Лінійні однорідні рівняння з сталими коефіцієнтами (реферат)

Реферат на тему:

Лінійні однорідні рівняння з сталими коефіцієнтами

Розглянемо лінійні однорідні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами.

$$y^{(n)}+a_1{y}^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{n}y=0$$

.

.

Розв’язок будемо шукати у вигляді $$y=e^{\mathit{}}$$. Продиференціювавши, одержимо $$y\text{'}={\mathit{}}^{\mathit{}},y\text{''}={}^2{e}^{\mathit{}},\text{.}\text{.}\text{.}{y}^{(n)}={}^n{e}^{\mathit{}}$$. Підставивши $$y,y\text{',}\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)}$$ в диференціальне рівняння, отримаємо.

$${}^{(n)}{e}^{\mathit{}}+a_1{}^{(n-1)}{e}^{\mathit{}}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n{e}^{\mathit{}}=0$$ .

Скоротивши на $$e^{\mathit{}}$$, одержимо характеристичне рівняння.

$${}^{(n)}+a_1{}^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n=0$$

.

.

Алгебраїчне рівняння $$n$$ -го степеня має $$n$$ — коренів. У залежності від їхнього вигляду будемо мати різні розв’язки.

1) Нехай $${}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_n$$ — дійсні і різні. Тоді функції $$e^{{}_{1}x},e^{{}_{2}x},\text{.}\text{.}\text{.},e^{{}_{n}x}$$ є розв’язками й оскільки всі $${}_i$$ різні, то $$e^{{}_{i}x}$$ — розв’язки лінійно незалежні, тобто $${\left\{e^{{}_{i}x}\right\}}_{i=\stackrel{\text{\_\_\_}}{\mathrm{1,}n}}$$ фундаментальна система розв’язків. Загальним розв’язком буде лінійна комбінація $$y=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{e}^{{}_{i}x}\text{.}$$.

2) Нехай маємо комплексно спряжені корені $$=p+\text{iq},\stackrel{}{}=p-\text{iq}$$. Їм відповідають розв’язки $$e^{(p+\text{iq})x},e^{(p-\text{iq})x}$$. Розкладаючи їх по формулі Ейлера, одержимо:

$$\begin{array}{c}{e}^{(p+\text{iq})x}=e^{\text{px}}{e}^{\text{iqx}}=e^{\text{px}}\text{cos}\text{qx}+{\text{ie}}^{\text{px}}\text{sin}\text{qx}=u(x)+\text{iv}(x),\\ e^{(p-\text{iq})x}=e^{\text{px}}{e}^{-\text{iqx}}=e^{\text{px}}\text{cos}\text{qx}-{\text{ie}}^{\text{px}}\text{sin}\text{qx}=u(x)-\text{iv}(x)\text{.}\end{array}$$.

І, як випливає з властивості 4, функції $$u(x)$$ й $$v(x)$$ будуть окремими розв’язками. Таким чином, кореням $$=p+\text{iq},$$ $$\stackrel{\text{\_\_}}{}=p-\text{iq}$$ відповідають два лінійно незалежних розв’язки $$u=e^{\text{px}}\text{cos}\text{qx},$$ $$v=e^{\text{px}}\text{sin}\text{qx}$$. Загальним розв’язком, що відповідає цим двом кореням, буде $$y=C_1{e}^{\text{px}}\text{cos}\text{qx}+C_2{e}^{\text{px}}\text{sin}\text{qx}$$ .

3) Нехай $$$$ — кратний корінь, кратності $$k$$, тобто.

$${}_1={}_2=\text{.}\text{.}\text{.}={}_k,k<=n$$.

a) Розглянемо випадок $$\text{=0}$$. Тоді характеристичне рівняння.

.

$${}^{(n)}+a_1{}^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n=0$$.

$${}^{(n)}+a_1{}^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{n-k}{}^{}=0$$.

Диференціальне рівняння, що відповідає цьому характеристичному, запишеться у вигляді $$y^{(n)}+a_1{y}^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{n-k}{y}^{(k)}=0$$. Неважко бачити, що частковими, лінійно незалежними розв’язками цього рівняння, будуть функції $$\mathrm{1,}x,x^2,\text{.}\text{.}\text{.},x^{k-1}$$. Загальним розв’язком, що відповідає кореню $$$$ кратності $$k$$, буде лінійна комбінація цих функцій.

.

$$y=C_1+C_{2}x+\text{.}\text{.}\text{.}+C_k{x}^{k-1}$$

.

.

б) Нехай $$=v/=0$$ — корінь дійсний. Зробивши заміну $$y=e^{\text{vx}}z$$, на підставі властивості 2 лінійних рівнянь після підстановки знову одержимо лінійне однорідне диференціальне рівняння $$z^{(k)}+b_1{z}^{(k-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+b_{k}z=0$$. Причому, оскільки $$y_i(x){=}^{{}_{i}x},$$ а $$z_i(x)=e^{{}_{i}x}$$, то показники $${}_i,{}_i$$ зв’язані співвідношенням $${}_i=v_i+{}_i$$. Звідси кореню $$=v$$ кратності $$k$$ відповідає корінь $$=0$$ кратності $$k$$. Як випливає з попереднього пункту, кореню $$=0$$ кратності $$k$$ відповідає загальний розв’язок вигляду $$z=C_1+C_{2}x+\text{.}\text{.}\text{.},+C_k{x}^{k-1}$$.

З огляду на те, що $$y=e^{\text{vx}}z$$, одержимо, що кореню $$=v$$ кратності $$k$$ відповідає розв’язок $$y=C_1{e}^{\text{vx}}+C_2{\text{xe}}^{\text{vx}}+\text{.}\text{.}\text{.}+C_k{x}^{k-1}{e}^{\text{vx}}$$ .

.

в) Нехай характеристичне рівняння має корені $$=p+\text{iq},$$ $$\stackrel{\text{\_\_}}{}=p-\text{iq}$$ кратності $$k$$. Проводячи аналогічні викладки одержимо, що їм відповідають лінійно незалежні розв’язки.

$$\begin{array}{c}{e}^{\text{px}}\text{cos}\text{qx},{\text{xe}}^{\text{px}}\text{cos}\text{qx},\text{.}\text{.}\text{.},x^{k-1}{e}^{\text{px}}\text{cos}\text{qx}-\\ e^{\text{px}}\text{sin}\text{qx},{\text{xe}}^{\text{px}}\text{sin}\text{qx},\text{.}\text{.}\text{.},x^{k-1}{e}^{\text{px}}\text{sin}\text{qx}\text{.}\end{array}$$.

$$\begin{array}{c}y=C_1{e}^{\text{px}}\text{cos}\text{qx}+C_2{\text{xe}}^{\text{px}}\text{cos}\text{qx}+\text{.}\text{.}\text{.}+C_k{x}^{k-1}{e}^{\text{px}}\text{cos}\text{qx}+\\ +C_{k+1}{e}^{\text{px}}\text{sin}\text{qx}+C_{k+2}{\text{xe}}^{\text{px}}\text{sin}\text{qx}+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{2k}{x}^{k-1}{e}^{\text{px}}\text{sin}\text{qx}\text{.}\end{array}$$.