Диференціали вищих порядків

Нехай маємо функцію U=f (x₁,…, x_n), яка диференційовна в деякій області D. Тоді в кожній точці цієї області існує диференціал, який є функцією від змінних х₁,…х_п.

Припустимо, що в точці М₀(х₁⁽⁰⁾,…, х_п⁽⁰⁾) наша функція двічі диференційовна. Тоді диференціал від диференціала 1-го порядку, називається другим диференціалом або диференціалом 2-го порядку і позначається d²U=d (dU).

Нехай х₁,…х_п— незалежні аргументи, тоді.

.

Врахувавши, що змішана частинна похідна не залежить від порядку диференціювання, одержимо:

Введемо символ. Тоді dU можна записати у вигляді ;

.

Аналогічно під диференціалом 3-го порядку будемо розуміти d (d²U). Якщо х_і незалежні аргументи, то міркуючи аналогічно можна одержати, що.

.

Аналогічно вводиться диференціал k-го порядку функції U і символічна форма його буде такою:

.

При цьому піднесення символа до степеня k виконується аналогічно, як піднесення многочлена до цього степеня.

Коли ми розглядали диференціал 1-го порядку, то його форма не залежала від того чи х_і незалежні змінні, чи є функціями від інших змінних.

Подивимось, чи зберігається форма диференціала, для вищих порядків. Для простоти, розглянемо функцію 2-х змінних.

Нехай U=f (x;y) і при цьому х і у є функціями від інших змінних. Тоді.

d²U=d (dU)=d (f_xdx+f_ydy)=d (f_xdx)+d (f_ydy)=dxd (f_x)+f_xd (dx)+dyd (f_y)+f_yd (dy)=.

Як бачимо, тут появилося два доданки, яких не було в диференціалі 2-го порядку, коли х і у незалежні змінні. Отже, диференціал 2-го, а значить і вищих порядків, не має властивості інваріантності форми, якою володіє диференціал 1-го порядку.

Проте, легко бачити, що якщо х_і лінійно залежать від змінних t₁,…, t_k, то диференціали d²x₁=d²x₂=…=d²x_n=0 і при цьому форма диференціала зберігається. В цьому випадку можна записати:

.