Полные лекцій з аеродинаміці і динаміці польоту. 
Частина 1

Теорія польоту (аеродинаміка і динаміка польоту) (наука фундаментальна сувора, яка спирається математичний апарат. Але, як і будь-якої науці, про ній можна розмовляти кухні, спираючись на інтелект відповідного рівня. На жаль, і сьогодні з’являються «вчені «, намагаються на кухонному рівні пояснити основні закони природи, зокрема і аеродинаміки і динаміки польоту. Та з допомогою цих пояснень намагалися вирішити серйозні завдання у авіації, це і призводить до плачевним результатам: після відриву від Землі перші літаки «раптом «круто пікірували в Землю; за високої швидкості літаками з першими турбореактивними двигунами (ТРД) «раптом «з'являлася тряска і літак розсипався; подолання звукового бар'єра так важко давалося; перевантажені літаки не можуть завершити злет — і т.п.

Тому ми з вами будемо вивчати науку лише на рівні вищої освіти. А цього доведеться добре згадати математику, теоретичну механіку і математичне моделирование.

Людина дуже довго хотів літати, як птах (намагався це робити, але безуспішно. І тільки Ньютон зміг чітко вирізнити чинники, що визначають можливість польоту тіла, важче воздуха.

Давайте повторимо ці міркування Ньютона. З одного боку, птахи важче повітря, але літають! З іншого боку, з власного досвіду знаємо, що кулясте важке тіло без сторонніх зовнішніх сил піднятися у повітря не може. Чому ж найпростіша модель птахи (повітряний змій злітають в воздух?

Щоб змій полетів, потрібна наявність наступних чинників: щільність середовища (на Місяці змій не полетить), швидкість (вітру чи бігуна) і спеціальна геометрія тіла (кут атаки, створюваний спеціально підібраними веревочками). Ці феноменологічні міркування необхідно надати форму суворої теорії (моделі), з допомогою якої було б проводити розрахунок польоту будь-якого літального апарату (ЛА) за будь-яких умов. Адже за створенні Ил-96 хто б стрибав з прототипом його крила з дзвіниці, щоб переконатися у можливості полета!

1. КІНЕМАТИКА СУЦІЛЬНИЙ СРЕДЫ.

1.1. Основні гіпотези механіки суцільний среды.

Насамперед, займемося вивченням середовища. Для її описи необхідні повні і несуперечливі моделі руху газоподібних, рідких i твердих деформируемых тіл, засновані на методах теоретичної механіки та деяких менших додаткових гіпотезах. Узгоджена система таких моделей носить назва механіки суцільний среды.

Усі тіла складаються з багатьох окремих елементарних частинок, взаємодіючих складним чином у електромагнітному і гравітаційному полях. Існують припущення, і про інші, поки невідомих полях. Тому вивчення матеріальних тіл як сукупності елементарних частинок вимагає запровадження додаткових гіпотез про їхнє властивості і взаємодію. Крім того, на вирішення рівнянь динаміки треба зазначити початкові умови, тобто. координати і швидкості всіх частинок, що принципово неможливо. Проте задля рішення практичних завдань не обов’язково знати рух кожної частки (досить накреслити певні осредненные характеристики. Такий науковий підхід застосовується з урахуванням вероятностного описи і перспективи використання законів і розподілу і називається статистическим.

Механіка суцільний середовища використовує інший підхід (феноменологический, заснований на емпіричних гіпотезах, підтверджених людський досвід [1].

1) Гіпотеза сплошности, запропонована Бернуллі, постулює тіло як безперервну середу, заполняющую певний обсяг, і необхідна до застосування математичного апарату диференціального і інтегрального исчисления.

2) Гіпотезу безперервності метричного простору, тісно пов’язану з попередньої, вводять визначення координат і расстояний.

3) Наступна гіпотеза припускає можливість запровадження єдиної всім точок простору декартовой системи координат. Нагадаємо, що у декартовой системі координат кожна точка простору має справжні координати. Ця гіпотеза дозволяє застосовувати апарат аналітичної геометрии.

4) У механіці суцільний середовища постулюється абсолютність часу всім систем відліку, тобто. не враховуються ефекти теорії относительности.

Ці гіпотези природні з погляду людського досвіду і геть виправдані для дослідження явищ, які у дуже великих коштів і не занадто малих обсягах з невеликими швидкостями (в макросвіті. З них, будуються всі наступні стану та висновки теории.

1.2. Терміни механіки суцільний среды.

Швидкість розглядатимемо її як полі вектора у кожному точці простору, задаваемой радиус-вектором [pic] цієї точки з координатами x, y, z, у кожний час t:

[pic] (1.1).

или по координатам:

[pic] (1.2).

Очевидный суть цих рівнянь у тому, що швидкість визначається, як похідна за часом від функції місцеположення частки cреды [pic](x, y, z, t).

Рівняння (1.1) чи (1.2), що задають становище [pic](x, y, z, t) частки в просторі у кожний час як вирішення диференціального рівняння, можна як траєкторію її движения.

Якщо полі вектора швидкості суцільний середовища [pic] залежить від часу у кожній фазі простору, то рух називається стаціонарним чи які встановилися. У випадку [pic] і рух називається нестационарным чи неустановившимся.

Лініями струму в механіці суцільний середовища називаються лінії, які у кожен фіксований час мають у своєму кожній своїй точці касательные, збігаються з вектором швидкості. Отже, частки середовища, потрапили на лінію струму, немає складової швидкості впоперек нього і що неспроможні її перетнути. Лінії струму необхідні отримання теоретично математично суворих висновків. Насправді лінії струму у прозорій рідини з зваженими частинками нерозчинною фарби можна зафіксувати фотографуванням з маленькій витримкою (короткі сліди цих частинок, зливаючись, вырисовывают лінії струму. Рівняння лінії струму в останній момент часу t запишеться в термінах аналітичної геометрії, за умови коллинеарности векторов:

[pic]. (1.3).

Таким чином, картина ліній струму в нестационарном русі постійно змінюється. При що встановилася русі виправдатись нібито відсутністю рівнянні (1.3) часу t призводить до збігу ліній струму з траєкторіями частиц.

Трубчаста поверхню, освічена лініями струму, що проходять через деяку замкнуту криву, називається трубкою струму. Частинки суцільний середовища не перетинають стінок трубки струму, які мають нормальних до них складових скорости.

Якщо компоненти вектора швидкості не звертаються до нуль і зі своїми першими похідними однозначні не мають розривів, те решіння рівняння (1.3) є і єдино. У протилежному разі існування чи одиничність може порушуватися, тобто. у деяких точках простору лінії струму можуть гілкуватися чи вироджуватися в точку. Такі точки називаються особливими чи критическими.

Нагадаємо деякі математичні терміни [4] стосовно швидкості, заданої у просторі (полю скоростей.

Вектором [pic] будемо позначати поверхню із зазначеним напрямом нормальний [pic], зреалізований через поодинокі вектори осей координат: [pic], а скаляром P. S (площа тільки цієї поверхности.

Потоком швидкості через поверхню [pic] з заданим вектором нормальний [pic] називається поверховий интеграл.

[pic] (1.4).

где Vn позначає проекцію швидкості на одиничний вектор нормальний [pic] до поверхні [pic].

Градієнтом називається векторна функція скаляра:

[pic]. (1.5).

Ротор швидкості (вихор) визначається формулой:

[pic], (1.6).

а дивергенція скорости:

[pic]. (1.7).

Циркуляцией швидкості по замкненому контуру L з певним напрямом обходу називається вигнутий интеграл:

[pic]. (1.8).

Відомі теореми векторних полів [4] можна й від поля швидкостей. Теорему Стокса:

[pic] (1.9).

справедлива при орієнтації обходу контуру L і нормальний до натягнутою нею поверхні [pic] за правилом правого гвинта, а теорема ОстроградськогоГаусса:

[pic] (1.10).

при умови, що замкнута поверхню [pic] обмежує обсяг W.

Повну похідну за часом від скаляра A ([pic], t) можна визначити по відомої [4] формуле:

[pic] (1.11).

Похідну [pic] від інтеграла по произвольному рухливому обсягу W, де від t залежить як подынтегральная функція, а й обсяг, обчислимо з допомогою визначення производной:

[pic].

В останньому межі W «(W утворюється зрушенням елементарних майданчиків dS поверхні P. S, яка обмежує W, на відстань VndS. З іншого боку, при (t (0: f ([pic], t+(t) (f ([pic], t) і деформована поверхню P. S ((P.S, тому межа приймає значення [pic] (порівняйте з (1.4)) чи [pic] по теоремі Остроградского-Гаусса (1.10). Звідки з рівняння (1.11):

[pic] (1.12).

Вектор [pic][pic] (0 також можна розглядати, як полі вектора ротора швидкості [pic][pic]([pic], t) (вихрове полі. Безпосередньою перевіркою переконаємося, що завжди div[pic][pic] = 0. Звідси по теоремі Остроградского-Гаусса слід, що потік ротора швидкості крізь будь-яку замкнуту поверхню дорівнює нулю:

[pic]. (1.13).

У вихровому полі з аналогії з полем швидкостей виділяють вихревую линию:

[pic] (1.14).

и вихревую трубку. Оскільки через бічну поверхню вихоровий трубки по визначенню немає потоку ротора швидкості, те з (1.13) випливає сталість такого потоку через будь-яке її поперечне перетин (перша кінематична теорема Гельмгольца про вихрах). Ця величина називається інтенсивністю вихоровий трубки. Відповідно до теоремі Стокса (1.9) вона дорівнює циркуляції швидкості по контуру, утворюючому вихревую трубку:

[pic]. (1.15).

1.3. Рівняння неразрывности.

Як відомо, щільність речовини у фізиці вводиться граничним переходом: [pic], де у механіці суцільний середовища слід розуміти під (m масу речовини, закладену обсягом (W. Подивимося, як виглядатиме закон збереження маси [pic] для довільного рухомого обсягу суцільний середовища, котрій [pic]. З (1.12) тоді следует:

[pic],.

или з довільності обсягу W:

[pic]. (1.16).

Это рівняння називається рівняння нерозривність (непрерывности).

Розглянемо окремі випадки рівняння нерозривність. Для стаціонарного (встановленого) руху суцільний середовища з (1.16) з урахуванням (1.7) следует:

[pic], (1.17).

а якщо, ще, середовище несжимаемая ([pic], зокрема і неоднорідна), то:

[pic]. (1.18).

Тобто. по теоремі Остроградского-Гаусса (1.10) усталений потік швидкості несжимаемой середовища (1.4) крізь будь-яку замкнуту поверхню дорівнює нулю. Оскільки через бічну поверхню трубки струму з визначення немає потоку швидкості, то потік через будь-яке її поперечне перетин одинаков:

[pic] (1.19).

и чисельно дорівнює об'ємному витраті суцільний середовища. Звідси можна зробити висновок: всередині обсягу несжимаемой суцільний середовища трубки струму (і навіть лінії струму) що неспроможні ні починатися, ні заканчиваться.

1.4. Безвихревое і вихрове движение.

Рух суцільний середовища у певній області називається безвихревым, якщо у ній [pic][pic] = 0, і вихровим, якщо [pic][pic] (0 хоча в частину цієї області, званої вихрем.

[pic].

З визначення [pic][pic] (1.6) слід, що вихрове рух характеризується наявністю обертання кожної частки. Це ілюструється рис. 1, у якому крайні точки нескінченно малої частки середовища мають різні швидкістю силу наявності ненульовий величини [pic]. Якщо центр цієї частки спочиває, проте інші приватні похідні швидкості рівні нулю, то очевидно, що [pic][pic] (0 характеризує саме обертання нескінченно малої частки середовища. У безвихревом русі такого обертання немає й кожна частка середовища робить лише поступальний рух. Власне кажучи, вихрове рух виникає у реальної природі, наявністю кордонів (вільної поверхні, твердих стінок чи твердих тіл), і навіть явища вязкости.

Прикладами безвихревого руху можуть служить:

— стан спокою среды,.

— поступальний движение,.

— джерело і стік (коли частки середовища виходять із точки чи входить у неї виключно за лучам),.

— рух середовища навколо деякого кругового циліндра по концентрическим окружностям зі швидкістю, обернено пропорційній відстані від осі цилиндра.

Прикладами вихрового руху можуть служить:

— плаский зрушення (коли швидкість частинок вздовж деякою площині пропорційна відстані від цього плоскости),.

— обертання середовища навколо деякою осі, як твердого тіла (на відміну потенційного руху аналогічної геометрії у разі швидкість з видаленням від осі лінійно возрастает!).

2. ДИНАМІКА СУЦІЛЬНИЙ СРЕДЫ.

2.1. Сили і моменти в механіці суцільний среды.

Сили, розподілені за обсягом W, називаються об'ємними чи масовими. Вони позначаються [pic] і сягають до елементу маси (m = ((W. Тобто. сила, діюча на елемент маси, дорівнює [pic](m = [pic]((W, отже, розмірність [pic] збігаються з размерностью прискорення. Прикладами масових сил можуть бути гравітаційні, електромагнітні, инерционные.

Сили, розподілені поверхнею P. S, називаються поверхневими. Поверхневі сили будемо позначати вектором [pic] і відносити до елементу поверхні (P.S суцільний середовища. Тобто. [pic] має розмірність тиску. Такі сили виникають, наприклад, на вільної поверхні середовища, при взаємодії середовища з твердими тілами, і навіть всередині середовища (внутрішні поверхневі силы).

Внутрішні поверхневі сили необхідно розглядати щодо руху окремих частинок середовища з урахуванням їхньої механічного впливу на друга. Приміром, відбувається за відносному русі двох сусідніх стичних частинок. Це можна спостерігати будь-де суцільний середовища, причому для нескінченно малих частинок поверхні дотику dS можна побудувати у спосіб. Тоді й [pic], залежне від такої вибору, можна визначити по-різному залежно від dS, тобто. орієнтації нормальний цього майданчика, тому така взаємодія позначимо вектором [pic]S. З огляду на третього закону Ньютона одну з пари стичних частинок діє сила [pic]SdS, в іншу ([pic]SdS. Проте якщо дотику немає, тобто. якщо рух має розрив якихось своїх характеристик, то остання передумова може нарушаться.

[pic].

Вектор [pic]S у випадку не перпендикулярний до dS, тому розрізняють нормальну складову pSn, звану нормальним напругою чи нормальним тиском, і тангенциальную p. S (, звану дотичним напругою чи внутрішнім тертям: [pic]SdS = pSn[pic]dS + p. S ((dS.

Властивість вектора [pic]S розглянемо з допомогою уявлення нескінченно малої частки як тетраедра з ребрами, паралельними осях координат (рис. 2). Площі граней такого тетраедра рівні P. S, S (cos ([pic], x), S (cos ([pic], y), S (cos ([pic], z).

Масові сили вважатимемо постійними всього обсягу W = hS/3 нескінченно малої частки, а поверхневі сили [pic]1, [pic]2, [pic]3, [pic]S постійними у своїх гранях. Це дозволить застосувати до частинки початок Даламбера з теоретичної механики:

[pic].

откуда, скоротивши на P. S, і перейшовши до межі при h (0, отримуємо інваріантне у виборі майданчики равенство:

[pic]. (2.1).

Это означає, що є певний об'єкт P, компонентами якого розглядати вектори [pic], і навіть елементи матриці (pij) (матриці з компонент векторів [pic]. Об'єкт P з компонентами pij називається тензором внутрішніх напряжений.

Рівність (2.1) дозволяє застосувати теорему Остроградского-Гаусса (1.10) розрахуватися поверхневих сил:

[pic] (2.2).

Крім сил кожну частку рідини можуть діяти й моменти. Прикладом може бути момент магнітного поля Землі, діючий за кожен елемент стрілки компаса. Такий момент, котрий діє на елемент маси (m, будемо позначати [pic]. Його прийнято називати масової парою (масовим моментом). Розмірність [pic] збігаються з размерностью квадрата скорости.

Момент, котрий діє на елемент поверхні (P.S, будемо позначати [pic]. Він називається поверхневою парою (поверховим моментом) і має розмірність сили, діленої на длину.

2.2. Рівняння руху суцільний среды.

У теоретичної механіці відомо рівняння кількості руху матеріальної точки:

[pic],.

где у правій частині рівності стоїть сума всіх діючих її у сил. Узагальнимо це рівняння кінцевий обсяг суцільний середовища, що з частинок, як системи матеріальних точок, схильних до дії розглянутих розділ 2.1 об'ємних і поверхневих сил:

[pic]. (2.3).

Уравнение кількості руху кінцевого обсягу суцільний середовища (2.3), що є аналогом другого закону Ньютона, має фундаментальне значення для описи будь-яких рухів суцільний середовища. Воно справедливе й для розривних рухів, й у ударних процесів, що характеризуються розривними функціями координат і часу (але з порушеннями гіпотези сплошности (див. розділ 1.1).

Замінивши останнє складова в (2.3) з допомогою (2.2), получим:

[pic],.

левую частину доходів якого перетворимо з допомогою (1.12):

[pic].

Это дозволить записати рівність подынтегральных висловів для елементарного объема:

[pic].

Левую частину акцій цього рівняння своєю чергою можна перетворити з допомогою рівняння нерозривність (1.16):

[pic].

Отже, отримано основне диференціальний рівняння руху суцільний среды:

[pic], (2.4).

или в проекціях на осі декартовой системи координат:

[pic] (2.5).

где [pic] (компоненти масової сили [pic].

Зазначимо, що рівняння (2.4) і (2.5) отримані при наступних предположениях:

(безперервність і дифференцируемость векторів напруг [pic]1, [pic]2, [pic]3,.

(нерозривність среды,.

(безперервність характеристик движения.

Отже, для описи руху суцільний середовища є: скалярне рівняння нерозривність (1.16) родовищ і одне векторное (2.4) і три роки скалярних (2.5) рівняння руху. У цьому системі рівнянь при заданих зовнішніх масових силах [pic](Fx, Fy, Fz) невідомими функціями просторових координат і часу є: щільність (, швидкість [pic](Vx, Vy, Vz) і трьох вектора напруг [pic]1(p11,p21,p31), [pic]2(p12,p22,p32), [pic]3(p13,p23,p33) зі своїми дев’ятьма координатами. Оскільки число рівнянь менше ніж невідомих, то система незамкнута. Для її замикання необхідно використовувати додаткові співвідношень між невідомими. Такі співвідношення може дати модель конкретної среды.

2.3. Види суцільний среды.

Експериментальні дані показують, більшість середовищ має специфічним властивістю: відсутністю чи малістю дотичних напруг p. S (, тобто. вектор [pic]S вважатимуться перпендикулярным будь-який майданчику взаємодії dS і рівним нормальному напрузі pSn. Середовище, що має таким властивістю називають ідеальної рідиною чи ідеальним газом. Близькі таким звичайні повітря і вода при малих скоростях.

Зазначене властивість для будь-який майданчики з нормалью [pic] можна сформулювати співвідношенням, що випливають із (2.1):

[pic],.

где (p (загальне значення скалярних творів. Значимість p називають тиском. Його особливість залежить від незалежності він напрями аналізованого взаємодії частинок. При p > 0 середовище, як свідчить досвід, перебуває у стиснутому стані, тому й використаний знак мінус. Таким чином, матриця компонент тензора внутрішніх напруг у ідеальної рідини (газі) має вид:

[pic], (2.6).

и тензор P повністю визначається скаляром p.

Зрозуміло, що ідеальна рідина не єдино можлива модель суцільний середовища, що дозволяє визначити компоненти тензора внутрішніх напруг. Можна, наприклад, його компоненти як функції від деформації частки: у разі середовище називається пружною. У приватному разі лінійності це співвідношення набуває вигляду закону Гука. Вивченням таких середовищ займається теорія упругости.

Особливе місце у механіці суцільний середовища займає модель в’язкому рідини, передбачає зв’язок тензора внутрішніх напруг із приватними похідними швидкості по координатам. Є у вигляді ефект «тертя «верств в’язкому рідини між собою за наявності різниці їх поступальних швидкостей. У приватному разі лінійності зв’язок представляється як закону Навье-Стокса (чи узагальненого закону в’язкості Ньютона):

[pic], (2.7).

где [pic] (елементи одиничної матриці (з одиницями на головною діагоналі і нулями усім інших місцях), матриця розмірності 3(3, позначена e ((, називається тензором швидкостей деформації, а тензорный коефіцієнт лінійності Bij ((описує властивості в’язкому жидкости.

Якщо властивості середовища у різних напрямах однакові, вона називається ізотропного, інакше (анизотропной. У ізотропного середовищі Bij ((представляється симетричній матрицею розмірності 3(3(3(3, однаковою в будь-яку систему координат. Можна показати [1], у цьому цьому випадку всі компоненти тензора Bij ((виражаються всього лише за дві незалежні параметра (і (, званих коефіцієнтами Ламо, тому закон Навье-Стокса для в’язкому ізотропного рідини має вид:

[pic]. (2.8).

В теорії в’язкому рідини (називається коефіцієнтом внутрішнього тертя чи динамічним коефіцієнтом в’язкості, [pic] (кинематическим коефіцієнтом в’язкості (коефіцієнтом лінійної в’язкості), [pic] (другим коефіцієнтом в’язкості (коефіцієнтом об'ємної в’язкості). Розмірність (, (і (в СІ: [pic].

Неважко бачити, що вказані моделі для ідеальної і в’язкому рідини вводять ще одне невідому (тиск p. Тобто. для замикання системи рівнянь руху суцільний середовища виявляється за потрібне ще одне скалярне співвідношення. На цій посаді найчастіше застосовуються рівняння, які репрезентують різноманітні гіпотези зв’язку щільності і давления:

[pic].

Если таке співвідношення можна запровадити, то рідина називається баротропной. Виділяються такі приватні случаи.

1. [pic] (випадок несжимаемой рідини, чи [pic].

2. [pic], де З (стала, (випадок изотермического процесса.

3. [pic], де З і n (постійні, (випадок политропического процесу, n називається показником политропы.

4. [pic] (рівняння Клапейрона-Менделеева для досконалого газу, де [pic] (універсальна газова стала, [pic] (маса речовини в кг, чисельно рівна молекулярному вазі, T (абсолютна температура, яку необхідно ставити ще однією додатковим соотношением.