Использование диференційних рівнянь у приватних похідних для моделювання реальних процессов

Міністерство спільного освітнього і професійного образования.

Сочинський державний університет туризма.

і курортного дела.

Педагогічний институт.

Математичний факультет.

Кафедра загальної математики.

ДИПЛОМНА РАБОТА.

Використання диференційних рівнянь у приватних похідних для моделювання реальних процессов.

Виконала: студентка 5-го курса.

денний форми обучения.

Спеціальність 10 100.

«Математика».

Прокоф'євою Я. К.

Студентський квиток № 95 035.

Науковий керівник: доцент, канд.

техн. наук.

Позин П.А.

Сочі, 2000 г.

СОДЕРЖАНИЕ Введение…3 Глава 1. Рівняння гіперболічного типу. § 1.1. Завдання, що призводять до рівнянням гіперболічного типа…5.

1.1.1. Рівняння коливань струны…5.

1.1.2. Рівняння електричних коливань в проводах…8 § 1.2. Метод поділу змінних …10.

1.2.1. Рівняння вільних коливань струны…10.

Глава 2. Рівняння параболического типа.

§ 2.1. Завдання, що призводять до рівнянням параболического типа…17.

2.1.1. Рівняння поширення тепла в стержне…17.

2.1.2. Поширення тепла в пространстве…19 § 2.2. Температурні волны…23 Глава 3. Моделювання з допомогою диференційних рівнянь у приватних похідних. § 3.1. Дифракція випромінювання на сферичної частице…29 Заключение…40 Литература…41.

Вивченням диференційних рівнянь у приватних похідних займається математична фізика. Основи теорії цих рівнянь вперше викладені у знаменитому «Інтегральному обчисленні» Л. Эйлера.

Класичні рівняння математичної фізики є лінійними. Особливість лінійних рівнянь у тому, що й U і V — два рішення, то функція (U + (V за будь-яких постійних (і (знову розв’язує. Це обставина дозволяє побудувати спільне рішення лінійного диференціального рівняння з фіксованого набору його елементарних прийняття рішень та спрощує теорію цих уравнений.

Сучасна загальна теорія диференційних рівнянь займається головним чином лінійними рівняннями і спеціальних класів нелінійних рівнянь. Основний метод рішення нелінійних диференційних рівнянь у приватних похідних виступає чисельна интегрирование.

Коло питань математичної фізики тісно пов’язані з вивченням різних фізичних процесів. Сюди відносяться явища, студійовані в гідродинаміці, теорії пружності, електродинаміки тощо. Виникаючі у своїй математичні завдання є багато загальних елементів і вони становлять предмет математичної физики.

Постановка завдань математичної фізики, будучи тісно що з вивченням фізичних проблем, має специфічних рис. Так, наприклад, початкова й кінцева стадії процесу носять якісно різний характері і вимагають застосування різних математичних методов.

Коло питань, які стосуються математичної фізиці, надзвичайно широкий. У цьому роботі розглядаються завдання математичної фізики, що призводять до рівнянням із приватними производными.

Розташування матеріалу відповідає основним типам рівнянь. Вивчення кожного типу рівнянь починається з найпростіших фізичних завдань, призводять до рівнянням аналізованого типа.

Глава 1. УРАВНЕНИЯ ГІПЕРБОЛІЧНОГО ТИПА.

§ 1.1. Завдання, що призводять до рівнянням гіперболічного типа.

Рівняння із приватними похідними 2-го порядку гіперболічного типу найчастіше зустрічаються в фізичних завданнях, що з процесами коливань. Найпростіше рівняння гіперболічного типа.

[pic] називається хвильовим рівнянням. До дослідженню цього рівняння наводить розгляд процесів поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стрижня, електричних коливань в дроті, крутильних коливань валу, коливань газу та т.д.

1.1.1. Рівняння коливань струны.

У математичної фізиці під струною розуміють гнучку, пружну нитку. Напруги, що у струні будь-якої миті часу, спрямовані по дотичній до її профілю. Нехай струна довжини [pic] в початковий момент спрямована по відтинку осі Оx від 0 до [pic]. Припустимо, що кінці струни закріплені в точках [pic]. Якщо струну відхилити від неї початкового становища, і потім надати сама собі чи, не відхиляючи струни, надати в початковий час точкам деяку швидкість, чи відхилити струну і надати її точкам деяку швидкість, то точки струни здійснюватимуть руху — кажуть, що струна почне коливатися. Завдання залежить від визначенні форми струни будь-якої миті часу й визначенні закону руху кожної точки струни залежно від времени.

Будемо розглядати малі відхилення точок струни від початкового становища. Через це можна припустити, що рух точок струни відбувається перпендикулярно осі Ox й у площині. У цьому припущенні процес коливання струни описується однієї функцією [pic], що дає величину переміщення точки струни з абсциссой x в останній момент t.

Рис. 1.1.

Оскільки ми розглядаємо малі відхилення струни у площині [pic], то будемо припускати, що довжина елемента струни [pic] дорівнює її проекції на вісь Ox, тобто. [pic]. 1 Також будемо припускати, що натяг переважають у всіх точках струни однакове; позначимо його через Т.

Розглянемо елемент струни [pic].

Рис. 1.2. На кінцях цього елемента, по дотичним до струні, діють сили Т. Нехай касательные утворюють з віссю Ox кути [pic]. Тоді проекція на вісь Ou сил, діючих на елемент [pic], дорівнюватиме [pic]. Оскільки кут [pic] малий, то можна покласти [pic], і ми иметь:

[pic] (тут застосували теорему Лагранжа для вираження, який стоїть у квадратних скобках).

Щоб самому отримати рівняння руху, потрібно зовнішні сили, докладені до елементу, прирівняти силі інерції. Нехай [pic] - лінійна щільність струни. Тоді маса елемента струни буде [pic]. Прискорення елемента одно [pic]. Отже, за принципом Даламбера будемо иметь:

[pic]. Скорочуючи на [pic] і позначаючи [pic], отримуємо рівняння движения.

[pic]. (1) Це і хвилеве рівняння — рівняння коливань струни. Для повного визначення руху струни одного рівняння (1) недостатньо. Бажана функція [pic] має відповідати ще граничним умовам, що вказує, що робиться на кінцях струни [pic], і початкових умов, що описує стан струни в початковий момент (t = 0). Сукупність граничних і початкових умов називається крайовими условиями.

Нехай, наприклад, як ми припускали, кінці струни при [pic] нерухомі. Тоді незалежно від t повинні виконуватися равенства:

[pic] (2').

[pic] (2'') Ці рівності є граничними умовами нашій задачи.

У початковий момент t = 0 струна має певну форму, що її їй додали. Нехай цій формі визначається функцією f (x). Отже, має быть.

[pic] (3') Далі, в початковий момент мусить бути задана швидкість кожній точці струни, визначене функцією [pic]. Отже, має быть.

[pic] (3'') Умови (3') і (3'') є початковими условиями.

Зауваження. Зокрема, то, можливо [pic] чи [pic]. Якщо ж [pic] і [pic], то струна перебуватиме у спокої, отже, [pic].

1.1.2. Рівняння електричних коливань в проводах.

Як зазначалося вище, до рівнянню (1) призводить і завдання про електричних коливаннях в проводах. Електричний струм в дроті характеризується величиною і (x, t) і напругою v (x, t), які залежать від координати x точки дроту й від часу t. Розглядаючи елемент дроти [pic], можемо написати, що падіння напруги на елементі [pic] одно [pic]. Це падіння напруги складається з омічного, рівного [pic], і індуктивного, рівного [pic]. Итак,.

[pic] (4) де R і L — опір і коефіцієнт індуктивності, розраховані одиницю довжини дроти. Знак мінус взятий оскільки струм тече до напрямі, зворотному зростанню v. Скорочуючи на [pic], отримуємо уравнение.

[pic] (5) Далі, різницю струмів, виходить із елемента [pic] і входить у нього за час [pic], будет.

[pic] Вона витрачається зарядку елемента, рівну [pic], і відплив через бічну поверхню дроти внаслідок недосконалості ізоляції, рівну [pic] (тут, А — коефіцієнт витоку). Прирівнюючи ці висловлювання й скорочуючи на [pic], одержимо уравнение.

[pic] (6) Рівняння (5) і (6)принято називати телеграфними уравнениями.

З системи рівнянь (5) і (6) можна було одержати рівняння, що містить лише потрібну функцію і (x, t), і рівняння, що містить лише потрібну функцію v (x, t). Продифференцируем члени рівняння (6) по x; члени рівняння (5) продифференцируем по t і помножимо їх у З. Провівши віднімання, получим:

[pic] Підставляючи за останнє рівняння вираз [pic] з рівняння (5), получим:

[pic] или.

[pic] (7) Так виходить рівняння визначення v (x, t):

[pic] (8).

Якщо знехтувати витіканням через ізоляцію [pic] і опором [pic], то рівняння (7) і (8) переходить до хвильові уравнения:

[pic] де зазначено: [pic]. З фізичних умов, формулюють граничні і початкові умови задачи.

§ 1.2. Метод поділу переменных.

1.2.1. Рівняння вільних коливань струны.

Метод поділу змінних чи метод Фур'є, одна із найбільш поширених методів рішення рівнянь із приватними похідними. Переказ цього ми проведемо для завдання про коливаннях струни, закріпленої на кінцях. Отже, шукатимемо рішення уравнения.

[pic].

удовлетворяющее однорідним граничним условиям.

[pic] (9) і початковим условиям.

[pic] (10).

Рівняння (1) лінійно і однорідний, тому сума приватних рішень також розв’язує цього рівняння. Маючи досить багато приватних рішень, можна спробувати з допомогою підсумовування його з деякими коефіцієнтами знайти дані решение.

Поставимо основну допоміжну завдання: знайти рішення уравнения.

[pic].

не однакову тотожний нулю, що задовольнить однорідним граничним условиям.

[pic] (11) і представимое як произведения.

[pic] (12) де X (x) — функція лише змінного x, T (t) — функція лише змінного t.

Підставляючи ймовірний форму рішення (12) в рівняння (1), получим:

[pic] чи, після розподілу на XT,.

[pic] (13).

Щоб функція (12) була рішенням рівняння (1), рівність (13) має задовольнятися тотожний, т. е. 0 ‹ x ‹ [pic], t › 0. Права частина рівності (13) є функцією лише змінного t, а ліва — лише x. Фіксуючи, наприклад, деяке значення x та міняючи t (навпаки), одержимо, що права і ліва частини рівності (13) за зміни своїх аргументів зберігають постійне значение.

[pic] (14) де [pic] - стала, яку задля зручності наступних викладок беремо зі знаком мінус, щось припускаючи у своїй про її знаке.

З співвідношення (14) отримуємо звичайні диференціальні рівняння визначення функцій X (x) і T (t).

[pic] (15).

[pic] (16) Граничні умови (11) дают:

[pic] Звідси випливає, що функція X (x) має відповідати додатковим условиям:

X (0) = X ([pic]) = 0, (17).

Так як інакше ми мали бы.

[pic] тоді як завдання відшукати нетривіального рішення. Для функції T (t) в основний допоміжної завданню жодних додаткових умов нет.

Отже, у зв’язку з перебуванням функції X (x) ми дійшли найпростішої завданню свої значениях:

знайти значення параметра [pic], у яких існують нетривіальні рішення задачи:

[pic] (18) і навіть знайти рішення. Такі значення параметра [pic] називаються власними значеннями, а відповідні їм нетривіальні рішення — власними функціями завдання (18). Сформульовану в такий спосіб завдання часто називають завданням Штурму — Лиувилля.

Розглянемо окремо випадки, коли параметр [pic] негативний, дорівнює нулю чи положителен.

1. При [pic] ‹ 0 завдання має нетривіальних решений.

Справді, спільне рішення рівняння (15) має вид.

[pic] Граничні умови дают:

Х (0) = С1 + С2 = 0;

[pic][pic] т. е.

[pic] Однак у аналізованому разі [pic] - справді помітні й позитивно, отже [pic]. Поэтому.

С1 =0, С2 = 0 і, следовательно,.

Х (х)[pic]0.

2. При [pic] = 0 також фактично немає нетривіальних решений.

Справді, у разі рішення рівняння (15) має вид.

Х (x) = С1х + С2. Граничні умови дают:

[pic] т. е. С1 = 0 і С2 = 0 і, следовательно,.

Х (х)[pic]0.

3. При [pic] › 0 рішення рівняння то, можливо записано в виде.

[pic] Граничні умови дают:

[pic] Якщо Х (х) не одно тотожний нулю, то D2[pic]0, поэтому.

[pic] (19) или.

[pic] де nбудь-яке ціла кількість. Отже, нетривіальні виконання завдання (18) можливі лише за значениях.

[pic] Цим власним значенням відповідають власні функции.

[pic] де Dn — довільна постоянная.

Отже, лише за значеннях [pic], равных.

[pic] (20) існують нетривіальні виконання завдання (11).

[pic] (21) зумовлені з точністю до довільного множника, який ми поклали рівним одиниці. Цим самим значенням [pic]n відповідають рішення рівняння (9).

[pic] (22) де An і Bn — довільні постоянные.

Повертаючись до завданню (1), (9), (10), укладаємо, що функции.

[pic] (23) є приватними рішеннями рівняння (1), задовольняючими граничним умовам (11) і представимыми як твори (12) двох функцій, одна у тому числі залежить від x, інша — від t. Ці рішення можуть задовольнити початкових умов (10) нашої вихідної завдання лише окремі випадки початкових функцій ((x) і ((x).

Звернімося до вирішення завдання (1), (9), (10) у випадку. З огляду на лінійності і однорідності рівняння (1) сума приватних решений.

[pic] (24) також задовольняє цьому рівнянню і граничним умовам (9). Початкові умови дозволяють визначити An і Bn. Зажадаємо, щоб функція (24) задовольняла умовам (10).

[pic] (25).

З теорії рядів Фур'є відомо, що довільна кусочно-непрерывная і кусочно-дифференцируемая функція f (x), задана між тим [pic], розкладається до кількох Фурье.

[pic] (26) где.

[pic] (27).

Якщо функціями ((x) і ((x) задовольняють умовам розкладання до кількох Фур'є, то.

[pic] (28).

[pic] (29).

Порівняння цих рядів з формулами (25) показує, що з виконання початкових умов треба положить.

[pic] (30) ніж повністю визначається функція (24), дає рішення досліджуваної задачи.

Отже, ми довели, що кілька (24), де коефіцієнти An і Bn визначено по формулі (30), якщо він допускає дворазове почленное диференціювання, представляє функцію u (x, t), що є рішенням рівняння (1) і задовольняє граничним і початкових умов (9) і (10).

Зауваження. Вирішуючи розглянуту завдання для хвильового рівняння іншим методом, можна довести, що кілька (24) представляє рішення у тому разі, що він передбачає почленного диференціювання. У цьому функція [pic] мусить бути двічі дифференцируемой, а [pic] - одного разу дифференцируемой.

Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

§ 2.1. Завдання, що призводять до рівнянням гіперболічного типа.

1. Рівняння поширення тепла в стержне.

Розглянемо однорідний стрижень довжини [pic]. Будемо припускати, що бічна поверхню стрижня теплонепроницаема і що в всіх точках поперечного перерізу стрижня температура однакова. Вивчимо процес поширення тепла в стержне.

Розташуємо вісь Ой отже один кінець стрижня збігатиметься із точкою x = 0, а інший — до точки x = [pic].

Рис. 2.1.

Нехай u (x, t) — температура в сечении стрижня з абсциссой x в останній момент t. Досвідченим шляхом встановлено, що швидкість поширення тепла, т. е. кількість тепла, викликаного через перетин з абсциссой x за одиницю часу, визначається формулой.

[pic] (1) де P. S — площа перерізу аналізованого стрижня, k — коефіцієнт теплопроводности.

Розглянемо елемент стрижня, укладений між сечениями з абсциссами х1 і х2 (х2 — х1 = [pic]х). Кількість тепла, котрий пройшов перетин з абсциссой х1 під час [pic]t, буде равно.

[pic] (2) той самий з абсциссой х2:

[pic] (3) Притік [pic]Q1 — [pic]Q2 в елемент стрижня під час [pic]t буде равняться:

[pic] (4) Цей приплив тепла під час [pic]t затратился для підвищення температури елемента стрижня на величину [pic]u:

[pic] или.

[pic] (5) де з — теплоємність речовини стрижня, [pic] - щільність речовини стрижня ([pic][pic]xS — маса елемента стержня).

Прирівнюючи висловлювання (4) і (5) однієї й тієї ж кількості тепла [pic], получим:

[pic].

Це і рівняння поширення тепла (рівняння теплопровідності) в однорідному стержне.

Щоб рішення рівняння (6) був цілком визначено, функція u (x, t) має відповідати крайовим умовам, відповідним фізичним умовам завдання. Крайові умови на вирішення рівняння (6) можуть бути різні. Умови, які відповідають так званої першої крайової завданню для [pic], такі: u (x, 0) = ?(x),.

(7) u (0, t) = ?1(t),.

(8) u ([pic], t) = ?2(t).

(9).

Фізичне умова (7) (початкова умова) відповідає з того що при [pic] у різних перетинах стрижня задана температура, рівна ?(x). Умови (8) і (9) (граничні умови) відповідають з того що на кінцях стрижня при x = 0 і за x = [pic] підтримується температура, рівна ?1(t) і ?2(t) соответственно.

Доводиться, що рівняння (6) має єдине рішення, у області [pic], що задовольнить умовам (7) — (9).

2.1.2. Поширення тепла в пространстве.

Розглянемо процес поширення тепла в тривимірному просторі. Нехай u (x, y, z, t) — температура у точці з координатами (x, y, z) з час t. Досвідченим шляхом встановлено, що швидкість проходження тепла через майданчик [pic]s, т. е. кількість тепла, викликаного за одиницю часу, визначається за формулою (аналогічно формулі (1)).

[pic] (10) де k — коефіцієнт теплопровідності аналізованої середовища, що її вважаємо однорідної і ізотропного, n — одиничний вектор, спрямований по нормальний до майданчика [pic]s у бік руху тепла. Отже, можемо записать:

[pic] де [pic] - направляючі косинуси вектора n, или.

[pic] Підставляючи вираз [pic] в формулу (10), получаем:

[pic]Q = -k n grad u [pic]s.

Кількість тепла, викликаного під час? t через майданчик? p. s, буде равно:

[pic]Q[pic]t = -k n grad u [pic]t [pic]s.

Повернімося до поставленому завданню. У середовищі виділимо малий обсяг V, обмежений поверхнею P. S. Кількість тепла, викликаного через поверхню P. S, буде равно:

[pic] (11) де n — одиничний вектор, спрямований по зовнішньої нормальний до P. S. Вочевидь, що формула (11) дає кількість тепла, що надходить обсяг V (чи минаючого з обсягів V) під час [pic]t. Кількість тепла, надходження в обсяг V, йде підвищення речовини цього объема.

Розглянемо елементарний обсяг [pic]v. Нехай під час [pic]t його температура піднялася на [pic]u. Вочевидь, що його тепла, витрачене цього підвищення елемента [pic]v, буде равно.

[pic] де з — теплоємність речовини,? — щільність. Загальна кількість тепла, витрачене для підвищення температури обсягом V під час [pic]t, будет.

[pic].

Але це є тепло, яке надходить в обсяг V під час [pic]t; воно визначено формулою (11). Отже, має місце равенство.

[pic] Скорочуючи на [pic]t, получаем:

[pic] (12).

Поверховий інтеграл, котрий у лівої частини цієї рівності, перетворимо за такою формулою Остроградського (в векторної формі, де F — дивергенція векторного поля, [pic] - замкнута поверхность).

[pic] вважаючи F = k grad u:

[pic].

Замінюючи подвійний інтеграл, котрий у лівої частини рівності (12), потрійним інтегралом, получим:

[pic].

Застосувавши теорему про середньому наближається до потрійного інтегралу, стоїть зліва, одержимо :

[pic] (14) де P (x, y, z) — деяка точка обсягу V.

Оскільки ми можемо виділити довільний обсяг V в тривимірному просторі, де відбувається поширення тепла, й, оскільки ми припускаємо, що подынтегральная функція у рівності (13) безупинна, то рівність (14) виконуватиметься у кожному точці простору. Итак,.

[pic] (15).

Но.

[pic] Підставляючи в рівняння (15), получаем:

[pic] (16).

Якщо k — постійне, то.

[pic] і рівняння (15) у разі дает:

[pic] чи, поклавши [pic].

[pic] (17).

Коротко рівняння (17) записується так:

[pic] де [pic]u — оператор Лапласа. Рівняння (17) це і є рівняння теплопровідності у просторі. Щоб знайти єдине рішення, відповідальна поставленому завданню, потрібно поставити крайові условия.

Нехай маємо тіло [pic], поверхню якого [pic]. У цьому вся тілі розглядається процес поширення тепла. У початковий момент температура тіла задана. Це відповідає з того що відомо значення рішення за t = 0 — початкова умова: u (x, y, z, 0) =? (x, y, z). (18).

З іншого боку, має бути відома температура у будь-якій точці М поверхні [pic] тіла будь-якої миті часу t — граничну умова: u (М, t) =? (М, t). (19) (Можливі й інші граничні условия.).

Якщо бажана функція u (x, y, z, t) залежить від z, що він відповідає з того що температура залежить від z, то отримуємо уравнение:

[pic] (20).

— рівняння поширення тепла на площині. Якщо розглядається поширення тепла в пласкою області D з кордоном З, то граничні умови, аналогічно (18) і (19), формулюються так: u (x, y, 0) =? (x, y), u (М, t) =? (М, t), де? і? — задані функції, М — точка кордону С.

Якщо ж функція u залежною ні від z, ні від y, то отримуємо уравнение.

[pic] - рівняння поширення тепла в стержне.

§ 2.2. Температурні волны.

Завдання про поширення температурних хвиль у грунті одна із перших прикладів докладання математичної теорії теплопровідності, розвиненою Фур'є, до вивчення явищ природы.

Температура лежить на поверхні землі носить, як відомо, яскраво виражену добову і річну періодичність. Звернімося до завданню про поширення періодичних температурних коливань у грунті, яку розглядатимемо як однорідне полупространство [pic]. Це завдання є характерною завданням без початкових умов, бо за багаторазовому повторенні температурного ходу лежить на поверхні вплив початковій температури буде менше впливу інших чинників, якими нехтуємо (наприклад, неоднорідність грунту). Отже, дійшли наступній завданню: знайти обмежений рішення рівняння теплопроводности.

[pic] (1) що задовольнить умові u (0, t) = A co [pic]t. (2).

Передбачається, що функції u (x, t) і ((t) обмежені скрізь, т. е.

[pic].

Запишемо граничну умова в виде.

[pic] (2') З лінійності рівняння теплопровідності слід, що справжню і мнима частини деякого комплексного рішення рівняння теплопровідності кожна у окремішності задовольняє до того ж решению.

Якщо знайдено рішення рівняння теплопровідності, що задовольнить умові (2'), його справжня частина задовольняє умові (2), а мнима — условию.

[pic] Отже, розглянемо задачу:

[pic] (3) Її вирішення шукатимемо в виде.

[pic] (4) де [pic] і [pic] - невизначені поки постоянные.

Підставляючи вираз (4) в рівняння (3) і граничну умова, находим:

[pic], откуда.

[pic] Для u (x, t) имеем:

[pic] (5) Насправді ж частину акцій цього решения.

[pic] (6) задовольняє рівнянню теплопровідності і граничному умові (2). Формула (6) залежно від вибору знака визначає не лише одну, а дві функції. Проте лише функція, відповідна знаку мінус, задовольняє вимозі обмеженості. Отже, рішення поставленого завдання отримуємо в виде.

[pic] (7).

З отриманого рішення можна надати таку характеристику процесу поширення температурної хвилі у грунті. Якщо тем-пература поверхні тривалий час періодично змінюється, то грунті також встановлюються коливання температури з тим самим періодом, причем:

1.Амплитуда коливань экспоненционально убуває з глубиной.

[pic], тобто. якщо глибини зростають у арифметичній прогресії, то амплітуди убувають в геометричній прогресії (перший закон Фурье).

2. Температурні коливання у грунті відбуваються зі зсувом фази. Час [pic] запізнювання максимумів (мінімумів) температури у грунті від відповідних моментів лежить на поверхні пропорційно глубине.

[pic] (другий закон Фурье).

3. Глибина проникнення тепла на російський грунт залежить від періоду коливань температури лежить на поверхні. Відносне зміна температурної амплітуди равно.

[pic].

Ця формула показує, що менше період, тим менше глибина проникнення температури. Для температурних коливань з періодами Т1 і Т2 глибини x1 і x2, у яких відбувається однакове відносне зміна температури, пов’язані соотношением.

[pic] (третій закон Фур'є). Приміром, порівняння добових і річних коливань, котрим Т2 = 365 Т1, показує, что.

[pic] тобто. що глибина проникнення річних коливань при однаковою амплітудою лежить на поверхні була б у 19,1 рази більше глибини проникнення добових колебаний.

Слід, проте, пам’ятати, що викладена тут теорія належить до поширенню тепла в сухий грунті або гірничих породах. Наявність вологи ускладнює температурні явища у грунті, при замерзанні відбувається виділення прихованої теплоти, не учитываемое цієї теорией.

Температуропроводность є одним із характеристик тіла, важливих для вивчення його фізичних властивостей, і навіть щодо різноманітних технічних розрахунків. На вивченні поширення температурних хвиль в стрижнях грунтується одне із лабораторних методів визначення температуропроводности.

Нехай на кінці досить довгого стрижня підтримується періодична температура [pic] (t). Представивши цю функцію у вигляді ряду Фур'є [pic].

[pic].

[pic] де Т — період, та взявши температурні хвилі, відповідні кожному слагаемому, одержимо, що температура u (x, t) нічого для будь-якого x буде періодичної функцією часу й її n-я гармоніка дорівнює [pic].

[pic] или.

[pic].

Ця формула показує, що й зробити вимірювати температуру в якихось двох точках, x1 і x2, повним період, то, знаходячи коефіцієнти an (x1), bn (x1), an (x2), bn (x2) з допомогою гармонійного аналізу, можна визначити коефіцієнт температуропроводности стрижня а2.

Глава 3. МОДЕЛЮВАННЯ З ДОПОМОГОЮ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ У ПРИВАТНИХ ПРОИЗВОДНЫХ.

§ 3.1. Дифракція випромінювання на сферичної частице.

Перейдемо тепер до розгляду завдання про дифракції електромагнітних хвиль на сферичної частинки. Як відомо, у разі монохроматического випромінювання частоти [pic] система рівнянь Максвелла зводиться до системи рівнянь для напряженностей електричного [pic] і магнітного [pic] полей:

[pic] (1) де [pic] - хвилеве число для порожнечі; с0 — швидкість світла у вакуумі. Означимо через k = k0 m — хвилеве число серед з комплексним показником заломлення m = n — ix. Показники заломлення і поглинання (n і x) називаються оптичними постійними, їх залежність від (зазвичай відома з эксперимента.

Завдання про разыскании шести невідомих функцій ([pic]) то, можливо зведена до завданню про разыскании двох функцій — електричного і магнітного потенціалів (U1 і U2), що є рішеннями коливального рівняння. Одержимо їх за методу Фур'є як нескінченних сум приватних рішень з невизначеними коефіцієнтами, визначених «сшиванием» значень усередині якого і зовні сфери. Через знайдені потенціали складові полів легко обчислюються дифференцированием.

Нехай на сферичну частку радіуса а, центр якої сполучено з початком координат, в негативному напрвлении осі Oz падає лінійно поляризована пласка хвиля (рис 4.). Вісь Ox є напрямом електричних коливань, а вісь Oy — магнітних. Електричне і магнітне поля була в падаючої хвилі описуються формулами:

[pic] (2) де ka = mak0 — величина хвильового вектора падаючого випромінювання у зовнішній середовищі з речовинним показником заломлення ma.

Рис. 3.1. Сферична система координат для изучения.

дифракції світла на шаре.

Надалі в проміжних формулах скрізь буде опущений множник Е0, який буде внесено в остаточні висловлювання для полей.

У сферичної системі координат, у якій природно вирішувати цю завдання, рівняння Максвелла (1) мають вид:

[pic].

[pic] (5).

[pic] (6).

[pic] (7).

[pic] (8).

Падаюче полі збуджує в кулі внутрішнє полі, тоді як у зовнішньому просторі - дифрагированное полі, причому всі ці поля повинен мати оду і таку ж тимчасову залежність, тобто. частоту. Довільне електромагнітне полі представлятимемо як суперпозицію двох типів коливань. Перший тип назвемо електричними коливаннями й вважатимемо, що в коливань радіальна складова магнітного поля переважають у всіх точках дорівнює нулю:

[pic] (9) Другий тип — магнітні колебания:

[pic] (10).

В разі електричних коливань з рівняння (6) получим.

[pic].

Це співвідношення, очевидно, задовольнять, припустивши, що [pic] є похідні від деякою третьої функції [pic]: перша — по [pic], а друга — по [pic]:

[pic].

Підставляючи ці співвідношення в формули (4) і (5) получим.

[pic] Цим співвідношенням можна задовольнити, якщо покласти [pic] де [pic] - деяка нова функція. Тоді знайдемо [pic]. Якщо тепер, замість функції [pic] запровадити [pic], то формула (3) отримає вид.

[pic] (11) тоді як (7) і (8) наводяться одного й тому хвильовому рівнянню для функції [pic] [pic].

(12).

Використовуючи вищезазначені співвідношення і замінюючи у натуральному вираженні для [pic] похідні по [pic] через похідні по r з рівняння (12), одержимо такі соотношения:

[pic] (13) які висловлюють всі складові полів для випадку [pic] через одну функцію [pic] - потенціал електричних коливань. Підставивши ці висловлювання на рівняння (3) — (8), переконаємося у цьому, що рівності (13) утворюють рішення рівнянь Максвелла, якщо U1 розв’язує хвильового рівняння. Аналогічно для магнітних коливань всі складові полів може бути виражені через деяку функцію [pic] - потенціал магнітних колебаний.

У випадку на полі присутні коливання обох типів. Для складових полів одержимо у своїй такі выражения:

[pic] (14) Функції U1 і U2 є рішенням хвильового уравнения.

[pic] (15) яке будемо нічого вирішувати методом Фур'є (значок у U тимчасово опущений, він з’явиться під час розгляду граничних умов, які для U1 і U2 різні). Як приватного рішення положим.

[pic] (16) Підставляючи (16) в (13) і поділяючи перемінні, одержимо для f і Y такі уравнения:

[pic] (17).

[pic] (18).

Рівняння для Y має однозначне і безупинне рішення на сфері лише [pic], де n = 0, 1, 2… І тут його рішенням є сферичні функции:

[pic] (19) де [pic] а [pic] - поліном Лежандра. У рівнянні (17) зробимо підстановку [pic], для Rn (x) одержимо наступне рівняння (x = kr):

[pic] (20) Це рівняння Бесселя та її рішенням є циліндричні функції з полуцелым індексом [pic]. Отже, n-е приватне рішення рівняння (15) будет.

[pic] (21) З усіх циліндричних функцій лише бесселевы функції першого роду [pic] кінцеві в нулі. Тому варто тільки є підстави використовуватимуться рішення всередині кулі. Поза кулі, відповідно до принципом випромінювання, розв’язання має мати характер розбіжної хвилі. Оскільки тимчасової множник обраний в вигляді [pic], лише ханкелевская функція другого роду [pic] дає хвилю, розбіжну із джерела дифракції [pic]. Обозначим.

[pic] (22) тоді приватне рішення, очевидно, має бути поданий як суперпозиции приватних рішень з невизначеними коефіцієнтами, які обчислюються з граничних умов. Граничні умови для потенціалів U1 і U2 на кулі виходять з вимоги безперервності тангенциальных ([pic]) складових полів. З (14) видно, що задля цього необхідно, щоб у поверхні кулі були безупинні такі величини: [pic], т. е.

[pic] (23).

[pic] (24) де Ua — потенціал дифрагированного поля, а Ui — внутреннего.

Уявімо тепер електричний і магнітний потенціали падаючої хвилі й у вигляді рядів по [pic], використовуючи відоме розкладання пласкою хвилі по полиномам Лежандра:

[pic] (25) Тоді після перетворень получим:

[pic] (26) Потенціали [pic] і [pic] повинен мати ті ж самі кутову залежність, як і потенціали падаючого поля. Тому можна записать:

[pic] (27).

[pic] (28) Коефіцієнти [pic] слід визначити з умов (23), (24), які утворюють щодо пар коефіцієнтів [pic] і [pic] з цим значком [pic] дві незалежні системи з два лінійних рівняння. Запишемо їх, запровадивши такі позначення: [pic]; [pic] - відносний (комплексний) показник заломлення, [pic] - довжина хвилі випромінювання. Для [pic] і [pic] имеем:

[pic] (29) Аналогічна система виходить для [pic] і [pic]:

[pic] (30) Вирішуючи ці системи щодо [pic] і [pic], получим:

[pic] (31) Аналогічні висловлювання виходять й у [pic] і [pic]. Підставляючи ці висловлювання на (27) і (28), отримуємо однозначне рішення рівнянь для потенціалів, що задовольнить всім граничним умовам. З потенціалів, в відповідність до (14), можна було одержати висловлювання для складових внутрішнього і дифрагированного полів. Позаяк у подальшому нас цікавити дифрагированное полі, то випишемо лише складові, відновивши опущений раніше множник Е0:

[pic] (32) Штрихи скрізь означають похідні по аргументу, зазначеному під знаком функції ([pic] і [pic]). На досить великій відстані від аналізованої частки, в так званої хвильової зоні, можна знехтувати складовими Er і Hr проти складовими по [pic] і [pic]. Дифрагированное полі буде поперечної хвилею, що розпросторюється із джерела дифракції. Ввівши обозначения.

[pic] (33).

[pic] (34) і застосовуючи асимптоматические висловлювання для функцій [pic] при [pic], получим:

[pic] (35) Відповідно до цих формулам, дифрагированное полі представляється як сум окремих парциальных хвиль. Інтенсивність порушення [pic]-й парциальной хвилі визначається числами [pic], що значно залежить від [pic].

Поле поза частки [pic] є суперпозиція падаючого [pic] і дифрагированного [pic] полей:

[pic] (36) Середня у часу величина вектора потоку енергії определяется.

[pic] (37) де [pic] - вектор, комплексно у поєднанні до [pic]. З огляду на (36) потік може бути подано у вигляді [pic], де [pic] - потік падаючого поля, [pic] - дифрагированного поля і [pic] - потік, зобов’язаний інтерференції падаючого і розсіяного випромінювань. Визначимо величини перетинів поглинання сп і розсіювання порівн випромінювання частицей.

[pic] (38) де J0 — інтенсивність падаючого випромінювання, [pic] - радіальні складові потоків, [pic] - елемент тілесного кута, а [pic] - елемент площі на сфері. Усі інтеграли поширені по сфері. Повне ослаблення потоку в результаті проходження їм частки складатиметься з розсіювання і поглинання, тобто. для перерізу ослаблення випромінювання часткою маємо з = сп + порівн. Оскільки потік падаючого випромінювання постійний в напрямі, то [pic] й у шуканих перетинів получим.

[pic] (39).

[pic] (40) Розглянемо інтеграл в (39). Маємо [pic] Підставляючи сюди вираз (32) для полів, виконуючи інтегрування по [pic] і групуючи відповідним чином члени, одержимо подвійну суму наступних двох типів выражений:

[pic] Сума матиме загальний множник [pic]. Обидва інтеграла легко обчислюються. Інтеграл а) нульовий, оскільки його подынтегральное вираз є [pic], а функція [pic] дорівнює нулю при [pic]. У интеграле б) перетворимо спочатку перше складова, проинтегрировав його за частям.

Заключение

.

У дипломної роботі наведено приклади застосування диференційних рівнянь для моделювання таких реальних процесів, як коливання струни, електричні коливання в проводах, поширення тепла в стрижні і просторі, поширення температурних хвиль у грунті, дифракція випромінювання на сферичної частице.

Робота починається з розгляду найпростіших завдань, що призводять до диференційним рівнянням гіперболічного типу (коливання струни, електричні коливання в проводах). Потім розглядається одне із методів рішення рівнянь такого типу. У другій главі розглядаються диференціальні рівняння параболического типу (поширення теплових хвиль) і з додатків до сфери — температурні хвилі. У третій главі розглядається висновок рівняння дифракції випромінювання на сферичної частице.

У результаті великого об'єму теорії щодо застосування диференційних рівнянь для моделювання реальних процесів у цій дипломної роботі не міг стати розглянутий весь материал.

На завершення хотілося б вирізнити особливу роль диференційних рівнянь під час вирішення багатьох завдань математики, фізики та техніки, оскільки часто вже не вдається встановити функціональну залежність між шуканими та даними перемінними величинами, зате вдається вивести диференціальний рівняння, що дозволяє точно передбачити перебіг певного процесу за певних условиях.

1. М. З. Піскунов «Диференціальний і інтегральне обчислення», М.,.

«Наука», 1972, тому. 2. 2. І. М. Уваренков, М. З. Маллер «Курс математичного аналізу», М.,.

«Просвітництво», 1976. 3. А. М. Тихонов, А. А. Самарський «Рівняння математичної фізики», М.,.

«Наука», 1972. 4. Владимиров У. З. «Рівняння математичної фізики», М., «Наука», 1988.

1 Це еквівалентно з того що ми нехтуємо величиною [pic] проти 1. Справді, [pic].

———————————- подпись подпись.

u.

M2.

M1.

M.

[pic].

x2.

x1.

x.

x.

[pic].

M.

[pic].

??? " ???-??/???†??? " ??? " ?? ?-??/???†???-??/???†???[pic].

[pic].

[pic].

x.

x.

[pic].

x2.

x1.

(6).

(13).

(3).

(4).

y.

x.

z.

[pic].

[pic].

[pic].

r.