Системи диференціальних рівнянь (реферат)

Реферат на тему:

Системи диференціальних рівнянь

Загальна теорія

Співвідношення вигляду.

$$\begin{array}{c}{F}_1(\stackrel{}{x_1},\stackrel{}{x_2},\text{.}\text{.}\text{.}\stackrel{}{x_n},x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n-t)=0\\ F_2(\stackrel{}{x_1},\stackrel{}{x_2},\text{.}\text{.}\text{.}\stackrel{}{x_n},x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n-t)=0\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ F_n(\stackrel{}{x_1},\stackrel{}{x_2},\text{.}\text{.}\text{.}\stackrel{}{x_n},x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n-t)=0\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

називається системою $$n$$ -звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Якщо система розв’язана відносно похідних і має вигляд.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{x_1}=f_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \stackrel{}{x_2}=f_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \stackrel{}{x_n}=f_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

то вона називається системою в нормальній формі.

Визначення. 1. Розв’язком системи диференціальних рівнянь називається набір $$n$$ неперервно диференційованих функцій $$x_1(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t)$$ тотожно задовольняючих кожному з рівнянь системи.

У загальному випадку розв’язок системи залежить від $$n$$ — довільних сталих і має вигляд $$x_1(t,C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t,C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n)$$ і задача Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку ставиться в такий спосіб. Потрібно знайти розв’язок, що задовольняє початковим умовам (умовам Коші): $$x_1(t_0)=x_1^0,\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t_0)=x_n^0$$ .

Визначення 2. Розв’язок $$x_1(t,C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t,C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n)$$ називається загальним, якщо за рахунок вибору сталих $$C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$ можна розв’язати довільну задачу Коші.

Для систем звичайних диференціальних рівнянь досить важливим є поняття інтеграла системи. В залежності від гладкості (тобто диференційованості) можна розглядати два визначення інтеграла.

Визначення 3. 1. Функція $$F(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$ стала уздовж розв’язків системи, називається інтегралом системи.

2. Функція $$F(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$ повна похідна, якої в силу системи тотожно дорівнює нулю, називається інтегралом системи.

Для лінійних рівнянь існує поняття лінійної залежності і незалежності розв’язків. Для нелінійних рівнянь (систем рівнянь) аналогічним поняттям є функціональна незалежність.

Визначення 4. Інтеграли $$F_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$, $$F_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$, $$F_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$, …, $$F_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$ називаються функціонально незалежними, якщо не існує функції $$n$$ — змінних $$(z_1,\text{.}\text{.}\text{.},z_n)$$ такої, що $$(F_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t),\text{.}\text{.}\text{.},F_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t))0\text{.}$$.

Теорема. Для того щоб інтеграли.

$$F_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$, $$F_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$ ,… $$F_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$ системи звичайних диференціальних рівнянь були функціонально незалежними, необхідно і достатньо, щоб визначник Якобі був відмінний від тотожного нуля, тобто.

$$\frac{D(F_1,F_2,\text{.}\text{.}\text{.},F_n)}{D(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}/=0\text{.}$$.

Визначення 5. Якщо $$F(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$ інтеграл системи диференціальних рівнянь, то рівність $$F(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)=C$$ називається першим інтегралом.

Визначення 6. Сукупність $$n$$ — функціонально незалежних інтегралів називається загальним інтегралом системи диференціальних рівнянь.

Власне кажучи загальний інтеграл — це загальний розв’язок системи диференціальних рівнянь у неявному вигляді.

Теорема. (існування та єдиності розв’язку задачі Коші). Щоб система диференціальних рівнянь, розв’язаних відносно похідної, мала єдиний розв’язок, що задовольняє умовам Коші: $$x_1(t_0)=x_1^0,x_2(t_0)=x_2^0,\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t_0)=x_n^0$$ досить, щоб:

1) функції $$f_1,f_2,\text{.}\text{.}\text{.},f_n$$ були неперервними по змінним $$x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t$$ в околі точки $$x_1^0,x_2^0,\text{.}\text{.}\text{.},x_n^0,t_0$$ ;

2) функції $$f_1,f_2,\text{.}\text{.}\text{.},f_n$$ задовольняли умові Ліпшиця по аргументах $$x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n$$ у тому ж околі.

Зауваження. Умова Ліпшиця можна замінити більш грубою, але умовою, що перевіряється легше, існування обмежених частинних похідних, тобто.

$$|\frac{f_i}{x_i}|<=M,i,j=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n\text{.}$$.