История докази Великої теореми Ферма

Южно-Сахалинский Державний Университет.

Кафедра математики.

Реферат.

Тема: Історія докази Великої теореми Ферма.

|Автор: |Меркулов М. Ю. | |Група: |411 |.

Южно-Сахалинск.

2003 г.

Суть теоремы.

Проблема, о яку йтиметься у тому рефераті має досить простий оскільки у основі її лежить математичне твердження, яке всім відомо, — теорема Піфагора: у кожному прямокутному трикутнику квадрат, побудований на гіпотенузі, дорівнює сумі квадратів, побудованих на катетах.

Завдяки цьому пифагорову заклинанню, теорема закарбувалася у мозку мільйонів, а то й мільярдів, людей. Це — фундаментальна теорема, заучувати яку змушують кожного школяра. Але, попри те, що теорема Піфагора доступна розумінню десятирічних, вона є надихаючим початком проблеми, під час вирішення якої зазнали фіаско найвидатніші вчені історія математики.

Теорему Піфагора дає співвідношення, яке виконується всім прямокутних трикутників і, отже, визначає прямий кут. У своє чергу, прямий кут визначає перпендикуляр, тобто. ставлення вертикалі до горизонталі, а кінцевому підсумку — ставлення між трьома вимірами нашого світу. Математика — через прямий кут — визначає саму структуру простору, у якому живемо. Це дуже глибока мысль.

У символьній записи теорема Піфагора стверджує, що з катетів x y і гіпотенузи z прямокутного треугольника:

x2 + y2 = z2.

Пифагоровы трійки є комбінації із трьох цілих чисел, які відповідають співвідношенню Піфагора x2 + y2 = z2. Наприклад, співвідношення Піфагора виконується при x=3, y=4 і z=5:

З2 + 42 = 52, 9 + 16 = 25.

Піфагорійці мріяли знайти й інші пифагорейские трійки, інші квадрати, із яких було б скласти третій квадрат великих розмірів. Ще один пифагорова трійка: x=5, y=12 і z=13:

52 + 122 = 132, 15 + 144 = 169.

Наведемо пифагорову трійку із великих чисел: x=99, y=4900 і z=4901. Принаймні того, як числа зростають, пифагоровы трійки трапляються дедалі рідше і знаходити їхні стає дедалі тяжче й важче. Піфагорійці винайшли метод відшукання таких трійок користуючись їм, довели, що пифагоровых трійок існує нескінченно багато. Розглянемо рівняння, дуже схожа на рівняння Піфагора, але відмінне від цього тим, що це числа входить у кубе:

x3 + y3 = z3.

Знайти целочисленные рішення рівняння Піфагора, тобто. пифагоровы трійки, було легко, але досить лише ступеня змінитися з 2 на 3 (тобто. замінити квадрати кубами), як вирішення рівняння, настільки схожого на рівняння Піфагора, у цілих числах, очевидно, стає неможливим. Покоління математиків исписывали сторінку по сторінці у блокнотах в марній надії знайти рішення рівняння у цілих числах.

Понад те, якщо ступінь підвищити з 3 до будь-якого більшого цілого числа (тобто. до запланованих 4, 5, 6, …), то знайти целочисленное рішення такого рівняння, повидимому, також неможливо. Інакше висловлюючись, в понад загального уравнения.

xn + yn = zn,.

де n більше 2, рішення на цілих числах немає. Лише змінивши 2 в рівнянні Піфагора будь-яку ціла кількість бульшее 2, ми замість порівняно легко решаемого рівняння отримуємо завдання надзвичайної складності. Великий математик XVII століття француз П'єр де Ферма зробив дивовижне висновок: він стверджував, що знає, чому нікому не вдавалося знайти рішення загальних рівняння у цілих числах. За словами, причина полягала у цьому, що таке рішення не существует.

Біографія Ферма.

П'єр де Ферма народився 20 серпня 1601 у місті Бомон-де-Ломань на югозаході Франції. Його батько, Домінік Ферма, був заможним торговцем шкірою, тому П'єр мав щасливу нагоду отримати престижне навчання в французькому монастирі Грансельва, та був, протягом певного часу до університету Тулузи. Не збереглося жодних документів, які свідчать у тому, що юний Ферма виявив блискучі здатність до математике.

Під натиском сім'ї Ферма влаштувався громадянську службу й у 1631 року був одержав посаду радника парламенту Тулузи (conseiller au Parlement de Toulouse) — завідувачем відділу прошений.

Ферма обрав стратегію неухильного виконання покладених нею обов’язків і тривожився себе. В нього був серйозних політичних амбіцій, і робив усе від неї залежне, щоб за можливості залишатися осторонь кипіння парламентських пристрастей. Усю енергію, що йому вдавалося зберегти після виконання службовими обов’язками, Ферма віддавав математиці, і у вільний час Ферма з насолодою віддавався своєму захопленню. Фактично, Ферма був справжнім ученым-любителем, людиною, якого Еге. Т. Белл назвав «князем любителів». Але математичний талант його був такий великий, що Джуліан Кулидж у своїй книжці «Математика великих любителів» виключив Ферма у складі любителів у тому дуже вагомому підставі, що той «був великий, що має вважатися профессионалом».

Попри прохання знайомих — і друзів, Ферма завзято відмовлявся публікувати свої докази. Публікація результатів і визнання нічого не означали йому. Ферма отримував задоволення від усвідомлення те, що він у тиші свого кабінету безперешкодно може створювати нові теореми. Та скромна і замкнутий геній ні чужий бешкетництву. У поєднанні з його відстороненістю це інколи виявлялося у спілкуванні Ферма коїться з іншими математиками, що він поддразнивал своїх колег: спрямовуючи ним листи з формулюваннями останніх теорем, він незмінно мовчав про доказах. Ферма кидав своїм сучасникам виклик, відчуваючи спроможність знайти відсутнє доказательство.

Те, що Ферма будь-коли розкривав своїх доказів, викликало в його колег почуття гіркого розчарування. Рене Декарт називав Ферма «хвальком», а англієць Джон Валлис називав би його «проклятим французом». До нещастю для англійців, Ферма доставляло особливе задоволення розігрувати своїх колег із той бік Ла-Манша.

Не збереглося ніяких документальних свідчень те, що у Ферма був вчитель математики, який заохочував свого здатного учня. Наставником і вчителем Ферма стала «Арифметика» Диофанта. У «Арифметиці» зібрані сотні завдань, і кожну їх Диофант спорядив докладним рішенням. Ферма не перейняв такий високий рівень доступності. Його не цікавило створення підручника майбутніх поколінь. Він жадав лише — отримати задоволення від розв’язаною ним завдання. Вивчаючи завдання й рішення Диофанта, Ферма черпав у яких натхнення став думати у тому, аби брати участь зайнятися рішенням аналогічних і більше тонких завдань. Ферма записував для себе лише найнеобхідніше у тому, щоб у правильності отриманого рішення, і дбав про те, щоб викласти решту докази. Найчастіше зроблених ним сквапні записи відправлялися прямо на сміття, після чого Ферма спокійно переходив до наступній завданню. На щастя нас, опублікований Баше латинський переклад «Арифметики» мав широкі поля, і часом Ферма квапливо записував ними хід своїх розмірковувань та свої коментарі. Ці нотатки з полів стали безцінними, хоч трохи уривчастими, документальними свідоцтвами деяких найбільш блискучих викладок Ферма.

На полях «Арифметики» Диофанта, поруч із завданням 8, Ферма залишив таке зауваження: «Cubet autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere» (Неможливо для куба бути записаним як суми двох кубів, або заради четвертого ступеня бути записаній як суми двох четвертих ступенів, чи, загалом, нічого для будь-якого числа, яка є ступінь більше двох, бути записаній як суми двох так само степеней).

Своє знамените відкриття Ферма здійснив на самому початку своєї математичної кар'єри — близько 1637 року. Приблизно через тридцять років, виконуючи свої судові обов’язки у місті Кастре, Ферма тяжко захворів. 9 січня 1665 року підписав свою останню вирок й трьома днями пізніше помер. Відкриттям Ферма, досі що у ізоляції від паризькій математичної зі школи і зовсім на добрим словом поминаемого його розчарованими колегами, загрожувало цілковите забуття. На щастя, старший син Ферма, Клеман-Самюэль, сознававший все значення улюбленого захоплення батька, дійшов висновку, що його відкриття нічого не винні втрачені для світу. Усім, що ми знаємо про чудових відкриттях Ферма теоретично чисел, ми зобов’язані її синові, і але Клеман-Самюэль, загадка, відома під назвою Великої теореми Ферма, померла б разом у своїм создателем.

П’ять років Клеман-Самюэль збирав батькові нотатки і автора листа, вивчав нерозбірливі написи з полів «Арифметики». Замітка з полів з формулюванням Великої теореми Ферма було лише одній з натхненних думок, написаних з полів цієї книжки. Клеман-Самюэль взяв він тяжка праця опублікувати всі ці замітки у спеціальному виданні «Арифметики». У 1670 року він видав у Тулузі книжку під назвою «Диофантова Арифметика, що містить примітки П. де Ферма». У неї поруч із оригінальним текстом на давньогрецькому мовою й латинському перекладом Баше ввійшли 48 приміток, зроблених Ферма. Один із приміток і це тим, який став згодом відомо під назвою Великої теореми Ферма.

Велика теорема Ферма — завдання неймовірно важка, і тих щонайменше яку можна сформулювати що вона стане зрозумілою навіть школяреві. Ні на фізиці, ні в хімії, ні з біології немає жодної проблеми, яка формулювалася б так усе просто й цілком точно і невирішеною тривалий час. У книжці «Велика проблема» Еге. Т. Белл висловив припущення, що можна, наша цивілізація підійде до кінця колись, ніж вдасться довести Велику теорему Ферма. Доказ Великої теореми Ферма стало найціннішим призом в теорії чисел, і тому дивовижно, що пошуки його сприяли деяким найбільш захоплюючим епізодам історія математики. У ті пошуки втягнулися найвидатніші вчені на нашої планети, як свідчення призначалися величезні премії. Через Великої теореми Ферма люди билися на дуелі, і деякі, зневірившись знайти доказ, навіть кінчали з собой.

Перший серйозний прорыв.

Леонард Эйлер народився Базелі в 1705 року у сім'ї кальвинистского пастора Пауля Эйлера. Хоча юний Эйлер виявив неабиякий математичний талант, його батько вирішив, що повинен вивчати теологію, і готував йому церковну кар'єру. Леонард підкорився батьковій волі й став вивчати теологію і давньоєврейську язик у Базельському университете.

Вперше у зв’язку Великої теоремою Ферма, Эйлер, понадіявся те що, що йому удасться знайти доказ, коли його дотримуватися такий стратегії: знайти рішення якогось окремого випадку, та був узагальнити це рішення, поширивши його за й інші. Нагадаємо, що теорема Ферма стверджує: уравнение.

xn + yn = zn, де n — будь-яке ціла кількість більше 2,.

передбачає рішення на цілих числах.

Це рівняння насправді є нескінченну систему уравнений.

x3 + y3 = z3,.

x4 + y4 = z4,.

x5 + y5 = z5,.

x6 + y6 = z6,.

x7 + y7 = z7,.

.. .. .. .. .. .

Эйлер спробував з’ясувати, чи можна довести, що зі рівнянь не допускає рішень на цілих числах, та був екстраполювати отриманий результат всі інші рівняння (точно як і, як і довів свою формулу всім графов).

Перший крок для реалізації задуманого Эйлер зробив, коли виявив ключ до доведенню в коротких записах з полів «Арифметики» Диофанта. Хоча Ферма не залишив розгорнутого докази Великої теореми, він у іншому місці тієї самої примірника «Арифметики» написав у зашифрованому вигляді доказ для випадку n=4, включивши їх у рішення зовсім інший завдання. Це були найбільш докладні обчислення, які Ферма коли-небудь довірив папері, та все ж деталі усе ще були обривкові і розпливчасті, а висновок докази Ферма називає те, що недолік часу й місця неможливо йому дати повніше пояснення. Попри відсутність багатьох важливих деталей в швидких нотатках Ферма, у яких чітко проглядався одне із способів докази від протилежного, відомий під назвою методу нескінченного спуска.

Щоб довести, що рівняння x4 + y4 = z4 передбачає рішення на цілих числах, Ферма почав із припущення існуванні гіпотетичного рішення у цілих числах.

x = X1, y = Y1, z = Z1.

Під час вивчення властивостей чисел (X1, Y1, Z1) Ферма показав, якби таке гіпотетичне рішення справді існувало, то було б менше рішення (X2, Y2, Z2). Розглядаючи це нове рішення, Ферма зміг показати, якби воно існувало, то було б ще менше рішення (X3, Y3, Z3) і т.д.

Эйлер спробував скористатися методом нескінченного спуску як вихідного пункту при побудові загального докази всіх інших ступенів в рівнянні Ферма. Він просто хотів отримати доказ всім n до нескінченності, а насамперед він хотів «опуститися однією щабель» й одержати доказ при n=3. У листі до прусскому математику Християнові Гольдбаху у серпні 1753 року Эйлер повідомив, що йому вдалося пристосувати метод нескінченного спуску й успішно довести Велику теорему Ферма для випадку n=3. Так сто років по смерті Ферма вперше це вдалося зробити крок шляху до рішенню його проблемы.

І на Эйлера деякі математики намагалися пристосувати метод нескінченного спуску Ферма на вирішення рівняння Ферма у цілих числах при n, відмінних 4, але щоразу спроба поширити метод сприяла якимнибудь проблемам з логіки. І тільки Эйлер показав, що, використовуючи число і, можна заткнути всі дірки в доказі й примусити метод нескінченного спуску працювати у n=3.

Це було грандіозне досягнення, але повторити успіх за інших значеннях n Эйлеру зірвалася. На жаль, всі спроби застосувати самі міркування до іншим значенням до нескінченності закінчилися провалом. І математик, який вирішив більше завдань, ніж будь-хто інший за історію, вимушений був визнати поразка — Велика теорема Ферма була неприступна. Єдиною розрадою для Эйлера було те, що він здійснив перший серйозний прорив у «кругової обороні» важкої математичної проблеми, у мире.

Підхід Софі Жермен.

Виявилося, що доказ для випадку n=4 залишається у силі при n=8, 12, 16, 20, …. Річ у тім, що будь-який число, представимое як 8-ї (і навіть 12-й, 16-ї, 20-ї, …) ступеня певної кількості, представимо і у вигляді 4-й ступеня якогось іншого цілого числа. Наприклад, число 256 одно 28, але воно і 44. Отже, будь-яке доказ, яке «працює» для 4-го ступеня, залишається у силі для 8-ї будь-який інший ступеня, кратною 4. На основі тієї самої принципу можна стверджувати, що эйлеровское доказ для n=3 автоматично переноситься на n=6, 9, 12, 15, …. Тим самим було Велика теорема Ферма втратила свій неприступний вигляд і виявилася вірної відразу багатьом чисел n.

На початку ХІХ століття за Великої теоремою Ферма встановилася стійка репутація найважчим проблеми, у теорії чисел. Після прориву, здійсненого Эйлером, було і не найменшого просування, поки сенсаційну заяву однієї юної француженки не вдихнуло нові надії. Пошуки докази Великої теореми Ферма відновилися новою силою. Софі Жермен випало жити у епоху шовінізму і забобонів, і, щоб матимуть можливість займатися математикою, довелося прийняти псевдонім, працювати у жахливих умовах й творити у інтелектуальній изоляции.

Софі зацікавилася теорією чисел і, природно, не могла не почути про Великої теоремі Ферма. Декілька десятків років Жермен пропрацювала за їхніми доказом і, нарешті, досягла такого етапу, коли йому здалося, що вона просунутися до бажаної мети. Виникла нагальна потреба обговорити отримані результати з колегою, фахівцем щодо теорії чисел, і Жермен зважилася звернутися до фахівця з теорії чисел — німецькому математику Карлу Фрідріху Гауссу.

Сімдесятьма п’ятьма роками раніше Эйлер опублікував знайдене їм доказ для n=3, і відтоді все математики марно намагалися довести Велику теорему Ферма за іншими приватних випадках. Але Жермен обрала нову стратегію й у листах до Гауссу виклала так званий загальний підхід до проблемі Ферма. Інакше висловлюючись, її безпосередньої єдиною метою було не доказ окремого випадку — Жермен намірилася сказати щось про багатьох приватних випадках відразу. У листах до Гауссу вона виклала загальний перебіг обчислень, зосереджених на простих числах p приватного типу: таких, що числа 2p+1 — також прості. У складений Жермен перелік таких простих чисел входить число 5, оскільки 11=2· 5+1 — також просте, але число 13 в нього не було входить, оскільки 27 = 2· 13 + 1 не простое.

Зокрема, Жермен з допомогою витонченого міркування, довела, що й рівняння xn + yn = zn має шляхів владнання простих n, що 2n+1 також просте число, то або x, y, або z ділиться n.

Після прогресу, досягнутого завдяки роботам Софі Жермен, Французька Академія наук встановила серію премій, включаючи золоту медаль і 3000 франків, тому математику, який зуміє нарешті розгадати таємницю Великої теореми Ферма. Про те, хто зуміє довести теорему, чекала як заслужена слава, а й значне матеріальну винагороду. Салони Парижа повнились чутками про те, яку стратегію обрав той або інший претендент і як швидко оголосять результати конкурсу. Нарешті 1 березня 1847 року, Академія зібралася найбільш драматичне зі своїх заседаний.

Два конверта.

У протоколах засідання докладно описується, як Габріель Ламі, сім'ю роками раніше котра довела Велику теорему Ферма для n=7, зійшов на трибуну перед найбільш знаменитими математиками ХІХ століття і Ющенко заявив, що на порозі докази Великої теореми Ферма у загальне випадку. Ламі визнав, що його доказ ще повно, але змалював у загальних рисах свій метод і без задоволення повідомив, що за декілька тижнів опублікує повне доказ у журналі, що виходить Академией.

Аудиторія завмерла в захваті, та мало Ламі залишив трибуну як слова попросив один із кращих паризьких математиків Огюстен Луї Коші. Звертаючись до членів Академії, Коші повідомив, що працює над доказом Великої теореми Ферма, виходячи з майже тієї ж ідей, що і Ламо, і невдовзі має намір опублікувати повне доказательство.

Хоча Ламо, ні Коші не мали повним доказом, обидва суперники пристрасно бажали підкріпити своїх заяв, і трьох тижня через обидва подали Академію запечатані конверты.

Нарешті, 24 травня було зроблено заяву, яке поклало край всім домислам. До Академії звернувся не Коші і Ламі, а Жозеф Лиувилль. Він змусив високоповажну аудиторію шокує, зачитавши листа від німецького математика Ернста Куммера. Куммер був визнаним фахівцем щодо теорії чисел, але гарячий патріотизм, живлений щирою ненавистю до Наполеону, на протязі багато років не дозволяв йому віддатися своєму істинному покликанню. Коли Куммер є ще дитиною, французька армія втрутилася у його рідній місто Сорау, принісши з собою епідемію тифу. Батько Куммера був міським лікарем і за кілька тижнів хвороба забрала його. Вражений подією, Куммер заприсягся докласти зусиль, що у силах, щоб батьківщину від нового ворожого вторгнення, — й після закінчення університету направив свій інтелект влади на рішення проблеми побудови траєкторій гарматних ядер. Пізніше він викладав у Берлінському військовому училище закони баллистики.

Параллельно з військовою кар'єрою Куммер активно займався дослідженнями в області чистої математики був задоволений повністю обізнаний із що відбувається в Французької академії. Куммер уважно прочитав публікації у Працях Академії і проаналізував наявні деталі, котрі ризикнули розкрити Коші і Ламі. Йому зрозуміли, що обидві француза рухаються убік один і тієї самої логічного глухого кута, — і свої міркування він викладав у листі до Лиувиллю.

Куммер показав, що повне доказ Великої теореми Ферма лежало за межами можливостей існували математичних підходів. То справді був блискучий зразок логіки й до того ж час жахливий удару цілому поколінню математиків, питавших надію, що став саме їм не вдасться вирішити саму важку у світі математичну проблему.

Після робіт Ернста Куммера надії знайти доказ ослабли, як ніколи раніше. З іншого боку, у математиці почали розвинутися різні нові області. Виник ризик, що нове покоління математиків залишиться у невіданні щодо нерозв’язною проблемы.

Новий импульс.

У 1908 року Пауль Вольфскель, німецький промисловець з Дармштадта, вдихнув у стару проблему нове життя. Сім'я Вольфскелей славилася своїм багатством і заступництвом мистецтвам і наук, і Пауль ні винятком. У університеті він вивчав математику і було своє життя Пауль присвятив будівництва імперії бізнесу, все-таки він підтримував контакти з професійними математиками і ФДМ продовжував на аматорському рівні займатися теорією чисел. Зокрема, Вольфскель не відмовився від думки знайти доказ Великої теореми Ферма. Вольфскель зовсім на був обдарованим математиком, і його був судилося внести помітні внески в пошуки докази Великої теореми Ферма. Але ланцюжок неординарних подій призвела до того, що його ім'я виявилося назавжди що з теоремою Ферма і надихнуло тис. чоловік заходитися шукати її доказательства.

Історія починається сіло, що Вольфскель впав у таке глибоке розпач, що вирішив вчинити самогубство. Вольфскель був людиною пристрасним, але з імпульсивним, і тому взявся докладно розробляти свою смерть. Він призначив дату свого самогубства і він вирішив вистрілити собі у голову з цим ударом годин рівно опівночі. За дні Вольфскель вирішив впорядкувати свої справи, які йшли чудово, а останній день становив заповіт і листи близьким друзям і родственникам.

Вольфскель трудився з такою ретельністю, що закінчив всі свої до півночі і, щоб як-небудь заповнити решта годинник, пішов у бібліотеку, де став переглядати математичні журнали. Невдовзі йому на очі потрапила класична стаття Куммера, у той пояснював, чому зазнали невдачі Коші і Ламо. Робота Куммера належала до самих значних математичних публікацій свого століття як і не можна краще підходила для читання математику, що задумав вчинити самогубство. Вольфскель уважно, рядок по рядку, простежив за викладками Куммера. Несподівано Вольфскелю здалося, що то побачив прогалину: автор зробив якесь припущення і обгрунтував цей крок у своїх рассуждениях.

Вольфскель сіл за стіл, старанно проаналізував «неповноцінну» частина міркувань Куммера і тепер взявся накидати минидоказательство, яке мало або підкріпити роботу Куммера, або продемонструвати хибність прийнятого ним припущення, і, як наслідок, спростувати все його докази. До світанку Вольфскель закінчив свої обчислення. Погані (з місця зору математики) новини листувалися тому, що доказ Куммера вдалося зцілити, і Велика теорема Ферма як і залишилася недоступною. Однак і хороші новини: час, призначені для самогубства, минув, а Вольфскель був такий гордий тим, що йому вдалося знайти й заповнити прогалину у роботі великого Ернеста Куммера, що його розпач і сум розвіялися самі собою. Математика повернула йому спрагу жизни.

Вольфскель розірвав свої прощальні листи і переписав своє заповіт в світлі що стався ту ніч. Після її смерті, що виникла в 1908 року, заповіт було оголошено і кинуло сім'ю Вольфскеля шокує: з’ясувалося, що Пауль заповідав значну частину своєї стану як премію тому, хто зуміє довести Велику теорему Ферма. Премія в 100 000 марок (більше однієї 000 000 фунтів стерлінгів у сприйнятті сучасних масштабах) була тієї сумою, яку Вольфскель вважав за свій обов’язок до нагороду за головоломну проблему, спасшую йому життя. Гроші було покладено з цього приводу Королівського наукового суспільства Гёттингена, що у тому ж році офіційно оголосило проведення конкурсу за здобуття премії Вольфскеля:

Про премії Вольфскеля було оголошено переважають у всіх математичних журналах, і звістку конкурс швидко поширилася усією Європою. Попри широку рекламну кампанію, і додатковий спонукальний стимул як величезної премії, Комісії Вольфскеля зірвалася викликати особливий інтерес у серйозних математиків. Більшість професійних математиків вважали пошук докази Великої теореми Ферма безнадійним справою і зовсім відмовлялися витрачати свій час на марна заняття. Проте премії Вольфскеля вдалося впровадити проблему Ферма до тями абсолютно новій аудиторії — невидимою армії спраглих знання молодих умів, спраглих випробувати себе рішенні неприступною головоломки і бачать нічого поганого у цьому, що вони розпочинають пошуку докази з явно недостатнім багажом.

За кілька тижнів після проголошення конкурсу за здобуття премії Вольфскеля на Гёттингенский університет обрушилася лавина «доказів». Тож не дивно, що вони до одного виявилися помилковими. І хоча кожен з учасників конкурсу був переконаний, що саме вдалося розв’язати проблему, яка пережила століття, але у всіх надісланих доказах неминуче була якась тонка, котрий іноді невідь що тонка — помилка. Мистецтво теорії чисел настільки абстрактно, що надзвичайно легко була зійти з вірного логічного шляху й непомітно заблукати, навіть запасти у абсурд. У Додатку 7 показано класична помилка такого сорти, яку легко може допустити энтузиаст-любитель.

Незалежно від цього, хто був відправником тієї чи іншої докази, всі вони скрупульозно вивчалося той випадок, якщо невідомому любителю вдасться знайти настільки давно розшукувана доказ. Деканом математичного факультету Гёттингенского університету з 1909 по 1934 рік було професор Едмунд Ландау. На нього лягла обов’язок розбирати всі докази, надіслані на здобуття премії Вольфскеля.

Ландау вимушений був раз у раз переривати свої власні дослідження, оскільки йому довелося розбирати десятки хибних доказів, надходили до нього в стіл щомісяця. Щоб справитися з ситуацією, професор Ландау винайшов витончений метод, що дозволило позбутися докучливой роботи. Професор попросив надрукувати кілька сотень карток, у яких значилось:

|Уважаемый (ая). .. .. ... | |Дякую Вам за надіслану Вами рукопис з доказом | |Великої теореми Ферма. Перша помилка перебуває в стор. … в | |рядку …. Через неї всі доказ втрачає силу. | |Професор Еге. М. Ландау |.

І з отриманих доказів разом із видрукуваної карткою Ландау вручав одного з своїх у студентів і просив заповнити пробелы.

Докази продовжували надходити безперервним потоком протягом кілька років. Деякі з найбільших постатей ХХ століття — зокрема Бертран Рассел, Давид Гільберт і Курт Гёдель намагалися дати раду найбільш глибоких властивості чисел, аби збагнути їхнє справжнє значення і час виявляють, які проблеми теорії чисел можна розв’язати, а які — що значно важливіше — нерозв’язні. Їхні праці потрясли підстави математики луною відгукнулися на долях Великої теореми Ферма.

Парадокс математики.

Робота Гёделя, доповнена нерозв’язними проблемами Коена, стала тривожним посланням всім математикам, професіоналам і любителям, які продовжували свої спроби довести Велику теорему Ферма. Хіба, якщо Велика теорема Ферма нерозв’язна?! Ну, а якщо П'єр де Ферма помилявся, коли стверджував, що має доказом? Якщо, то доказ Великої теореми Ферма може бути непросто важким, а неможливим. Якщо Велика теорема Ферма нерозв’язна, то математики століттями шукали доказ, яке существует.

Цікаво відзначити, якби Велика теорема Ферма виявилася нерозв’язною, то звідси було б, що вона істинною є. Якби Велика теорема Ферма виявилася удаваної, то довести був б можна, пред’явивши рішення (контрпример). Це означала б, що Велика теорема Ферма можна залагодити. Отже, якби теорема була помилковою, це суперечило її нерозв’язності. Але якби Велика теорема Ферма стала справжньою, все одно настільки певний спосіб її докази необов’язково існував б, тобто. вона мала б бути нерозв’язною. Отже, може бути, що Велика теорема Ферма істинною є, але з існує способу довести ее.

Підхід з позиції грубої силы.

Сучасні комп’ютери встигають за частку секунди зробити більше арифметичних операцій, ніж Ферма зробив за своє життя. Ті математики, котрі досі вели нерівну боротьбу з Великої теоремою Ферма, почали комп’ютерну атаку" на проблему, покладаючись на комп’ютерну версію підходу, розвиненого Куммером XIX століття. З появою комп’ютера великому обсягу обчислень, що з доказом Великої теореми Ферма, стало можливо протиставити швидкодія обчислювальних машин. І після Другої світової війни групи програмістів і математиків довели Велику теорему Ферма попри всі значеннях n до 500, потім до 1000, та до 10 000. У 80-ті роки Сэмюэль З. Вагстафф з університету Пурду підняв межа до 25 000, і аж ніяк недавно математики заявили, що Велика теорема Ферма правильна попри всі значеннях n до запланованих 4 миллионов.

І хоча нематематикам міг би видатися, що ситуація з доказом Великої теореми Ферма, нарешті, полегшало, математичне співтовариство розуміло, що це успіх носить суто косметична характер. Навіть якби суперкомп’ютери провели десятиліття безперервних обчисленнях, стверджуючи Велику теорему Ферма при значеннях n одне одним, і тоді не можна було б довести теорему кожному за значення n нескінченно, і тож ніхто було стверджувати, що Велика теорема Ферма доведено у всієї спільності. Адже навіть якби теорему вдалося довести для n до мільярда, і тоді було б жодних підстав, якими вони мали бути правильна для n, рівного мільярду плюс один. Якби теорему вдалося довести для n до трильйона, то немає причин, якими вони мали б бути правильна для n, рівного триллиону плюс сам і т.д. нескінченно. Безкраїсть недосяжна з допомогою лише грубої сили — перемелювання чисел з допомогою компьютера.

Відхід у абстракцию.

Танияма народився 12 листопада 1927 року у невеличкому містечку у кількох кілометрів північніше Токіо. Він вирізнявся особливо міцного здоров’я, часто хворів, а ставши підлітком, захворів на туберкульоз і пропустив двох років у неповній середній школі. Війна, що війна викликала ще більше тривалий перерву у його образовании.

Горо Шимура, колишній однією рік молодший Таниямы, змушений був не навчання у воєнні часи. Його школу закрили, і тоді замість уроків Шимура був змушений заводі, збираючи деталі літаків. Щовечора він намагався самостійно навчатися за шкільної програми. Особливо його вабила математика. «Зрозуміло, доводилося вивчати багато предметів, але особливо легко мені давалася математика. Я запоєм читав підручники математики. За підручниками я вивчив математичний аналіз. Я будь-коли думав, ніби володію якимись здібностями до математики. Просто мені було интересно».

Кілька років тому після закінчення війни Шимура і Танияма були вже студентами університету. Хоча Шимура не була чужий деяких чудацтв (і понині живить слабкість до анекдотам про мудрецях, які проповідують дзен-буддизм), він був консервативнішим і традиційний, ніж його колега. Шимура піднімався світанку відразу ж приступав на роботу. Танияма ж частенько не лягав спати, пропрацювавши їй всю ніч поспіль. Ті, хто зазирав днем до йому у номер, нерідко заставали його сплячим. Шимура був скрупульозний і суворий, Танияма недбалий, майже ледачий. Одна яка вийшла з моди тема, саме, дослідження модулярных форм, здавалася особливо привабливою Танияме і Шимуре, Модулярные форми — одне із найбільш чудернацьких і чудесних об'єктів в математиці. Сучасний фахівець із теорії чисел Эйхлер зарахував їх до одній з п’яти фундаментальних операцій, тобто. вміння поводження з модулярными формами він вважав настільки важливою, як і виконання чотирьох дій арифметики. Треба сказати, що зовсім в усіх математики впевнено почуваються, зіштовхуючись із цієї п’ятої операцією, на відміну перших чотирьох, де їх вважають для себе мастерами.

На жаль, ні намалювати, ані шеляга навіть наочно уявити модулярную форму неможливо. Модулярную форму можна уявляти собі як функцію, область визначення якої у двох вимірах, але область значень яка також двумерна. Тому якщо б ми хотіли оцінити графік такий функції, він був би у чотиривимірному просторі. Відмінною рисою модулярных форм був частиною їхнього надзвичайно високий рівень симетрії, нескінченна, невичерпна симетрія. Модулярные форми можна піддавати трансляциям (паралельним переносам, чи зрушень), перебудовувати, переставляти фрагменти, відбивати в дзеркалах і повертати нескінченно багатьма способами, і навіть вона залишиться незмінними, що зробила їх найбільш симетричними математичними объектами.

У вересні 1955 року у Токіо відбувся міжнародний симпозіум. Для молодих японських математиків це був унікальна можливість продемонструвати іншого світу результати. Вони поширили серед учасників симпозіуму добірку з тридцяти шести завдань, що з тієї проблемою, над якому вони працювали. Чотири завдання було запропоновано Таниямой і відзначали цікаву зв’язок між модулярными формами і еліптичними кривими. Ці безневинні завдання у результаті розширення зрештою сприяли перевороту теоретично чисел.

Название «еліптичні криві» здатне вводити на оману оскільки де вони еліпси і навіть криві у звичному значенні слова. Йдеться, скоріш, йде про рівняннях виду y2 = x3 + ax2 + bx + з, де a, b, з — деякі числа. Свою назву еліптичні криві отримали оскільки деякі функції, тісно пов’язані з тими кривими, знадобилися для виміру довжин еліпсів (отже, і довжин планетних орбіт). Рівняння такого виду називаються кубічними. Проблема еліптичних кривих, як і проблему докази Великої теореми Ферма, залежить від питанні, чи мають відповідні їм рівняння целочисленные рішення, і якщо мають, то сколько.

Осенью 1984 року обрана група фахівців із теорії чисел зібралася на симпозіум в Обервольфахе, невеличкому містечку у Німеччині, в Шварцвальді. Учасники симпозіуму мали намір обговорити успіхи у вивченні еліптичних кривих. Природно, що з доповідачів збиралися зробити повідомлення про продвижениях, що їм вдалося досягти для дослідження гіпотези Таниямы-Шимуры. Одне з виступаючих, математик з Саарбрюкена Герхард Фрей висловив дуже примітна твердження. На його думку, якби комусь вдалося довести гіпотезу Таниямы-Шимуры, тим самим було б доведено і Велика теорема Ферма. Це твердження було потім доведено професором Каліфорнійського університету Кеном Рибетом.

Завдання протягом усього жизнь.

Якось дорогою зі школи додому Ендрю Уайлс вирішив зазирнути у бібліотеку на Милтон-роуд. У порівняні з бібліотеками університетських коледжів ця бібліотека було досить бідної, але вибір книжок з цікавою математиці у ній був багатим, й інші книжки часто привертали увагу Ендрю. Їх сторінки були вщерть заповнені різного роду науковими курйозами і завданнямиголоволомками, і кожне питання існував готовий відповідь, дбайливо поміщений десь наприкінці книжки. На цього разу Ендрю вивудив книжку, в якої йшлося тільки про одній-єдиній завданню, і вирішення її не приводилось.

Це була книга Еріка Темпла Белла «Велика проблема». Тридцять років по тому, як він вперше прочитав цієї книжки, Уайлс розповідав, що він відчув за першої зустрічі з Великої теоремою Ферма. «Вона виглядала такий простий, але що великі уми історія математики ми змогли довести її. Переді мною була проблема, зрозуміла мені, десятирічному хлопчику, і це відчув, що сіло моменту я будь-коли зможу відступитися від цієї проблеми. Мушу був вирішити ее».

Більше 300 років чимало із найбільших математиків намагалися знову відкрити втрачене доказ Ферма, та марно. З невдачею чергового покоління наступне покоління відчувала дедалі більше розчарування і рішучість. Велика теорема Ферма, проблема, над рішенням якої математики ламали голови протягом століть, захопила уяву і юного Ендрю Уайлса.

Більше двох століть будь-яка спроба відкрити наново доказ Великої теореми Ферма закінчувалася невдачею. У юнацькі роки Ендрю Уайлс вивчив праці Эйлера, Жермен, Коші, Ламі і, нарешті, Куммера. Уайлс сподівався, що йому вдасться здобути уроки з помилок, допущених великими попередниками, до того часу, коли він став старшекурсником Оксфордського університету, з його шляху стала той самий цегляний мур, перед якої зупинився Куммер.

Цілком можливо, що це методи, необхідних докази Великої теореми Ферма, були у розпорядженні математиків, І що єдиним відсутньою інгредієнтом був якийсь дотепний хід. Уайлс банкрутом не хотів здаватися: дитяча мрія про доказі Великої теореми Ферма перетворилася на глибоке і серйозне захоплення. Ознайомившись з усім, що можна було дізнатися про математиці ХІХ століття, Уайлс вирішив узяти під озброєння методи XX века.

У 1975 року Ендрю Уайлс вступив до аспірантури Кембриджського університету. У найближчі 3 роки він мав працювати над дисертацією на здобуття ученого ступеня Рh. D. (доктора філософії) за це час хіба що пройти своє слухняність математика-подмастерья. Кожен аспіранта є також керівник і наставник. У Уайлса ним було австралієць Джон Коутс, професор з коледжу Еммануеля, жила на своїх батьківщині звинувачували у містечку Посум Браш Нового Південному Уэльсе.

За останнє десятиліття усе, що робив Уайлс, було спрямовано підготовка до вирішальної герці з Великої теоремою Ферма, але тепер, що він вступив у ряди професійних математиків, йому доводилося бути прагматичнішим. Як згадує Уайлс, він вимушений був тимчасово відмовитися від міста своєї мрії. «Прийшовши в Кембридж, я відклав Ферма убік. Інакше, щоб забув про теоремі — вона завжди була з мною, але раптом усвідомив, що методи, якими намагалися довести її, існували вже близько 130 років. Повидимому, де вони дозволяли дістатися коренів проблеми. Працюючи над доказом теореми Ферма, ви могли витратити роки і залишитись ні із чим. Працювати над улюбленої проблемою — одне задоволення, поки що виходить цікава математика, навіть якщо проблему вдасться вирішити до кінця дня. Хорошою математичної проблемою з визначення вважається така, яка породжує хорошу математику. Важлива математика, а чи не сама проблема».

Уайлс відмовився від України всього, що було безпосередньо з доказом Великої теореми Ферма. Він перестав брати участь у нескінченною низці конференцій і симпозіумів. Залишаючись співробітником математичного факультету Прінстонського університету, Уайлс продовжував проводити навчальні семінари, читати лекції для у студентів і керувати курсовими і дипломними работами.

З тієї хвилини, коли Уайлс прийняв важливе собі рішення зайнятися систематичним пошуком докази гіпотези Таниямы-Шимуры, він замахнувся працювати у повну ізоляцію і таємності. У сучасному математиці склалася культура кооперації і співробітництва, тому прийняте Уайлсом рішення міг би видатися поверненням до минулого. Він ніби наслідував образу дій самого Ферма, самому знаменитому з математичних самітників. Своє рішення працювати у обстановці повної таємності Уайлс почасти пояснює бажанням працювати безперешкодно, не відволікаючись основної завдання: «Я розумів, що це, що є якийсь стосунок до Великої теоремі Ферма, викликає занадто великий інтерес. Не можна як слід зосередитися на рішенні важливого завдання, якщо не повністю абстрагуватися від всього стороннього. Занадто багато глядачів явно заважають досягненню цели».

Ще однією мотивом обраного Уайлсом курсу на самота і таємність була його жага слави. Уайлс побоювався, що він проробить основну частину докази, але нічого очікувати діставати заключного елемента викладок, звістка прорив просочиться назовні — і ніщо на заваді якомунибудь супернику у складі колег-математиків скористатися виконану Уайлсом роботою, завершити доказ і викрасти награду.

Щоб не порушувати підозр, Уайлс придумав хитру хитрість, яка мала збити його колег зі сліду. На початку 80-х він виконав велике дослідження однієї конкретної типу еліптичної кривою вже зібрався було опублікувати його дії повністю, але відкриття Рибета і Фрея змусили його змінити свої наміри. Уайлс вирішив публікувати своє дослідження «шматочками», за однією стислій статті кожних півроку. Це мало переконати його колег, що усе ще продовжує займатися своїми звичайними дослідженнями. І стільки часу, скільки він зможе підтримувати свою «димову завісу», Уайлс зможе продовжувати безперешкодно займатися предметом своєї істинної пристрасті, не повідомляючи нікому отримані результатах.

Після 1991 року роздумів Уайлс вирішив обрати в основі докази загальний метод, відомий під назвою індукції. Індукція — надзвичайно потужний спосіб докази, оскільки вона дозволяє математику довести, що твердження справедливо для нескінченно багатьох випадків, довівши, що його справедливе щодо одного случае.

«Однажды ввечері, наприкінці літа 1986 року, я попивав чай на погостинах свого приятеля. У розмові він ніби між іншим згадав у тому, що Кену Рибету вдалося довести існування взаємозв'язку між гіпотезою Таниямы-Шимуры і доказом Великої теореми Ферма. Я відчула себе так, як через мене пропустили потужний електричний розряд. Мені відразу зрозуміли, що відтепер увесь перебіг моєму житті круто змінився: від докази Великої теореми Ферма мене відокремлювало лише тоді одну перешкоду: доказ гіпотези Таниямы-Шимуры. Отже, моя дитяча мрія — не порожній звук, а цілком реальна справа, яким стоїть займатися. Не зволікаючи ні хвилини, я вирушив додому і чи розпочав роботу» — розповідав Уайлс. 8 березня 1988 року Уайлс відчув шок, побачивши на шпальтах газет набрані великим шрифтом заголовки, гласившие: «Велика теорема Ферма доведено». Газети «Washington Post» і «New York Times» повідомляли, що тридцативосьмилетний Иоичи Мияока з токійського Метрополітен університету вирішив найтяжчу математичну проблему у світі. Поки Мияока ще опублікував своє доказ, але у найзагальніших рисах виклав хід слідства на семінарі у Інституті Макса Планка з математики в Бонні. Дон Цагир, присутній на доповіді Мияоки, висловив оптимізм математичного співтовариства у таких словах: «Представлене Мияокой доказ надзвичайно цікаво, і пояснюються деякі математики вважають, що його із високим ймовірністю виявиться правильним. Цілковитою впевненості ще немає, але ще доказ видається дуже обнадійливим». За два тижні, після свого виступу в Бонні Мияока опублікував п’ять сторінок обчислень, які становлять суть його докази, і розпочалося тщательнейшая перевірка. Фахівці з теорії чисел і алгебраїчній геометрії в усіх країнах світу вивчали, рядок по рядку, опубліковані обчислення. За кілька днів математики знайшли у доказі одне протиріччя, якої могла б викликати занепокоєння. Ще два тижня Герд Фалтингс, що проклав шлях Мияоке, оголосив у тому, що виявив точну причину уявного порушення — прогалину в міркуваннях. Японський математик був геометром і за перекладі свої волелюбні ідеї на менш знайому територію теорії чисел ні абсолютно суворий. Армія фахівців з теорії чисел зробила відчайдушні спроби залатати діру в доказі Мияоки, та марно. За дві місяці по тому, як Мияока заявив у тому, що має повним доказом Великої теореми Ферма, математичне співтовариство дійшло до одностайному висновку: доказ Мияоки приречене на провал. Уайлс, про яку світ тоді ще щось знав, з полегшенням зітхнув. Велика теорема Ферма і далі лишався непереможеної, і міг продовжувати боротися із нею, сподіваючись довести її з допомогою гіпотези Таниямы-Шимуры. Три року безперервних зусиль, Уайлс вдалося зробити ряд проривів. Він застосував до эллиптическим кривим групи Галуа, розглядаючи «образи» цих кривих у просторі над арифметикою відрахувань по модулю ступеня простого числа. Тим самим було, йому вдалося зробити крок міркування по індукції. У 1990 року Уайлс був у дуже великому тупику. Для її обстеження в нього пішло майже двох років. Перепробувавши всі відомі на той час методи лікування й підходи, про які йшлося в опублікованих роботах, Уайлс виявив, що вони не годяться на вирішення його проблеми. «Мені випало бути переконаний, що стою на йдемо правильним шляхом, це зовсім на означало, що це неодмінно вдасться досягти поставленої мети. Методи, необхідних рішення интересовавшей мене проблеми, могли виявитися лежать поза сучасної математики. Могло статися отже методи, необхідні мені завершення докази, буде створено років за сто. Одне слово, навіть якщо був у йдемо правильним шляхом, цілком міг виявитися, що живу над тому столітті». Уайлс не упав духом й ще продовжував працювати над проблемою й усе рік. Він став вивчати підхід, відомий під назвою «теорія Ивасавы». Ця теорія являла собою метод аналізу еліптичних кривих, який Уайлс вивчав до своєї аспірантські роки у Кембриджі під керівництвом Джона Коутса. Хоча теорія Ивасавы у своєму початковому вигляді була неприйнятна до интересовавшей Уайлса проблемі, але сподівався, що він вдасться за потрібне чином модифікувати її. До літа я 1991 року Уайлс програв бій: теорію Ивасавы зірвалася пристосувати вирішення проблеми. Він знову звернувся безпосередньо до наукових журналів і монографіям, проте не зміг знайти альтернативний метод, який дозволив йому здійснити необхідний прорив. Останні п’ять років Уайлс жив у Прінстоні як самітник, але нині він вирішив, що час повернутися до круговорот науковому житті і ознайомитися з останніми математичними чутками. «Того року що дуже завзято працював, але з’ясувалося, метод, що його намагався застосувати й вдосконалити, пов’язане з надзвичайно тонкої технікою, якої по-справжньому не володів. Було необхідно проробити колосальний обсяг досить важких обчислень, до виконання яких мені здалося вивчити багато нового. На початку січня 1993 року вирішив, що мені потрібне довіритися комунибудь, хто знається на тієї геометричній техніці, що її винайшов для розрахунків. Експерта я вибирав дуже уважно: мені ж потрібно було довірити йому свою таємницю, і це мав бути упевнений у цьому, що не розголосить її. Я вирішив розповісти про все Ніку Катцу». Професор Нік Катц також на математичному факультеті Прінстонського університету та знав Уайлса кілька років. Усі, що зробив Уайлс, було відкриттям, і Катцу довелося грунтовно подумати з того, як їм краще здійснити перевірку. Після закінчення перевірки, Уайлс зосередив всі свої зусилля на завершенні докази. І тепер, після семирічного віку роботи самотужки Уайлс нарешті завершив доказ гіпотези Таниямы-Шимуры і вважав, що його мрія — довести Велику теорему Ферма — майже виповнилася. «Отже, у травні 1993 року був у переконанні, що Велика теорема Ферма в моїх руках, — згадує Уайлс. — Мені так хотілося вкотре перевірити доказ, тож під кінець червня у 24-х Кембриджі мала відбутися конференція, і це подумав, що кращого місця у тому, щоб повідомити про моє доказі, шукати, адже Кембридж — мій рідного міста, і це навчався там в аспірантурі». Щойно Уайлс закінчив свою лекцію в Кембриджі, як комісію Вольфскеля сповістили у тому, що Велика теорема Ферма, нарешті, доведено. Премія не можна було вручена негайно, оскільки, за правилами конкурсу, ясним і чітким, були потрібні підтвердження правильності докази із боку інших математиків офіційна публікація докази. Королівське наукове товариство в Гёттингене свого часу офіційно повідомило всіх у тому, що «до розгляду допускаються лише математичні мемуари, представлені у вигляді статей в періодичних виданнях чи що у книжкових крамницях… Премія присуджується Товариством не раніше, як за два року після опублікування мемуара, удостоєного премії. Дворічний проміжок часу необхідний здобуття права німецькі й іноземні математики мали змогу висловити свою думку з приводу опублікованого рішення». Однак у вирішальної частини міркування була помилка, але настільки тонка, що Уайлс зауважив його тільки після того, як йому її вказали. Описати, у яких суть помилки у простих термінах неможливо: при цьому вона занадто абстрактна. Навіть у тому, щоб пояснити її математику, від нього знадобилася б готовність затратити два-три місяці для докладного вивчення рукописи з доказом. Уайлс спочатку припускав, що чергова помилка так само несерйозна, як і попередні, але наполегливість Катца, який знайшов помилку, змусила поставитися до неї серйозніше: «Не міг негайно вирішити поставлене мені питання, який виглядав цілком безневинно. Мені тоді здавалося, що питання тієї самої порядку, що інші, але у вересні започаткував розуміти, що мова щодо якийсь незначною труднощі, йдеться про фундаментальному пробілі. Про що відбувається пронюхали газети й нагадали математикам про проваленої сенсації 1986 року з доказом Великої теореми Ферма Мияокой. Історія повторювалася. Фахівці з теорії чисел тепер очікували послання по електронної пошти з повідомленням у тому, що у доказі виявлено невиправна прогалина. Деякі математики висловили підозру, що доказ отримають за літо, і тепер їх песимізм здавався цілком виправданим. Але, попри що, Уайлс відмовлявся публікувати свою рукопис. Після семирічного віку наполегливих зусиль, йому зовсім не від посміхалося від ж проблеми і спостерігати, що хтось інший завершить доказ і викраде його славу. Переможцем стане той, хто виконав більшу частину роботи, а той, хто зробить заключний крок праці й світу яке закінчила доказ. Уайлс знав, що й рукопис має з’явитися друком з помилкою в доказі, то він негайно буде похований під купою запитань і прохань пояснити чи іншу іншу деталь, і це остаточно відверне його від справи і зруйнує сподівання те, що самому вдасться виправити доказ. Уайлс був потрібен фахівець, вільно володіє сучасними математичними методами і здатний, при цьому, зберігати таємницю. По зрілому міркуванні Уайлс вирішив запросити у Прінстон для співпраці Річарда Тейлора, вченого з Кембриджського університету. Хоча бій, яке Уайлс вів із найважчим математичної проблемою світу, очевидно, було приречено до поразка, міг, озирнувшись до 7 останніх, втішити себе свідомістю те, що все-таки він досяг непоганих результатів. Він жваво згадує ті фатальні дні: «У понеділок 19 вересня з ранку сидів в себе у кабінеті, вивчаючи метод, з допомогою якого будував доказ. Не вірив у те, що мені вдасться змусити його заробити, але хотів по крайнього заходу з’ясувати, чому це метод не спрацьовує. Я розумів, що хапаюся за соломину, але хотів остаточно з’ясувати причини котра спіткала мене невдачі. Раптом, цілком несподівано, прямо мені піднялось осяяння. Наступного дня я обійшов моїх колег із математичного факультету й запросив їх зазирнути до мене у кабінет, і подивитися, все в установленому порядку з знайденим мною напередодні рішенням. З рішенням усе було гаразд. Мені випало бути просто у нестямі від порушення. Це був важлива річ за мою математичну кар'єру. Жодна з те, що мені судилося здійснити, були зрівнятися з пережитим моментом». Цього разу жодних сумнівів в доказі був. Дві статті загальним обсягом 130 сторінок понесли самому ретельного аналізу, якому коли-небудь піддавалися математичні рукописи за історію людства, й у травні 1995 року було було опубліковано у журналі «Annals of Mathematics». Протягом восьми років наполегливої праці Уайлс, сутнісно, звів докупи всі досягнення теорії чисел ХХ століття, вибудувавши їх одне надпотужне доказ. Переслідуючи свій головний мета, Уайлс попутно створював цілком нові докази декларативності й використовував в немислимих раніше поєднаннях з традиційними методами. З допомогою гіпотези Таниямы-Шимуры Уайлс об'єднав еліптичний і модулярный світи і тим самим, проклав математиці шляху до багатьох інших доказам: проблеми, які у області, можна вирішити по аналогії з вадами з паралельної області. Класичні невирішені проблеми теорії еліптичних кривих можна було піддати перегляду, використовуючи усі наявні кошти й методи теорії модулярных форм.

1) Сінгх З. Велика теорема Ферма.

2) Белл Т. Еге. Велика проблема.

3) Белл Т. Еге. Геніальні математики.

4) Хіт Т. Історія грецької математики.

Суть теоремы.

Біографія Ферма.

Перший серйозний прорыв.

Підхід Софі Жермен.

Два конверта.

Новий импульс.

Парадокс математики.

Підхід з позиції грубої силы.

Відхід у абстракцию.

Завдання протягом усього жизнь.