Числення предикатів. 
Теорія першого порядку

РЕФЕРАТ На тему:

Числення предикатiв. Теорiя першого порядку Числення предикатiв, тобто формальна теорiя предикатiв будується за вищенаведеною класичною схемою побудови формальних (математичних) теорiй.

1. Алфавiт числення предикатiв, тобто множина вихiдних символiв складається з предметних (iндивiдних) змiнних x1, x2,…, предметних (iндивiдних) констант a1, a2,…, предикатних букв P11, P21,…, Pkj,… i функцiональних букв f11, f21,…, fkj,…, а також знакiв логiчних операцiй кванторiв роздiлових знакiв (,), , (кома).

Верхнi iндекси предикатних i функцiональних букв вказують на число аргументiв (арнiсть), а нижнi використовують для звичайної нумерацiї букв.

2. Поняття формули означають у два етапи.

Спочатку означають поняття терма.

а). Предметнi змiннi i предметнi константи є термами.

б). Якщо f n — функцiональна буква, а t1, t2,…, tn — терми, то f n (t1,t2,…, tn) — терм.

в). Iнших термiв, крiм утворених за правилами а) i б), немає.

Вiдтак, формулюють означення формули.

а). Якщо Pn предикатна буква, а t1, t2,…, tn — терми, то Pn (t1,t2,…, tn) — формула, яка називається елементарною. Усi входження предметних змiнних у формулу Pn (t1,t2,…, tn) називають вiльними.

б). Якщо F1, F2 — формули, то вирази (, (F1, (F1, (F1 теж є формулами. Усi входження змiнних, вiльнi у F1 i F2, є вiльними й в усiх чотирьох видах формул.

в). Якщо F (x) — формула, що мiстить вiльнi входження змiнної x, то x) i x) — формули.

У цих формулах усi входження змiнної x називають зв’язаними. Входження решти змiнних у F залишаються вiльними.

г). Iнших формул, нiж побудованих за правилами а), б) i в), немає.

Зауваження. Функцiональнi букви i терми введено в означення для потенцiйних потреб рiзноманiтних конкретних прикладних числень предикатiв. У прикладних численнях предметна область M є, як правило, носiєм певної алгебраїчної системи, тому в численнi доцiльно мати засоби для опису операцiй i вiдношень, заданих на M. Чисте числення предикатiв будується для довiльної предметної областiструктура цiєї областi i зв’язки (вiдношення) мiж її елементами не беруться до уваги, тому в ньому вводити функцiональнi букви i терми не обов’язково.

3. Аксiоми числення предикатiв утворюють двi групи аксiом.

а). Першу групу складають аксiоми довiльного числення висловлень (наприклад, можна взяти будь-яку з вищенаведених двох систем A1-A10 або S1-S3). Як правило, цi аксiоми є схемами аксiом.

б). У другу групу входять так званi предикатнi аксiоми:

P1. x)),.

P2. F (y)xF (x).

У цих аксiомах F (x) — будь-яка формула, яка мiстить вiльнi входження x, причому жодне з них не знаходиться в областi дiї квантора по y. Формулу F (y) отримуємо з F (x) замiною всiх вiльних входжень змiнної x на y.

Останнє зауваження означає, що формула F (x) не може мати, наприклад, вигляд x, y) або (x))) тощо.

4. Правилами виведення у численнi предикатiв є такi правила.

а). Правило висновку (modus ponens) — те саме, що й у численнi висловлень.

б). Правило узагальнення (правило введення квантора з A) виводиться AxB (x).

в). Правило введення квантора з B (x)виводяться x)/p>

В обох останнiх правилах формула B (x) мiстить вiльнi входження x, а A їх не мiстить.

Правило пiдстановки в нашому численнi вiдсутнє. Отже, з двох можливих методiв побудови числення обрано метод зi схемами аксiом. Побудова числення предикатiв з правилом пiдстановки можлива, однак вона є суттєво бiльш громiздкою через необхiднiсть розрiзняти при пiдстановках вiльнi i зв’язанi входження предметних змiнних. Тому частiше в логiцi використовують пiдхiд зi схемами аксiом.

Поняття виведення (доведення) формули, поняття теореми, виведення формули з множини гiпотез означаються у численнi предикатiв аналогiчно тому, як це було зроблено у численнi висловлень. Мають мiсце також теореми, подiбнi до теорем 5.5 i 5.6 числення висловлень.

Теорема 5.7. Будь-яка вивiдна формула (теорема) числення предикатiв є тотожно iстиною (логiчно загальнозначущою) формулою.

Ця теорема доводиться аналогiчно теоремi 5.5. Спочатку безпосередньо перевiряється, що всi аксiоми є лзз формулами. Вiдтак, доводиться, що усi правила виведення зберiгають властивiсть лзз.

Теорема 5.8. Будь-яка тотожно iстинна предикатна формула є вивiдною (теоремою) в численнi предикатiв.

Доведення цiєї теореми досить складне i тут не наводитиметься.

З останнiх теорем випливає твердження, подiбне до твердження теореми 5.1.

Теорема 5.9. Предикатнi формули A i B рiвносильнi тодi i тiльки тодi, коли формула ((A є вивiдною в численнi предикатiв, тобто є лзз.

Як i ранiше, для скорочення виразу ((A вводять операцiю ~ i записують даний вираз у виглядi (A~B). Отже, останню теорему можна переформулювати так: формули A i B рiвносильнi (A = B) тодi i тiльки тодi, коли формула (A~B) є вивiдною в численнi предикатiв.

Оскiльки, як вже зазначалось вище, встановлення рiвносильностi формул у логiцi предикатiв є задачею значно складнiшою, нiж у логiцi висловлень, то дуже важливе значення останнього твердження полягає у тому, що цю задачу можна звести до пошуку формального виведення для вiдповiдної формули.

Побудоване числення предикатiв називають численням предикатiв першого порядку, або теорiєю першого порядку. У такiй теорiї аргументами фунцiй i предикатiв, а також змiнними, що зв’язуються кванторами, можуть бути лише предметнi змiннi. У численнях другого i вищих порядкiв аргументами предикатiв можуть бути i предикати, а квантори можуть зв’язувати i предикатнi змiннi, тобто допустимi вирази, наприклад, вигляду (x)). Застосування таких числень зустрiчається значно рiдше, тому в математичнiй логiцi їм придiляють менше уваги.