Зміст і методика узагальнюючого повторення на прикладі теми: «Чотирикутники»

повторення урок математика задача Розв’язанням однієї з важливих задач загальноосвітньої і професійної школи є посилення прикладної спрямованості навчання. У зв’язку з цим важливо виробити в учнів уміння при вирішенні конкретних питань орієнтуватися на істотні властивості об'єктів і явищ. Великі можливості для формування такого вміння має вивчення теми «Чотирикутники».

Пропонований матеріал представляє великі можливості для організації різних форм колективної учбово-пізнавальної діяльності учнів, формування їхнього діалектико-матеріалістичного світогляду, закладає фундамент для розвитку вміння застосовувати геометричні знання при вирішенні питань життєво-практичного і виробничого характеру.

В якості провідної ідеї візьмемо ідею чіткого розмежування властивостей і ознак паралелограма і його частинних випадків.

Насамперед потрібно домогтися, щоб учні навчилися розрізняти поняття «властивість фігури» і «ознака фігури». Якщо дано, що фігура паралелограм, і виходячи з цього доводять деякі співвідношення між елементами розглянутої фігури, то кожне з цих співвідношень називається властивістю фігури, про яку мова йде в умові теореми.

У теоремі ж «Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться пополам, то цей чотирикутник — паралелограм» вказані співвідношення між елементами деякого чотирикутника (АО=ОС, ВО=ОD) і доводиться, що при їх виконанні чотирикутник буде належати до класу паралелограмів (буде паралелограмом). У цьому випадку умови (АО=ОС, ВО=ОD) називають ознаками паралелограма, тому що при їх виконанні ми можемо впевнено стверджувати, що чотирикутник, для якого виконуються ці умови, обов’язково буде паралелограмом (теорема).

Більш глибокого й свідомого засвоєння понять «властивість» і «ознака» можна домогтися, якщо зв’язати їх з поняттями «необхідна умова», «достатня умова», «необхідна і достатня умова».

Повідомляємо школярам, що будь-яка теорема може бути записана у вигляді АЮB, де, А — умова теореми (що дано), а В — висновок теореми (що потрібно довести).

Якщо доведена теорема А? B, то, А є достатнім для В (як тільки є А, то зараз же буде й B), а В — необхідне для А, з, А необхідно випливає В.

Ще більш переконливе обґрунтування того, чому умова B вважається необхідною для А, можна дати, якщо познайомити учнів з питанням про види теорем і зв’язку між ними. Записуємо схему:

• (1) АЮВ BЮА (2)
• (3) не, А Ю не В не В Ю не, А (4)

Повідомляємо, що якщо твердження (1) назвати прямим, то твердження (2) буде до нього зворотним, твердження (3) — протилежним прямому, а (4) — протилежне зворотному. Далі доводиться, що зі справедливості твердження (1) випливає справедливість твердження (4) [(1)Ю (4)] і навпаки, тобто (4)Ю (1).

Повідомляється, що якщо (1)Ю (4), то твердження називаються еквівалентними. Аналогічно еквівалентні твердження (2) і (3) [(2)Ы (3)].

Словами формулу (1)?(4) можна розшифрувати так: якщо з умови, А слідує (випливає) умова В, то без B немає й, А (з не B не А), іншими словами В необхідно для, А (без B не буде й А).

А далі повідомляємо, що необхідна умова дає нам властивість, а якщо умова не тільки необхідна, але й достатня, то одержуємо ознаку.

Іншими словами, щоб одержати властивість B якого-небудь об'єкта А, досить довести теорему АЮB, а щоб переконатися, що розглянута властивість B є ознакою, варто ще довести теорему В? А (зворотну).

Разом з учнями згадуємо всі властивості паралелограма і складаємо таблицю.

Дано: АВСD — паралелограм Довести:

Звертаємо увагу на той факт, що кожна з умов 1−12 випливає з того, що АВСD — паралелограм, отже, кожна з них є необхідною умовою того, щоб чотирикутник АВСD був паралелограмом. Легко переконатися, що з кожної з умов 1−12 не випливає, що АВСD — паралелограм (наприклад, якщо дано, що АВ || СD, то маємо трапецію, тому що відрізок ВC не паралельний AD).

Таким чином, кожна з умов 1−12, взята окремо, ознакою паралелограма не є. Тепер почнемо комбінувати властивості по дві (Скільки таких комбінацій буде? Як порахувати всі комбінації, щоб бути переконаним, що жодна з них не пропущена?). Переконуємося, що деякі з комбінацій дають ознаку паралелограма. Які з комбінацій по двох дають відомі уже вам ознаки паралелограма? [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (5, 6)].

В той же час легко бачити, що не кожна з комбінацій дає ознаку паралелограма. Наприклад, з того що АВ || СD і ВC = AD випливає, що фігура АВСD — рівнобічна трапеція, а не паралелограм.

Природно постає питання, скільки ж усього ознак у паралелограма? Для відповіді на це питання потрібно перебрати всі можливі комбінації й або довести отриману теорему, або привести приклад, що спростовує її (контрприклад). Ясно, що ця робота не може бути виконана на уроці. Вона може бути дана в якості індивідуального завдання додому успішним учням, чи ще краще, запропонована в якості колективної роботи гуртківцям. Тут постають цікаві питання про планування роботи, про поділ праці при розв’язанні цієї проблеми, про організацію самоконтролю і взаємоконтролю, про підведення остаточних висновків, тобто питання, що виникають при організації будь-якої трудової діяльності.

Далі аналогічну роботу можна провести для з’ясування ознак прямокутника і ромба. Але цій роботі повинно передувати уточнення означень прямокутника і ромба. Дійсно, досить поставити вимогу, щоб у паралелограма був один прямий кут, так як з умови (АВСD — паралелограм; ?А=900) випливає, що РB=900, РC=900, РD=900. Для доведення цього факту досить скористатися відомими властивостями кутів паралелограма.

Аналогічно, легко довести теорему (АВСD — паралелограм, АВ=ВCЮАВ=ВC=СD=AD), з якої випливає, що ромбом називається паралелограм, у якого дві суміжні сторони рівні.

Можна не змінювати звичні учням надлишкові визначення, але обов’язково підкреслити той факт, що, щоб переконатися, що розглянутий паралелограм буде ромбом, досить перевірити рівність двох суміжних сторін, а щоб переконатися, що він буде прямокутником, досить довести, що один з його кутів прямий.

Після цього відмічаємо особливі властивості діагоналей прямокутника і ромба і знову порушуємо питання, чи будуть ці умови не тільки необхідними, але і достатніми, тобто чи є ці умови ознаками розглядуваних фігур. Як це перевірити? Учні повинні збагнути, що для відповіді на поставлене питання треба сформулювати і довести теореми, зворотні до теорем, що виражають властивості діагоналей прямокутника і ромба.

Запишемо одну з цих теорем.

Дано: АВСD — прямокутник. Довести: АС=ВD.

Обернене до цієї теореми твердження записується так:

Дано: у чотирикутнику АВСD АС=ВD .

Довести: АВСD — прямокутник.

Легко переконатися, що це твердження невірне. Приведіть приклади, що підтверджують цей факт. Учні можуть згадати, що діагоналі рівні в рівнобічної трапеції, чи накреслити довільний чотирикутник з рівними діагоналями. Таким чином, ми переконуємося, що рівність діагоналей не виділяє прямокутник із класу чотирикутників (серед чотирикутників з рівними діагоналями є і ті, що не є прямокутниками).

Тут учитель знайомить учнів зі ще одним способом одержання тверджень обернених даному. Зауважує, що умова прямої теореми може бути розбита на дві частини.

Дано: 1) АВСD — паралелограм.

2) РА=900.

Довести: АС = ВD.

Якщо тепер поміняти місцями висновок і другу частину умови, то ми одержимо твердження:

Дано: АВСD — паралелограм АС=ВD.

Довести: РА=900.

Це твердження легко довести. Доведіть самостійно.

Якщо учні затрудняються, то можна «навести» їх на думку, звернувши увагу, що РА + РD = 1800 (АВСD — паралелограм). Що залишилося тепер довести? (РА=РD).

Аналогічну роботу проводимо з встановленням ознак ромба, що базуються на властивостях його діагоналей. Згадуємо теорему про властивості діагоналей ромба.

Дано: АВСD — ромб.

Довести:

• 1) ВD АС;
• 2) РВАС =РСАД.

Для цієї теореми можна скласти дві обернені:

Теорема 1 Теорема 2.

Дано: ВD АС Дано: РВАС = РСАD.

Довести: АВСD — ромб. Довести: АВСD — ромб.

Легко показати, що кожна з цих теорем несправедлива, привівши хоча б по одному контрприкладу;

Цікаве питання. А як можна видозмінити перший рисунок щоб його можна було використовувати одночасно для спростування і теореми 1 і теореми 2? (Досить взяти АО=ОС і тоді ?AВD=?DВС).

Використовуючи другий спосіб утворення зворотних теорем, з яким учні ознайомлені при встановленні ознаки прямокутника.

Маємо:

Пряма теорема:

Дано: АВСDпаралелограм, АВ = ВC.

Довести: ВD АС Обернена теорема:

Дано: АВСDпаралелограм, ВD АС.

Довести: АВ=ВC.

Згадуючи уточнене визначення ромба, даємо таке формулювання оберненої теореми: «Якщо в паралелограмі діагоналі перпендикулярні, то цей паралелограм — ромб».

Схема аналітичного міркування при відшуканні доведення цієї теореми.

АВСD — ромб АВСD — паралелограм АВ=ВC.

АВО = СВО АОВ = СОВ.

ВD АС АO = ОС BO — спільна АОВ = СОВ АВСD — паралелограм ВD АС Аналогічно формулюємо другу ознаку ромба: «Якщо в паралелограмі діагональ поділяє кут навпіл, то цей паралелограм — ромб». Аналітичне міркування проводиться аналогічно.

Схематичний запис доведення АВСD — паралелограм? AD || ВC Ю (Р1 = Р3, Р1 = Р2) Ю ЮР2 = Р3 Ю (АВ=BС, АВСD — паралелограм) Ю АВСD — ромб.

Узагальнюючи отримані результати, корисно звернути увагу школярів на той факт, що рівність діагоналей не виділяє прямокутник з безлічі всіх чотирикутників, але виділяє його з безлічі паралелограмів, і запропонувати їм самостійно сформулювати аналогічні твердження (їх 2!) для ромба.

Для перевірки того, чи володіють учні ознаками паралелограма, ставлять перед ними наступну проблему:

Як сформулювати ознаки прямокутника і ромба, які базуються на властивостях їхніх діагоналей, щоб вони виділяли прямокутник і ромб із безлічі всіх чотирикутників? Підказка, якщо учні не справляються: умову АВСD — паралелограм, якою вимогою щодо його діагоналей можна замінити?

Одержуємо ознаки:

Якщо в чотирикутнику діагоналі рівні і точкою перетину діляться пополам, то цей чотирикутник — паралелограм.

Якщо в чотирикутнику діагоналі перпендикулярні і поділяються точкою перетину пополам, то цей чотирикутник — паралелограм.

Ознаку формулюємо аналогічно.

Переходячи до з’ясування ознак квадрата, підкреслюємо, що квадрат є як частковим випадком прямокутника, так і ромба і отже має усі властивості прямокутника і усі властивості ромба. Ставиться проблема: виділити комбінації властивостей діагоналей, які виділяли квадрат з множини прямокутників, з множини ромбів, з множини паралелограмів, з множини чотирикутників.

Якщо учні осмислили розглянутий матеріал про ознаки прямокутника і ромба, то вони легко дадуть відповідь на поставлені питання і сформулюють наступні ознаки квадрата:

Квадратом є:

Прямокутник із взаємо-перпендикулярними діагоналями.

Прямокутник, у якого діагональ поділяє кут навпіл.

Ромб із рівними діагоналями.

Паралелограм, у якого діагоналі рівні і взаємо-перпендикулярні.

Паралелограм, у якого діагоналі рівні і поділяють кут навпіл.

Чотирикутник, у якого діагоналі рівні, перпендикулярні і в точці перетину діляться пополам.

Після цього можна перейти до розв’язання задач, що вимагають застосування вивчених ознак.

Для зведення в систему матеріалу по темі «Паралелограм і його види» є дуже гарна задача: «Визначити вид чотирикутника, що отримаємо, якщо послідовно з'єднаємо відрізками прямої середини сторін довільного чотирикутника».

Після доведення того факту, що отриманий чотирикутник буде паралелограмом, ставиться питання: «Яким повинен бути даний чотирикутник, щоб отриманий виявився прямокутником, ромбом, квадратом?».

Накреслимо довільний чотирикутник.

Знайдемо середини сторін і зобразимо схематично на рисунку рівність відрізків.

З'єднаємо послідовно отримані крапки E, F, M, N.

Питання: який чотирикутник отримали?

У різних учнів відповідь буде різною: паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат. Учитель звертає увагу на те, що прямокутник, ромб, квадрат — частинні випадки паралелограма, тому всім доведеться доводити, що чотирикутник EFMN — паралелограм.

Дано: АЕ = ЕB, BF=FC, СМ=МD, DN=NА.

Довести: EFMN — паралелограм.

Проводиться аналіз:

Питання: Для того, щоб довести, що EFMN — паралелограм, що достатньо довести?

Відповідь: паралельність прямих EF і MN, а також ЕN і MF.

Питання: Як можна це довести? (або, якщо не відповідають: Використовуючи яку ознаку паралельності прямих можна це довести?).

Відповідь: Перша ознака паралельності прямих, тому що в інших ознаках присутні кути, а в умові задачі про кути нічого не сказано.

Питання: У першій ознаці паралельності прямих говориться про три прямі. Де взяти третю пряму?

Відповідь: З'єднати точки, А і С. Одержимо два трикутники — АВС і АDС.

Питання: Яке співвідношення відомо в цих трикутниках? Або: Чим є ЕF і MN у АВС і АDС?

Відповідь; ЕF є середньою лінією АВС, тому що АЕ = EВ і ВF = FC, а MN є середньою лінією АDС, тому що СМ = МD і DN = NА.

Питання: Яку властивість середньої лінії ми знаємо?

Відповідь: Середня лінія паралельна основі.

Питання: Який висновок можна зробити про ЕF і MN?

Відповідь: ЕF || АС і МN || АС. Значить, за першою ознакою паралельності прямих випливає, що ЕF || MN.

Аналогічно доводиться, що ЕN || FM.

Проведемо так званий «погляд назад» і спробуємо знайти інше розв’язання, більш раціональне і коротке.

Питання: Як ще можна довести, що чотирикутник EFMN — паралелограм?

Або: Якою ознакою паралелограма можна скористатися, щоб довести, що чотирикутник EFMN — паралелограм?

Відповідь: Скористатися ознакою паралелограма, яка полягає в тому, що якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно паралельні і рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Значить треба довести, що EF || MN і EF = MN.

Питання: Паралельність прямих EF і MN доводиться так, як це було зроблено вище. Як довести рівність ЕF і МN? або: Яку властивість середньої лінії ми знаємо?

Відповідь: Так як ЕF — середня лінія АВС, то ЕF дорівнює половині основи АС; MN середня лінія АВС і М дорівнює половині основи АС. Значить ЕF = MN.

Це розв’язання є більш раціональним і коротким.

Тепер потрібно записати розв’язання задачі. Для цього вже використовується синтез.

У класі завжди є учні, які швидко знайдуть розв’язання цієї задачі. Для організації індивідуальної групової діяльності більш сильним учням можна дати додаткові завдання:

Який вигляд повинен мати даний чотирикутник, щоб отриманий був а) прямокутником? б) ромбом? в) квадратом?

У цьому випадку доцільно підійти до розподілу диференційовано: найбільш сильним запропонувати варіант в), середнім — варіант б), іншим — а).

Пропонуючи учням задачі з надлишковою і неповною інформацією, ми виховуємо в них готовність до практичної діяльності. Розглядаючи витончене розв’язання тієї чи іншої математичної задачі, ми сприяємо естетичному вихованню школярів.

Мені хочеться привести кілька прикладів задач, що виникають при розгляді шарнірної моделі чотирикутника.

Переконавшись разом зі школярами в рухливості цієї моделі (не жорстко скріпленої у вершинах) учитель спонукає їх до висновку, що чотири дані сторони не визначають чотирикутник однозначно.

Потім перед учнями формулюється сама задача.

Задача 1. Маємо модель шарнірного чотирикутника зі сторонами визначеної довжини. Яким способами можна надати «жорсткість» даної моделі чотирикутника, якщо його вершини не можуть бути закріплені? Відповідь обґрунтувати.

В ході обговорення цієї задачі пропонуються різні варіанти її розв’язання, які перевіряються дослідним шляхом, наприклад, скріпити дві вершини чотирикутника планкою по діагоналі, з'єднати планкою середини двох протилежних сторін і т.д.

Переконавшись на досліді в розумності зроблених пропозицій, учні приходять до необхідності обґрунтувати той чи інший спосіб «надання жорсткості». За допомогою вчителя вони приходять до можливості провести це обґрунтування, переформулювати задачу у вигляді відповідної задачі на побудову.

Можливість зведення конкретної задачі, визначеної на моделі, до розв’язання абстрактної геометричної задачі на побудову реалізує одну з найважливіших виховних функцій геометричних задач: зв’язок навчання математиці з життям, тобто показує реальне походження математичних абстракцій.

Враховуючи «властивість жорсткості» трикутника перше з вищезгаданих розв’язань обґрунтовується досить просто. Однак обґрунтування другого шляху розв’язання задачі не настільки очевидне. Виникає вже чисто геометрична абстрактна задача.

Задача 2. Побудувати чотирикутник АВСD, знаючи довжину його сторін і довжину відрізка MN, що з'єднує середини сторін АВ і DС.

Припустимо, що шуканий чотирикутник АВСD побудований. Виконаємо паралельне перенесення (DN) сторони DА і паралельне перенесення (CN) сторони СВ, тепер з точки N виходять 3 відрізка А1N, MN, NВ1 відомої довжини.

Неважко показати, що точка М є серединою А1В1. Справді, довжини відрізків АА1 і ВВ1 рівні ½DС, а самі відрізки || DС.

Тому чотирикутник А1АВ1 В є паралелограмом. Точка М — середина його діагоналі АВ. Тому М належить діагоналі А1В1 і є її серединою.

Отже, у NA1B1 відомі сторони NA1, B1N і відкладена між ними медіана. Для того, щоб побудувати цей трикутник, побудуємо точку N1, симетрично відносно М. Очевидно, |А1N1| = |В1N|.

Трикутник N1NA1 можна побудувати за трьома відомими сторонами: |NA1| = |DА|, |A1N1| = |В1N| = |CB| і |NN1| = 2|NM|.

Тепер побудуємо шуканий чотирикутник. Ділимо відрізок N1N точкою М на два конгруентних відрізка, будуємо точку В1, симетричну А1 відносно М. За трьома сторонами будуємо трикутники А1МА і МВВ1. Перенести відрізок А1А на вектор А1N, а відрізок ВВ1 на вектор B1N, отримаємо всі чотири вершини шуканого чотирикутника АВСD. Неважко показати єдиність розв’язку задачі.

Посиленню розвиваючих функцій задачі сприяє подальша постановка задач-аналогів, при розв’язанні яких використовується деякий (той самий) прийом, заснований на застосуванні певного методу. Це створює можливість розв’язання цілого класу задач, аналогічних даній, сприяючи, таким чином, формуванню в учнів здібностей до узагальнення.

Приклади подібних задач:

Задача 3. У чотирикутнику АВСD відома довжина відрізка МN, що з'єднує середини сторін АВ і СD, довжина діагоналі АС і довжини сторін АВ, ВР і AD. Чи є дана фігура жорсткою?

Задача 4. Побудувати трапецію АВСD за даними діагоналям АС, ВD, стороні AD і відрізку МN, що з'єднує середини її основ.

Розгляд цього прикладу показує, як досить широко можна використовувати навчальні, розвиваючі і виховні функції задач у їх єдності. Справді, у ході розв’язання цих задач використовуються різні властивості геометричних фігур, активно працює метод паралельного перенесення і прийом побудови допоміжної фігури з дуже цікавими властивостями, тісно зв’язаними з властивостями заданої (шуканої) фігури (реалізуються різні розвиваючі функції), задача легко моделюється, збуджує інтерес школярів (реалізуються виховні функції).

Досвід показує, що успішність в реалізації виховних функцій математичних задач багато в чому визначається пробудженням в учнів інтересу до даної задачі, виникненням у них стійкої потреби в її розв’язанні, наявністю інтересу до самого процесу розв’язання задач, на основі якого часто пробуджується і формується інтерес учнів до вивчення самої математики і суміжних навчальних дисциплін, інтерес до навчання в цілому.

Фактори, що істотно впливають на формування в учнів стійкого інтересу до розв’язання математичних задач, дуже різноманітні. До них, наприклад, відноситься доступність запропонованої задачі, зовнішня чи внутрішня цікавість задачі, усвідомлена можливість виявити при цьому творчу самостійність.