Інтерполяційний многочлен Лагранжа. (реферат)

Реферат на тему:

Інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Нехай відоме значення деякої функції f в n+1 різних точках х0, х1, … хn, які позначені наступним чином:

$$f_i=f(x_i),$$ $$i=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n$$.

Наприклад, ці значення отримані з експерименту, або знайдені із допомогою достатньо важких обчислень.

Виникає задача наближеної відновленої функції f в деякій точці х. Найчастіше для вирішення цієї задачі будується алгебраїчний многочлен Ln (x) степеня n, який в точках xj, отримує задані значення, і так далі.

$$L_i(x_i)=f_i,$$ $$i=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n$$ (1).

називається інтерполяційним. Точки хі, і=0,1,…, n ми будемо розуміти многочлен степеня не більше n і називаються точками інтерполяції. Наприклад, якщо $$f_i=0$$ $$i=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n$$, то інтерполяційний многочлен $$L_n(x)0$$ фактично має нульову степінь, але його теж будем називати інтерполяційним многчленом n-го степеня.

Приблизне відновлення функції f по формулі.

$$f(x)L_n(x)$$ (2).

Називається інтерпеляцією функції f (з допомогою алгебраїчного многочлена). Якщо х знаходиться за межами мінімального відрізка вміщаючого всі точки інтерпеляції x0, x1,…, xn то зміну функції по формулі (2) називають екстраполяцією.

Спочатку виляснемо питання існування і однорідності інтерполяційного многочлена, а потім дослідимо хибність інтерпеляції, яка різниця між лівою та правою частинами наближеного рівняння (2).

Теорема 1:

Існує єдиний інтерполяційний многочлен n-го степеня, відповідаючий умові (1).

Доведення: Існування інтерполяційного многочлена безпосередньо установим, виписавши його. Нехай n=1, тоді.

$$L_1(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}{f}_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}{f}_1$$ (3).

При n=2.

$$L_2(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}{f}_0+\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}{f}_1+\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}{f}_2$$.

в, кінці в любому випадку при любому натуральному n.

$$L_n(x)=\underset{i=0}{\overset{n}{}}{p}_{n_i}(x)f_i,$$ (4).

де.

$$p_{n_i}(x)=\frac{(x-x_0)\text{.}\text{.}\text{.}(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\text{.}\text{.}\text{.}(x-x_n)}{(x_i-x_0)\text{.}\text{.}\text{.}(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\text{.}\text{.}\text{.}(x_i-x_n)},$$ (6).

Насправді рівняння (3) являє собою лінійну функцію, многочлен першого степеня, причому $$L_i(x0)=f_0,L_1(x_1)=f_1$$. Таким чином прохання (1) при n=1 виконано. Аналогічно, формула (4) задає деякий многочлен L2(x)другого степеня, задовольняючий при n=2 умовам (1). При любому натуральному n функції (6), випливають у вигляді дробів, в чисельнику стоїть вигляд n лінійних множин, а в знаменнику — де відмінне від нуль число, які є алгебраїчними многочленами степеня n після чого функція (5) також являється алгебраїчним многочленом степеня n, при чім, оскільки, $$p_{n_i}(x_i)=\mathrm{1,}$$ а $$p_{n_i}(x_j)=0$$ при $$j/=i\mathrm{,\; 0}<=j<=n$$, викопано умови (1).

Залишається доказати єдиність інтерполяційного многочлена. Припустимо, що крім інтерполяційного многочлена (5) є ще деякий алгебраїчний многочлен $${\tilde{L}}_n(x)$$ n-го степеня, задовольняючий умовам:

$${\tilde{L}}_n(x_i)=f_i\begin{array}{cc},& i=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n\end{array}$$ (7).

тоді згідно (1), (7).

$${\tilde{L}}_n(x_i)-L_n(x_i)=0\begin{array}{cc},& i=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n\end{array}$$ (8).

Якщо $${\tilde{L}}_n(x_i)-L_n(x_i)/=0$$, то ця рівність будучи алгебраїчним многочленом не більше n-го степеня, в силу основної теореми вищої алгебри є не більше n коренів, що забезпечує рівнянню (8), та число яких рівня n+1. Після чого, $${\tilde{L}}_n(x)=L_n(x)$$ теорема повністю доказана.

Інтерполяційний многочлен, приставлений у виді (5), називається інтерполяційним многочленом Лагранжа, а функції (многочлени) (6) — лагранжовими коефіцієнтами є і другі форми запису інтерполяційного многочлена. Однак по теоремі (1) інтерполяційний многочлен n-го степеня (точніше кажучи, степені не більше n), задовольняючий умовам (1), єдиний.

Фактичну степінь інтерполяційного многочлена (5) можна вияснити після розкривання дужок і зведення подібних членів. Однак, якщо в точках xi в якості fi беруться значення деякого многочлена $$P_k(x)$$ степеня $$k<=n$$, то по теоремі (1) зведемо $$L_n(x)P_k(x)$$, так як $$P_k(x)$$ є також многочленом степеня не більше n, задовольняючий умовам (1). Частково, якщо $$f_i=\mathrm{1,}i=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n$$, то $$L_n(x)P_0(x)1$$. Звідси і з (5) випливає наступне $$\underset{i=0}{\overset{n}{}}{p}_{\text{in}}(x)1$$, яке може служити контролем при обчисленні Лагранжеві коефіцієнтів (6).

Оскільки інтерполяційний многочлен (5) лінійно залежить від значення функції $$f_i$$, то інтерполяційний многочлен для суми двох функцій рівний сумі інтерполяційних многочленів для складених.

Приклад: Побудувати інтерполяційний многочлен Лагранжа по наступним даним.

і.
хi.
fi.

.

Розв’язання: Згідно (5) при n=3 маємо.

$$\begin{array}{c}{L}_3(x)=\frac{(x-2)(x-3)(x-5)}{(0-2)(0-3)(0-5)}1+\frac{x(x-3)(x-5)}{2(2-3)(2-5)}3+\frac{x(x-2)(x-5)}{2(3-2)(3-5)}2+\frac{x(x-2)(x-3)}{5(5-2)(5-3)}5=\\ 1+\frac{\text{62}}{\text{15}}x+\frac{\text{13}}{6}{x}^2+\frac{3}{\text{10}}{x}^3\end{array}$$.

Усе можна написати рівняння:

$$f(x)=L_n(x)+R_n(x),$$ (9).

де $$R_n(x)$$ — кінцевий член. Якщо відмінність функції f нічого не відомо, крім її значення fi у точках інтерпеляції то ніяких корисних думок відносно кінцевого члена $$R_n(x)$$ зробити не можна. Ми отримаємо деякі вираження кінцевого члена в припущенні, що $$f{C}_{n+1}[a,b]$$, де [a, b] - відрізок, вміщаючи всі точки інтерпеляції $$x_i,i=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n,i$$ точку х.

Шукаємо $$R_n(x)$$ в наступному виді:

$$R_n(x)={}_n(x)r_n(x)$$ (10).

де $${}_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)\text{.}\text{.}\text{.}(x-x_n)$$ (11).

rn (x) — деяка функція, значення якої в точках інтерпеляції xi можна завдати як завгодно, або $$R_n(x_i)=0$$ і $${}_n(x_i)=0\begin{array}{cc},& i=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n\end{array}$$ .

Зафіксуємо $$x[a,b]\begin{array}{cc},& x/=x_i\begin{array}{cc},& i=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n,\end{array}\end{array}$$, і розберемо наступну функцію від t:

$$(t)=L_n(t)+{}_n(t)r_n(x)-f(t)$$ (12).

Ця функція на основі (1), (9) — (11) перетворюється в нуль при $$t=x_i\begin{array}{cc},& i=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n\begin{array}{cc},& t=x,\end{array}\end{array}$$ в якому випадку n+2-х точка х відрізка (а, в) на якому міняється t.

По теоремі Ролля $$\text{'}$$ (штрих на t) перетворюється на нуль, в крайньому випадку у n+1-й точці інтервала (а, в), $$\text{''}$$ рівна нулю мінімум n точках цього інтервалу і т.д. Таким чином знайдеться хоч одна точка $$(a,b),$$ в якому $${}^{(n+1)}()=0\text{.}$$ Звідки із (12), враховуючи, що $$L^{(n+1)}()=0\begin{array}{cc},& {}^{(n+1)}()=(n+1)\text{!,}\end{array}$$ отримаєм:

$$(n+1)!r_n(x)-f^{(n+1)}()=0$$.

Наступне,.

$$r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}()}{(n+1)!}$$.

і в співвідношенні з (9), (10),.

$$R_n(x)={}_n(x)\frac{f^{(n+1)}()}{(n+1)!}$$ (13).

$$f(x)=L_n(x)+{}_n(x)\frac{f^{(n+1)}()}{(n+1)!}$$, (14).

$$=(x)(a,b)$$ — деяка невідома точка.

Із рівняння (14) витікає оцінка інтерполяції (в точності, екстраполяції) в послідовній точці $$x[a,b]\mathrm{:}$$.

$$|f(x)-L_n(x)|<=\frac{M_{n+1}}{(n+1)!}|{}_n(x)|$$ 15.

а оцінка максимальної інтерполяції на всьому відрізку [a, b].

$$\underset{[a,b]}{\text{max}}|f(x)-L_n(x)|<=\frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\underset{[a,b]}{\text{max}}|{}_n(x)|,$$ (16).

де Mn+1 — величина.