Інтегрування правильних дробів, раціональних дробів, ірраціональостей (реферат)

Реферат з математики.

Інтегрування правильних дробів, раціональних дробів, ірраціональостей.

Означення 3. Дріб називається раціональним, якщо його чисельник та знаменник є многочленами. Тобто дріб має вигляд:

$$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{n-1}x+a_n}{b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+b_2{x}^{m-2}+\text{.}\text{.}\text{.}+b_{m-1}x+b_m}$$.

де a1 та bk — коефіцієнти многочленів, i = 1,2…, nk = 1,2…, m.

Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня чисельника n менше відповідного степеня m знаменника. Дріб називається неправильним, якщо $$n>=m\text{.}$$ .

Якщо $$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$$ дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержати заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу, тобто.

$$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=M_{n-m}(x)+\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\text{.}$$.

Означення 4. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називаються правильні дроби вигляду:

$$I\text{.}\frac{A}{x-a},$$ $$\text{II}\text{.}\frac{A}{(x-{)}^k}$$ $$k>=\mathrm{2,}\text{ціле}$$ $$\text{III}\text{.}\frac{\text{Qx}+E}{x^2+\text{px}+q}$$ $$\left(\frac{p^2}{4}-q<0\right),$$.

$$\text{IV}\text{.}\frac{\text{Gx}+F}{(x^2+\text{rx}+s{)}^l}(i>=\mathrm{2,}\text{ціле},\frac{n^2}{4}-s<0)$$.

Умова $$\frac{p^2}{4}-q<0$$ означає, що квадратний тричлен х2 + рх + q немає дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний тричлен х2 + rx + s.

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів 1-го та II-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування:

$$I\text{.}\frac{\text{Adx}}{x-a}=A\frac{d(x-a)}{x-a}=A\text{ln}|x-a|+C,$$.

$$\text{II}\text{.}\frac{\text{Bdx}}{(x-{)}^k}=B(x-{)}^{-k}d(x-)=B\frac{(x-{)}^{-k+1}}{-k+1}+C=\frac{B}{(-k+1)(x-{)}^{k-1}}+C\text{.}$$.

При інтегруванні найпростішого дробу III типу треба спочатку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.

ІІІ. $$I=\frac{\text{Dx}+E}{x^2+\text{px}+q}=\frac{\text{Dx}+E}{{\left(x+\frac{p}{2}\right)}^2+q-\frac{p^2}{4}}\text{dx}=$$.

$$\left(x+\frac{p}{2}=t,x=t-\frac{p}{2},\text{dx}=\text{dt},\text{оскільки}q-\frac{p^2}{4}>\mathrm{0,}\text{то}\text{позначимо}q-\frac{p^z}{4}=k^2\right)$$.

$$I=\frac{D\left(t-\frac{p}{2}\right)+E}{t^2+k^2}\text{dt}=\frac{Dt-\frac{\text{Dp}}{2}+E}{t^2+k^2}\text{dt}=D\frac{\text{tdt}}{t^2+k^2}+\frac{2E-\text{Dp}}{2}\frac{\text{dt}}{t^2+k^2}=$$.

$$D\frac{1}{2}\text{ln}|t^2+k^2|+\frac{2E-\text{Dp}}{2}\frac{1}{k}\text{arctg}\frac{t}{k}+C$$.

Повертаючись до змінної х та враховуючи, що $$k^2=\frac{4q-p^2}{4},$$ або $$k=\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}$$ одержимо:

$$\frac{\text{Dx}+E}{x^2+\text{px}+q}\text{dx}=\frac{D}{2}\text{ln}|{\left(x+\frac{p}{2}\right)}^2+q-\frac{p^2}{4}|+\frac{2E-\text{Dp}}{2}\frac{2}{\sqrt{4q-p^2}}x\text{arctg}\frac{\left(x+\frac{p}{2}\right)2}{\sqrt{4q-p^2}}+C=$$.

$$=\frac{D}{2}\text{ln}|x^2+\text{px}+q|+\frac{2E-\text{Dp}}{\sqrt{4q-p^2}}\text{arctg}\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C$$.

Інтеграл від найпростішого дробу IV типу шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від найпростішого дробу III типу.

Теорема 2. Будь-який правильний раціональний дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.

Отже, інтегрування раціонального дробу зводиться до інтегрування многочлена Мm-n (х) (при $$n>=m$$

) та суми найпростіших раціональних дробів. Зазначимо, що вигляд найпростіших дробів, визначається коренями знаменника Qm (x). Можливі слідуючі випадки:

.

1. Корені знаменника дійсні та різні, тобто.

Qm (x) = (x-a1)(x-a2)…(x-am).

В цьому випадку дріб $$\frac{R(x)}{\text{Qm}(x)}$$ розкладається на суму найпростіших дробів 1-го типу:

$$\frac{R(x)}{\text{Qm}(x)}=\frac{A_1}{x-{}_1}+\frac{A_2}{x-{}_2}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{A_m}{x-{}_m}$$ (5).

Невизначені коефіцієнти А1, А2,…Аm знаходяться з тотожності (5).

2. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто:

$$Q_m(x)=(x-{}_1)(x-{)}^k$$.

Тоді дріб $$\frac{R(x)}{\text{Qm}(x)}$$ розкладається на суму найпростіших дробів І-го, та II-го типу. $$\frac{R(x)}{\text{Qm}(x)}=\frac{A}{x-{}_1}+\frac{B_1}{x-}+\frac{B_2}{(x-{)}^2}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{B_k}{(x-{)}^k}$$ (6).

Коефіцієнти A1, B1, B2,… Bk знаходяться з тотожності. (6).

3. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, тобто.

Qm (х) = (х- $$$$ 1)(x- $$$$)k • (х2 + px + q).

В цьому випадку дріб $$\frac{R(x)}{\text{Qm}(x)}$$ розкладається на суму найпростіших дробів Іго II — го та III — го типу.

$$\frac{R(x)}{\text{Qm}(x)}=\frac{A}{x-{}_1}+\frac{B_1}{x-}+\frac{B_2}{(x-{)}^2}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{B_k}{(x-{)}^k}+\frac{\text{Dx}+E}{x^2+\text{px}+q}$$ (7).

Коефіцієнти A1, B1, B2,…, Bk, D та E знаходяться з тотожності. (7).

Приклад 7. Знайти. $$\frac{\text{xdx}}{(x^2+1)(x-1)}$$.

Розв’язування. Підінтегральна функція — це правильний раціональний дріб, знаменник якого містить квадратний двочлен, який не розкладається на множники та один дійсний корінь х = 1, тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів І та III типу.

$$\frac{x}{(x^2+1)(x-1)}=\frac{\text{Ax}+B}{x^2+1}+\frac{C}{x-1}$$ (8).

Невідомі коефіцієнти А, В та С будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності (8) треба привести до спільного знаменника, одержимо:

$$\frac{x}{(x^2+1)(x-1)}=\frac{(\text{Ax}+B)(x-1)+C(x^2+1)}{(x^2+1)(x-1)}$$.

Знаменники в обох частинах рівні, і тому і чисельники повинні бути рівні, тобто.

х = (Ах + В)(х-1)+С (х2+1) $$=>$$ x = (A+С)x2 +(B-A)x+С-В (9).

Рівність (9) можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однаковому степеню X в обох частинах рівності однакові, тобто.

$$\begin{array}{c}A+C=0\\ B-A=1=>C=B=\frac{1}{2}-A=-\frac{1}{2}\\ C-B=0\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Отже, розклад (8) тепер приймає вигляд:

$$\frac{x}{(x^2+1)(x-1)}=\frac{-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}}{(x^2+1)}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}=\frac{1}{2}\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{x-1}$$.

Інтегруючи цю рівність, одержимо.

$$\frac{\text{xdx}}{(x^2+1)(x-1)}=-\frac{1}{2}\frac{\text{xdx}}{x^2+1}+\frac{1}{2}\frac{1\text{dx}}{x^2+1}+\frac{1}{2}\frac{\text{dx}}{x-1}=-\frac{1}{4}\text{ln}|x^2+1|+\frac{1}{2}\text{arctgx}+\frac{1}{2}\text{ln}|x-1|+C=$$.

$$=\text{ln}|\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt[4]{x^2+1}}|+\frac{1}{2}\text{arctgx}+C$$.

Інтегрування виразів, що містять ірраціональність.

При інтегровані виразів, що містять дробові степені змінної інтегрування, методом підстановки зводять підінтегральну функцію до раціонального дробу. Розглянемо декілька випадків.

1. Підінтегральна функція є раціональним дробом відносимо $$x^{}$$, де.

$$$$ — дробове число. В цьому випадку вводять нову змінну $$t=x^{\frac{1}{q}}$$, де.

q — спільний знаменник дробових показників степеня змінної x .

Приклад 8. Знайти $$I=\frac{\sqrt{\text{xdx}}}{\sqrt[3]{x^4}-\sqrt[4]{x^5}}$$.

Розв’язування. Маємо $$I=\frac{x^{\frac{1}{2}}\text{dx}}{x^{\frac{4}{3}}-x^{\frac{5}{4}}}$$.

Спільний знаменник дробових показників степенів $$\frac{1}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4}$$ змінної x дорівнює 12. Тому зробимо підстановку $$t=x^{\frac{1}{\text{12}}},x=t^{\text{12}},\text{dx}=\text{12}{t}^{\text{11}}\text{dt}$$ i ми одержуємо.

$$\frac{t^6\text{dx}}{t^{\text{16}}-t^{\text{15}}}\text{12}{t}^{\text{11}}\text{dt}=\text{12}\frac{t^2}{t-1}=\text{12}\frac{t^2-1+1}{t-1}\text{dt}=\text{12}(t+1)\text{dt}+\text{12}\frac{\text{dt}}{t-1}=$$.

$$=\text{12}\frac{(t+1{)}^2}{2}+\text{12}\text{ln}|t-1|+C=6{\left(x^{\frac{1}{\text{12}}}+1\right)}^2+\text{12}\text{ln}|x^{\frac{1}{2}}-1|+C$$.

2. Підінтегральний вираз містить дробові степені лінійного двочлена (ах+b). У цьому випадку доцільно зробити підстановку $$t=(\text{ax}+b{)}^{\frac{1}{q}}$$ ,.

де q — спільний знаменник дробових показників степенів двочлена.

Приклад 9. Знайти $$I=\frac{\text{dx}}{(x+1{)}^{\frac{3}{2}}+(x+1{)}^{\frac{1}{2}}}$$.

Розв’язування. Нехай $$t=(x+1{)}^{\frac{1}{2}},$$ $$x+1=t^2,$$ $$x=t^2-\mathrm{1,}$$ $$\text{dx}=2\text{tdt}\text{.}$$.

Тому $$I=\frac{2t\text{dt}}{t^3+1}=2\frac{\text{dt}}{t^2+1}=2\text{arctgt}+C=2\text{arctg}\sqrt{x+1}+C\text{.}$$.

Поняття інтегралів, що не виражаються елементарними функціями.

Математиками доведено, що будь — яка неперервна функція має первісну і, отже, невизначений інтеграл. Існують прості елементарні функції, первісні яких не можна виразити скінченою комбінацією елементарних функцій.

Доведено, наприклад, що жоден із інтегралів:

$$\frac{\text{sin}x}{x}\text{dx},$$ $$\frac{\text{cos}x}{x}\text{dx},$$ $$e^{x^2}\text{dx},$$ $$e^{-x^2}\text{dx},$$ $${\text{sin}}^2\text{xdx},$$ $$\frac{\text{dx}}{\text{ln}x}\text{.}$$.

не виражається елементарними формулами. Вони зустрічаються у практичній діяльності. Наприклад, доведемо, що.

$$\frac{\text{sin}x}{x}\text{dx}=C+\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!3}+\frac{x^5}{5!5}-\text{.}\text{.}\text{.}$$.

суму членів степеневого ряду правої частини приймають за нову функцію, яку позначають $$\text{Si}(x)=\frac{\text{sin}x}{x}\text{dx}$$ і називають синус інтегральний змінної х.