Математичне моделювання стрибка з трампліна

Міністерство Спільного і Фахового Освіти РФ.

Пермський державний технічний университет.

Кафедра математичного моделювання систем і процессов.

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА до випускний роботи ступінь бакалавра математичних наук.

Математичного моделювання польоту лижника при стрибку з трамплина.

Виконав студент групи ММ-93 Подгаец А.Р.

Науковий керівник — професор кафедри теоретичної механіки ПГТУ, кандидат физикоматематичних наук Р. Н. Рудаков.

Перм 1997.

Зміст |1. Запровадження |3 | |1.1. Огляд літератури |5 | |2. Концептуальна завдання |8 | |2.1. Геометричні елементи трамплінів |8 | |2.2. Власне концептуальна постановка |9 | |3. Математична завдання |11 | |3.1. Припущення |11 | |3.2 Рівняння руху | | |4. Обтікання трамплинной гори потоком повітря | | |4.1. Концептуальна завдання | | |4.2. Математична постановка | | |4.3. Кількісна рішення | | |4.4. Результати | | |4.1. Висновки на чолі | | |5. Рішення основної мети | | |5.4. Дослідження рішення | | |4.5. Аналіз результатів | | |4.6. Висновки на чолі | | |6. Укладання | |.

1.

Введение

.

" Досягнення лыжников-прыгунов на змаганнях будь-якого рангу, чи це всесоюзні чи змагання, першості світу чи олімпійські игры, предопределены всієї історією стрибків на лижах — творчим працею учених, тренерів, самих спортсменів. Кількаразове низвержение.

" законодавців стилю ", усталених поглядів на «канони «техніки завжди знаменувало собою «новий «етап, який відразу ставав «пройденим », у розвитку спорту. …

Постійне вдосконалення спортивної техніки, модернізація спортивних споруд (профілів трамплінів) — ось основні умови високих набутків у стрибках на лижах. «.

(Грозин Є. А., «Стрибки з трамлина »).

Цей вид спорту — стрибки на лижах з трампліна — з’явився і в світлі в кінці ХІХ століття в скандинавських країн і північ від Росії. Це з «молодих «видів спорту, які народилися в еру науково-технічної революції. Треба сказати і те, що змагання стрибунів представляють смертельну загрозу для новачка. З іншого боку, стрибки на лижах з трампліна пов’язані не тільки з силою м’язів, реакцією і удачею, але й тонким розрахунком, заснованим на знанні фізичних законів природи й можливостей людини. Зважаючи на це, очікується, що це вид спорту потребуватиме підтримки з боку науки.

Перші роботи, присвячені стрибків на лижах ставляться до 1924 року. Їх автор — норвежець Р. Штрауман — і стрибун Тулін Тамс відомі у спортивному світі, як творці «норвезького стилю «стрибків із трампліна. Цей рік ознаменував прихід на спортивний Олімп норвезьких стрибунів, які займали призові місця хіба що незалежності до середини 1950;х років. До 1954 року належить наступна наукових досліджень, результатом їхньої афери став «фінський стиль », вперше продемострированный на сучасних Олімпійських іграх стрибуном Тауно Луиро. Наприкінці 50-х ставляться роботи радянських учених Андрєєва В.А., Ниремберга Г. Р., Химичева М. А. і Нагірного В.Е. і такі стрибунів як М. Каменський, До. Цакадзе, М. Шамов. На початку 60-х спортивні перемоги дістаються спортсменам з НДР, що їх безсумнівно теж не стоїть колектив тренерів і учених. До 1969 року належить феноменальне події історії стрибків на лижах з трампліна. Під час змагань «Тиждень польотів «м. Планица (Югославія) попередній світові рекорди — 141 метр — був шість разів. Новим світовим рекордом став стрибок на 165 метров.

Цей успіх сколихнув хвилю нових наукових досліджень про в усіх країнах. Наприкінці 80-х років — початку 90-х на спортивної арені з’явився V-стиль, з яким пов’язані нові успіхи і достижения.

Кожен стиль — це своя техніка стрибка, яка спирається науковий досвід. Сподіватимемося, що це робота послужить, а то й ще з однією сходинкою у тому сходженні, так хоча б заділом для майбутньої роботи, принесущей реально значимі для російських спортсменів плоды.

1.1. Огляд литературы.

Як було зазначалося, дана робота, ясна річ, перестав бути першої у сфері моделювання стрибків. Понад те, вона в чому спирається на досвід наших предшественников.

У книжці «Стрибки з трамлина «[1], що вийшла 1971 року, Е. А. Грозин розглядає послідовно все стадії стрибка: розгін, політ і приземлення. Діяльність детально розглянутий сам політ, складена математична модель, яка використовує коефіцієнти аеродинамічного опору, отримані з експериментів в аеродинамічній трубі, і кинограммы стрибків. Розібрані різні техніки стрибка, популярні в 50-ті, 60-ті роки і показано перевага других над першими. Автор розглядає також розгін та приземлення, але комплексного дослідження не проводить, то є, наприклад, під час аналізу приземлення до уваги береться посадкова швидкість, яка обумовлена всім попереднім рухом лижника. Вказані лише очевидні кордону нею і знаходять способи гасіння. Діяльність є і математичним викладкам, і практичним радам. Безсумнівно, цю книжку спромоглася принести багато користі прыгунам — і вони справді принесла. Позитивною стороною книжки є розгляд всіх стадій стрибка, що ми присутній поки що тільки в моїх планах на будущее.

Питанням моделювання стрибка з трампліна присвячені роботи Л. П. Ремизова [2,3]. Перша їх, опублікований у радянському журналі «Теорія і практика фізичної культури «в 1973 року, справляє враження чи вибірки, чи попередніх результатів для другий роботи, опублікованій десятиліттям згодом у міжнародному журналі з біомеханіки. Відмінність вражаюча: 2 сторінки — і повномасштабне дослідження, у тому числі у себе та ці 2 сторінки. Обидві статті присвячені віднайденню оптимальної траєкторії польоту лыжника-прыгуна з допомогою принципу максимуму Понтрягина. Схил гори приземлення заданий деякою функцією, як і і коефіцієнти аеродинамічного опору, і завдання вирішується у такому узагальненої постановці майже кінця. Природно, що аналітичне рішення поставленого завдання знайти дуже важко, й у кожного виду функцій завдання вирішується чисельно. У обох статтях використовуються коефіцієнти аеродинамічного опору, отримані Грозиным в 1971 року, тобто ці роботи також проведено для давно застарілих способів стрибка. Їх результатом з’явився висновок, що кут атаки стрибуна має залишатися постійним, як вважалося раніше, а повільно зростати у польоті. Сьогодні ми бачимо плоди цього інших цих досліджень в інструкціях зі стрибків з трампліна, в якому йшлося, що стрибун повинен поступово розпрямлятися і піднімати лижі. Отже, дана робота є на необхідність виконання такої ж дослідження сучасних способів прыжка.

Нарешті, останнє коротко зупинимося назовсім нової статті [4], що у 1997 року у журналі «Теорія і практика фізичної культури «кількома авторами із міста Великі Луки. Одне з них, будучи математиком, демонструє оригінальний математичний метод розрахунку дальності стрибка з допомогою теорії функцій комплексного змінного. У кінці статті виведено формула, що дозволяє легко вираховуватимуть дальність стрибка, виходячи з даних про прыгуне, трампліні і вітрі. Мету поставлено хороша: дати тренеру й конструкторові можливість легко розраховувати дальність стрибка, не вдаючись у фізичні складності. Однак у роботі допущено помилку під час запису рівнянь руху — не так враховано швидкість вітру. Не досліджується залежність аеродинамічних коефіцієнтів від кута атаки і держава сама коефіцієнти, узяті з [1], відповідають старим способам стрибка. Кут вильоту стрибуна позитивний, тоді як таких трамплінів не роблять по меншою мірою вже тридцять років. Також швидкість вітру вважається постійної по модулю і направлення у будь-якій точці траєкторії лыжника.

В усіх життєвих розглянутих роботах не аналізується посадкова швидкість лижника, а тим часом травми у цьому виді спорту трапляються як при приземленні «вгору тормашками », а й за начебто нормальної посадці. Також в жодній роботі не враховано вплив вітру у околицях трамплинной горы.

2. Концептуальна постановка задачи.

2.1. Геометричні елементи трамплинов.

Трампліни створюються під певну дальність польоту стрибунів, яку обчислюють як відстань від точки старту до точки приземлення схилом. Трампліни діляться за дальності п’ять категорій: маленькі трампліни 20−45 м середні трампліни 50−70 м нормальні трампліни 75−90 м великі трампліни 105−120 м трампліни для польотів 145−185 м.

Змагання у Росії проводяться, зазвичай, великих трамплінах, а змагання — на трамплінах для польотів. А, щоб лижник, що йде до рекорду, не розбився, полетівши межі схилу приземлення чи недолетев перед ним, існують спеціальні формули і норми до розрахунку геометричних параметрів трамплинов.

[pic].

Рис. 1. Основні геометричні елементи трамплина.

Трамплін складається з ділянки для розгону й столу відриву, від якого лижники йдуть у вільний політ. Стіл відриву нахилений до горизонталі під невеликим негативним кутом, зазвичай від -6О до -12О. Тут власне трамплін закінчується, проте, що далі, називається горою приземлення чи трамплинной горою. Висота столу відриву над схилом гори приземлення звичайно позначається [pic] і як від 2% до запланованих 4% від максимальної дальності, обозначаемой [pic]. Трамплинная гора складається з трьох ділянок: ділянки неопрацьованого схилу довжиною [pic] і завширшки [pic], ділянки приземлення — прямого ділянки схилу, який становить від горизонталлю негативний кут [pic], рівний відповідно до ухвалених нормам від -25О до -40О, і ділянки гальмування. Ділянка гальмування зазвичай має профіль, плавно закругляющийся вгору. Відстань за горизонталлю від канта відриву — крайньої точки столу відриву — до точки максимальної дальності позначається [pic]. Цією буквою позначається також критична точка — кінець ділянки приземления.

2.2. Власне концептуальна постановка.

Коротко мета даної роботи таке: «як стрибнути, щоб полетіти подалі і розбитися? «Змінюючи умови та вимоги під час відриву, відносне становище ніг, рук і корпуси, атлет може контролювати траєкторію свого польоту повітря, керуючи кутом атаки. Завдання формулюється так: як і має лижник управляти своєю тілом, щоб приземлитися настільки далеко, наскільки можна, і навіть мати прийнятну посадкову скорость.

Якщо старт й захоплює політ проходять нормально, то практично неможливо приземлитися раніше початку схилу приземлення. Але є інша небезпека. Лижник закінчує політ із швидкістю, яку треба погасити. На це є злегка закругляющийся ділянку гальмування. Але якщо стрибун перелітає критичну точку, він серйозно ризикує, оскільки далі схил закруглюється вгору, і кут, під яким його траєкторія наближається до схилу, становитиме не 5−10О, а значно більше. Тому приземлення ральше чи пізніше спеціально створеного при цьому ділянки приземлення у разі неможливо, тоді як у другому — неприпустимо. Паралельна схилу складова швидкості гаситься при подальшому русі лижника по зкругленному схилу. Найбільшу небезпека при приземленні є складова швидкості, перпендикулярна схилу, оскільки при занадто великий нормальної швидкості крім великих ударних навантажень також є впасти — тим більше, зараз приземлення лижник має швидкість кілька десятків км/год. Тому нормальна до схилу складова посадкової швидкості має перевищувати 7 м/с, а бажано повинна бути 3−5 м/с.

3. Математична постановка задачи.

3.1. Предположения.

Вісь абсцис спрямована убік польоту лижників паралельно обрію, вісь ординат — вгору вінця столу відриву, званий кантом відриву. Початок координат розміщено отже абсциса точки старту і ордината критичної позначки [pic] - кінця ділянки приземлення — рівні нулю. Якщо ні бічного вітру та інших обурень, центр мас лижника описує криву в вертикальної площині, тобто завдання польоту можна як двухмерную.

Вочевидь, стрибун може змінювати свої аеродинамічні параметри, на які впливають такі факторы:

. кінетичний момент системи прыгун-лыжи щодо осі, перпендирулярной площині малювання та що проходить через центр мас системи, в останній момент відриву й у полете;

. зміна моменту інерції системи щодо тієї самої осі в полете;

. різні активні і реактивні ефекти, пов’язані з обертанням різних частин тіла внаслідок роботи мышц.

Результати багатьох досліджень кинограмм [1, 5] доводять відносну статичність становища кожної стрибуна у польоті. Це спрощує опис картини переміщень і швидкостей системи прыгун-лыжи і дозволяє використовувати індивідуальні експериментальні характеристики, одержувані в аеродинамічній трубі. Завдяки цього було введено припущення щодо незмінності пози лижника в полете.

Весь стрибок може бути розбитий чотирма фази: злет, угруповання, власне політ та прискорення підготовки до приземленню. Першу фазу триває приблизно 0.3 з, друга ;