Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків (реферат)

Реферат на тему:

Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Рівняння вигляду

$$a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)y=b(x)$$.

називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням $$n$$ -го порядку.

Рівняння вигляду.

$$a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)y=0$$.

називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням $$n$$ -го порядку.

Якщо при $$x[a,b],a_0(x)/=0$$ коефіцієнти $$b(x),a_i(x),i=\stackrel{}{\mathrm{0,}n}$$ неперервні, то для рівняння.

$$y^{(n)}=-\frac{a_1(x)}{a_0(x)}{y}^{(n-1)}-\text{.}\text{.}\text{.}-\frac{a_n(x)}{a_0(x)}y+\frac{b(x)}{a_0(x)}\text{.}$$.

виконуються умови теореми існування та єдиності і існує єдиний розв’язок $$y=y(x)$$, що задовольняє початковим умовам.

$$y(x_0)=y_0,y\text{'}(x_0)=y_0^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$$ .

1. Лінійні однорідні рівняння.

1.1. Властивості лінійних однорідних рівнянь

Властивість 1. Лінійність і однорідність зберігаються при довільному перетворенні незалежної змінної $$x=(t)$$ .

Дійсно. Після заміни $$x=(t)$$, одержимо.

$$\begin{array}{c}{y}_x^{\text{'}}=\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\frac{\text{dy}}{\text{dt}}\frac{\text{dt}}{\text{dx}}=\frac{1}{{}^{\text{'}}(t)}\frac{\text{dy}}{\text{dt}},\\ y_{x^2}^{\text{''}}=\frac{d}{\text{dx}}{y}_x^{\text{'}}=\frac{d}{\text{dt}}\left(\frac{1}{{}^{\text{'}}(t)}\frac{\text{dy}}{\text{dt}}\right)\frac{1}{\text{'}(t)}=-\frac{\text{''}(t)}{[\text{'}(t){]}^2}\frac{\text{dy}}{\text{dx}}+\frac{1}{(\text{'}(t){)}^2}\frac{d^{2}y}{{\text{dt}}^2}\text{.}\end{array}$$.

І після підстановки і приведення подібних, одержимо знову лінійне однорідне рівняння.

$$A_0(t)\frac{d^{n}y}{{\text{dt}}^n}+A_1(t)\frac{d^{n-1}y}{{\text{dt}}^{n-1}}+\text{.}\text{.}\text{.}+A_n(t)y=0$$ .

Властивість 2. Лінійність і однорідність зберігаються при лінійному перетворенні невідомої функції $$y=(x)z$$ .

Дійсно. Після заміни $$y=(x)z$$, одержимо.

$$\begin{array}{c}{y}_x^{\text{'}}=\text{'}(x)z+(x)z\text{'}\\ y_{x^2}^{\text{''}}=\text{''}(x)z+2\text{'}(x)z\text{'}+(x)z\text{''}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\end{array}$$.

І після підстановки одержимо знову лінійне однорідне рівняння.

$$\stackrel{}{A_0}(x)z^{(n)}+\stackrel{}{A_1}(x)z^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+\stackrel{}{A_n}(x)z=0$$ .

1.2. Властивості розв’язків лінійних однорідних рівнянь

Властивість 1. Якщо $$y=y_1(x)$$ є розв’язком однорідного лінійного рівняння, то і $$y={\text{Cy}}_1(x)$$, де $$C$$ — довільна стала, теж буде розв’язком однорідного лінійного рівняння.

Дійсно. Нехай $$y=y_1(x)$$ — розв’язок лінійного однорідного рівняння, тобто.

$$a_0(x)y_{{}^1}^{(n)}(x)+a_1(x)y_{{}^1}^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)y_1(x)0$$ .

Тоді і.

$$\begin{array}{c}{a}_0(x)[\text{Cy}(x){]}^{(n)}+a_1(x)[{\text{Cy}}_1(x){]}^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x){\text{Cy}}_1(x)=\\ C[a_0(x)y_{{}^1}^{(n)}(x)+a_1(x)y_{{}^1}^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)y_1(x)]\mathrm{0,}\end{array}$$.

оскільки вираз в дужках дорівнює нулю.

Властивість 2. Якщо $$y_1(x)$$ і $$y_2(x)$$ є розв’язками лінійного однорідного рівняння, то і $$y=y_1(x)+y_2(x)$$ теж буде розв’язком лінійного однорідного рівняння.

Дійсно. Нехай $$y_1(x)$$ і $$y_2(x)$$ — розв’язки лінійного рівняння, тобто.

$$\begin{array}{c}{a}_0(x)y_{{}^1}^{(n)}(x)+a_1(x)y_{{}^1}^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)y_1(x)\mathrm{0,}\\ a_0(x)y_{{}^2}^{(n)}(x)+a_1(x)y_{{}^2}^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)y_2(x)0\text{.}\end{array}$$.

Тоді і.

$$\begin{array}{c}{a}_0(x)[y_1(x)+y_2(x){]}^{(n)}+a_1(x)[y_1(x)+y_2(x){]}^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+\\ +a_n(x)[y_1(x)+y_2(x)]=\\ [a_0(x)y_{{}^1}^{(n)}(x)+a_1(x)y_{{}^1}^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)y_1(x)]+\\ +[a_0(x)y_{{}^2}^{(n)}(x)+a_1(x)y_{{}^2}^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)y_2(x)]\mathrm{0,}\end{array}$$.

оскільки обидві дужки дорівнюють нулю.

Властивість 3. Якщо $$y_1(x),y_2(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x)$$ — розв’язки однорідного лінійного рівняння, то і $$y=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{y}_i(x)$$, де $$C_1,C_2,,C_n$$ — довільні сталі, також буде розв’язком лінійного однорідного рівняння.

Дійсно. Нехай $$y_i(x),i=\mathrm{1,}n$$ — розв’язки лінійного однорідного рівняння, тобто.

$$a_0(x)y_i^{(n)}(x)+a_1(x)y_i^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)y_i(x)0$$, $$i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}$$ .

Тоді і.

$$\begin{array}{c}{a}_0(x){\left[\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{y}_i(x)\right]}^{(n)}+a_1(x){\left[\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{y}_i(x)\right]}^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}\\ +a_n(x)\left[\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{y}_i(x)\right]=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i\left[a_0(x)y_i^{(n)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)y_i(x)\right]\mathrm{0,}\end{array}$$.

оскільки кожна дужка дорівнює нулю.

Властивість 4. Якщо комплексна функція дійсного аргументу $$y=u(x)+\text{iv}(x)$$ є розв’язком лінійного однорідного рівняння, то окремо дійсна частина $$u(x)$$ і уявна $$v(x)$$ будуть також розв’язками цього рівняння.

Дійсно. Нехай $$y=u(x)+\text{iv}(x)$$ є розв’язком лінійного однорідного рівняння, тобто.

$$\begin{array}{c}{a}_0(x){\left[u(x)+\text{iv}(x)\right]}^{(n)}+a_1(x){\left[u(x)+\text{iv}(x)\right]}^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}\\ +a_n(x)\left[u(x)+\text{iv}(x)\right]0\text{.}\end{array}$$.

Розкривши дужки і перегрупувавши члени, одержимо.

$$\begin{array}{c}\left[a_0(x)u^{(n)}(x)+a_1(x)u^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)u(x)\right]\\ +i\left[a_0(x)v^{(n)}(x)+a_1(x)v^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)v(x)\right]0\text{.}\end{array}$$.

Комплексний вираз дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнюють нулю дійсна і уявна частини, тобто.

$$\begin{array}{c}{a}_0(x)u^{(n)}(x)+a_1(x)u^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)u(x)\mathrm{0,}\\ a_0(x)v^{(n)}(x)+a_1(x)v^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)v(x)\mathrm{0,}\end{array}$$.

або функції $$u(x),v(x)$$ є розв’язками рівняння, що і було потрібно довести.

1.3. Лінійна залежність і незалежність розв’язків. Загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння вищого порядку.

Визначення. Функції $$y_1(x),y_2(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x)$$ називаються лінійно залежними на відрізку $$\left[a,b\right]$$ якщо існують не всі рівні нулю сталі $$C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$ такі, що при всіх $$x\left[a,b\right]$$.

$$C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{y}_n(x)0\text{.}$$.

Якщо ж тотожність справедлива лише $$C_1=C_2=\text{.}\text{.}\text{.}=C_n=0$$, то функції $$y_1(x),y_2(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x)$$ називаються лінійно незалежними.

Приклад 3.1.1. Функції $$\mathrm{1,}x,x^2,\text{.}\text{.}\text{.},x^{n-1}$$ — лінійно незалежні на будь-якому відрізку $$\left[a,b\right]$$, тому що вираз $$C_1+C_{2}x+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}^{n-1}=0$$ є многочленом ступеню $$(n-1)$$ і має не більш, ніж $$(n-1)$$ дійсних коренів.

Приклад 3.1.2. Функції $$e^{{}_{1}x},e^{{}_{2}x},\text{.}\text{.}\text{.},e^{{}_{n}x}$$, де всі $${}_i$$ — дійсні різні числа — лінійно незалежні.

Приклад 3.1.3. Функції $$\mathrm{1,}\text{sin}x,\text{cos}x,\text{.}\text{.}\text{.},\text{sin}\text{nx},\text{cos}\text{nx}$$ — лінійно незалежні.

Теорема (необхідна умова лінійної незалежності функцій). Якщо функції $$y_1(x),y_2(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x)$$ — лінійно залежні, то визначник $$W\left[y_1(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x)\right]$$, який називається визначником Вронського, тотожно дорівнює нулю при всіх $$x\left[a,b\right]$$ ,.

$$\begin{array}{c}{y}_1(x)y_2(x)\text{.}\text{.}\text{.}{y}_n(x)\\ y{\text{'}}_1(x)y{\text{'}}_2(x)\text{.}\text{.}\text{.}y{\text{'}}_n(x)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ y_1^{(n-1)}(x)y_2^{(n-1)}(x)\text{.}\text{.}\text{.}{y}_n^{(n-1)}(x)\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \begin{array}{c}||||||\end{array}\\ W\left[y_1,\text{.}\text{.}\text{.},y_n\right]=\\ \end{array}$$.

Доведення. Нехай $$y_1(x)y_2(x)\text{.}\text{.}\text{.}{y}_n(x)$$ — лінійно залежні. Тоді існують не всі рівні нулю сталі $$C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$ такі, що при $$x\left[a,b\right]$$ буде тотожно виконуватися: $$C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{y}_n(x)0\text{.}$$.

Продиференціювавши $$(n-1)$$ -раз, одержимо.

$$\begin{array}{c}{C}_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{y}_n(x)=0\\ C_{1}y{\text{'}}_1(x)+C_{2}y{\text{'}}_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{n}y{\text{'}}_n(x)=0\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ C_1{y}_1^{(n-1)}(x)+C_2{y}_2^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{y}_n^{(n-1)}(x)=0\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Для кожного фіксованого $$x\left[a,b\right]$$ одержимо лінійну однорідну систему алгебраїчних рівнянь, що має ненульовий розв’язок $$C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$. А це можливо тоді і тільки тоді, коли визначник системи дорівнює нулю, тобто $$W\left[y_1,\text{.}\text{.}\text{.},y_n\right]0$$ при всіх $$x\left[a,b\right]$$ .

Теорема (достатня умова лінійної незалежності розв’язків). Якщо розв’язки лінійного однорідного рівняння $$y_1(x)y_2(x)\text{.}\text{.}\text{.}{y}_n(x)$$ — лінійно незалежні, то визначник Вронського $$W\left[y_1,\text{.}\text{.}\text{.},y_n\right]$$ не дорівнює нулю в жодній точці $$x\left[a,b\right]$$ .

Доведення. Припустимо, від супротивного, що існує $$x_0\left[a,b\right]$$, при якому $$W\left[y_1(x_0),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x_0)\right]=0$$. Оскільки визначник дорівнює нулю, то існує ненульовий розв’язок $$C_1^0,C_2^0,\text{.}\text{.}\text{.},C_n^0$$ лінійної однорідної системи алгебраїчних рівнянь.

$$\begin{array}{c}{C}_1^0{y}_1(x)+C_{{}_2}^0{y}_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{{}_n}^0{y}_n(x)=0\\ C_{{}_1}^{0}y{\text{'}}_1(x)+C_{{}_2}^{0}y{\text{'}}_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{{}_n}^{0}y{\text{'}}_n(x)=0\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ C_{{}_1}^0{y}_1^{(n-1)}(x)+C_{{}_2}^0{y}_2^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{{}_n}^0{y}_n^{(n-1)}(x)=0\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Розглянемо лінійну комбінацію $$y=C_{{}_1}^0{y}_1(x_0)+\text{.}\text{.}\text{.}{C}_{{}_n}^0{y}_n(x_0)$$ з отриманими коефіцієнтами.

У силу третьої властивості ця комбінація буде роз’язком. У силу вибору сталих $$C_1^0,C_2^0,\text{.}\text{.}\text{.},C_n^0$$, розв’язок буде задовольняти умовам.

$$y(x_0)=\mathrm{0,}y\text{'}(x_0)=\mathrm{0,}\text{.}\text{.}\text{.}{y}^{(n-1)}(x_0)=0\text{.}$$.

Але цим же умовам, як неважко перевірити простою підстановкою, задовольняє і тотожний нуль, тобто $$y(x)0$$. І в силу теореми існування та єдиності ці два розв’язки співпадають, тобто $$C_{{}_1}^0{y}_1(x_0)+\text{.}\text{.}\text{.}{C}_{{}_n}^0{y}_n(x_0)0$$ при $$x\left[a,b\right]$$, або система функцій $$y_1(x)y_2(x)\text{.}\text{.}\text{.}{y}_n(x)$$ лінійно залежна, що суперечить припущенню. Таким чином $$W\left[y_1(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x)\right]/=0$$ у жодній точці $$x_0[a,b]$$, що і було потрібно довести .

На підставі попередніх двох теорем сформулюємо необхідні і достатні умови лінійної незалежності розв’язків лінійного однорідного рівняння.

Теорема. Для того щоб розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння $$y_1(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x)$$ були лінійно незалежними, необхідно і достатньо, щоб визначник Вронського не дорівнював нулю в жодній точці $$x\left[a,b\right]$$, тобто $$W\left[y_1(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x)\right]/=0$$ .

Теорема. Загальним розв’язком лінійного однорідного рівняння.

$$a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)y=0$$.

є лінійна комбінація $$n$$ — лінійно незалежних розв’язків $$y=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{y}_i(x)$$ .

Доведення. Оскільки $$y_i(x),i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}n$$ є розв’язками, то в силу третьої властивості їхня лінійна комбінація також буде розв’язком.

Покажемо, що цей розв’язок загальний, тобто вибором сталих $$C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$ можна розв’язати довільну задачу Коші.

$$y(x_0)=y_0,y\text{'}(x_0)=y_0^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.}{y}^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}\text{.}$$.

Дійсно, оскільки система розв’язків лінійно незалежна, то визначник Вронського відмінний від нуля й алгебраїчна система неоднорідних рівнянь.

$$\begin{array}{c}{C}_1{y}_1(x_0)+C_2{y}_2(x_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{y}_n(x_0)=y_0\\ C_{1}y{\text{'}}_1(x_0)+C_{2}y{\text{'}}_2(x_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{n}y{\text{'}}_n(x_0)=y_o^{\text{'}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ C_1{y}_1^{(n-1)}(x_0)+C_2{y}_2^{(n-1)}(x_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{y}_n^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

має єдиний розв’язок $$C_1^0,C_2^0,\text{.}\text{.}\text{.},C_n^0$$. І лінійна комбінація $$y=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_{{}_i}^0{y}_i(x)$$ є розв’язком, причому, як видно із системи алгебраїчних рівнянь, буде задовольняти довільно обраним умовам Коші.

Властивість. Максимальне число лінійно незалежних розв’язків дорівнює порядку рівняння.

Це випливає з попередньої теореми, тому що будь-який розв’язок виражається через лінійну комбінацію $$n$$ — лінійно незалежних розв’язків.

Визначення. Будь-які $$n$$ -лінійно незалежних розв’язків лінійного однорідного рівняння $$n$$ -го порядку називаються фундаментальною системою розв’язків.