Диалектика розвитку поняття функції. 
Різні підходи до вивчення функцій у школі та дослідження з допомогою ЭВМ

СОДЕРЖАНИЕ :

Стр.

1. Короткий огляд розвитку поняття числа…3.

2. Визначення функции…4.

3. Загальне визначення функції у ХІХ в.

Подальший розвиток поняття функции…7.

4. Вивчення функцій в школе…10.

5. Дослідження функцій з допомогою ЭВМ…15.

6.

Заключение

…17.

7. Список використаної литературы…19.

КОРОТКИЙ ОГЛЯД РОЗВИТКУ ПОНЯТТЯ ЧИСЛА.

На перших етапах існування людського суспільства числа, відкриті процесі практичної діяльності, служили для примітивного рахунки предметів, днів, кроків і чи всього іншого. У первісному суспільстві людина мав потребу лише кількох перші дні. Але з недостатнім розвитком цивілізації йому знадобилося винаходити дедалі більші і покладають великі числа. Цей процес відбувається тривав протязі багатьох століть і знову зажадав напруженого інтелектуального труда.

З зародженням обміну продуктами праці в людей виникла потреба порівнювати число предметів жодного виду із кількістю предметів іншого виду. Аналізуючи цей етап виникли поняття «більше», «менше», «стільки ж» чи «одно». Мабуть, цьому ж етапі розвитку люди стали складати числа. Значно згодом вони навчилися вичитати числа, потім множити і ділити їх. Навіть у середньовіччі розподіл чисел вважалося «дуже складним; і служило ознакою надзвичайно високої освіченості человека.

З відкриттям дій зі числами чи операцій з них виникла наука арифметика. Її виникненню та розвитку сприяли практичні потреби? будівництво різноманітних споруд, торгівля і мореплавство. Тривалий час у арифметиці мали працювати з числами щодо невеликими. Наприклад, у системі числення Стародавню Грецію найбільшим числом, яка мала назва, була «мириада»? 10 000. Ще III в. до зв. е. люди й не знали, що натуральний ряд чисел нескінченний. Саме тоді Архімед у своїй трактаті «Літочислення піщин»? «Псаммит» розробив систему, що дозволяла висловити як завгодно велика кількість, і показав, що натуральний ряд чисел був бесконечен.

Математики Стародавню Грецію, зайнявшись проблемами великих чисел, зробили стрибок від кінцевого до нескінченному. Смілива ідея нескінченності, йдучи урозріз із філософськими поглядами про кінцівки Всесвіту, відкрила математиці широкі можливості, хоч і викликала значні протиріччя, окремі не розкрито і з цей день.

У IV в. до зв. е. грецькі математики зі школи Піфагора відкрили несумірні відтинки, довжини що вони було неможливо висловити ні цілим, ні дробовим числом. Однією з таких відрізків була діагональ квадрата зі сторонами, рівними одиниці. Тепер довжину такого відрізка ми висловлюємо через? 2. Вчені на той час зараховували до числам лише раціональні і визнавали ірраціональні числа. Вони вихід тому, під числами стали розуміти довжини відрізків прямых.

Геометричне вираз чисел на перших етапах зіграло позитивну роль подальше просування математики, але потім спричинив низку труднощів і став гальмом в прогресі арифметики і алгебры.

Знадобилася жодна сотня років на здобуття права математики змогли осмислити поняття ірраціонального числа та спробу виробити спосіб записи такого числа і наближеного значення його вигляді безкінечною десяткової дроби.

Отже, поняття числа минуло довгий шлях розвитку: спочатку цілі числа, потім дробные, раціональні (позитивні й негативні) і, нарешті, справжні. Та цим розвиток не завершилося. У зв’язку з рішенням рівнянь математики маємо справу з числом, яке виражалося? ?1. Вона взяла назва мнимої одиниці. Тривалий час удавані числа не зізнавалися за числа. Коли норвезький математик Гаспар Вессель (1745−1818) знайшов можливість уявити нещире число геометрично, то звані «удавані числа» отримали своє місце у безлічі комплексних чисел. Однак раніше інтерпретація цих чисел була у Даламбера і Эйлера, що у відповідність комплексним числам точки площини і деякі функції комплексного змінного витлумачували геометрически.

ВИЗНАЧЕННЯ ФУНКЦИИ.

Починаючи з XVII в. однією з найважливіших понять є поняття функції. Воно зіграла свою роль понині грає великій ролі розуміння реального мира.

Ідея функціональної залежності перегукується з давнини, вона міститься у перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами, у перших формулах перебування площі й обсягу тих чи інших фигур.

Ті вавілонські вчені, які 4?5 років тому знайшли для площі P. S кола радіусом r формулу S=3r2 (грубо наближену), цим встановили, нехай і свідомо, що загальна площа кола є функцією з його радіуса. Таблиці квадратів і кубів чисел, також застосовувані вавілонянами, є завдання функції. Іншим прикладом можуть бути тригонометрические таблиці, складання яких розпочалося задовго на початок нашої ери. Особливо цікаві таблиці синусів Беруні, у яких дано правило лінійного интерполирования. У сучасному символіці його можна висловити так:

sin x = sin x0 + (x? x0)?(sin (x0 + 15?)? sin x0).

15?

Проте явне і геть свідоме застосування поняття функції і систематичне вивчення функціональної залежності беруть своє керівництво XVII в. у зв’язку з проникненням в математику ідеї змінних. У «Геометрії» Декарта й у роботах Ферма, Ньютона і Лейбніца поняття функції мало сутнісно інтуїтивний характері і була пов’язана або з геометричними, або з механічними уявленнями: ординати точок кривих? функції від абсцис (x); шлях збереження та швидкість? функції від часу (t) й інші подобное.

Чіткої уявлення поняття функції XVII в. не було, шлях до першого такому визначенню проклав Декарт, який систематично розглядав у своїй «Геометрії» лише ті криві, які не складно уявити з допомогою рівнянь, притому переважно алгебраїчних. Поступово поняття функції стало ототожнюватися в такий спосіб з визначенням аналітичного висловлювання? формулы.

Слово «функція» (від латинського functio? вчинення, виконання) Ляйбніц вживав з 1673 р. себто ролі (величина, виконує той чи інший функцію). Як термін у нашій сенсі вираз «функція від x» став вживатися Лейбніцем і І. Бернуллі; починаючи з 1698 р. Ляйбніц ввів також терміни «змінна» і «константа» (стала). Для позначення довільній функції від x Йоганн Бернуллі застосовував знак? x, називаючи? характеристикою функції, і навіть літери x чи ?; Ляйбніц вживав х1, х2 замість сучасних f1(x), f2(x). Эйлер позначав через f: y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f (x), f (x + y). Поруч із? Эйлер пропонує користуватися й літерами ?,? та ін. Даламбер робить вперед шляху до сучасним позначенням, відкидаючи эйлерово двокрапка; він пише, наприклад,? t,? (t + s).

Явна визначення функції було дано в 1718 р. однією з учнів, і співробітників Лейбніца, видатним швейцарським математиком Йоганном Бернуллі: «Функцією перемінної величини називають кількість, освічене яким завгодно способом з цього перемінної розміру й постоянных».

Леонард Эйлер у «Запровадження в аналіз нескінченних» (1748) примикає до визначення свого вчителя І. Бернуллі, кілька уточнюючи його. Визначення Л. Эйлера говорить: «Функція змінного кількості є аналітичне вираз, складене якимось чином із цієї кількості і чисел чи постійних кількостей». Так розуміли функцію протягом всього XVIII в. Даламбер, Лагранж та інші видатні математики. Що ж до Эйлера, він який завжди дотримувався цього визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшого розвитку відповідно до запитами математичної науки. У деяких про свої твори Л. Эйлер надає ширший сенс функції, розуміючи її як криву, написану «вільним потягом руки». У зв’язку з таким поглядом Л. Эйлера на функцію останнім та її сучасниками, насамперед його постійним суперником, великим французьким математиком Даламбером, з’явилася велика полеміка навколо питання про можливість аналітичного висловлювання довільній кривою про те, який із двох понять (крива чи формула) слід вважати широким. Так виник знаменитий суперечка, пов’язані з дослідженням коливань струны.

У «Диференціальному обчисленні», що на світ в 1755 р, Л. Эйлер дає загальне визначення функції: «Коли кількості залежить від інших в такий спосіб, що з зміні останніх й існують самі вони піддаються зміни, то перші називаються функціями других». «Це найменування,? продовжує далі Эйлер,? має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі можливі способи, якими така кількість визначається за допомогою інших». За підсумками цього визначення Эйлера французький математик З. Ф. Лакруа у своїй «Трактаті по диференціальному і інтегральному підрахунку», опублікованій у 1797 р., зміг записати таке: «Будь-яке кількість, значення залежить від однієї чи багатьох інших кількостей, називається функцією цих останніх незалежно від цього, відомо чи ні, які операції потрібно застосувати, щоб вийти з них до первому».

Як очевидно з цих визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки у розвитку природознавства і математики ХІХ ст. викликали й подальше узагальнення поняття функции.

ЗАГАЛЬНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ У ХІХ в.

ПОДАЛЬШЕ РОЗВИТОК ПОНЯТТЯ ФУНКЦИИ.

Однією з невирішених в XVIII в. питань, пов’язаних із поняттями функції, на що велася жорстка боротьба думок, був такий: чи можна одну функцію поставити кількома аналітичними висловлюваннями ?

Вагомий внесок у вирішення суперечки переноситься Эйлера, Даламбера, Д. Бернуллі та інших вчених XVIII в. у тому, що можна розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батіст Жозеф Фур'є (1768−1830), який займався основному математичної фізикою. У представлених ним в Паризьку Академію наук в 1807 і 1811 рр. з теорії поширення тепла в твердому тілі Фур'є навів і перші приклади функцій, які задано в різних ділянках різними аналітичними выражениями.

З праць Фур'є випливало, будь-яка крива незалежно від цього, з скількох і яких різнорідних частин вона складена, то, можливо представленій у вигляді єдиного аналітичного висловлювання й що є також прерывные криві, зображувані аналітичним вираженням. У його «Курсі алгебраического аналізу», опублікованій у 1821 р., французький математик Про. Коші обгрунтував висновки Фур'є. Отже, на відомому етапі розвитку фізиків і математиків зрозуміли, що доводиться користуватися й такими функціями, визначення яких складно і навіть неможливо обмежитись однією лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідну математикою і природознавством розширення поняття функции.

У 1834 р. у роботі «Про исчезании тригонометрических рядків» М. І. Лобачевський, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755 р., писав: «Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, яке давалася кожному за x разом із x поступово змінюється. Значення функції можна буде говорити чи аналітичним вираженням, чи умовою, яке подає засіб відчувати все числа й вибирати нам одне з яких; чи, нарешті, залежність може існувати й залишатися невідомої… Великий погляд теорії допускає існування залежності в тому сенсі, щоб числа, одні коїться з іншими у зв’язку з, сприймати як б даними вместе».

Ще Лобачевського аналогічна думка на поняття функції пролунала чеським математиком Б. Больцано. У 1837 р. німецький математик П. Лежен-Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: «у є функція перемінної x (на відрізку a? x? b), якщо кожному значенням x (у цьому відрізку) відповідає цілком певне значення у, причому байдуже, як встановлено це відповідність? аналітичної формулою, графіком, таблицею чи навіть просто словами».

Прикладом, відповідним цьому загальному визначенню, може бути так звана «функція Дирихле»? (х):

? 1 всім раціональних значень х.

? (x) = ?

? 0 всім ірраціональних значень х.

Ця функція задана двома формулами і словесно. Вона відому роль аналізі. Аналітично яку можна визначити лише з допомогою важкою формули, не сприяє успішному вивченню її властивостей. Отже, приблизно середині ХІХ ст. після тривалої змагань думок поняття функції звільнилося від уз аналітичного висловлювання, від єдиновладдя математичної формули. Головний наголос з нового загальному визначенні поняття функції робиться на ідею соответствия.

У другій половині в XIX ст. після створення теорії множин в поняття функції, крім ідеї відповідності, було включено і в ідеї безлічі. Отже, у його своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється так: якщо кожному елементу x безлічі А поставлене відповідність певний певний елемент в багатьох У, то кажуть, що у безлічі А задана функція у = f (x), або що безліч, А відображене силою-силенною У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи в багатьох У? значеннями функції; у другий випадок x? прообрази, у? образи. У сучасному сенсі розглядають функції, певні для безлічі значень x, які, можливо, і заповнюють відрізка a? x? b, про який ідеться у визначенні Дирихле. Досить зазначити, наприклад, на функцию-факториал y = n !, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовно, звісно, як до величинам і числам, до іншим математичним об'єктах, наприклад до геометричних постатям. При будь-якому геометричному перетворення (відображенні) ми маємо справу з функцией.

Ось простий приклад (рис. 1). Нехай х1×2×3? трикутник, d? пряма у площині треугольніка, розглянута як вісь симетрії. Кожній точці x (х1, х2, х3, х4,…), лежачої всередині чи сторони трикутника, ставимо за відповідність точку у (у1, у2, у3, у4,…), певну зазначеним перетворенням симетрії. Отже, безліч точок трикутника х1×2×3 відображене на множесту точок трикутника у1у2у3.

В наявності є функція у = f (x), задана на безлічі x (значення аргументу, прообрази) точок трикутника х1×2×3. Це правда звана «область визначення функції». Симетричний трикутник у1у2у3 представляє безліч у значень функції (образів). Характеристика f функції у разі свідчить про осьову симетрію щодо даної прямий d.

Загальне визначення функцій по Дирихле сформувалося після що тривали ціле століття дискусій внаслідок значних відкриттів у фізиці й математиці в XVIII і першою половині ХІХ ст. Подальший розвиток математичної науки у ХІХ в. грунтувалося у цьому визначенні, який став класичним. Але вже від початку XX в. визначення стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, натолкнувшихся на явища, котрі зажадали ширшого погляду функцію. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу друком в 1930 р. книжки «Основи квантової механіки» Поля Дірака, найвидатнішого англійського фізика, однієї з засновника квантової механіки. Дірак ввів так звану дельта-функцию, що виходить далеко далеко за межі класичного визначення функції. У зв’язку з цим радянський математик М. М. Гюнтер й інші вчені було опубліковане у 30?40-х роках нашого століття роботи, у яких невідомими не є функції точки, а «функції області», краще відповідає фізичної сутності явищ. Приміром, температуру тіла у точці практично визначити не можна; тоді як середня температура у певній області тіла має конкретний фізичний смысл.

Загалом вигляді поняття узагальненої функції було запроваджено французом Лораном Шварцем. У 1936 р. 28-річний радянський математик і механік Сергій Львович Соболєв першим розглянув окреме питання узагальненої функції, яка охоплює і дельта-функцию, і застосував створену теорію до вирішення низки завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальнених функцій внесли учні і послідовники Л. Шварца? І. М. Гельфанд, Р. Є. Шилов і другие.

Простежуючи історичний шлях розвитку поняття функції мимоволі доходиш висновку у тому, що еволюція ще не завершено і, мабуть, будь-коли закінчиться, як будь-коли закінчиться і еволюція математики цілому. Нові відкриття і запити природознавства та інших наук приведуть до нових розширенням поняття функції та інших математичних понять. Математика? незавершене наука, вона розвивалася протягом тисячоліть, розвивається у нашу епоху, і розвиватиметься в дальнейшем.

ВИВЧЕННЯ ФУНКЦІЙ У ШКОЛЕ.

Не дивлячись на надзвичайно великий обсяг, широту і складність поняття функції, його найпростіший варіант дається вже у середніх класах школи. Це надалі відіграє, будучи базовим поняттям до вивчення алгебри і почав аналізу. Починаючи із сьомої класу середньої школи йде поступове вивчення властивостей функцій і функціональних залежностей. Розглядаються різні класи функцій: починаючи з найпростіших лінійних функцій та його графіків, потім ідуть квадратичные функції, функції зворотної пропорційності і дробно-линейные функції. У старших класах вводяться тригонометрические функції, і, нарешті, показові і логарифмічні функції. Всі ці функції розглядаються лише як функції однієї перемінної, причому самі перемінні не за рамки безлічі речовинних чисел.

Нині, хвилі педагогічного пошуку, почало з’являтися безліч експериментальних підручників від використання у шкільництві. Поруч із добротними, виразно написаними підручниками, у школи стала потрапляти, під виглядом апробації, маса підручників із досить вільної трактуванням навчального матеріалу, зокрема та голів, що стосуються вивчення функцій. Часто порушується логічний порядок прямування досліджуваних розділів, припускаються помилок при побудові графіків, матеріал необгрунтовано спрощується, примітивізується навпаки, надмірно перевантажується термінами і символикой.

Але тим щонайменше, нині до вивчення поняття функції у шкільництві переважати є дві основних підходи: індуктивний і дедуктивний. Склавшись історично, вони найповніше відповідають цілям і завдань освіти, і тому саме їм віддали перевагу щодо математики, зокрема функцій, у класах школ.

Ось як, приблизно, реалізується індуктивний підхід до вивчення поняття функції о 7-й классе:

«Насправді ми часто зустрічаємося із залежностями між різними величинами. Наприклад, площа кола залежить з його радіуса, маса металевого бруски залежить з його обсягу й щільності металу, обсяг прямокутного паралелепіпеда залежить з його довжини, ширини і высоты.

Надалі ми вивчатимемо залежність між двома величинами.

Розглянемо примеры.".

Далі йдуть приклади покликані вирішила унаочнити хіба що викладений материал.

П р і м е р 1. Площа квадрата залежить від довжини її боку. Нехай сторона квадрата дорівнює a див, яке площа дорівнює P. S см2.

До кожного значення перемінної a можна знайти відповідне значення перемінної S.

Так,.

якщо a = 3, то P. S = 32 = 9;

якщо a = 15, то P. S = 152 = 225;

якщо a = 0,4, то P. S = 0,42 = 0,16.

Залежність перемінної P. S від перемінної a виражається формулой.

P.S = a2.

(за змістом завдання a > 0).

Потім дається перше визначення залежною і політично незалежної переменных:

«Зміну a, важливості якої вибираються довільно, називають незалежної перемінної, а зміну P. S, важливості якої визначаються обраними значеннями a,? залежною переменной».

" П р і м е р 2. На малюнку 2 зображений графік температури повітря на перебігу суток.

З допомогою цього графіка кожному за моменту часу t (в годиннику), де 0? t? 24, можна знайти відповідну температуру p (в градусах Цельсія). Например,.

якщо t = 6, то p = ?2;

якщо t = 12, то p = 2;

якщо t = 17, то p = 3;

Тут t є незалежною перемінної, а p? залежною переменной.

П р і м е р 3. Вартість проїзду в приміському поїзді залежить від номери зони, до якої належить станція. Ця залежність показано таблиці (буквою n вказано номер зони, а буквою m? відповідна вартість проїзду у тисячах рублей):

За цією таблицею кожному за значення n, де n = 1, 2,…, 9, можна знайти відповідне значення m. Так,.

якщо n = 2, то m = 1.5;

якщо n = 6, то m = 4 ;

якщо n = 9, то m = 8.5;

І тут n є незалежною перемінної, а m? залежною переменной.".

Багатство прикладів, покликаних проілюструвати поняття функції, пояснюється лише тим фактом, що проводячи аналогії між різними прикладами, учні інтуїтивно намацують суть цього поняття, будують припущення щодо функціональних залежностей у побуті та у природі, й отримують її підтвердження у наступних прикладах. Другий щонайменше важливою причиною яких є те що кожен з цих прикладів містить функцію задану однією з можливих способів. У першому прикладі вона задана аналітично, у другому? графічно, у третій це таблиця. Не випадковість, розбираючи приклади разом із учителем, діти відразу звикають до різним способам завдання функцій. І коли викладач почне розповідати параграф про засоби завдання функцій, учням буде набагато легше усвідомити новий матеріал, бо них він не абсолютно новим? вони вже зіштовхувалися з цим раніше.

Далі дається сам означник функції, вводяться терміни аргумент і значення функции.

«У розглянутих прикладах кожному значенням незалежної перемінної відповідає єдине значення залежною перемінної. Таку залежність однієї перемінної одної називають функціональної залежністю чи функцией.

Незалежну зміну інакше називають аргументом, йдеться про залежною перемінної кажуть, що вона є функцією від рівня цього аргументу. Так, площа квадрата є функцією від довжини її боку; шлях, пройдений автомобілем із постійною швидкістю, є функцією від часу руху. Значення залежною перемінної називають значеннями функции.

Усі значення які вже вживає незалежна змінна, утворюють область визначення функции.".

Так, на практиці реалізується індуктивний підхід до вивчення функцій у шкільництві. Альтернативою йому служить дедуктивний підхід, який, хоча й вживається рідше, має низку позитивних аспектів, що й почали вносити його застосування у шкільництві. І тому підходу характерно початкове цілковите дерегулювання та стислий виклад навчального матеріалу, хоча б малозрозумілої з першого прочитанні, і подальша поглиблена проробка всіх прикладів, термінів та визначень. Такий підхід до вивченню функцій але тільки їх дозволяє учням самостійно спробувати простежити логічні зв’язку в излагаемом матеріалі, різко збільшує інтенсивність мисленнєвої діяльності, сприяє більш активному і глибокому пам’ятанню. Ось що таке виклад тієї ж торкається теми «Поняття функції» відповідно до дедуктивним подходом:

1. Залежності однієї перемінної одної називають функціональними зависимостями.

2. Залежність перемінної у від перемінної x називають функцією, якщо кожному значенням x відповідає єдине значення у. У цьому використовують запис у = f (х).

3. Зміну x називають незалежної перемінної чи аргументом, а зміну у? залежною перемінної. Кажуть, що з є функцією від х.

4. Значення у, відповідне заданому значенням x, називають значенням функции.

5. Усі значення, які вже вживає незалежна змінна, утворюють область визначення функції; все значення, які вже вживає залежна змінна, утворюють безліч значень функции.

6. Для функції f прийнято позначення: D (f) ?область визначення функції, E (f)? безліч значень функції, f (х0)? значення функції у точці х0.

7. Якщо D (f)? R і E (f)? R, то функцію називають числовой.

8. Елементи безлічі D (f) також називають значеннями аргументу, а відповідні їм елементи E (f)? значеннями функции.

9. Якщо функція задана формулою і науковотехнологічна галузь визначення функції не зазначена, то вважають, що область визначення складається з всіх значень незалежної перемінної, у яких ця формула має смысл.

10. Графіком функції називають безліч всіх точок, абсциссы яких рівні значенням аргументу, а ординати? відповідним значенням функции.

Потім, наступних уроках, відбувається детальний розбір цієї статті за активної роботи учнів. Старанно розглядають усіх визначення, прорешиваются приклади? йде засвоєння нового материала.

Розглянуті вище підходи до вивчення функцій у шкільництві не охоплюють усе різноманіття засобів і методів вивчення цього поняття. Вони лише є головними, найбільш розробленими підходами стосовно питання про вивчення функцій у шкільництві, орієнтуючись куди можна робити нові, специфічні засоби навчання, які б позбавлені недоліків перелічених вище підходів які були б наступним кроком у справі навчання математиці в школе.

ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ З ДОПОМОГОЮ ЭВМ.

Історія алгебри налічує не лише одну тисячу років, і всі відкриття і досягнення у цій галузі людського знання отримано лише за допомогою важкого розумової праці, над останню що з величезним обсягом обчислень, які доводилося виробляти, часто неодноразово, щоб одержати бажаних результатів. Багатьом відомим математикам, від давнини і до ХХ століття, доводилося утримувати цілий штат обчислювачів, які скоїли величезний обсяг другорядних обчислень, дає можливість вченому займатися безпосередньо розвитком математичної науки.

З розвитком математичних уявлень про світ багато розрахунки і обчислення багаторазово ускладнилися, отже цілі колективи обчислювачів витрачали іноді чимало місяць виконання будь-яких розрахунків. До того ж із ускладненням обчислень неминуче збільшувалася кількість мимоволі допущених ошибок.

Щасливим виходом із становища стало винахід в 1943 р. першої електронно-обчислювальної машини. Інститути, які доти механічні обчислювачі, які можуть виконувати лише чотири арифметичні операції, не йшли витримає жодного порівняння з цим, ще не досконалої, обчислювальної технікою. Відразу після проходження лабораторних випробувань електронно-обчислювальні машини (ЕОМ), було застосовано фінансування наукових розрахунків у квантової та ядерної фізиці. Надалі, з розвитком електроніки, кожен НДІ обзаводився власної ЕОМ. Вже у самому початку застосування вони забезпечували нечувану на той час швидкість обчислень? кілька тисяч на секунду. Це дозволило б багаторазово збільшити швидкість і точність математичних обчислень і підняло праця науковців на якісно новий уровень.

Сучасні ЕОМ залишили давно минули ті перші, побудовані на реле і лампах, машини; один мільйон раз продуктивнішими, вказують виконувати неймовірно складні розрахунки в фантастично стислі терміни: то, з чого сотні обчислювачів працювали кілька місяців, ці машини здатні обчислити протягом кількох минут.

Виходячи із зазначеного, надзвичайно логічним здається застосування комп’ютерів на дослідження властивостей функцій. Що було зроблено кілька десятиріч тому. Природно, для успішного дослідження властивостей функцій знадобився потужний математичний апарат. Найбільш успішним виявився перенесення у комп’ютерну основу методів Лагранжа, Ньютона, Котеса, Сімпсона і багатьох інших. За лічені роки комп’ютер навчили будувати графіки функцій, диференціювати і інтегрувати самі функції, крім цього інтерполюйте і екстраполювати функції, вирішувати лінійні і диференціальні рівняння та його системи, знаходити приближающие функції і багато інших, щонайменше важливих вещей.

Взяти приміром интерполяционный багаточлен Лагранжа. Найчастіше практично є якась функціональна послідовність не котре виражається у аналітичної формі, або взагалі виражена лише графіком чи набором пар значень. А потрібно отримати аналітичне вираз яке описує даний графік чи таблицю. Маючи кілька пар значень функції? вузлів интерполирования, завдання знайти интерполирующую функцію представляється тривалою й трудомісткою, маючи ж таки сотень таких вузлів? неймовірним. Комп’ютер ж справляється з цим завданням за лічені секунды.

Нехай відомі значення деякою функції f утворюють таку таблицу:

???

x х0×1… хn.

???

f (x) у0 у1… уn.

???

У цьому потрібно отримати значення функції f для такого значення аргументу x, яке входить у відрізок? х0; хn ?, але з збігається ні одним із значень x і (і = 0, 1,…, n).

Очевидний прийом вирішення цього завдання? обчислити значення f (x), скориставшись аналітичним вираженням функції f. Цей прийом проте, можна застосувати у випадку, коли аналітичне вираз f придатне для обчислень. Понад те, як згадувалося вище, часто аналітичне вираз функції f зовсім не від відомо. У таких випадках таки застосовується побудова по вихідної таблиці наближає функції F, що у певному сенсі близька до функції f і аналітичним вираженням яких можна скористатися для обчислень, вважаючи наближено, что.

f (x) = F (x). (1).

Класичний підхід до вирішення завдання побудови наближає функції полягає в вимозі суворого збіги значень f (x) і F (x) в точках хi (і = 0, 1, 2,…, n), т. е.

F (x0) = y0, F (x1) = y1,…, F (xn) = yn. (2).

Шукатимемо интерполирующую функцію F (x) як багаточлена ступеня n:

Pn (x) = a0xn + a1xn-1 +… +an-1x + an. (3).

Цей багаточлен має n+1 коефіцієнт. Природно припускати, що n+1 умови (2), накладені на багаточлен, дозволять однозначно визначити її коефіцієнти. Справді, вимагаючи для Pn (x) виконання умов (2), отримуємо систему n+1 рівнянь з n+1 неизвестными:

n.

? ak xi n — k = yi (і = 0, 1,…, n). (4).

k=0.

Вирішуючи неї щодо невідомих а1, А2,…, аn, ми отримаємо аналітичне вираз полинома (3). Система (4) має єдине рішення, оскільки її визначник, відомого як визначник Вандермонда, різниться від нуля. Звідси випливає, що интерполяционный багаточлен Pn (x) для функції f, заданої таблично, є і единственен.

Щоб написати програму, реалізуючу цей алгоритм, необхідно затратити і від кількох годин за кілька днів. До того ж, вона допоможе заощадити чимало й кілька місяців, витрачених на виконання однотипних арифметичних операцій для обчислення интерполяционных полиномов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Область застосування електронно-обчислювальних машин час надзвичайно широка, і продовжує розширюватися. Вона не лише лише дослідженням функцій чи математичних об'єктів довільній природи взагалі. Сфера застосування комп’ютерна техніка у науці значно ширшим й починає охоплювати галузі знання, до які раніше не мислилась. Процес необоротний, і незабаром комп’ютер стане головним, проте не єдиним інструментом вченого у його наукової праці. Проте, неправильно було б, що зі зростанням ролі комп’ютерів у науковому пізнанні роль людини буде неухильно знижуватися рівня обслуговуючого персоналу. Людина вона і буде провідним у зв’язці людина-комп'ютер. Науковий пошук? процес творчий, а комп’ютери цього вміють, і навчатися ще не скоро.

Список використаної литературы:

1. І. П. Натансон, Теорія функцій речовинної переменной,.

Москва, Наука, 1974 г.

2. У. З. Крамор, Повторюємо і систематизуємо шкільний курс.

алгебри і почав аналізу, Москва, Просвітництво, 1990 г.

3. До. А. Рибников, Виникнення та розвитку математической.

науки, Москва, Просвітництво, 1987 г.

4. М. І. Борисов, Як навчати математиці, Москва, Просвещение,.

1979 г.

5. Р. І. Глейзер, Історія математики школі, IX-X классы,.

Москва, Просвітництво, 1983 г.

6. Л. З. Понтрягин, Математичний аналіз для школьников,.

Москва, Наука, 1983 г.

7. Ю. З. Богданов, М. У. Пыжкова, Л. П. Черенкова, Начала.

аналізу функцій двох змінних в наочному изложении,.

Мінськ, Вышэйшая школа, 1987 г.

8. С. Г. Крейн, У. М. Ушаков, Математичний аналіз элементарных.

функцій, Москва, Наука, 1966 г.

9. Про. Р. Омельяновский, Діалектика в науках про неживої природе,.

Москва, Думка, 1964 г.