроксимуючої функції пов’язаний з рішенням задачі. Для цього застосовується критерій мінімізації квадратичної помилки.

Постановка задачі.

Нехай проведено дослідів, де — вхідний параметр; - вихідний параметр.

Необхідно підібрати модель єднальну і (рис. 1.1).

Рис. 1.1.Єднальна модель і

Через точки можна провести криву, що, у свою чергу, може проходити через ці точки або перебувати поблизу даних точок.

В апроксимації для одержання параметрів моделі використовується Мнк-критерій (метод найменших квадратів). Кращою вважається та модель, для якої сума квадратів відхилень значень, від теоретичних буде мінімальною.

Для цього формується цільова функція або критерій оптимізації.

Далі треба досліджувати функцію на екстремум. Невідомими будуть коефіцієнти моделі B. Найбільше просто перебувають параметри, якщо являє собою поліномний ступеня. При цьому формується система лінійних рівнянь, порядок якої на одиницю більше степеня полінома.

У загальному випадку для знаходження параметрів формується система диференціальних рівнянь. Наприкінці формується система лінійних рівнянь, яку можна вирішувати точними методами (метод Крамера, Гауса, зворотної матриці). Коли система вирішена, тобто, знайдені параметри моделі, можна виконати прогнозування значень y [4, c.16−17].

Якщо знаходиться усередині інтервалу, то говорять про прогнозування в сьогоденні. Якщо менше, або більше, то мова йде про екстраполяцію.

Моделі інтерполяції. В інтерполяції, на відміну від апроксимації, проводиться мінімізація лінійної помилки. Також, на відміну від апроксимації, де крива стосовно точок досліду може розташовуватися будь-яким образом, а саме перебувати поблизу цих точок, або проходити через деякі з них, крива інтерполяції, або інтерполяційний поліном обов’язково проходить через всі точки кривої, які називаються вузлами.

Найбільш простий підхід до одержання інтерполяційної моделі був запропонований Лагранжем. Тому що поліном проходить через кожну досліджену точку, то потрібно скласти стільки рівнянь, скільки проведено дослідів. У лівій частині рівняння формується поліном, що проходить черезту точку. У правій частині формується вектор значень. У результаті виходить система лінійних рівнянього порядку, дечисло дослідів, а степінь інтерполяційного полінома на одиницю менше числа дослідів.

Кількість дослідів має бути більше п’яти, інакше результати інтерполяції будуть не придатні для прогнозування. Тому що метод інтерполяції вимагає проходження моделі через всі точки, то накладаються певні умови на досліджене значення. Різниціого порядку повинні бути приблизно однаково малі. Добре інтерполюються монотонні функції.

Обидва розглянутих методи відносяться до методів дослідження детермінованих моделей.

1.3 Основні поняття диференціальних рівнянь У кінці XVII — на початку XVIII століття різноманітні практичні і наукові проблеми привели до появи диференціальних рівнянь. Насамперед це були диференціальні рівняння першого порядку, інтегрування яких намагались здійснити за допомогою функцій, що виражають скінченне число алгебраїчних дій, або таких, що включають елементарні неалгебраїчні дії, наприклад оперування тригонометричними функціями.

Найбільш прості диференціальні рівняння з’явились в працях Ісаака Ньютона (1643 — 1727) і Готфріда Лейбніца (1646 — 1716), саме Лейбніцу і належить термін «диференціальне рівняння». Диференціальні рівняння мають велике прикладне значення, вони є знаряддям дослідження багатьох задач природознавства та техніки. Їх широко використовують в механіці, астрономії, фізиці, хімії, біології. Це пояснюється тим, що досить часто об'єктивні закони, яким підпорядковуються певні явища (процеси), записують у формі диференціальних рівнянь, а самі ці рівняння є засобами для кількісного вираження цих законів.

Наприклад, фізичні закони описують деякі співвідношення між величинами, що характеризують певний процес, і швидкістю змінних цих величин. Іншими словами, ці закони виражають рівностями, в яких є невідомі функції та їх похідні.

У XVIII столітті теорія диференціальних рівнянь відокремилась з математичного аналізу в самостійну математичну дисципліну. Її успіхи пов’язанні з іменами швейцарського Іоганна Бернуллі (1667 — 1748), французького математика Жозефа Лагранжа (1736 — 1813) і особливо Леонарда Ейлера (1707 — 1783).

Перший період розвитку диференціальних рівнянь був пов’язаний з успішним розв’язком деяких важливих прикладних задач, що приводять до диференціальних рівнянь, розробкою методів інтегрування різних типів диференціальних рівнянь і пошуку класів рівнянь, розв’язки яких можна подати у вигляді елементарних функцій або їх первісних. Проте дуже швидко виявилося, що інтегрованих диференціальних рівнянь зовсім небагато. Це привело до розвитку власне теорії диференціальних рівнянь, яка займається розробкою методів, що дають змогу за властивостями диференціального рівняння визначити властивості і характер його розв’язку [24, c.408].

У зв’язку з потребами практики поступово розробляються і способи наближеного інтегрування диференціальних рівнянь. Ці методи дають зручні алгоритми обчислень з ефективними оцінками точності, а сучасна обчислювальна техніка дає змогу економічно і швидко звести розв’язок кожної такої задачі до числового результату.

Під час розв’язування багатьох практичних задач доводиться знаходити невідому функцію з рівняння, яке містить поряд із цією невідомою функцією її похідні.

Рівняння, яке містить невідому функцію й її похідні, називається диференціальним рівнянням. Порядок найвищої похідної, що входить у задане диференціальне рівняння, називається його порядком.

Наприклад, рівняння являється диференціальним рівнянням другого порядку.

Якщо в рівняння входять незалежна змінна, невідома функція і її перша похідна, то таке рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо, крім цього, в рівняння входить похідна другого порядку від шуканої функції, то рівняння називається диференціальним рівнянням другого порядку тощо [22, c.402].

Диференціальним рівнянням n-го порядку називають рівність:

де — незалежна зміна; - невідома функція; - похідні невідомої функції.

Будь-яку функцію, що задовольняє диференціальному рівнянню, називають розв’язком, або інтегралом цього рівняння, а знаходження розв’язку диференціального рівняння — інтегруванням.

Наприклад, функція

є розв’язком диференціального рівняння

Оскільки

.

Розв’язком диференціального рівняння називають будь-яку функцію, яка при підстановці в рівняння перетворює його в тотожність.

Функція

є розв’язком диференціального рівняння (1):

(1)

Справді, друга похідна від функції дорівнює:

.

Підставляючи значення в рівняння

Отримаємо Аналогічно можна переконатися, що функція де і — довільні сталі, також є розв’язком даного рівняння (1).

Загальним розв’язком (загальним інтегралом) диференціального рівняння називають таку функцію, яка перетворює дане рівняння в тотожність і містить стільки незалежних довільних сталих, який порядок цього рівняння.

Процес знаходження загального розв’язку називають інтегруванням диференціального рівняння.

Розв’язок диференціального рівняння при певних, значеннях довільних сталих називається частинним розв’язком цього рівняння.

Так, у розглянутому вище прикладі

розв’язок — загальний, а розв’язок — частинний.

На практиці здебільшого частинний розв’язок диференціальних рівнянь знаходять із загального розв’язку, виходячи із заданих умов, яким має задовольняти окремий розв’язок даного диференціального рівняння. Ці умови називають початковими умовами.

Задача відшукання частинного розв’язку даного диференціального рівняння за початковими умовами називається задачею Коші.

Приклад. Знайти окремий розв’язок диференціального рівняння

(2)

який задовольняє початковим умовам:

якщо загальний розв’язок даного рівняння задано у вигляді:

(3)

Розв’язування. Підставивши в загальний розв’язок (3) початкові умови, дістанемо значення довільної сталої

Звідси Отже, шуканий окремий розв’язок диференціального рівняння (2) для заданих початкових умовах є функція, задана рівнянням Дамо геометричну інтерпретацію розв’язку рівняння (2).

Оскільки кожен окремий розв’язок даного рівняння є деякою функцією однієї змінної, то в прямокутній системі координат на площині цьому розв’язку відповідає деяка лінія. Ця лінія називається інтегральною кривою даного диференціального рівняння [24, c.403].

Загальному розв’язку диференціального рівняння відповідає множина всіх інтегральних кривих цього рівняння, яка називається сім'єю інтегральних кривих.

Ми встановили, що окремим розв’язком рівняння при початкових умовах

і

є крива

а загальним розв’язком — сім'я інтегральних кривих

.

У системі координат на площині загальний розв’язок задає множина концентричних кіл з центром у початку координат. Початкові умови означають, що серед цієї множини кіл требо взяти те коло, яке проходить через точку з координатами

.

Це коло задається рівнянням

.

Багато фізичних законів мають вигляд диференціальних рівнянь. Інтегрування цих рівнянь — складна справа. Одні диференціальні рівняння вдається розв’язати в явному вигляді, тобто записати шукану функцію у вигляді формули. Для інших ще й досі не знайдено зручних формул. У цих випадках знаходять наближені розв’язки за допомогою комп’ютерних програм .

Диференціальні рівняння досить повно і просто описують виробничі процеси. Тому важливо не лише вміти їх розв’язувати, а й складати.

Висновки до розділу I

Математичне моделювання — метод дослідження процесів або явищ шляхом створення їхніх математичних моделей і дослідження цих моделей.

Математичною моделлю називається сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному процесу, об'єкту або системі.

Види моделей:

Ш динамічні або статичні;

Ш детерміновані або стохастичні;

Ш неперервні, дискретні або дискретно-неперервні;

Ш лінійні чи нелінійні;

Ш з розподіленими або зосередженими параметрами;

Ш аналітичні, імітаційні чи комп’ютерні.

Рівняння, яке містить невідому функцію і її похідні, називається диференціальним рівнянням

РОЗДІЛ II. ЗАСТОСУВАННЯ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ РІВНЯННЯМИ

2.1 Приклади процесів, що моделюються диференціальними рівняннями експоненціальної змінної

Закон радіоактивного розпаду — фізичний закон, що описує залежність інтенсивності радіоактивного розпаду від часу і кількості радіоактивних атомів в зразку. Відкрито Фредеріком Содді і Ернестом Резерфордом, кожен з яких згодом був нагороджений Нобелівською премією. Вони виявили його експериментальним шляхом і опублікували в 1903 в роботах «Порівняльне вивчення радіоактивності радію і торію» і «Радіоактивне перетворення», сформулювавши таким чином [10]:

«У всіх випадках, коли відокремлювали один з радіоактивних продуктів і досліджували його активність незалежно від радіоактивності речовини, з якої він утворився, було виявлено, що активність при всіх дослідженнях зменшується з часом за законом геометричної прогресії».

За допомогою теореми Бернуллі вчені зробили висновок:

«Швидкість перетворення весь час пропорційна кількості систем, що не піддалися перетворенню» [18, c.302].

Існує кілька формулювань закону, наприклад, у вигляді диференціального рівняння:

яке означає, що число розпадів —, Що відбулося за короткий інтервал часу, пропорціональнo числу атомів у зразку .

Експоненціальний закон Рис. 2.1. Експоненціальна крива радіоактивного розпаду Експоненціальна крива радіоактивного розпаду (рис. 2.1.): за осі абсцис («осі «) — час, за осі ординат («осі «) — кількість нераспавшихся ядер або швидкість розпаду в одиницю часу.

У зазначеному вище математичному вираженні - постійна розпаду, яка характеризує ймовірність радіоактивного розпаду за одиницю часу і має розмірність. Знак мінус вказує на спад числа радіоактивних ядер з часом.

Розв’язування цього диференціального рівняння має вигляд:

де — початкове число атомів, тобто число атомів для .

Таким чином, число радіоактивних атомів зменшується з часом за експоненціальним законом.

Швидкість розпаду, тобто число розпадів в одиницю часу також падає експоненціально. Диференціюючи вираз для залежності числа атомів від часу, отримуємо:

де — швидкість розпаду в початковий момент часу .

Таким чином, залежність від часу числа нераспавшимися радіоактивних атомів і швидкості розпаду описується однією і тією ж постійною. [1, c.60].

Період напіврозпаду На практиці набула більшого поширення інша тимчасова характеристика — період напіврозпаду, Що дорівнює часу, протягом якого число радіоактивних атомів або швидкість розпаду зменшуються в 2 рази [8, c.39].

Зв’язок цієї величини з постійною розпаду можна вивести із співвідношення

Звідки:

Приклади характеристик розпаду

Існуючі в природі радіонукліди в основному виникають в складних ланцюжках розпадів урану і торію і мають періоди напіврозпаду в дуже широкій області значень: від секунди для ²¹² до 10 років для ²³². Саме існування в даний час багатьох природних радіоактивних елементів незважаючи на те, що з моменту утворення цих елементів при виникненні Всесвіту пройшло дуже багато часу, є наслідком дуже великих періодів напіврозпаду ²³⁵, ²³⁸, ²³². Приміром, ізотоп ²³⁸ стоїть на початку довгого ланцюжка (так званий ряд радію), що складається з 20 ізотопів, кожен з яких виникає прирозпаді аборозпаді попереднього елемента. Період напіврозпаду ²³⁸ (4,5 10⁹ років) багато більше, ніж період напіврозпаду якого з наступних елементів радіоактивного ряду, тому розпад в цілому всього ланцюжка відбувається за той же час, що й розпад ²³⁸, її родоначальника, в таких випадках кажуть, що ланцюжок знаходиться в стані секулярного (або вікового) рівноваги [7, c.55]. Приклади характеристик розпаду деяких речовин [16, c.105]:

Таблиця 2.1

Приклади характеристик розпаду деяких речовин

2.2 Рівняння гармонічних коливань Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань Коливанням називається всякий рух або зміна стану тіла, що характеризується тим чи іншим ступенем повторюваності в часі значень фізичних величин, які визначають цей рух або стан тіла.

Коливання називаються вільними, якщо вони здійснюються за рахунок енергії, яка була надана, за відсутності в наступному зовнішніх впливів на коливну систему.

Коливання називаються періодичними, якщо значення фізичних величин, які змінюються під час коливань, повторюються через однакові проміжки часу. Найпростішим типом періодичних коливань є так звані гармонічні коливання — коливання, при яких значення фізичної величини змінюється з часом за законом косинуса (синуса) [17, c.20].

Нехай матеріальна точка здійснює прямолінійні гармонічні коливання вздовж осі координат біля положення рівноваги, яке прийняте за початок координат. Тоді залежність координати від часу задається рівнянням Тут — зміщення коливної точки; - амплітуда коливання; - циклічна частота; - початкова фаза коливань в момент часу ;

— фаза коливань в момент часу .

Найменший проміжок часу, після проходження якого повторюються значення всіх фізичних величин, що характеризують коливання, називається періодом коливання. За час здійснюється одне повне коливання і фаза коливань отримує приріст, тобто

.

Звідси

.

Частотою коливань називається кількість повних коливань, що здійснюються за одиницю часу:

де — кількість коливань, виконаних за час. Частота коливань — величина, яка обернена до періоду коливань:

.

Циклічна частота

.

Отже, циклічна частота дорівнює кількості повних коливань, що здійснюється за 2p с. Коливний процес характеризується швидкістю і прискоренням коливної точки:

де — амплітуда швидкості, а — амплітуда прискорення. Зміщення, швидкість і прискорення точки, що гармонічно коливається, є періодичними функціями часу з однаковими циклічною частотою і періодом. Фаза швидкості відрізняється від фази зміщення на, а фаза прискорення відрізняється від фази зміщення на .

Прискорення завжди напрямлене до положення рівноваги: віддаляючись від положення рівноваги, коливна точка рухається сповільнено, наближаючись до нього — прискорено. Прискорення прямо пропорційне до зміщення, а його напрямок протилежний до напрямку зміщення [6, c.69].

Другий закон закон Ньютона дає змогу в загальному вигляді записати зв’язок між силою і прискоренням для прямолінійних гармонічних коливань матеріальної точки з масою :

Сила, що діє на коливну матеріальну точку прямо пропорційна до зміщення і завжди напрямлена до положення рівноваги. Тому її називають повертальною силою. Фаза сили збігається з фазою прискорення.

Прикладом сил, що задовольняють співвідношення, є пружні сили. Сили, що мають іншу природу, ніж пружні сили, але також задовольняють умову, називаються квазіпружними, а — коефіцієнтом квазіпружної сили.

Для прямолінійних коливань вздовж осі прискорення

.

Тоді

І

.

Це диференціальне рівняння вільних прямолінійних гармонічних коливань, збуджених пружними або квазіпружними силами.

Частковими розв’язками цього диференціального рівняння є функції:

І

Кінетична енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання, дорівнює:

.

Потенціальна енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання під дією квазіпружної сили, дорівнює:

Повна механічна енергія коливної точки:

.

Рівняння гармонічних коливань у контурі

Аналогія між механічними і електромагнітними коливаннями наштовхує на припущення, що електромагнітні коливання в контурі теж мають відбуватися за гармонічними законом.

Із закону збереження енергії випливає, що повна електромагнітна енергія контура, що дорівнює сумі енергії магнітного і електричного полів, з часом не змінюється, якщо опір контура .

.

Тому,

.

Отже, Або

.

Фізичний зміст полягає у тому, що модулем швидкості зміни енергії однакові, а знак «мінус» вказує на те, що коли одна енергія збільшується, то друга — зменшується [20, c.45].

Беремо похідні за часом:

; .

Але

Тому

.

Оскільки

То Або

.

Згадаємо, що рівняння такого виду описують гармонічні коливання фізичної величини (в даному випадку електричного заряду). Розв’язком даного рівняння є функція

Де

.

Оскільки

То

звідки формула Томсона

.

За гармонічним законом змінюється не тільки заряд на обкладках конденсатора, а й напруга і сила струму в контурі.

;

.

Коливання заряду (напруги) і струму в контурі зсунуті за фазою на, отже струм досягає максимального значення в ті моменти, коли заряд (напруга) на обкладках конденсатора дорівнює нулю і навпаки.

Висновки до розділу II

Закон радіоактивного розпаду — фізичний закон, що описує залежність інтенсивності радіоактивного розпаду від часу і кількості радіоактивних атомів в зразку.

Коливанням називається всякий рух або зміна стану тіла, що характеризується тим чи іншим ступенем повторюваності в часі значень фізичних величин, які визначають цей рух або стан тіла.

Найпростішим типом періодичних коливань є так звані гармонічні коливання — коливання, при яких значення фізичної величини змінюється з часом за законом косинуса (синуса).

ВИСНОВКИ Математичне моделювання — метод дослідження процесів або явищ шляхом створення їхніх математичних моделей і дослідження цих моделей.

Математичне моделювання тією чи іншою мірою застосовують всі природничі і суспільні науки, що використовують математичний апарат для одержання спрощеного опису реальності за допомогою математичних понять.

Математичне моделювання як кількісний інструментарій дослідника по суті своїй належить не тільки математиці - воно має самостійне значення, і свою історію. Примітно, що один і той же математичний апарат зустрічається в описі різних об'єктів в різних наукових дисциплінах. Тим самим математичне моделювання є міждисциплінарною категорією. Математичні методи, що зарекомендували себе в першу чергу у фізиці і інших природничонаукових дисциплінах, згодом з розвитком самої математики знайшли успішне вживання і в гуманітарних науках. Економіко-математичне моделювання і моделювання політичної сфери виявляють собою наочний приклад плідного вживання математичної ідеї в наукових дослідженнях Модель досліджується для того, щоб можна було управляти досліджуваним об'єктом або системою, на підставі отриманої по моделі інформації. Управління системи пов’язане з поліпшенням його характеристик або її стабілізацією, тобто з можливістю прогнозування поводження систем.

Розрізняють детерміністичне і стохастичне моделювання. Якщо у відношенні величин, аналізованих детерміністичними моделями, передбачається їхня стабільність, а випадковими відхиленнями зневажають, відносячи їх тільки на рахунок помилок спостережень і вимірів, то в основі стохастичних моделей лежить випадковий характер величин, оцінюваний імовірними методами. Тут задача полягає у відшуканні тенденцій, що виявляються у випадкових відхиленнях.

Фізичні закони часто описують певні співвідношення між велечинами, що характерезують процес швідкістю та прискоренням зміни цих величтн. Математично такі закони записують як співвідношення між функціями та їх похідними. Якщо функція, яка описує фізичний процес невідома, то отримуємо рівняння, яке називають диференціальним. Отже, вивчення деяких фізичних процесів може бути замінено дослідженням розв’язків диференціальних рівнянь.

Закон радіоактивного розпаду — фізичний закон, що описує залежність інтенсивності радіоактивного розпаду від часу і кількості радіоактивних атомів в зразку.

Найпростішим типом періодичних коливань є так звані гармонічні коливання — коливання, при яких значення фізичної величини змінюється з часом за законом косинуса (синуса).

СПИСОК ВИКОРАСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Бартоломей Г. Г., Байбаков В. Д., Алхутов М. С., Бать Г. А. Основи теорії і методи розрахунку ядерних енергетичних реакторів / Г. Г. Бартоломей, В. Д. Байбаков, М. С. Алхутов, Г. А. Бать — М.: Вища школа, 1982. — 500 с.

2. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Н. Г., Прикладная математика: С примерами из механики: Учебное пособие / И. И. Блехман, А. Д. Мышкис, Н. Г. Пановко. — М. УРСС, 2006. — 376 с.

3. Бурда М. І. Структура і зміст профільного навчання математики. / М. І. Бурда — Математика в школі, 2007. — 200 с.

4. Губарєв В. В. Концептуальні основи інформатики./ В. В. Губарєв — К., 2001. — 320 с.

5. Івченко Б. П., Мартищенко Л. А. Інформаційна мікроекономіка Частина 1: Методи аналізу й прогнозування. / Б. П. Івченко, Л. А. Мартищенко, 1997. — 450 с.

6. Камерон І. Ядерні реактори / І. Камерон — К.: Вища школа, 1987. — 320 с.

7. Клімов А. Н. Ядерна фізика і ядерні реактори / А. Н. Клімов — К.: Вища школа, 1985. — 352 с.

8. Коротаев А. В., Малков А. С., Халтурина Д. А. Законы истории. Математическое моделирование исторических макропроцессов / А. В. Коротаев, А. С. Малков, Д. А. Халтурина — М., 2005. — 406 с.

9. Кремень В. Г. Освіта і наука в Україні - інноваційні аспекти. Стратегія. Реалізація. Результати./ В. Г. Кремень — К.: Грамота, 2005. — 448 с.

10. Кудрявцев П. С. Відкриття радіоактивних преврещеній. Ідея атомної енергії / П. С. Кудрявцев Курс історії фізики — М.: Просвещение, 1982. — 460 с.

11. Мала гірнича енциклопедія. в 3-х т.2 / За ред. В. С. Білецького. — Донецьк: «Донбас», 2004. — 600 с.

12. Малков С. Ю., Математическое моделирование исторической динамики: подходы и модели / С. Ю. Малков. — М.: РГСУ, 2004. — с. 76−188.

13. Моделирование социально-политической и экономической динамики / Ред. М. Г. Дмитриев. — М.: РГСУ, 2004. — 190 с.

14. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей./.А. Д. Мышкис — М.: КомКнига, 2007. — 195 с.

15. Нічуговська Л. І. Науково-методичні основи математичної освіти студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів / Л. І. Нічуговська — Полтава, 2004. — 464 с.

16. Раков С. Формування математичних компетентностей випускника школи як місія математичної освіти. / С. Раков — Математика в школі. 2007. — 369 с.

17. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Методы. Примеры / А. А. Самарський, А. П. Михайлов — М.: Физматлит, 2001. — 260 с.

18. Содді Ф. Історія атомної енергії / Ф. Соддів — М.:Атомиздат, 1979. — 288 с.

19. Турчак К. Чисельні методи / К. Турчак — К., 2002. — 300 с.

20. Фурашев В. Н., Ландэ Д. В., Брайчевский С. М. Моделирование информационно-электоральных процессов / В. Н Фурашев, Д. В. Ландэ, С. М. Брайчевский — К.: НИЦПИ АпрН Украины, 2007. — 182 с.

21. Хуторской А. Ключевые компетенции как компонент личностно-ориентированного образования. / А. Хуторской — Народное оброзование. 2003. — 200 с.

22. Черчмен У., Акоф Р., Арноф Я. Введення в дослідження операцій. / У. Черчмен, Р. Акоф, Я. Арноф — К., 2006. — 702 с.

23. Шелобаєв С. И. Математичні методи й моделі в економіці, фінансах і бізнесі. / С. И. Шелобаєв — К., 2000. — 325 с.

24. Шкиль Н. И., Слепкань З. И., Дубинчук Е. С. Алгебра и начала анализа: Проб. учеб. Для 10−11 кл. серед. шк. / Н. И. Шкиль, З. И. Слепкань, Е. С. Дубинчук. — К.: Вежа, 1995. — 624 с.