Розв'язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля

Для розв’язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, найчастіше використовуються такі методи: за означенням модуля, піднесенням до квадрату лівої і правої частини, метод інтервалів. Але можна розв’язувати ці рівняння, використовуючи формулу відстані між двома точками координатної прямої[1:245].

Розглянемо цей прийом на прикладі.

На числовій прямій потрібно знайти точки, сума відстаней яких від точок.

х = - 5 і х = 8 дорівнює 16. Позначимо через у відстань, на якій знаходиться точка зліва від точки х = 5, одержимо допоміжне рівняння.

у + (у + 13) = 16

або у =1,5, тобто х₁ = - 6,5.

В середині інтервалу точок, що задовольняють рівняння, немає. Справа від точки х = 8 на відстані, що дорівнює 1,5, знаходиться друга точка, що задовольняє рівняння: х₂ = 9,5.

Відповідь.

Використовуючи числову пряму можна встановити, що рівняння виду.

.

де, якщо має 2 корені, причому ці корені знаходяться поза інтервалом. Якщо рівняння має нескінченну множину коренів, причому розв’язком є інтервал. Якщо рівняння коренів немає.

Розглянемо приклади розв’язання рівнянь, що містять різницю модулів.

.

На числовій прямій потрібно знайти різницю відстаней яких до точок х = - 4 і х = 2 дорівнює 5. Так як відстань між точками х = - 4 і х = 2 дорівнює 6, то шукана точка знаходиться в середині інтервалу .

Позначимо через у відстань від шуканої точки до точки х = - 4, одержимо.

у — (6 — у) = 5,.

або у = 5,5, тобто х = 1,5. 12.

Відповідь.

Порівнюючи відстань між точками числової прямої, легко встановити, що рівняння виду має один розв’язок, якщо; в цьому випадку шукана точка знаходиться всередині інтервалу. Якщо рівняння має нескінченну множину коренів. Якщо рівняння коренів не має.

В тих випадках, коли коефіцієнти при х відмінні від 1, їх можна винести за знак модуля, а потім розв’язувати рівняння прийомом, поданим вище. Наприклад, рівняння запишемо у вигляді.

На числовій прямій потрібно знайти точки, відстань яких від точки х = 3 були в 4 рази менші, ніж від х = 5.

• 1) Нехай шукана точка знаходиться поза інтервалом зліва від точки х = 3 на відстані у, тоді маємо рівняння
• 4у = у + 2, у =2/3,

тобто х = .

• 2) Нехай шукана точка знаходиться всередині інтервалу на відстані z від точки 3, тоді маємо рівняння :
• 4z = 2 — z,

звідки z = 2/5, а х = .

Поза інтервалом справа від х = 5 рівняння коренів не має.

Відповідь.

Отже, розв’язуючи рівняння, що містять змінну під знаком модуля, вже на початковому етапі, склавши допоміжне рівняння, ми ще до розв’язання рівняння встановлюємо, в яких проміжках потрібно шукати корені і скільки коренів має рівняння.

Приклад 1[6:67−75].

Рівняння можна переписати так :

.

Так як, то розв’язком рівняння є весь інтервал. 13.

Приклад 2.

.

Маємо рівняння.

.

яке має 2 корені: .

Відповідь.