Властивості математичного сподівання і дисперсії (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Нехай дискретна випадкова величина задана законом розподілу. Розглянемо подію, яка полягає в тому, що випадкова величина Y прийме яке-небудь значення менше будь-якого числа X. Ця подія має певну ймовірність. Теорема 4. Математичне сподівання частоти (частості) події А в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких воно може наступити з постійною ймовірністю p дорівнює цій ймовірності p тобто… Читати ще >

Властивості математичного сподівання і дисперсії (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

0.4Реферат

0.5на тему:

0.6" Властивості математичного

0.7сподівання і дисперсії"

0.8Властивості математичного сподівання.

1)Математичне сподівання постійної величини дорівнює цій постійній величині, тобто:

М (С)=С.

2)Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання.

M (kx)=k).

3)Математичне сподівання суми скінченої кількості випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань:

M (x+y)=M (x)+M (y).

4)Математичне сподівання добутку випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань цих величин:

$(xy) = (x) (y)$ .

5)Якщо всі значення випадкової величини X зменшити (збільшити) на одне й те саме число C, то математичне сподівання зменшиться (збільшиться) на те саме число:

M (X-C)=M (X)-C.

Наслідок:

Математичне сподівання відхилення випадкової величини X, від її математичного сподівання дорівнює 0.

$[x - (x)] = 0$ .

0.10Математичне сподівання дискретної величини

Приклад:

У парку організована безпрограшна лотерея. Маємо 1000 виграшів, з них 400 по 10 коп., 300 — по 20 коп., 200 — по 1 грн., 100 — по 2грн. Середній розмір виграшу для відвідувача парка, що придбав один квиток дорівнює загальній сумі виграшу, що поділена на загальну кількість виграшів.

Загальна сума дорівнює:

$\frac{1000}{0,1 400 + 0,2 300 + 1 200 + 2 100} = 500 гр$ .

Середній виграш дорівнює.

$\frac{500}{1000} = 0 . 5$ .

З іншого боку, якщо розглянемо закон розподілу $P_{і} = 1$ .

X.	0,1.	0,2.
P.	0,4.	0,3.	0,2.	0,1.

то таку ж величину отримаємо при знаходженні суми добутку значень випадкових величин на відповідні ймовірності.

М (х)=0,1+0,3+2=0,5.

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається сума добутку всіх її значень на відповідні їм ймовірності:

$(x) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + . . . + x_{n} p_{n}$ .

де.

$_{і = 1}^{n} P_{і} = 1$ .

0.12Дисперсія дискретної випадкової величини.

Дисперсія (з лат. — розсіяність). В більшості випадків тільки математичне сподівання не може в достатній мірі характеризувати випадкову величину.

Приклад № 1.

При однаковій середній величині опадів в двох місцевостях за рік не можна казати, що клімат цих міст однаковий.

Приклад № 2.

Середня заробітна платня не дає можливості казати про питому вагу високо й низькооплачуваних робітників, тобто по математичному сподіванню не можна казати, які відхилення від нього хоча б у середньому можливі.

Найбільш розповсюджена міра розсіювання — це дисперсія та безпосередньо отримане з неї середнє квадратичне відхилення.

ппре.

Розкид значень випадкової величини X від її математичного сподівання, а характеризують різницю хі-а, однак середнє значення їх не може характеризувати розсіювання, тому що, відповідно наслідку, математичне сподівання цієї різниці буде дорівнювати 0. Отже розглядають квадрати вказаних відхилень:

${(x_{і} - a)}^{^{2}}$ .

Це математичне сподівання й називається дисперсією випадкової величини X, а позначається D (x) або $^{2} (х)$ .

Дисперсією випадкової величини X називається математичне сподівання квадрату відхилення її математичного сподівання.

$\begin{matrix} {[x - (x)]}^{2} = D (x) \\ D (x) =_{і = 1}^{n} {(x_{і} - а)}^{2} P_{і} \end{matrix}$ .

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини X називається арифметичне значення квадратного кореню від дисперсії, тобто:

$(x) = \sqrt{D}$ .

0.13Властивості дисперсії

1.Дисперсія постійної величини дорівнює нулю D (с)=0.
2.Постійний множник виноситься за знак дисперсії, якщо піднести його до квадрату, тобто:

$D (kx) = k^{2} D (x)$ .

3.Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному сподіванню квадрату її без квадрату математичного сподівання цієї величини:

$D (X) = M (x^{2}) - M^{2} (x)$ .

4.Дисперсія суми скінченої кількості незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

$D (x + y) = D (x) + D (y)$ .

Наслідок:

Середньоквадратичне суми скінченого числа незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню з суми квадратів середньоквадратичних відхилень, тобто:

$= \sqrt{_{і = 1}^{n}_{і}^{2}}$ .

5) Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює:

$D (x - y) = D (x) + D (- y)$ .

або.

$D (x - y) = D (x) + D (y)$ .

0.14Математичні сподівання

0.15та дисперсії деяких випадкових величин.

Теорема 1 Якщо X1, X2,…, XN однаково розподілені випадкові величини, математичні сподівання кожної з яких дорівнює а, тоді математичне сподівання їх суми дорівнює na, тобто М (Х1+ Х2+ …Хn)=na.

Наслідок:

Математичне сподівання від середнього значення випадкової величини буде дорівнювати а, тобто: $M (\frac{x_{1} + x_{2} + . . . x_{n}}{n}) = a$ .

Теорема 2. Якщо X1, X2, …, XN однаково розподілені незалежні випадкові величини, дисперсія кожної з яких дорівнює $^{2}$ , тоді дисперсія суми цих випадкових величин :

$D (x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}) = n^{2}$ .

Наслідок:

Дисперсія середнього арифметичного випадкових величин дорівнює.

$D (\frac{x_{1} + x_{2} + . . . . x_{n}}{n}) = \frac{^{2}}{n}$ .

Теорема 3. Математичне сподівання випадкової величини, розподіленої згідно біноміальному закону, тобто кількість наступів події А в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких воно може настати з постійною ймовірністю р, дорівнює np, а дисперсія дорівнює D (x)=npq, q=1-p.

Теорема 4. Математичне сподівання частоти (частості) події А в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких воно може наступити з постійною ймовірністю p дорівнює цій ймовірності p тобто:

$M (\frac{x}{n}) = p$ ,.

а дисперсія буде дорівнювати:

$D (\frac{x}{n}) = \frac{pq}{n}$ .

Теорема 5. Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини, розподіленої згідно закону Пуассона, співпадають та дорівнюють :

$М (x) = D (x) =,$ .

де $= np$ .

0.16Функція розподілу випадкової величини.

xi.	X1.	X2.	…	Xn.
Pi.	P1.	P2.	…	Pn.

Позначимо.

$F (x) = P (Y < x)$ .

При зміні X будуть змінюватися і ймовірності. Отже F (x) можна розглядати як функцію змінної величини X.

Функцією розподілу випадкової величини Y називається функція F (x), яка виражає для кожного X ймовірність того, що Y прийме яке-небудь значення менше заданого.

F (x) — постійна на інтервалах та має скачки в точках, що відповідають її значенням.

Використана література:

0.16.0.0.0.0.0.11. Методичні вказівки до курсу лекцій. З теорії ймовірностей та математичної статистики / Під ред. проф. Толока В.О.

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою

Інші роботи

Нескінченно малі та нескінченно великі величини (реферат)

Доведення. Нехай у — обмежена величина, — нескінченно мала. Для обмеженої величини у існує таке число М, що — у — ≤ М. Згідно з означенням нескінченно малої в процесі змінювання наступить такий момент, починаючи з якого буде виконуватися нерівність — | 0. Тому, починаючи з деякого моменту, буде використовуватись нерівність. Доведення. Нехай задано k нескінченно малих…

Реферат