Бернуллі

Бернулли

В нас саме більшість західноєвропейських країн були задіяні внутрішніми феодальними усобицями зовнішніми війнами, Нідерланди мали чималий шлях капіталістичного розвитку. Іноземців вражало Нідерланди квітуче стан міст, відсутність феодальних форм відносин між різними верствами населення, високий рівень життя, розквіт науку й культури. Ця порівняно невеличка країна давала скарбниці левову пайку наявних доходів. Річний збір податків, наприклад, сягав два мільйони флоринів, тоді як і всі Іспанія давала 1 млн. Карл V називав Нідерланди перлиною своєї короны.

Протестантство з’явилося Нідерландах невдовзі після відомого виступи Лютера 1517 р., направленною проти продажу індульгенцій. Боротьба проти іспанського ярма переплелося з боротьбою за свободу віросповідання. Народний рух прийняло релігійну забарвлення і розливалося ширше й ширше країною.

В 1550 р. Карл V видав указ проти єретиків, поставив фактично всіх протестантів поза законом і оголосивши необмежений терор по всій території Нидерландов.

Пришел кінець елементарної законності. З безмежним цинізмом без суду знищувалися цілі родини, і навіть пологи. Разом з стратами заможних громадян отторгалось належало їм майно, вилучалися гроші й цінності. Почалася еміграція. Вона досягла таких розмірів, що чимало містечка знелюдніли, а містах чисельність населення помітно зменшилася.

Купеческая протестантська сім'я Бернуллі жило Антверпені. Свій рід вона вела з Фландрії, де Бернуллі, в XV в. які мали ще прізвище Бернуйла (Bernuilla), не уникали і військових справ. Сім'я трималася насидженого місця, поки що можна було очікувати на те, всі якось влаштується. Надії пов’язували з успіхами визвольного руху: попри звірства Альбы, північні провінції Нідерландів, згуртовані довкола Вільгельма Оранського, змусили Філіппа визнати їх декларація про самовизначення. За договором 1579 р. сім північних провінцій, утворили ядро майбутньої Голландії, звільнялися від іспанського панування. Проте інші провинции—и місто Антверпен, зокрема — залишалися під іспанської короной.

Тем самим все надії валилися. Під загрозою фізичного знищення доводилося залишати рідне місто. Більшість емігрантів спрямовувалось у прирейнские провінції Німеччини, бо ще за життя Карла V Німеччина домоглася свободи віросповідання (Аугсбургский світ 1555 р.). Здавалося, хвилювання там вщухли й можна буде потрапити відпочити від десятиліть терору. Сім'я Бернуллі вирішує їхати до Франкфурта-на-Майні. Реформація у цьому місті пройшла ще 1533 р., панівна религия—протестантская. Вибір здається вдалим. У 1582 р. сім'я рушає ти дорогою. Непросто було поривати з сім'єю місцями. Глава сім'ї, Якоб Бернуллі, помер у Франкфурті наступного ж году.

Расчеты емігрантів те що, що вдасться влаштуватися на на новому місці, зазнали краху: й у Німеччини ворожнеча між католиками і протестантами не вгасала. З початку XVII в. атмосфера безупинно згущувалася; в 1618 р. почалася Тридцятилітня війна, яка принесла з собою нечувані лиха і розлад господарських зв’язків. Вирішили шукати спокійного пристановища. Вибір зупинився на Швейцарії, саме на Базелі. Становище у Швейцарії здавалося щодо спокійним: реформація там утвердилося на 20-ті роки XVI століття, релігійні хвилювання за минулі років вляглися. У 1622 р. інший Якоб, онук першого Якоба, переїхав до Базель і від громадянство Базельской республіки. На цього разу еміграція завершується вдало. Син Якоба Микола вже чільне обличчя місті, користується повагою купець, голова родини, що з одинадцяти дітей. До його дітей і ті, з кого починається династія видатних математиков.

Чем викликано переселення Бернуллі саме у Базель, важко. Єдине, які можна стверджувати з упевненістю, те, що його присутність серед місті університету не відігравало у виборі жодної ролі: сім'я Бернуллі з покоління до покоління намагалася відвернути свою молодь наука і звернути її обдарування на комерційну діяльність чи адвокатуру. На щастя, молодь сама вибирала свої шляхи, не дуже рахуючись із бажаннями старших.

Среди Бернуллі деякі імена повторюються з покоління до покоління, тому їх розрізняють, як королів, приєднавши до імені відповідну цифру. Ось родовід Бернулли:

Якоб (1598−1634). Уродженець Франкфурта-на-Майно. У 1622 р. переїхав на постійне проживання Базель.

Николай (1623−1708). Син Якоба. Уродженець Базеля. Торговець аптекарськими товарами і лікарськими травами. Член Великого ради Базеля і член суду. Мав 11 детей.

Якоб I (1654−1705). Син Миколи. За освітою богослов. З 1687 р. професор математики Базельського університету. Учнями Якоба I були: його молодший брат Йоганн I, племінник Микола І, член Петербургській академії наук, механік і математик Я. Герман, батько великого Л. Эйлера — Пауль Эйлер.

Николай (1662−1716). Брат Якоба I. Живописець. Член суда.

Иоганн I (1667−1748). Брат Якоба I. Десятий дитина у ній Миколи. За освітою лікар. З 1695 р. професор математики Гронингенского університету (Голландія). З 1705 р. професор математики Базельського університету. Почесний член Петербургській академії наук.

Жером (1669−1760). Брат Йоганна I. Торговець аптекарськими товарами.

Николай. Єдиний син Якоба I, що мав ще дочка. Всупереч бажанню батька, ухилився від наукової кар'єри і став живописцем. За словами сучасників, дуже посредственным.

Николай I (1687−1759). Син Миколи. За освітою юрист. Професор математики Падуї, професор логіки й права в Базеле.

Николай II (1695−1726), син Йоганна I. За освітою юрист. Професор права в Берні, професор математики Петербурге.

Даниил I (1700−1782). Уродженець Гронінгена. Син Йоганна I. За освітою лікар. У 1725−1733 рр. працював на кафедрах фізіології і механіки в Петербурзької Академії Наук. З 1733 р. професор кафедри фізіології, з 1750 р. професор кафедри механіки у Базелі. Почесний член Петербургській академії наук.

Иоганн II (1710−1790), Син Йоганна I. За освітою юрист. Професор елоквенції (красномовства), професор математики Базеле.

Иоганн III (1744−1807). Старший син Йоганна II. За освітою юрист. Астроном Берлінської Академії Наук, там-таки директор математичного класса.

Даниил II (1751−1834). Другий син Йоганна II. За освітою лікар, професор красномовства в Базеле.

Якоб II (1759−1789). Третій син Йоганна II. За освітою юрист. Математик Петербургській академії наук. Потонув в Неве.

Кристоф (1782−1863). Син Данила II. Професор технології в Базеле.

Иоганн-Густав (1811−1863). Син Крістофа. Професор технології в Базеле.

Представители роду Бернуллі живуть у Базелі й у справжнє время.

Якоб (1598−1634).

.

Микола (1623−1708).

Якоб I (1654−1705) Жером (1669−1760).

Николай (1662−1716) Йоганн I (1667−1748).

Николай.

Микола І (1687−1759).

Микола II (1695−1726) Данило I (1700−1782).

Йоганн II (1710−1790).

Якоб II (1759−1789) Йоганн III (1744−1807) Данило II (1751−1834).

Кристоф (1782−1863).

Иоганн-Густав (1811−1863).

Якоб I. Народився 27 грудня 1654 р. За бажання батька готували до званню протестантського священика. Закінчив Базельський університет, де він вивчав філософію, богослов’я і мови. Володів німецьким, французьким, англійським, італійським, латинською та грецьким мовами. Зазнаючи непереборне потяг до математики, вивчав її таємно від батька. У 1671 р. отримав ступінь магістра філософії. З більшим успіхом читав проповіді німецькою і французькою мовами. У той самий час продовжував поповнювати знання з математики без вчителя, майже без учебников.

У 1686 р. виявляється вакантної посаду професора математики Базельському університеті. Успіхи Якоба в математиці добре відомі, і Сенат університету одностайно висунув на вакантну посаду Якоба Бернуллі. Обіймання ним посади відбулося 15 лютого 1687 р. Навряд присутні у своїй скромному акті представляли, що є свідками початку безприкладного історія математики події: відтепер кафедру посідатимуть Бернуллі протягом сто років. Члени ж цією сім'ї будуть професорами рідного університету у протягом чверті тисячоліття, до другої половини XX в.

В тому ж році Якоб Бернуллі прочитав в «Асtа Eruditirum» за 1684 р. «Новий метод» Лейбніца і, виявивши важкі місця, письмово звернувся безпосередньо до Лейбницу по роз’яснення. Ляйбніц, котрий у тривалої службовій поїздці, отримав прекрасного листа лише через 3 роки, коли потреба в консультації відпала: Якоб спільно Йоганном оволоділи диференційним і інтегральним исчислениями настільки, що змогли приступити систематичного розвитку методу. Виниклий тріумвірат — Ляйбніц, Якоб і Йоганн Бернуллі — менш як по двадцять років надзвичайно збагатив аналіз нескінченно малых.

С 1677 р. Я. Бернуллі став вести нотатники, куди вносив різноманітних нотатки наукового змісту. Перші записи присвячені теології, зроблено під впливом поширеного тоді у Базелі збірника спірних теологічних вопросов.

Основное місце в записниках займає вирішення завдань. Вже з раннім записів можна будувати висновки про виявлений Я. Бернуллі інтерес до прикладної математиці. Математичні нотатки показують, як поступово Я. Бернуллі опановував методами Валлиса, Декарта, инфинитезимальными методами, як розбудовував і удосконалював їх. Вирішені ним завдання служили відправними пунктами для подальших глибших исследований.

В січні 1684 р. Я. Бернуллі провів у Базельському університеті відкритий диспут, у якому захищав 100 тез, їх 34 логічних, 18 діалектичних і 48 змішаних. Деякі тези вкрай цікаві. Ось примеры:

«78. Іноді є кілька найкоротших шляхів з точки в точку.

83. .Серед изопериметрических постатей одна можливо, у безліч разів більше другой.

85. Не кожному трикутнику сума внутрішніх кутів дорівнює двом прямым.

89. Квадратура кола ще знайдено, але з бо між викривленим і прямолінійним немає жодного зв’язку; насправді криву можна спрямити, а криволинейную постать квадрировать".

В травні 1690 р. Я. Бернуллі опублікував «Асtа Eruditirum» першу роботу, пов’язану з обчисленням нескінченно малих. У ньому дав рішення поставленої Лейбніцем в 1687 р. завдання про парацентрической изохроне. І було знайти криву, по якої матеріальна точка опускалася в рівні інтервали часу на рівні висоти. Я. Бернуллі вивів диференціальний рівняння кривою і проинтегрировал його. Заодно він запустив у вжиток у пресі термін «інтеграл», вказавши, що з рівності двох висловів, що пов’язують диференціали, слід рівність з дитинства інтегралів.

У лекціях, читаних Лопиталю, І. Бернуллі хід рішення викладає так. Нехай шуканої кривою буде АDС. Матеріальна точка за час? t переміщається з точки D в точку d і з точки З в точку з. По умові завдання проекції дуг Dd Сс на вертикаль однакові. Проведемо через D і З касательные до кривою до перетину з продовженням АF. Відтинки дотичних будуть DK і CL. Напишемо тождество.

Dd/Сс=Dd/Hc • Hc/Cc.

Дуги Dd і Сс малі, тому скульптури GDd і НСс можна вважати треугольниками.

Из подоби трикутників GDd і DEK, НСс і СFL получим.

Dd/DG=DK/DE, Сс/Нс=CL/СF.

С допомогою цих пропорцій найдем.

Dd/Сс=DG1Нс • DК/DЕ • СF/СL.

По умовам завдання dG/Нс=1, поэтому.

Dd1Сс=DК/DЕ • СF/СL.

Проведем через точку З пряму РМ, паралельну DК. Тогда.

DК/DЕ=СМ/СF, Dd/Сс=СМ/СL.

Но ставлення Dd/Сс одно відношенню швидкостей (інтервал ?t і той ж), квадрати ж швидкостей, по знайденому Галилеем закону, ставляться як пройдені висоти; це дает.

Dd2/Сс2=СМ2/СL2=DЕ/CF, СМ2/СL2 =DЕ/СF.

Последнее рівність означає, що й за два довільні точки кривою провести касательные СL і DК і крізь точку З провести РМ паралельно DК, має виконуватися зазначена пропорція. Таким властивістю має бажана кривая.

Задача виявилася зведеної до класу зворотних завдань на касательные: знайти криву, касательные до котрої я задовольняють деякому вимозі. Таке завдання вперше запропонував Декарту Дебон, і Декарт не впорався. Розроблений Лейбніцем метод дозволяє розв’язувати проблему і зворотні завдання на касательные.

Выберем початок координат у точці А. Означимо АЕ=х, ЕD=у. Тоді GD=dх, Gd=dу. Означимо також СF=а, СL=b. Трикутники FСМ і СdD подібні, звідси.

Gd/Dd=FС/СМ.

Но Dd = ?dx2+dy2, тому.

dy/? dx2+dy2= а/СМ, звідки.

CM2= (a2dx2+a2dy2)/dy2.

Подставим знайдене вираження у пропорцію СL2/СM2=СF/СЕ й одержимо диференціальний уравнение.

b2dy2/(a2dx2+a2dy2)=a/y, b2ydy2-a3dy2=a3dx2, (b2y-а3)dу2 = а3dx2,.

?b2y-a3 dy=?a3 dx.

В рівнянні перемінні розділені, інтегрування його дає потрібну кривую.

2b2у — 2а3/3b2 ?b2у — а3 == х? а3.

Парацентрическая изохрона виявилася полукубической параболою. Вигляд кривою раніше Я. Бернуллі визначили Ляйбніц і Гюйгенс, але тільки Я. Бернуллі дав рішення засобами аналізу нескінченно малых.

В додатку до іншу роботу про лавах (1694 р.) Я. Бернуллі сформулював кілька тезисов.

1. Існують спіралі, що завдають безліч витків навколо полюси, але мають кінцеву длину.

2. Існують криві, які, подібно еліпсу, замкнуті і, подібно параболу, йдуть у нескінченність, наприклад ay2=х2(b+х).

3. Існують криві, які з двох гілок, наприклад ау2=х{а2—х2),.

4. Існують необмежені поверхні з кінцевої площадью.

5. Існують необмежені поверхні з безкінечною площею, але такі, що відповідні їм тіла обертання мають кінцевим объемом.

Я. Бернуллі захоплювався ще й изопериметрическими завданнями. Найдавніша з них—задача легендарної засновниці Карфагена та її першої цариці Дидоны. Легенда така. Дидона втекла від батька, тирского царя, й досягла Африки, де купила у тубільців шматок землі березі моря «максимум, чим можна оточити воловій шкірою». Вона розрізала шкуру на вузькі смужки і зв’язала їх довгу стрічку. Питається, який форми повинна бути постать, оцепленная стрічкою даної довжини, щоб площу фігури була наибольшей?

Ван-дер-Варден пише, що Зенодор, жила невдовзі після Архімеда, висловив 14 пропозицій щодо изопериметрических постатей. Він стверджував, що із усіх постатей (кіл і многоугольников), мають однаковий периметр, коло буде найбільшим, в тому числі з всіх просторових тіл з однаковим поверхнею найбільшим буде шар.

Решение завдання міститься у записниках Я. Бернуллі і вміщено в травневому номері «Acta Eruditorum» за 1701 р. Я. Бернуллі й тут застосував висловлене раніше принцип: оскільки площа мусить бути екстремальній, цим самим властивістю повинна мати і кожна її елементарна частина. Він здобув диференціальний рівняння третього порядку й згодом проинтегрировал его.

К. А. Рибников пише: «Отже, рішення изопериметрической завдання означало дуже важливий, принципово новий етап історія варіаційного обчислення; вона дала можливість вирішувати складніші вариационные завдання, ним зроблено важливий крок по дорозі рішення варіаційних завдань».

При вивченні властивостей поєднань і фігурних чисел Я. Бернуллі зустрівся з підсумовуванням ступенів натуральних чисел Sm = å km.

Эти питання цікавили математиків й раніше. Я. Бернуллі становив таблицю фігурних чисел, ука зал їх властивості і підставі відзначених властивостей знайшов формули для сум ступенів натуральних чисел. Він навів формули сум від S (п) до S (п10):

P.S (n) = n2/2 +n/2.

P.S (n2) = n3/3 + n2/2+ n/6.

P.S (n3) = n4/4 + n3/2 + n2/4.

P.S (n4) = n5/5 + n4/2 + n3/3 — n/30.

P.S (n5) = n6/6 + n5/2 + 5n4/12 — n2/12.

P.S (n6) = n7/7 + n6/2 + n5/2 — n3/6 + n/42.

P.S (n7) = n8/8 + n7/2 + 7n6/12 — 7n4/24 + n2/12.

P.S (n8) = n9/9 + n8/2 + 2n7/3 — 7n5/15 + 2n3/9 — n/30.

P.S (n9) = n10/10 + n9/2 + 3n8/4 — 7n6/10 + n4/2 — n2/12.

P.S (n10) = n11/11 + n10/2 + 5n9/9 — n7 + n5 — n3/2 + 5n/66.

Потім Я. Бернуллі зазначив загальну формулу.

S (nc) = nc+1/c+1 + ½*nc + ½*()Anc-1 + ¼*()Bnc-3 + 1/6*()Cnc-5 + 1/8*()Dnc-7+ …

Здесь (), () … — числа поєднань; показники ступеня n убувають, останнього члена в правій частині містить n чи n2. Числа A, B, З, D … — коефіцієнти при n у висловлюваннях S (n2), S (n4), S (n6), … Саме: А=1/6, В=-1/30, С=1/42, D=-1/30, …Бернуллі формулює загальне правило для обчислення цих чисел: сума коефіцієнтів в висловлюваннях S (n), S (n2), S (n3), … дорівнює одиниці. Наприклад, 1/9+½+2/3−7/15+2/9+D=1. Звідси D=-1/30.

Я. Бернуллі підкреслює зручність таблиці фігурних чисел і заявляє, що з її допомоги у протягом «половини чверті години» знайшов суму десятих ступенів першої тисячі натуральних чисел. Вона опинилася равной.

91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500.

II.

Роль І. Бернуллі як однієї з творців, розповсюджувачів і, безперечно, знавців зародження тоді математичного аналізу відбиває сучасна термінологія: назва «інтегральне літочислення» (від латинського integer — цілий, звідки і старовинне російське «целственный аналіз») ввів І. Бернуллі. Як відомо, Ляйбніц вважав за краще називати інтеграл «сумою». Це згодом породило знак інтеграла ?, що є витягнуту букву P. S— першу букву латинського слова summa.

И. Бернуллі займався додатком рядів до інтегрування на цьому шляху відкрив загальну формулу розкладання до кількох інтеграла від функції n (z) по ступенів аргументу:

? n (z)dz = nz — z2/2 * dn/dz + z3/6 * d2n/dz2 — z4/24 * d3n/dz3 + …

В «Acta Eruditorium» за 1697 р. І. Бернуллі поставив завдання про кривих, котрі перетинають деяке пласке сімейство однопараметрических ліній під даним рогом або під кутом, мінливим за певним закону. У першому випадку траєкторії називаються изогональными, і якщо кут прямий, то ортогональными. І. Бернуллі зазначив можливість застосування отриманих закономірностей теоретично світла Гюйгенса. За рік, а також, що завдання відшукання траєкторій зводиться до диференціальному рівнянню першого порядку.

Николай II Бернуллі, син І. Бернуллі, в 1720 р. сформулював завдання про взаємних траєкторіях, т. е. про траєкторіях, які стосуються до того ж сімейству кривих, як і криві даного сімейства. Цією завданням займався І. Бернуллі. Він 1727 р. в ролі сімейства взаємних траєкторій назвав полукубические параболи y3 = ax2.

Лейбниц і І. Бернуллі знайшли метод інтегрування раціональних дробів, котрі після виділення цілої частини вони вважали як суми найпростіших дробів. Здійснення цього можна було буде лише тоді, коли сформувалося поняття логарифмічною функції. У зв’язку з інтегруванням раціональних дробів в аналіз ввійшли комплексні числа і з’явилася суперечка про логарифмах негативних чисел.

В листах Лейбницу 1702 р. І. Бернуллі зауважив, що раціональні дробу повинні інтегруватися у раціональних, логарифмічних і кругових функциях.

Представляет особливий інтерес робота «Рішення одного завдання інтегрального обчислення», надрукована в «Memoires» Паризької Академії Наук за 1702 р. (1704) й у «Acta Eruditorium» за 1703 р., у якій І. Бернуллі розглянув випадок дійсних різних коренів знаменника раціональної дробу і на відміну від Лейбніца, дав готові формули, показав, як отримувати коефіцієнти, спочатку полагаемые невизначеними. Але тут І. Бернуллі зазначив важливе якість. Приблизно так як диференціал dz/(1-z2) з допомогою підстановки z = (t-1)/(t+1) перетворюється на логарифмический диференціал dt/2t, і диференціал дійсного кругового сектора dz/(1 + z2) з допомогою мнимої підстановки z = ?-1(t-1)/(t+1) перетворюється на «вдаваний диференціал» -dt/2?-1t. Крім того, очевидно, що dz/(1+z2) = 0,5dz/1 + z?-1 + 0,5dz/1 — z?-1.

т. е. диференціал дійсного кругового сектора дорівнює сумі диференціалів мнимих логарифмів. Звідси І. Бернуллі дійшов висновку, що ці уявні логарифми заміняють справжні кругові секторы.

Співвідношенням dz/(1+z2) = -dt/2?-1t по суті було встановлено зв’язок між функціями Arctg (z) і Ln t = ln (1 — z?-1)/(1 + z?-1). Та й це зв’язок І. Бернуллі недоотримав, бо став інтегрувати рівняння, а виконав ще одне подстановку.

t = (?-1 + ?1/r — 1)/(?-1 — ?1/r — 1), що було вираз диференціала арксинуса дійсного аргументу через диференціал мнимого логарифма.

Робота І. Бернуллі, опублікована у «Acta Eruditorium» за 1712 р., містила продовження тієї самої дослідження: у ній І. Бернуллі проинтегрировал раціональну дріб з мнимим аргументом. Він вирішив диференціальний рівняння.

ndx/(x2 + 1) = dy/(y2 + 1), попередньо розклавши дробу за вказаною способу, і невдовзі одержав (x — ?-1)n (y + ?-1) = (x + ?-1)n (y — ?-1).

Просуванню уперед, у застосуванні мнимих чисел до аналізу перешкоджали неясності, пов’язані з визначенням логарифма. Підтвердження цьому — кампанія між Лейбніцем і І. Бернуллі дискусія про природі логарифмів негативних чисел.

В 1712 р. Ляйбніц виступив із статтею, де, обговорюючи парадокс Арно 1/-1 = -1/1, сказав, що негативним відносинам відповідають ніякі логарифми, оскільки позитивним логарифмам відповідають числа більше одиниці, а негативним — правильні позитивні дробу. Тому логарифм числа —1 нічого очікувати істинним, він вдаваний. І ще: якби цей логарифм був дійсним, його половина стала також дійсною, т. е. дійсним було б логарифм мнимого числа ?-1 але це не так.

И. Бернуллі заперечував Лейбницу; він вважав, що логарифми негативних чисел дійсні, і думав lg (-a) = lg бо як lg (-1) = 0. Він грунтувався у тому, що з тотожності d (-х)/-х=dх/х слід d lg (-x) = d lg x, т. е. lg (-x) = lg x. Наводилися й інші аргументи.

Перечислим деякі приватні результати І. Бернуллі. Він здобув і опублікував 1701 р. розкладання sin n a і co n a за творами ступенів sin n a і co n a. Він перший виявив довів расходимость гармонійного низки. До цього часу у навчальній літературі знаходить собі місце парадокс І. Бернуллі. Запишемо таблицу.

1/1*2 ½*3 1/3*4 ¼*5…

½*3 1/3*4 ¼*5…

1/3*4 ¼*5…

…

Просуммируем по рядкам; знайдемо.

S1 = 1/1*2 + ½*3 + 1/3*4 + ¼*5+…= 1 — ½ + ½ — 1/3 + 1/3 — ¼ + … = 1,.

S2 = ½ — 1/3 + 1/3 — ¼ +… = ½.

S3 = 1/3 — ¼ + ¼ — 1/5 + … = 1/3.

…

Обозначим суму рядків буквою P. S:

S=S1+S2+S3+…=1 + ½ + 1/3 + …

Просуммируем тепер стовпчики і сплюсуємо результати; получим.

s1=½, s2=1/3, s3=¼, …; s1+s2+s3 + … =½+1/3+¼+ … = S-1.

Получается парадокс: S=S—1. Усе пояснюється просто: ми оперуємо з розбіжним гармонійним поруч, які мають суми.

Продолжим балачки про досягненнях І. Бернуллі. Він за Я. Бернуллі отримав формулу для радіуса кривизни в дифференциалах абсциссы і ординати, опубліковану в «Аналізі нескінченно малих» Лопиталя. І. Бернуллі займався вивченням властивостей эволют, эвольвент, каустик, дотичних, точок перегину, огибающих, кривизни. Він відразу відкрив точку повернення другого роду, описану Лопиталем. І. Бернуллі виконав багато квадратури, випрямлення, кубатури, як додаток методів аналізу вирішив мною геометричних і механічних завдань, зокрема завдання про парацентрической изохроне.

К середині дев’яностих років XVII в., т. е. усього за десятиліття після появи основного праці Лейбніца, зусиллями Лейбніца і любителі братів Бернуллі ідеї диференціального і інтегрального числень досягли розвитку, що з’явилися судження про завершення аналізу, у недалекому майбутньому. Назріла необхідність зібрати воєдино і систематизувати розроблені методи про те, щоб ними міг користуватися широке коло людей. Це завдання блискуче виконав І. Бернуллі, який написав 1691—1692 рр. «Лекції по підрахунку диференціалів» і «Математичні лекції про методі з дитинства інтегралів та інших питаннях, написані для маркіза Лопиталя».

Завершение лекцій дозволило писати І. Бернуллі в автобіографічної замітці, що він «був охарактеризований першим, хтось подумав про винайдення методу до переходу від нескінченно малих кількостей до кінцевим, елементами яких ці нескінченно малі суть. Я назвав його інтегральним обчисленням, не знайшовши більш підхожого слова».

Хотя І. Бернуллі лекції і видав, вони були доступні французьким математикам і зіграли значної ролі в прогресі аналізу. Як мовилося раніше, лекції і матеріалів, отримані Лопиталем в листах І. Бернуллі (вони листувалися з 1692 р. в протягом десятиріччя), послужили Лопиталю основою під час написання їм «Аналізу нескінченно малых».

Лекции І. Бернуллі, «Аналіз» Лопиталя містили невеличкий набір основних аналітичних понять, иллюстрируемых кресленнями, теорем і керував і безліч завдань геометричного, механічного й фізичного характера.

Лекции по диференціальному підрахунку починаються такими постулатами:

«1. Розмір, зменшена чи збільшена на нескінченно меншу величину, не зменшується, не увеличивается.

2. Будь-яка крива лінія складається з нескінченно багатьох прямих, які самі нескінченно малы.

3. Постать, ув’язнена між двома ординатами, різницею абсцис і малим шматком будь-який кривою, сприймається як параллелограмм".

Відразу по вступом І. Бернуллі пише: «З попереднього відомо, що dx є диференціал x, що хdх є диференціал ½*х2 чи ½*x2 плюс чи мінус стала, x2dx — диференціал 1/3*x3 плюс чи мінус стала… також аdх — диференціал ох тощо. буд., axdx — диференціал ½*ax2 ах3dx— диференціал ¼*ax4 тощо. буд.» Після цього дається загальне правило: «ахp є диференціал кількості axp+1/(p+1). Іншими словами: ?хpdx = хp+1/(р+1)*(+С). І. Бернуллі застосовує цього правила до випадку P=-1 і навіть отримує? dx/x = ?. Однак згодом він виправляє ошибку.

Затем розглядаються деякі варіації загальної формули: випадки, коли можна назвати диференціал подкоренного висловлювання, тощо. д.

Вторая лекція присвячена вирахування площ. І це питанні І. Бернуллі розвивав ідеї Лейбніца і писав: «Площі розглядають як розкладені на частини, кожну у тому числі вважатимуться диференціалом площі. Якщо мають інтеграл цього диференціала, т. е. суму цих частин, то звідси буде відома і бажана квадратура».

После обговорення різних способів розбивки постаті І. Бернуллі робить висновок: коли часткові майданчики обмежені ординатами і кривою, диференціал кожної з без них буде уdх. Якщо крива задається, те в виражається через x цілком точно, і уdх буде «повністю виражатися через x». Він наводить приклад: дана парабола у2=ах; диференціал площі буде? ох dх, його інтеграл 2/3х?ах, чи 2/3xу. З надзвичайної простотою І. Бернуллі знайшов результат, вважається найважливішим досягненням геометрії древніх, котра перебувала тому, що площа сегмента параболи дорівнює 2/3 площі відповідного прямокутника ху.

Содержание наступних лекцій дуже різноманітно: квадратури площ, кривих, «зворотні завдання», стикаються криві і эволюты, каустики; завершують книжку п’ять лекцій, присвячених рішенню фізико-механічних завдань, зокрема завдання й ланцюгової лінії — однією з перших завдань механіки нитки. Вражає у його та інших лекціях, крім змісту, найвища методичне майстерність. Усе них все як в досвідченого лектора, хоча йому було усього 24 року. І лекцій з аналізу нескінченно малих перед ним не читав ніхто.

Мало займе місця виклад широко відомого правила Лопиталя, однак слід його виділити серед загального розгляду творчості І. Бернуллі. У листі 22 липня 1694 р. І. Бернуллі відповів Лопиталю питанням у тому, як слід зробити, коли необхідно знайти значення невизначеності виду О/О. І повідомив геометричне доказ висловлену правилу. Воно увійшло підручник Лопиталя «Аналіз нескінченно малых».

Лопиталь формулює завдання так: «.Нехай величина ординати у кривою АМD (АР=х, РМ=у, АВ=а) виражається дробом, чисельник і знаменник якої звертаються до нуль при х=а, т. е. коли точка Р збігаються з даної точкою У. Питається, якою має бути при атом величина ординати ВD».

Решение завдання така. На загальної «осі» будуються криві АNВ і СОВ, причому ордината РN входить в чисельник, а РВ — в знаменник дробу всім РМ, отже РМ=АМ•РN/РО.

Обидві криві перетинаються у точці У, оскільки, за припущенням,.

величины РN і РВ звертаються до нуль, коли точка Р збігаються з У. Потім вводиться ордината bd, близька до ВD і яка перетинає криві в точках f і g. Для неї Bd=AB*bf/bg, що ні відрізняється від ВD з однієї з основних допущень, висунутих автором, у тому, що й є дві величини, відмінні друг від друга на нескінченно малу, можна брати жодну замість інший. Отже, необхідно знайти ставлення bg до bf.

Когда АР звертається до АВ, обидві ординати РN і РВ звертаються до нуль, «а коли АР звертається в Аb, ординати звертаються до bf і bg». Отже, ординати bf і bg є диференціалами кривих АNВ і СОВ в точках У і b. Тож перебування шуканого значення bd йди ВD потрібно диференціал чисельника розділити на диференціал знаменника, поклавши х=а=Аb чи АВ, «що потрібно було знайти», — укладає Лопиталь.

В наступному параграфі правило застосовується до пошуку граничного значения.

y = (?2a3x — x4 — a? a2x)/(a — ?ax3) при х=а.

Лопиталь пише: потрібно диференціал чисельника розділити на диференціал знаменника, поклавши х=а. Одержимо число 16а/9 «для шуканої величини ВD».

Торішнього серпня 1704 р., невдовзі по смерті Лопиталя, І. Бернуллі виступив із першим друкованим заявою, у якому пред’явив претензії на достойні «Аналізі» методи. Це була замітка «Удосконалення мого опублікованого в „Analyse des infiniment petits“ § 163 методу визначення значення дробу, чисельник і знаменник якої іноді зникають». Тут І. Бернуллі розповів, що правило він зазначив у листі Лопиталю років 10 тому, і навіть вирішив приклад, поміщений у § 164, який французькі математики Лопиталь вирішити було неможливо. На тому замітці І. Бернуллі, «спонукуваний любові до істині», зазначив, іноді однократне застосування правила до мети не наводить, виходить знову невизначеність виду 0/0, тому його доводиться застосовувати іще одна чи кілька раз.

Одновременно з розвитком диференціального і інтегрального числень йшла розробляються методи рішення диференційних рівнянь. У інтегруванні рівнянь першого порядку досягнуто неабиякі успіхи. У «Математичних лекціях про методі з дитинства інтегралів та про решту питаннях, написаних для маркіза Лопиталя» вирішено однорідне рівняння dy/dx=f (y/x) підстановкою у=хt. Саме там викладено метод приведення до однорідному рівняння dy/dx=f ((ax+by+c/(a1x + b1y + c1)) підстановками x =? + h, у =? +h; у своїй не згаданий випадок ab1-a1b=0. У «Лекціях» І. Бернуллі застосував інтегруючий множник до рівнянню ахdу—уdх=0. Він примножив члени рівняння на уa-1/x2 і коли одержав d (ya/x;)=0, звідки уa=bх. Безпосереднє поділ змінних у тому рівнянні І. Бернуллі не виконав, бо вважав, що згідно з формулою? хndх=хп+1/(n+1) буде? dx/x=?. (Як відомо, згодом він висловлював цей інтеграл через ln x.).

В листі Лейбницу 4 вересня 1696 р. І. Бернуллі показав, що «рівняння Бернуллі» dy/dx=р (х)у+q (х)уn зводиться заміною у1-n=z до лінійному. З листа Лейбницу в тому ж році слід, що І. Бернуллі проинтегрировал рівняння у=х?(dу/dх)+?(dу/dх), зване тепер рівнянням Лагранжа. Близько 1700 р. І. Бернуллі застосував інтегруючий множник xk для послідовного зниження порядку рівняння Эйлера а0хndпу/dхn+а1хп-1dп-1у/dхn-1+ … +аn-1хdу/dх+аny=0.

Помимо цього І. Бернуллі займався ще рівнянням Риккати і завданням про коливанні струны.

Статья І. Бернуллі «Загальний спосіб побудови всіх диференційних рівнянь першого порядку» містить ідею методу изоклин, застосовуваного при графічному рішенні рівнянь першого порядку. Суть питання полягала наступного. Загальному рішенню у=f (x; З) диференціального рівняння першого порядку у «=f (х; у) на площині відповідає сімейство інтегральних кривих. Саме рівняння визначає кожної точці площині значення у », т. е. кутовий коефіцієнт дотичній до інтегральної кривою у цій точці. Якщо скрізь на площині задається значення деякою величини, то говорять про полі цієї величини. Отже, диференціальний рівняння задає полі рівнянь, а завдання знаходження спільної рішення рівняння полягає у знаходженні кривих, котрим напрями дотичних збігаються з напрямами поля.

III.

Третий геніальний представник роду Бернуллі, Данило, посідає серед Бернуллі й у науці особливу увагу. Особливість ця пояснюється, по-перше, різнобічністю його наукових інтересів і значущістю отриманих результатів практично у всіх галузях точного природознавства свого часу, по-друге, прикладної спрямованістю досліджень. У книгах, у будь-якій мері що з історією науки, Данила Бернуллі називають по-різному: фізіологом, астрономом, фізиком, математиком, механіком, гидродинамиком. Не безпідставно: Д. Бернуллі разом з Л. Эйлером, І. Бернуллі, Ж. Д’Аламбером, Ж. Лагранжем та інші видатними математиками і механіками XVIII в. створював основи класичної науки.

В нарисі про рід Бернуллі говорилося, що у 1723 р. Д. Бернуллі пішов у Венецію щоб займатися медициною під керівництвом італійського лікаря П. А. Микелотти. За двох років до приїзду Д. Бернуллі у Венеції опубліковано «физико-механико-медицинская» дисертація Микелотти «Про поділі рідин у тілі тваринного», у якій розглядалися питання гідродинаміці живих організмів. Вона щодо одного палітурці з іншим виданням медичної дисертації І. Бернуллі «Про русі м’язів», що свідчила про науковому авторитеті Бернуллі серед італійських вчених і сприяло діяльності Д, Бернуллі в Венеции.

С допомогою «одного знатного венеціанця полягає» Д. Бернуллі в 1724 р. видав «Математичні вправи» («Данила Бернуллі з Базеля, сина Йоганна, деякі математичні вправи»), направлені захист ідей батька і дядька від нападок деяких італійських учених. Книжка представляє хіба що огляд наукової діяльності автора у попередні роки і має багато ідей, розвинені їм згодом. За рік наслідки були було опубліковано у «Acta Eruditorium» і вони надбанням широкого кола ученых.

«Математические вправи» складаються з чотирьох розділів: три присвячені математиці, один (другий) — додатків математики до гідравліці та медицині. У плані книжки, що з математикою, Бернуллі полимезирует з італійськими математиками (Д. Ризетти, Д. Риккати та інших.) по розроблюваної тоді чистої математиці. Тут міститься багато посилань на роботи, розміщені у час в «Acta Eruditorium»; це є свідченням те, що був знає новітніх відкриттів. Найбільш значущою частина книжки, присвячена дослідженню диференціального рівняння Риккати.

Развитие математики першій половині XVIII в. характеризувалося тим, що з детальним розглядом різних класів функцій спостерігалося подальше дослідження диференційних рівнянь й застосування їх їх до завдань механіки, диференціальної геометрії, варіаційного обчислення. Рівняння інтегрувалися як і кінцевому вигляді, і з допомогою рядов.

Ко часу опублікування «Математичних вправ» на роботах Лейбніца, Я І. Бернуллі знайшли способи інтегрування однорідних і лінійних рівнянь першого порядку, і навіть рівнянь Я. Бернулли.

y «=f (х; у), в якому права частина є функцією відносини у/х. У 1693 р. Ляйбніц знайшов метод відомості таких рівнянь до рівнянням із перемінними підстановкою у=их.

Линейное рівняння першого порядку має вигляд у «+Р (х)у=Q (х).

Метод рішення таких рівнянь, коли функція у відшукується як твори двох нових функцій (у=иу), розробили приблизно тоді водночас і Лейбніцем. Рівняння вида.

y «+Р (х)у=Q (х)уп запропонував Я. Бернуллі. В 1696—1697 рр. було вирішено тим самим методом, як і лінійне, Лейбніцем, Я І. Бернуллі; ще, Ляйбніц і І. Бернуллі показали, що воно зводиться до лінійному підстановкою y1-n=z.

К деяким рівнянням застосовувався також інтегруючий множник. Я. Бернуллі запропонував прийом зниження порядку до рівнянню другого порядку, не який містить явно одній з змінних, заміною y «=p. Робота Я. Бернуллі побачила світ пізніше, по тому як Риккати в 1715 р. опублікував своє дослідження про те саме методе.

В 1694 р. в «Асtа Eruditorium» І. Бернуллі опублікував невелику статтю, у якій згадувалося рівняння твань Риккати. Він: «Я ще з’ясував, чи можна дозволити диференціальний рівняння х2dх + у2dх = d2у». Після цих рядків рівнянням y'=у2+х2.

заинтересовался Я. Бернуллі, про що свідчать його листи Лейбницу в 1697—1704 рр. «Я хотів далі від тебе дізнатися, намагався чи ти досліджувати dу=у2dх+х2dх, — писав Я. Бернуллі Лейбницу 27 січня 1697 г.— Я робив безліч спроб, але розв’язання цієї завдання постійно втрачав мене». «До речі, я згадую інше рівняння dу=у2dх+х2dх, — писав Пауль Лейбницу 15 листопада 1702 р., — у мені зірвалася розділити перемінні те щоб рівняння залишилося просто диференційним; але я розділив їх зведенням ось до чого диференціальному рівнянню: d2у: у=-х2dx2».

Хотя Я. Бернуллі зірвалася вирішити рівняння у кінцевому вигляді, інтерес до нього в математиків зник. Лише 1724 р. граф Джакопо Риккати в Доповненні VIII до «Асtа Eruditorium» поставив завдання: для рівняння у «=ахп+bу2 (чи b — постійні) знайти значення п, у яких воно допускає поділ змінних. Нею зайнялися Йоганн I, Микола І, Микола II і Даніїл Бернуллі, але, крім Данила, істотних результатів хто б получил.

Д. Риккати своє рішення, у згаданому доповненні висловив як анаграммы.

В тому самому випуску «Асta Eruditorum» була надрукована замітка Д. Бернуллі, де він написав, що рівняння ахndх+ииdх=bdи вважається не піддається розв’язанню.

Бернулли приступив до дослідження рівняння і опублікував результати в «Математичних вправах». Він встановив, що рівняння Риккати допускає інтегрування у кінцевому вигляді у випадках n= -4k/(2k±1) (k—целое число).

Случай п=—2 розглянув Эйлер. У 1841 р. Лиувилль довів, що у випадках, відмінних зазначених Д. Бернуллі і Эйлером, рішення рівняння Риккати не зводиться до квадратурам не може бути виражено з допомогою кінцевого числа елементарних функцій. Уравнение у «+а (х)y2+b (x)y+c (x)=0.

теперь називають узагальненим рівнянням Риккати. Його досліджував Эйлер і встановив, що й відомо одне приватне рішення у1(х) рівняння, то підстановка y=y1 (х)+1/и{х) наводить його до лінійному. Якщо відомі два приватних рішення y1(x) і у2(x), то загальний інтеграл рівняння перебуває однієї квадратурой.

Интерес до рівнянню Риккати пояснюється лише тим, що його зустрічається під час вирішення деяких завдань механіки; ще, щодо нього можна звести будь-яке лінійне рівняння другого порядку.

Інтереси Д. Бернуллі були різноманітні. Та незабаром він зацікавився древньої нерозв’язною завданням квадратури кола яка багато століть, бентежачи уми математиків всіх часів. Гіппократ Хиосский (V в. до зв. е.) намагався впоратися з квадратурою кола з допомогою квадрируемых постатей, обмежених дугами двох окружностей, названих гиппократовыми луночками. Таку луночку можна, наприклад, побудувати так: візьмемо чверть кола радіуса r і хорді АС, що з'єднує кінці радіусів ОА і ОС, опишемо як у діаметрі зовнішню стосовно до чверті кола полуокружность.

Тогда АС=r?2 та Європейська площа чверті більшого кола буде такою, як площа меншого півкола, т. е. ?r2/4.

Пусть S—площадь луночки, S1, S2, S3, S4, —площі відповідно меншого півкола, сегмента АС, чверті більшого кола, трикутника ОАС. Найдем.

S=S1-S2, S2=S3—S4,.

поэтому.

S= ?r2/4- (?r2/4-S4) =S4.

Итак, S=r2/2. Це означає — луночка квадрируема.

Гиппократ отримав три квадрируемые луночки. Д. Бернуллі в «Математичних вправах» зазначив умова, якого мають задовольняти алгебраїчно квадрируемые луночки, і призвела рівняння, дає четверту квадрируемую луночку.

Однако луночки Гіппократа завдання про квадратурі кола вперед до вирішення не просунули: в 30—40-х роках XX в. І. Р. Чеботаревым й О. У. Дородновьш доведено, що є п’ять видів квадрируемых луночек, але вони квадрируемы разом із кругом.

Вторая частина «Математичних вправ», присвячена питанням механіки, за обсягом дорівнює майже половині книжки.

В 1725 р. Д. Бернуллі разом із І. Бернуллі отримав першої премії на оголошеному Паризької академією наук першому конкурсі на задану тему «Про засоби зберігати рівномірність водяних чи клепсидри на море». Вважається, що це успіх дослідження з прикладної механіці визначив постійний інтерес Д. Бернуллі до практичним завданням. І 5 липня 1725 р. було підписано контракт, яким Д. Бернуллі надавалося місце професора фізіології Петербургській академії наук з платнею 800 карбованців на рік; 27 жовтня 1725 р. він разом із братом Миколою II Бернуллі, які мають професуру кафедри математики з окладом 1000 рублів (найвищим із усіх платившихся академикам—составлял 4% від суми, відпущеної Петром I на організацію академії), прибув Петербург. У дусі механістичних поглядів XVII—XVIII ст. Д. Бернуллі спеціалісти кафедри анатомії та фізіології мав намір з допомогою механикоматиматических методів вивчати таємниці живої природи. Він просто хотів відкрити «нову добу в фізіології» (з листа Гольдбаху від 17 червня 1730 р.). Сталося ж зовсім інше: відкриття Д. Бернуллі стали основою гідродинаміці, гідравліки, фізіології; їх в геології, для дослідження динаміки зірок, за іншими областях точного естествознания.

Уже згадувалося, що 4 грудня 1725 р. зборах академіків Д. Бернуллі зробив повідомлення «Заперечення Питкарну проти його теорії виділення соків у тілі тваринного». Цю ж тему два тижні він зробив другий доповідь. Згодом тематика досліджень Д. Бернуллі змінилася: він став вивчати рух м’язів чоловіки й животных.

В цьому сенсі стали суто механічні завдання, визначили повідомлення Д. Бернуллі: «Про додаванні й розкладанні сил» (1 лютого 1726 р.), «Геометричні докази до міркуванню про складання сил» (14 червня 1726 р.) і перші публікації у першому томі «Коментарів» Петербургській академії наук (1728) — «Дослідження принципів механіки і геометричні докази відносної складання і розкладання сил», «Досвід нову теорію руху м’язів». У цих роботах Д. Бернуллі розвивав ідеї, викладені І. Бернуллі в дисертації «Про русі мускулов».

Смерть Миколи Бернуллі погіршила роки життя Д. Бернуллі у Петербурзі. На засіданні Академії наук 1 серпня 1726 р. імператриця Катерина I висловила Д. Бернуллі своє соболезнование.

Вскоре померла Катерина I; котрий прийшов престол Петро II переїхав до Москви, куди потрапив і президент академії Блюментрост. Фактичним керівником академії і став колишній бібліотекар Петра I І. Д. Шумахер, і це сприяло роботі академии.

По ініціативи й наполяганню Д. Бернуллі в 1727 р. до Петербурга було запрошено великий Л. Эйлер. Він посів місце ад’юнкта спеціалісти кафедри анатомії та фізіології і підготував трактат «Основи руху крові за артеріями». Але інтереси Эйлера лежали й інші руслі: його займало як розвиток самої математики, і застосування з механікою, фізиці, астрономії, й у 1731 р. перейшов на кафедру фізики, в 1733 г.—на кафедру математики.

По розпорядженню президента Академії наук Блюментроста кожен професор мав би написати будь-якої трактат.

У 1732 р. Бернуллі опублікував роботу «Зауваження про рекуррентных послідовностях», де виклав метод рішення алгебраїчних рівнянь, не що потребує попередньому визначенні кордонів, між якими лежать позитивні й негативні коріння.

Слово рекуррентный означає поворотний. Рекуррентными формулами у математиці називаються такі, у яких якась наступна величина обчислюється через попередні. Такі і послідовності. Саме: послідовність називається рекуррентной, коли його енну кількість член виражається через деякі попередні лінійно: an=a1an-1+aan-2+…+akan-k. До рекуррентным послідовностям ставляться, наприклад, відомі геометрична і арифметична прогресії, для яких an =an-1q, an=an-1q+d, де q — знаменник геометричній прогресії, d — різницю арифметичній. Можуть бути й рекуррентные статечні ряди, т. е. ряди, коефіцієнти яких утворюють рекуррентные послідовності. Такі ряди розглядав до Д. Бернуллі А. Муавр в «Philosophical Transactions» за 1722 р. А. Муавр прийшов до них під час вирішення однієї вероятностной задачи.

Д. Бернуллі запропонував свій метод рішення рівнянь без обгрунтування, яке судилося згодом Л. Эйлером. Розглянемо уравнение.

a0xn +a1xn-1+a2xn-2+…+an=0 (1).

и припустимо, що має справжні різні коріння x1, x2,…, xn. Складемо конечно-разностное рівняння.

a0yn+i+a1yn+i+…+anyi=0 (і = 0, 1, 2,…), (2).

в яке ввійдуть коефіцієнти аk (k=0; 1; 2;…) рівняння (1). Рівняння (2) є рекуррентное співвідношення для последовательности.

y0,y1,y2,…уi,… (3).

Эта послідовність визначає рішення конечноразностного рівняння (2). Для знаходження рішення у1 потрібно поставити п початкових значень y0, y1,…, yn-1;

остальные уn, yn+1,…можно висунути зі рівняння (2).

В теорії кінцевих разностей доводиться, що й коріння x1, x2,…, xn рівняння (1) різні, то рішення, конечно-разностного рівняння (2) мають вид.

yi=C1x1i+C2x2i+…+Cnxni (i=0, 1, 2,…), (4).

где C1, С2,…, Сn — довільні постійні, які можна висунути зі початкових условий:

y0=C1+C2+…+Cn, (5).

y1=C1x1+C2x2+…+Cnxn,.

yn-1=C1x1n-1C2x2n-2+…+Cnxnn-1.

Докажем теорему: якщо алгебраїчне рівняння (1) має єдиний найбільший по модулю корінь x1, то ставлення двох послідовних членів yi+1 і y1, рішення конечно-разностного, рівняння (2) прагне при i®¥ до межі, рівному x1.

yi+1.

lim ——— = x1.

i®¥ yi.

Предположим, що |x1|>|x2|???|xn|. Якщо коріння хk (k=1, 2,…, n) різні, то з (4) получим.

yi=x1i[C1+C2(x2/x1)i+…+Cn (xn/x1)i],.

yi+1=x1i+1[C1+C2(x2/x1)i+1+…+Cn (xn/x1)i+1],.

Найдем теперь.

yi+1/yi=x1 (C1+C2(x2/x1)i+…+Cn (xn/x1)i)/(C1+C2(x2/x1)i+1+…+Cn (xn/x1)i+1).

Пусть С=0. Перейдемо у тому рівність до межі при i®¥ і врахуємо, що (x2/x1)i?0; (х3 /х2)i?0;…;(x4/x1)i?0. Одержимо те, що вимагалося доказать.

Может бути так, що C1=0, але С2?0. Тоді зазначений межа дорівнюватиме іншому, найбільшому по абсолютну величину, корені уравнения.

В разі, коли ставлення yi+1/yi, коливається і прагне певному межі, передбачається, що з рівняння є найбільші по модулю комплексні корни.

Сделаем в рівнянні заміну x=1/z. Після цього з методу Бернуллі знайдеться найменший по модулю відмінний від нуля корень.

Реализация методу Бернуллі виробляється так. Спочатку задаються довільні числа y0; y1,…, yn-1, потім формуле.

yn+1=-(anyi+an-1yi-1+…+a1yn+i-1)/a0 (i=0, 1, 2, …).

находятся числа уn, yn+1, yn+2,… й стосунку yn/yn-1, yn+1/yn,… Якщо ставлення yn+1/ yn+i-1 за умов зростання і прагне деякому числу, його сприймають як найбільший по модулю корінь рівняння (1). Якщо ж стосунки із зростанням і до межі не прагне, то рівняння може мати кілька найбільших по модулю коренів чи йому це буде свідченням те, що для вибраних y0, y1,… значення C1=0.

Начальные значення y0, y1,…, yn-1 вибираються довільно; зазвичай вважають y0=y1=…=yn-2=0,.

yn-1=1. Метод Бернуллі застосовують також і перебування комплексних коренів рівняння (1).

В публікації 1738 р. Д. Бернуллі поширив метод рекуррентных послідовностей на випадок рядов.

Как раптом з’явилися ряди? Диференціальний і інтегральне обчислення виникли у зв’язку з необхідністю вирішувати конкретні механічні і геометричні завдання, не поддававшиеся середньовічної і античної математиці. А ряди? Вони здавалося б здаються вкрай штучними. Але це глибока помилка. Лави виникли разом з диференційним і інтегральним исчислениями, і теорія їх будувалася Ньютоном, Лейбніцем, представниками сім'ї Бернуллі із наступними математиками. І за вивченні своєї діяльності рельєфно виступають її проблематика і методология.

С рядами справа було таке ж природне, як і з іншими найважливішими розділами математики, які отримали бурхливий розвиток в XVIII в.: вони застосовувалися там, де інші засоби дослідження відмовляли. Статечні ряди давали можливість наближено вирішувати рівняння, вираховуватимуть значення функцій, обраховувати інтеграли, не що виражаються через кінцеве число елементарних функцій, вирішувати диференціальні рівняння, не интегрируемые у кінцевому вигляді.

В 1732 р. Паризької академією оголосили конкурс які з подвійною премією на задану тему «Про взаємній нахиленні планет». Премію отримали Д. і І. Бернуллі. Премированы також твори Д. Бернуллі: «Про кращому способі устрою якорів» (1738), «Про морському пориві і відливі» (1740), «Про найкращому способі устрою магнітних стрілок нахилення» (1743), «Про кращому способі визначення часу у море» (1745−1746), «Теорія магніту» (1742, 1744, 1746), «Про теорії течій і кращому способі їх спостерігати» (1751 подвоєна премія), «Про найвигіднішому способі заміни дії вітру великих судах» (1753), «Про найкращому способі зменшення бічний і кільовий качки судна» (1757).

У сім'ї Бернуллі є й багато інших відкриттів у сфері вищої математики фізики. Ось лише кілька прикладів таких открытий:

БЕРНУЛЛИ СХЕМА (назв. під назвою Я. Бернуллі), одну з основних математичних моделей для описи незалежних повторень дослідів, які у теорії ймовірностей. Бернуллі схема передбачає, що є певний досвід Х пов’язана з ним випадкове подія, А (типовий приклад: P. S— кидання монети, А — випадання герба). Синтезують n незалежних повторень P. S. При кожному здійсненні P. S подія Чи, можливо наступити з ймовірністю р (тут р=½), чи наступити невдача з імовірністю g=1-p. Таким чином схема Бернуллі визначається двома параметрами: п і р.

БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМА, одну з найважливіших теорем теорії ймовірностей; є найпростішим випадком т. зв. закону великих чисел. Бернуллі теорема була вперше опублікована праці Я. Бернуллі «Мистецтво припущень», виданий 1713. Перші її докази вимагали складних математичних коштів, лише сірий. 19 в. П. Л. Чебышев знайшов надзвичайно витончене і стисле її доказ. Точна формулювання теореми Бернуллі така: якщо кожному з п незалежних випробувань ймовірність деякого події дорівнює р, то можливість, що частота т/п появи події задовольняє нерівності |т/п—р|.