Матриці. 
Загальна інформація (реферат)

МАТРИЦІ. ЗАГАЛЬНА ІНФОРМАЦІЯ.

Основні означення Прямокутна таблиця чисел aij = 1, 2, … mj= 1, 2, …, n, скла­дена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді.

$$\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}{a}_{\text{12}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{1n}\\ a_{\text{21}}{a}_{\text{22}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}{a}_{m2}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{\text{mn}}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ A=\\ \end{array}$$ або $$\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}{a}_{\text{12}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{1n}\\ a_{\text{21}}{a}_{\text{22}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}{a}_{m2}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{\text{mn}}\\ \\ \mathit{rdli}\\ \\ \\ \begin{array}{c}\end{array}\\ A=\\ \end{array}$$.

називається матрицею. Поняття матриці вперше ввели англійські математики У. Гамільтон і Д. Келі. Коротко матрицю позначають так:

$$A=(a_{\text{ij}})$$ або $$A=a_{\text{ij}}$$.

де aij — елементи матриці, причому індекс і в елементі aij означає но­мер рядка, ajномер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.

Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають m X n. Якщо хочуть вказати розмір m X n мат­риці А, то пишуть Аm $$$$ n.

Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, назива­ється квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком. Матриця, у якої всього один рядок, назива­ється матрицею-рядком, а матриця, у якої всього один стовпець, — матрицею-стовпцем. Дві матриці Аm $$$$ n=(aij) та Вm $$$$ n= (bij) нази­ваються рівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відпо­відні елементи: аij = bij. Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О. Як і в визначниках (п. 1.1), в квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагональ.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елемен­ти, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорів­нює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. На­приклад, одинична матриця третього порядку має вигляд.

$$\begin{array}{c}100\\ 0\text{1 0}\\ 0\text{0 1}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ E=\\ \end{array}$$.

Будь-якій квадратній матриці.

$$\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}{a}_{\text{12}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{1n}\\ a_{\text{21}}{a}_{\text{22}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}{a}_{n2}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{\text{nn}}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ A=\\ \end{array}$$.

можна поставити у відповідність певне число, яке називається ви­значником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом det А. За означенням.

det A= $$\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}{a}_{\text{12}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{1n}\\ a_{\text{21}}{a}_{\text{22}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a{}_{n1}{a}_{n2}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{\text{nn}}\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \begin{array}{c}||||||\end{array}\\ \hfill \\ \end{array}$$.

Наприклад, якщо

$$\begin{array}{c}0\text{1}\\ 3\text{5}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\end{array}\\ A=\\ \end{array}$$ то det $$\begin{array}{c}0\text{1}\\ 3\text{5}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\end{array}\\ A=\\ \end{array}$$.

Прямокутна матриця розміром т X п (п ф пі) визначника не має.

Дії над матрицями

1°. Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакового розміру. Сумою С = А + В двох матриць Аm $$$$ n — (aij) і Вm $$$$ n = (bij) називається матриця Сm $$$$ n= (cij)=(aij+bij). На­приклад,.

$$\begin{array}{c}-1\text{2 3}\\ 1\text{5 0}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ ()+\\ \\ \text{3 2 0}\\ 1\text{3 4}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ ()=\\ \\ \text{2 4 3}\\ \text{2 8 4}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\end{array}\\ \hfill \\ \end{array}$$.

2°. Добутком матриці Аm $$$$ n = (aij) на число k (або числа k на матрицю Am $$$$ n) називається матриця Вm $$$$ n= (kaij). Наприклад,.

$$\begin{array}{c}1\text{2 3}\\ 0\text{-1 -3}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \text{1 2 3}\\ \text{0 -1 -3}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \text{2 4 6}\\ \text{0 -2 -6}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\end{array}\\ 2\\ \end{array}$$.

3°. Різниця матриць, А — В визначається як сума матриці А і мат­риці В, помноженої на — 1:

Справедливі такі властивості операцій:

а) А — В = В + А — комутативність відносно додавання мат­риць;

б) А + (В + С) — (А + В)+С — асоціативність відносно до­давання матриць;

в) А + О — АА — А = О — роль нульової матриці в діях над матрицями така, як і числа нуль в діях над числами;

г) $$$$ (($$$$ — асоціативність відносно множення чисел;

д) $$$$ (А + В) = $$$$ А + $$$$ В — дистрибутивність множення на чис­ло відносно додавання матриць;

е) ($$$$ + - $$$$ А + дистрибутивність множення на мат­рицю відносно додавання чисел.

4°. Операція множення двох матриць вводиться лише для узго­джених матриць. Матриця, А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В.

Якщо ця умова не виконується, тобто матриці неузгоджені, то множення таких матриць неможливе.

З узгодженості матриці А з В не випливає, взагалі кажучи, узго­дженість матриці В з А.

Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені.

Добутком С = А В матриці Аm $$$$ n — (аij) на матрицю Bn $$$$ k=(bij) називається така матриця, у якої елемент сij дорівнює сумі добутків елементів j-го рядка матриці А на відповідні елементи четвертого стовпця матриці В:

cij=ai1b1j+ai2b2j+ … + ainbnjC = Cm $$$$ k = (cij),.

i = 1, 2, …, mj = 1, 2, …, k.

Це означення називають правилом множення рядка на стовпець. На­приклад, щоб визначити елемент с24, що стоїть в другому рядку і чет­вертому стовпці матриці С = АВ, потрібно знайти суму"добутків еле­ментів другого рядка матриці А на відповідні елементи четвертого стовпця матриці В.

Для дій 1°-4° над матрицями виконуються такі властивості (за умови, що вказані операції мають зміст):

а) (АВ) С = А (ВС) — б) ($$$$ А) В = А ($$$$ В) = $$$$ (АВ);

в) (A + В) С = AС + BСг) С (A + В) = СA + СB;

д) A • О = О • А = Ое) АЕ = ЕА = Aе) det (A5) = det, А $$$$ X det 5.

Обернена матриця

Нехай, А — квадратна матриця. Матриця A-1 називається обер­неною до матриці А, якщо виконується умова, А А-1 = А-1А = Е.

Квадратна матриця, А називається виродженою, якщо det А=0, і невиродженою, якщо det, А /=0.

Теорема 3. Для існування оберненої матриці А-1 необхідно і до­статньо, щоб матриця, А була невиродженою.

О Необхідність. Нехай обернена матриця A-1 існує, тоді AA-1= Е. Застосовуючи правило знаходження визначника добутку двох матриць, маємо det A • det A-1 = 1, тому det, А /= 0.

Достатність. Нехай det, А /=0, тоді матриця A має обернену матрицю А-1 причому.

$$A^{-1}=\frac{1}{\text{det}A}$$ $$\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}{a}_{\text{12}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{1n}\\ a_{\text{21}}{a}_{\text{22}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}{a}_{m2}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{\text{mn}}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ \hfill \\ \end{array}$$, ().

де Аij — алгебраїчні доповнення елементів аij визначника матриці.

$$\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}{a}_{\text{12}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{1n}\\ a_{\text{21}}{a}_{\text{22}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}{a}_{n2}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{\text{nn}}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ A=\\ \end{array}$$ ().

Дійсно, добутки AA-1 і А-1 A матриць () і () дорівнюють матри­ці, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці (за теоремою 1), а всі недіагональні елементи — нулю (за теоремою 2). От­же, А-1А = АА-1 = Е.

Покажемо, що А-1- єдина обернена матриця. Нехай А" - ще одна обернена матриця, тоді.

А-1 = А-1Е = А-1(АА") = (А-1А)А" = ЕА" = А" .

Ранг матриці

Нехай задано матрицю Аmхn= А. Виділимо в матриці А будь-які k рядків і стільки ж стовпців, де k — число, не більше чисел m і n, тоб­то k $$$$ min (m, n).

Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перети­ні виділених рядків і стовпців, називається мінором k-го порядку мат­риці А.

Рангом r (А) матриці А називається найбільший з порядків ЇЇ мі­нор ів, відмінних від нуля.

Безпосередньо з означення випливає, що:

1) Ранг існує для будь-якої матриці Аmхn, причому.

0 $$$$ r (A) $$$$ min (m, n);

2) r (А) = 0 тоді і тільки тоді, коли, А = 0;

3) для квадратної матриці n-го порядку ранг дорівнює n тоді і тіль­ки тоді, коли матриця невироджена.

Ранг матриці можна знайти так. Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то r = 0. Якщо хоч один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого по­рядку дорівнюють нулю, то r = 1. У випадку, коли є мінор другого по­рядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінори третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори по­рядку k дорівнюють нулю, або мінорів порядку k не існує, тоді r = k — 1.

Вказаний метод знаходження рангу матриці не завжди зручний, тому що пов’язаний з обчисленням значного числа визначників. Про­стіший метод грунтується на тому, що ранг матриці не змінюється, якщо над матрицею виконати так звані елементарні перетворення, а саме [1].

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Основні означення Системою m лінійних рівнянь з n невідомими х1×2, …, хn назива­ється система виду.

$$\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}{x}_1+a_{\text{12}}{x}_2++a_{1n}{x}_n=b_1-\\ a_{\text{21}}{x}_1+a_{\text{22}}{x}_2++a_{2n}{x}_n=b_2-\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+a_{\text{mn}}{x}_n=b_m\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ ().

Числа аij, і = 1, 2, … mj = 1, 2, …, n біля невідомих назива­ються коефіцієнтами, а числа bi — вільними членами системи ().

Система рівнянь () називається однорідною, якщо всі вільні чле­ни дорівнюють нулю, і неоднорідною, якщо хоч один з них відмінний від нуля.

Множина чисел а1, а2, …, аn називається впорядкованою, якщо вка­зано порядок слідування цих чисел, тобто вказано, яке з них є пер­шим, яке другим, яке третім і т. д. Наприклад, якщо впорядкована трійка чисел, то в запису а, b, с число, а вважається першим, bдру­гим, с — третім, в запису b, а, с першим е число b, другим — число, а і третім — число с.

Упорядкований набір n чисел ($$x_1^0,x_2^0,\text{.}\text{.}\text{.}\text{,}{x}_n^0$$) називається розв’яз­ком системи (), якщо при підстановці цих чисел замість невідомих х1, x2, …, хn усі рівняння системи перетворюються в тотожності. Таку систему чисел називають також n-вимірним вектором, або точкою n-вимірного простору (див. п. 2.6, гл. 2).

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний роз­в'язок, тобто існує тільки один набір n чисел $$x_1^0,x_2^0,\text{.}\text{.}\text{.}\text{,}{x}_n^0$$, який пере­творює всі рівняння системи () в тотожності.

Сумісна система називається невизначеною, якщо вона має більше, ніж один розв’язок.

Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо вони мають одну й ту ж множину розв’язків. Еквівалентні системи ді­стають, зокрема, внаслідок елементарних перетворень даної системи. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь відповідають еле­ментарним перетворенням матриці (п. 2.4) за умови, що вони викону­ються лише над рядками матриці.

Розв’язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера

Нехай задано систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими х і у:

$$\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}x+a_{\text{12}}y=b_1-\\ a_{\text{21}}x+a_{\text{22}}y=b_2\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ ().

Виконаємо такі елементарні перетворення системи (): спочатку помножимо перше рівняння на а22. Друге — наа12, а потім складемо їхпісля цього перше рівняння помножимо на а21, а друге — наа11 і складемо їх. Дістанемо систему.

$$\begin{array}{c}x(a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}-a_{\text{21}}{a}_{\text{112}})=b_1{a}_{\text{22}}-b_2{a}_{\text{12}}-\\ y(a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}-a_{\text{21}}{a}_{\text{12}})=b_2{a}_{\text{11}}-b_1{a}_{\text{21}}\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Систему () можна записати за допомогою визначників:

$$\begin{array}{c}x={}_x-\\ y={}_y,\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

де.

$$\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}{a}_{\text{12}}\\ a_{\text{21}}{a}_{\text{22}}\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \begin{array}{c}||\end{array}\\ =\\ \end{array}$$ — $$\begin{array}{c}{b}_1{a}_{\text{12}}\\ b_2{a}_{\text{22}}\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \begin{array}{c}||\end{array}\\ {}_x=\\ \end{array}$$ — $$\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}{b}_1\\ a_{\text{21}}{b}_2\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \begin{array}{c}||\end{array}\\ {}_y=\\ \end{array}$$ .

Визначник $$$$, складений з коефіцієнтів системи (), називається визначником системи. Визначники $$$$ у та $$$$ х утворюються з визначника $$$$ відповідно заміною стовпців при невідомих х та у вільними членами.

Використана література.

1. Беклемышев Д. В. Курс аналитической геометрии й линейной алгебры.- М.: Наука, 1987. 320 с.

2. Бронштейн Й. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров й учащихся втузов.- М.: Наука, 1986. 544 с.

3. Бурбаки Н. Очерки по истории математики.- М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 151 с.

4. Бугров Я. С., Никольский С. М. Елементи линейной алгебри й аналитической геометрии.- М,: Наука, 1983. 228 с.

5. Бугров ЯС., Никольский С. М. Дифференциальное й интегральное нечисленне.- М.: Наука, 1988. 431 с.

6. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения: Кратные интегралы. Ряди.- М.: Наука, 1989. 464 с.

7. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравне­ния.- К.: Вища шк., 1989. 384 с.

8. Головина Л. Й. Линейная алгебра й некоторые ее приложения.- М.: Наука, 1985., 392 с.

9. Давидов М. О. Курс математичного аналізу: В 3 ч.- К.: Вища шк., 1990; 1992. Ч. 1. 383 с.- Ч. 2. 366 с.- Ч. 3. 359 с.