Математичне моделювання в економіці

Волго-Вятская академия.

державної службы.

Кафедра системного анализа.

Реферат.

по теме:

Математичне моделирование.

в экономике.

Автор: Шаталіна Юлія Владимировна.

Перевірив: Лисенкова Е.Е.

г. Нижній Новгород 1996 год.

Найважливішим виглядом формалізованого знакового моделювання є математичного моделювання, здійснюване засобами мови математики логіки. Для вивчення будь-якого класу явищ зовнішнього світу будується його математична модель, тобто. близьке опис цього явищ, виражене з допомогою математичної символики.

Сам процес математичного моделювання можна підрозділити на чотири основних этапа:

I етап: Формулювання законів, що пов’язують основні об'єкти моделі, тобто. запис як математичних термінів сформульованих якісних поглядів на зв’язках між об'єктами модели.

II етап: Дослідження математичних завдань, які викликають математичні модели.

Основне питання — рішення прямий завдання, тобто. одержання результаті аналізу моделі вихідних даних (теоретичних наслідків) задля її подальшого їх порівняння з результатами спостережень досліджуваних явлений.

III етап: Коригування прийнятої гіпотетичної моделі відповідно до критерію практики, тобто. питання у тому, узгоджуються чи результати спостережень з теоретичними наслідками моделі у межах точності наблюдений.

Якщо модель була цілком визначено — всіх параметрів його були дано, — то визначення відхилень теоретичних наслідків від спостережень дає рішення прямий завдання із оцінкою уклонений.

Якщо ухиляння за межі точності спостережень, то модель не можна прийняти. Часто при побудові моделі деякі її характеристики залишаються не определенными.

Застосування критерію практики для оцінювання математичну модель дозволяє робити висновок правильність положень, що у основі підлягає вивченню (гіпотетичної) модели.

IV етап: Наступний аналіз моделі у зв’язки України із накопиченням даних про вивчених явищах та модернізацію модели.

З появою ЕОМ метод математичного моделювання зайняв провідне місце серед інших методів дослідження. Особливо значної ролі його грає у сучасної економічної науці. Вивчення та прогнозування якогоабо економічного явища методом математичного моделювання дозволяє проектувати нові технічні засоби, прогнозувати вплив на дане явище тих чи інших чинників, планувати ці негативні явища навіть за існуванні нестабільної економічної ситуації в. Економічні моделі, з загального процесу математичного моделювання, будуються наступним образом:

[pic].

Математичні методи, засновані на математичному моделюванні, дедалі ширше застосовують у промислово-економічних дослідженнях, в частковості, в операційних исследованиях.

Операційні дослідження є методом вироблення кількісно обгрунтованих рекомендацій прийняття управлінські рішення. Опис будь-якої завдання операційних досліджень включає у собі завдання чинників рішення, що є численними перемінними, що накладаються ними обмежень (що відбивають обмеженість ресурсів) і системи целей.

Будь-яка система чинників рішення, які відповідають всім обмеженням, називається допустимим рішенням. Кожній з цілей відповідає цільова функція, задана на безлічі допустимих рішень, значення яких висловлюють міру здійснення цели.

Сутність завдання операційних досліджень полягає у перебування найбільш доцільних, оптимальних рішень. Тому завдання операційних досліджень зазвичай називаються оптимизационными.

На розробку найважливіших завдань в операційних дослідженнях широко використовуються математичні моделі, побудовані на статистичної чи вероятностной (стохастической) основі. Вони допомагають врахувати навіть ті чинники, прорахувати точне зміну яких практично невозможно.

Особливо застосовуються математичні моделі черг і управління запасами.

Теорія черг спирається на розроблену вченими О. Н. Колмогоровым і О. Л. Ханчиным теорію масового обслуживания.

Теорія масового обслуживания.

Данная теорія дозволяє вивчати системи, призначені обслуговування масового потоку вимог випадкового характеру. Випадковими може бути як моменти появи вимог, і витрати часу з їхньої обслуговування. Метою методів теорії є пошук розумної організації обслуговування, які забезпечують заданий їхню якість, визначення оптимальних (з місця зору прийнятого критерію) норм чергового обслуговування, потреба в якому виникає непланомерно, нерегулярно.

З використанням методу математичного моделювання можна визначити, наприклад, оптимальне кількість автоматично діючих машин, що може обслуговуватися одним робочим чи бригадою робітників і т.п.

Типовим прикладом об'єктів теорії масового обслуговування можуть служити автоматичні телефонні станції (АТС). На АТС випадково надходять «вимоги» — виклики абонентів, а «обслуговування» полягає у поєднанні абонентів коїться з іншими абонентами, підтримку зв’язки у час розмови тощо. Завдання теорії, сформульовані математично, зазвичай зводяться до вивчення спеціального типу випадкових процессов.

Виходячи із даних ймовірнісних характеристик що надходить потоку викликів і тривалості обслуговування та враховуючи схему системи обслуговування, теорія визначає відповідні характеристики якості обслуговування (ймовірність відмови, середнє час очікування початку обслуговування т.п.).

Припустимо, що автоматична лінія зв’язку має [pic] однаково доступних для абонентів каналів. Виклики вступають у випадкові моменти часу. Якщо за вступі чергового виклику все [pic] каналів лини зв’язку виявляються зайнятими, то що поступив виклик одержує відмову і втрачається. Інакше негайно починається розмова однієї зі вільних каналів, що триває випадкове время.

Однією з характеристик ефективності роботи такий лінії зв’язку є частка викликів, одержують відмова, тобто. межа [pic]при[pic][pic] (коли він існує) відносини [pic] числа [pic] викликів, втрачених на перебіг часу [pic], до загальної кількості [pic] викликів, які поступили при цьому час. Цей межа може бути ймовірністю отказа.

Іншим показником якості роботи лінії зв’язку може бути ставлення її зайнятості, тобто. межа [pic] при [pic] (коли він існує) відносини ?? / [pic], де ?? — сумарне час, протягом якого за десятилітній період [pic] все [pic] каналів лінії зв’язку одночасно зайняті. Цей межа можна назвати ймовірністю занятости.

Означимо [pic] число каналів, зайнятих в останній момент [pic]. Тоді можна показати, що: якщо, по-перше, моменти надходження викликів утворюють пуассоновский потік однорідних подій, по-друге, тривалості розмов послідовних абонентів суть незалежні (між собою — і від моментів надходження викликів) однаково розподілені випадкові величини, то випадковий процес [pic], має эргодичным розподілом, тобто. існують [независящие від початкового розподілу [pic] ] пределы.

[pic][pic] причем.

[pic][pic] (*) де [pic] - твір інтенсивності потоку надходжень викликів на середню тривалість розмови окремого абонента.

З іншого боку, у разі [pic], та його загальне значення одно [pic].

Формули (*), звані формулами Эрланга, йдуть на розрахунку мінімального кількості каналів лінії зв’язку, які забезпечують задану ймовірність відмови. При відмови від умови, що моменти надходження викликів утворюють пуассоновский потік однорідних подій, рівність [pic]не може выполняться.

Математичними моделями численних завдань техніко-економічного змісту є також завдання лінійного програмування. Лінійне програмування — це дисципліна, присвячена теорії та методам рішення завдань про экстремумах лінійних функцій на безлічах, поставлених системами лінійних рівностей і неравенств.

Розглянемо за приклад таку задачу.

Завдання планування роботи предприятия.

Для виробництва однорідних виробів необхідно затратити різні виробничі чинники — сировину, робочої сили, верстатний парк, паливо, транспорт тощо. Зазвичай є кілька відпрацьованих технологічних засобів виробництва, причому у цих засобах витрати виробничих чинників в одиницю часу для випуску виробів различны.

Кількість витрачених виробничих факторів, і кількість виготовлених виробів залежить від цього, скільки часу підприємство буде працювати у тій чи іншому технологічного способу.

Ставиться завдання раціонального розподілу часу роботи підприємства з різним технологічним способам, тобто. такого, у якому буде зроблено якомога більше виробів при заданих обмежених витратах кожного виробничого фактора.

Формализуем завдання: Нехай є [pic] кількість технологічних засобів виробництва виробів і [pic] виробничих факторов.

Введемо позначення: [pic] - кількість виробів, які у одиницю часу під час роботи по j — му технологічного способу; [pic] - витрата і - го виробничого чинника в одиницю часу при роботу з j — му технологічного способу; [pic] - наявні ресурси і - го виробничого чинника; [pic] - плановане час по j — му технологічного способу.

Величина.

[pic] окреслює загальний витрата і - го виробничого чинника при плане.

[pic].

Оскільки ресурси обмежені величинами [pic], то виникають природні условия:

[pic] (1).

[pic] (2).

Ставиться завдання відшукання такого розподілу часу (оптимального плану) [pic] роботи з кожного технологічного способу коли обсяг продукції було б максимальним, тобто. визначається максимум лінійної функции.

[pic].

У операційних дослідженнях цю функцію прийнято називати цільової функцією чи критерієм ефективності, вектор [pic] - планом, вектор [pic] - оптимальним планом, а безліч, певне умовами (1) — (2) — допустимим чи безліччю планов.

Ще однією яскравим прикладом застосування лінійного програмування в економіці є так звана транспортна задача.

Транспортна задача.

Це про найбільш раціональному плані перевезень однорідної продукту з пунктів виробництва, у пункти потребления.

Нехай є [pic] пунктів виробництва якогось однорідної продукту [pic] і [pic] пунктів його споживання [pic]. У пункті [pic] [pic] виробляється [pic] одиниць, а пункті [pic] [pic] споживається [pic] одиниць продукта.

Передбачається, что.

[pic].

Транспортні витрати, пов’язані в перевезенні одиниці продукту з пункту [pic] до пункту [pic] рівні [pic] .

Суть завдання полягає у складанні оптимального плану перевезень, минимизирующего сумарні транспортні витрати, при реалізації якого запити всіх пунктів споживання [pic], [pic][pic], було б задоволені з допомогою виробництво продукту пунктах [pic], [pic] .

Нехай [pic] - кількість продукту, перевезеного із [pic] в пункт [pic]. Тоді транспортна завдання формулюється так: визначити значення змінних [pic], [pic]; [pic], мінімізують транспортні издержки.

[pic] при условиях,.

[pic] (1).

[pic] (2).

[pic]. (3).

Безліч [pic], що задовольнить цих умов, називається планом перевезень, яке елементи — перевозками.

За підсумками методу математичного моделювання в операційних дослідженнях вирішуються також багато питань завдання, потребують специфічних методів рішення. До до їх числа ставляться: 1. Завдання надійності виробів. 1. Завдання заміни устаткування. 1. Теорія розкладів (так звана теорія календарного планування). 1. Завдання розподілу ресурсів. 1. Завдання ціноутворення. 1. Теорія мережного планирования.

Завдання надійності изделий.

Надійність виробів визначається сукупністю показників. Для кожного з типів виробів існують рекомендації за вибором показників надежности.

Для оцінки виробів, які можуть перебувати у двох можливих станах — працездатному і отказовом, застосовуються такі показники: [pic] - середнє час раніше виникнення відмови (напрацювання до першого відмови); [pic] - напрацювання відмовитися; [pic] - інтенсивність відмов; [pic] - параметр потоку відмов; [pic] - середнє часів відновленої працездатного стану; [pic]- ймовірність безвідмовної роботи під час t; [pic] - коефіцієнт готовности.

Існують такі співвідношень між показниками надежности:

[pic];

[pic];

[pic].

Для відновлених виробів можливість появи [pic] відмов за час [pic] у разі найпростішого потоку відмов визначається законом Пуассона:

[pic].

З неї слід, що ймовірність відсутності відмов під час [pic] равна.

[pic] - Ця залежність називається експонентним законом надежности.

Завдання розподілу ресурсов.

Питання розподілу ресурсів, є однією з основних у процесі управління виробництвом. Аби вирішити цього питання на операційних дослідженнях користуються побудовою лінійної статистичної модели.

Припустимо, що це підприємство має [pic] видів ресурсів немає і [pic] видів продукції, виробленої з цих ресурсів. Необхідно так розподілити ресурси, щоб забезпечити максимальний обсяг продукції, і, отже, зростання прибутку від неї реализации.

Введемо такі позначення: [pic]- кількість ресурсів i-го виду [pic]; [pic]- максимальний обсяг випуску продукції j-го виду [pic]; [pic]- кількість одиниць i-го ресурсу, який буде необхідний виробництва одиниці виробленої продукції j-го виду; [pic]- прибуток від одиниці виробленої продукції j-го виду; [pic]- кількість одиниць продукції j-го вида.

Сукупна прибуток прагне максимуму, т. е.

[pic].

Следовательно,.

[pic].

Завдання ценообразования.

Для підприємства питання освіти ціни на всі продукцію грає важливу роль. Від, проведення ціноутворення для підприємства, залежить прибуток. З іншого боку, в існуючих нині умовах ринкового економіки ціна стала істотним чинником в конкурентної борьбе.

Припустимо, що у підприємстві виробляється [pic] видів продукції. Означимо за [pic] обсяг продукції i-го типу, які треба виробляти ,.

Введемо такі позначення: [pic] - обсяг продукції i-го типу, які треба виробляти; [pic] [pic]- ціна продукції i-го типу, яку слід визначити; [pic] - собівартість i-го виду продукции.

На ринку ціни змінюються, але основі вивчення можна визначити існування усередненій ціни [pic]. [pic].

Будь-яке підприємство прагне отриманню максимального прибутку, тобто. [pic] Отже, вважатимуться, що [pic].

Треба також врахувати, що з освіті ціни кадого виду продукції необхідно враховувати їхню якість, тобто. врахувати залежність ціни від якості ([pic]). [pic].

Оскільки [pic] висловлює тільки п’яту частину собівартості i-го виду продукції, не враховуючи частки загальних виробничих витрат, які лягають на продукцію, то визначаємо повну собівартість i-го виду продукції [pic] [pic] [pic].

Оскільки величини [pic] і [pic] є постійними, то дана завдання вирішується питання з допомогою методу лінійного программирования.

Теорія мережного планирования.

Мережне планування і управління (СПУ), є системою планування управління розробкою великих господарських комплексів, конструкторської і технологічного підготовкою виробництва нових видів товарів, будівництвом і реконструкцією, капітальним ремонтом основних фондів шляхом застосування мережевих графиков.

Сутність СПУ полягає у складанні математичну модель керованого об'єкта як мережного графіка чи моделі що у пам’яті ЕОМ, в яких відбивається взаємозв'язок і тривалість певного комплексу робіт. Мережний графік саме його оптимізації засобами прикладної математики обчислювальної техніки використовується для оперативного управління роботами. Приклад мережного графика:

[pic] Кружечками на мережному графіці позначається подія, тобто. початок йди кінець роботи, а лінією зі стрілкою — дії, що треба зробити, щоб вийти з попереднього події до последующему.

Важливим елементом розробки мережного графіка є визначення тривалості шляхів. Шляхи представлені лініями, утвореними стрілками взаємозалежних робіт, кінці яких свідчить про початкова й кінцеве події. Розрізняють сповнений спокус і критичний шляху: 1. Повний шлях (Lп) — шлях, початок якого збігаються з вихідним подією мережі, а кінець — з її завершальним подією. 1. Критичний шлях (Lкп) — шлях, має найбільшу тривалість він характеризує час виконання відновлення всього комплексу робіт, всього проекту на цілому, тобто. час досягнення кінцевої цели.

За таких елементів, у разі планування тривалості робіт з використанням мережного графіка розраховуються кілька показників, виражають достовірну оцінку часу роботи: 1. Оптимальна оцінка часу (мінімальна тривалість робіт), тобто. найбільш ранній термін скоєння подій при найсприятливіших умовах. Він розраховується як сума усіх необхідних робіт, що є на попередньому завершального події максимальному шляху (Тр) [pic] 1. Песимістична оцінка часу (директивний термін) — максимальна тривалість часу, який буде необхідний виконання який буде необхідний виконання роботи за найбільш несприятливі погодні умови — (Тп) [pic]; де [pic] - критичний шлях. 1. Найімовірніша тривалість часуТв, показує час виконання роботи у нормальних умов. Визначається за такою формулою: [pic] 1. Резерв часу: [pic]. При [pic] за іншими шляхах існує резерв времени.

Рішення економічних завдань із допомогою методу математичного моделювання дозволяє здійснювати ефективне керівництво як окремими виробничими процесами лише на рівні прогнозування і планування економічних ситуацій й терміни прийняття з урахуванням цього управлінські рішення, і всієї економікою у цілому. Отже, математичне моделювання як засіб тісно зтикається з теорією прийняття рішень на менеджменте.