Аналітична геометрія на площині та ін. (різне)

Умова перпендикулярності прямих: к/= $$-\frac{1}{k}$$ .

8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1):

у-у1=к (х-х1).

9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2):

$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$.

10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки, а і в на осях координат:

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$.

11. Загальне рівняння прямої:

Ах+Ву+С=0, (А2+В2.

12. Відстань від точки (х1,у1) до прямої Ах+Ву+С=0:

math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >|Ax1+By1+C|A2+B2.

13. Рівняння кола з центром (х0,у0) і радіусом R:

(х-х0)2+(у-у0)2=R2

14. Канонічне рівняння еліпса з півосями, а і в:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ (1).

Фокуси еліпса F (c-0) i F/(-c-0), де с2=а2-в2

15. Фокальні радіуси точки (х, у) еліпса (1):

r=a-Exr/=a+Ex,.

де Е= $$\frac{c}{a}<1$$ — ексцентриситет еліпса.

16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями, а і в:

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ (2).

нерівностями ay1(x)x), z1(x, y) x, y).

де yi (x), zі(x, y), (і=1, 2) — неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f (x, y z) можна обчислити за формулою:

$$\underset{V}{}f(x,y,z)\text{dxdydz}=\underset{a}{\overset{b}{}}\text{dx}\underset{y_1(x)}{\overset{y_2(x)}{}}\text{dy}\underset{z_1(x,y)}{\overset{z_2(x,y)}{}}f(x,y,z)\text{dz}$$ .

Для заміток.

І. Аналітична геометрія на площині.

1. Паралельне перенесення системи координат:

х'=х-а, у'=у-в, де О' (а-в) — новий початок, (х-у) — старі координати точки, [х'-у'] - її нові координати.

2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):

х= х’cosу’sin y= x’sin’cоsp>

де (х, у) — старі координати точки, [х', у'] - її нові координати, кут повороту.

3. Відстань між точками (х1,у1) і (х2,у2):

d= $$\sqrt{({х}_2-{х}_1{)}^2+({у}_2-{у}_1{)}^2}$$.

4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х1,у1) і (х2,у2) в даному відношенні p>

x= $$\frac{x_1+{\mathit{}}_2}{1+}-$$ y= $$\frac{y_1+{\mathit{}}_2}{1+}$$ .

При маємо координати середини відрізка:

х= $$\frac{x_1+x_2}{2}-$$ у= $$\frac{y_1+y_2}{2}$$ .

5. Площа трикутника з вершинами (х1,у1), (х2,у2) і (х3,у3):

S= $$\pm \frac{1}{2}\left[(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)\right]$$ .

6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

у=кх+в, де к=tgкутовий коефіцієнт) — нахил прямої до осі Ох, в — довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу.

7. tgmath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >k'-k1+k'k — тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к і к/.

Умова паралельності прямих: к/=к.

24. Параметричні рівняння еліпса з півосями, а і в:

x=a cos t, y=b sin t.

25. Параметричні рівняння циклоїди:

x=a (t-sin t), y=a (1-cos t).

II. Диференціальне числення функцій однієї змінної.

1. 1.Основні теореми про границі:

а) $$\underset{x->a}{\text{lim}}[f(x)+g(x)-h(x)]=\underset{x->a}{\text{lim}}f(x)+\underset{x->a}{\text{lim}}g(x)-\underset{x->a}{\text{lim}}h(x)\text{.}$$.

б) $$\underset{x->a}{\text{lim}}[f(x)g(x)]=\underset{x->a}{\text{lim}}f(x)\underset{x->a}{\text{lim}}g(x)$$.

Зокрема, $$\underset{x->a}{\text{lim}}[\text{cf}(x)]=c\underset{x->a}{\text{lim}}f(x)$$.

в) $$\underset{x->a}{\text{lim}}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\underset{x->a}{\text{lim}}f(x)\mathrm{:}\underset{x->a}{\text{lim}}g(x),(\underset{x->a}{\text{lim}}g(x)/=0)\text{.}$$.

1. 2.Чудові границі:

а) $$\underset{x->0}{\text{lim}}\frac{\text{sin}x}{x}=1-$$ б) $$\underset{x->\mathrm{}}{\text{lim}}(1+\frac{1}{x}{)}^x=\underset{->0}{\text{lim}}{\left(1+\right)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$$}\right.}=e=\mathrm{2,}\text{7182}\text{.}$$.

3. Зв’язок між десятковими та натуральними логарифмами:

lg x=М ln x, де М=lg e=0,43 429…

4. Приріст функції у=f (x), що відповідає приросту $$\mathit{}$$ аргументу х:

$$\mathit{}=f(x+\mathit{})-f(x)\text{.}$$.

5. Умова неперервності функції у=f (x):

$$\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\mathit{}=0$$.

Основна властивість неперервної функції:

$$\underset{x->x_1}{\text{lim}}f(x)=f(\underset{x->x_1}{\text{lim}}x)\text{.}$$.

6. Похідна.

$$y^{\text{'}}=\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{\mathit{}}{\mathit{}}\text{.}$$.

Геометрично y /=f /(x) — кутовий коефіцієнт дотичної до.

XI. Подвійні та потрійні інтеграли.

1. Подвійним інтегралом від функції f (x, y), розповсюдженим на область S, називається число:

$$\underset{S}{}f(x,y)\text{dS}=\underset{d->0}{\text{lim}}\underset{i=1}{\overset{n}{}}f(x_i,y_i){\mathit{}}_i$$, (1).

де (хі, уі) є (і=1, 2,…n) і d — найбільший діаметр комірок.

Якщо f (x, y) то геометрично інтеграл (1) являє собою об'єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S і обмеженого зверху поверхнею z=f (x, y).

2. Якщо область інтегрування S стандартна відносно осі Оу і визначається нерівностями ay1(x)x),.

де y1(x), y2(x) — неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f (x, y) виражається формулою:

$$\underset{S}{}f(x,y)\text{dxdy}=\underset{a}{\overset{b}{}}\text{dx}\underset{y_1(x)}{\overset{y_2(x)}{}}f(x,y)\text{dy}$$ .

3. Подвійний інтеграл в полярних координатах r,.

де x=r cos=rsinає вигляд:

$$\underset{S}{}f(x,y)\text{dS}=\underset{S}{}f(r\text{cos},r\text{sin})\text{rd}\text{dr}$$.

Якщо область інтегрування S визначається нерівностями:1(то.

$$\underset{S}{}f(x,y)\text{dS}=\underset{}{\overset{}{}}\mathit{d}\underset{r_1()}{\overset{r_2()}{}}\text{rf}(r\text{cos},r\text{sin})\text{dr}$$.

4. Якщо, у) — поверхнева густина пластини S, то її.

маса є $$m=\underset{S}{}(x,y)\text{dS}=\underset{S}{}\text{dxdy}$$ (2).

(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при отримуємо формулу площі пластинки $$m=\underset{S}{}\text{dS}=\underset{S}{}\text{dxdy}$$.

5. Статистичні моменти пластинки S відносно координатних осей Ох, Оу виражаються інтегралами:

$$S_x=\underset{S}{}\text{ydS}$$, $$S_y=\underset{S}{}\text{xdS}$$.

де, у) — поверхнева густина пластинки S.

6. Координати центра мас пластинки S визначаються за.

формулами: $$x_0=\frac{S_y}{m}$$, $$y_0=\frac{S_x}{m}$$, (3).

де m — маса пластинки.

Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо.

7. Моменти інерції пластинки S відносно координатних осей Ох і Оу виражається інтегралами:

$$I_x=\underset{S}{}{\mathit{}}^2\text{dS}$$, $$I_y=\underset{S}{}{\mathit{}}^2\text{dS}$$ ,.

де, у) — поверхнева густина пластинки.

8. Потрійним інтегралом від функції f (x, y z), розповсюдженим на область V, називається число:

$$\underset{V}{}f(x,y,z)\text{dV}=\underset{d->0}{\text{lim}}\underset{i=1}{\overset{n}{}}f(x_i,y_i,z_i){\mathit{}}_i$$, (4).

де (xi, yi, zi) є (i=1, 2, 3,…n), d — найбільший діаметр комірок .

Якщо f (x, y z) є густиною в точці (x, y z), то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює обм V.

9. Обм тіла V дорівнює: $$V=\underset{V}{}\text{dV}=\underset{V}{}\text{dxdydz}$$ .

10. Якщо область інтегрування V визначається.

Фокуси гіперболи F (c-0) і F/(-c-0), де с2=а2+в2

17. Фокальні радіуси точки (х, у) гіперболи (2):

r=-a), r/=+a),.

де Е= $$\frac{c}{a}>1$$ — ексцентриситет гіперболи.

18. Асимптоти гіперболи (2):

у= $$\pm \frac{b}{a}x$$ .

19. Графік оберненої пропорційності

ху=с (с/p>

— рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.

20. Канонічне рівняння параболи з параметром р:

у2=2рх Фокус параболи: F (p/2, 0): рівняння директриси: х=-(р/2) — фокальний радіус точки (х, у) параболи: r=x+(p/2).

21. Графік квадратного тричлена

у=Ах2+Вх+С.

• -.вертикальна парабола з вершиною.

$$O^{\text{'}}(-\frac{B}{2A}--\frac{B^2-4\text{AC}}{4A})\text{.}$$.

22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х і у:

ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >=x2+y2- tgmath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >yx.

Прямокутні координати точки з полярними координатами

p>

x=s y=np>

23. Параметричні рівняння кола радіуса R з центром в початку координат:

x=R cos t, y=R sin t. (t — параметр).

f0)=0 або f0) не існує.

б) Достатні умови екструмуму функції f (x) в точці x0:

1. 1)f0)=0, f0-h1)f0+h2)<0 при довільних досить малих h1>0 і h2>0, або.

2. 2)f0)=0, f/(x0)/p>

12. — Графік функції y=f (x) вгнутий (або випуклий вниз) якщо f/(x)>0 i випуклий (випуклий вверх), якщо f/(x)<0.

• -.Необхідна умова точки перегинy графіка функції.

y=f (x) при x=x0: f/(x0)=0 або f/(x0)не існує.

• -.Достатня умова точки перегину при х=х0:

f (x0)=0, f/(x0-h1)f''(x0+h2)<0 при будь-яких досить малих h1>0, h2>0.

13. Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [і f (t-0, то корінь івняння f (x)=0 наближено можна обчислити за формулами:

а) $${}_1=-\frac{f()}{f()-f()}(-)$$ (метод хорд).

б) $${\stackrel{}{}}_1=-\frac{f()}{f^{\text{'}}()}$$, де f f (t-0 (метод дотичних).

14. Диференціал незалежної змінної х: dx=Диференціал функції у=f (x):dy=y Зв’язок приросту функції з диференціалом dy функції:

y+x, де 0 при ->0.

Таблиця диференціалів функцій.

1) dun=nun-1du- 7) d (ctg u)=- $$\raisebox{1ex}{$\text{du}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\text{sin}}^{2}u$}\right.-$$.

2) dau=auln a du (a>0) — deu=eudu- 8) d (arcsin u)= $$\frac{\text{du}}{\sqrt{1-u^2}}-$$.

3)d (logau)= $$\raisebox{1ex}{$\text{du}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$u\text{ln}a$}\right.$$ — 9) d (arccos u)=- $$\frac{\text{du}}{\sqrt{1-u^2}}$$.

№ п/п.	Характер коренів k1 i k2 характеристичного рівняння.	Вигляд загального розвзку.
	Корені k1 i k2 дійсні і різні.	$$y=C_1{e}^{k_{1}x}+C_2{e}^{k_{2}x}$$.
	Корені рівні k1 = k2.	$$y=(C_1+C_{2}x)e^{k_{1}x}$$.
	Корені комплексні k1=2=>	$$y=e^{\mathit{}}(C_1\text{cos}\mathit{}+C_2\text{sin}\mathit{})$$.

9. Таблиця 2.

Характер частинного розвзку z-неоднорідного рівняння у+ру=f (x) (p i q — сталі) в залежності від правої частини f (x).

№ п/п.	Права частина f (x).	Випадки.	Частинний розвзок.
	f (x)=aemx (a, m — сталі).	1)m2+pm+q. 2)m2+pm+q=0: a)p2−4q>0,. b)p2−4q<0.	z=Aemx,. ————; z=Axemx,. z=Ax2emx.
	f (x)=McossinM, N, сталі, 0).	1)p2+(q; 2)p=0, q=.	z=Acossin/p> z=x (Acossin/p>
	f (x)=ax2+bx+c. (a, b, c — сталі).	1)q. 2)q=0, p.	z=Ax2+Bx+C,. z=x (Ax2+Bx+C).

A, B, C — сталі невизначенні коефіцієнти.

Х.Криволінійні інтеграли.

1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f (x, y), взятий по кусково гладкій кривій К: x=x (t), y=y (t) (t є [ дорівнює.

$$\begin{array}{c}2\\ 2\\ t)\\ \\ |\text{dt}|\\ \\ t)+y^{}\\ x^{}\\ f(x(t),y(t))\sqrt{}\\ f(x,y)\text{dS}=\underset{}{\overset{}{}}\\ \underset{K}{}\\ \end{array}$$ (1).

Якщо крива К задана рівнянням у=у (х) (a то.

$$\begin{array}{c}2\\ x)\\ \\ \text{dx}\\ \\ 1+y^{}\\ f(x,y(x))\sqrt{}\\ f(x,y)\text{dS}=\underset{a}{\overset{b}{}}\\ \underset{K}{}\\ \end{array}$$.

Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К.

Якщо f (x, y) є лінійна густина лінії К, то інтеграл (1) являє собою масу лінії К.

2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х (х, у), У (х, у), взятий по кусково гладкому шляху К: x=x (t), y=y (t) (t є [ визначається за формулою:

$$\underset{K}{}X(x,y)\text{dx}+Y(x,y)\text{dy}=\underset{}{\overset{}{}}[X(x(t),y(t))x^{\text{'}}(t)+Y(x(t),y(t))y^{\text{'}}(t)]\text{dt}$$ (2).

Якщо шлях К задано рівнянням у=у (х) (х є [ то.

$$\underset{K}{}X(x,y)\text{dx}+Y(x,y)\text{dy}=\underset{a}{\overset{b}{}}[X(x,y(x))+Y(x,y(x))y^{\text{'}}(x)]\text{dx}$$ .

Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К.

Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили.

F={X (x, y), Y (x, y)} вздовж шляху К.

3. Якщо виконується умова Х (х, у) dx+Y (x, y) dy=dU (x, y), то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К і.

$$\underset{K}{}X(x,y)\text{dx}+Y(x,y)\text{dy}=U(x,y)|\begin{array}{c}(x_2,y_2)\\ (x_1,y_1)\end{array}=U(x_2,y_2)-U(x_1,y_1)$$, (3).

де (х1,у1) — початкова точка шляху і (х2, у2) — кінцева точка шляху.

Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U (x, y).

графіка функції у=f (x) в точці з абсцисою х.

Правила і формули диференціювання:

а) C б) (U+V-W)p>

в) (CU) г) (UV)/p>

д) $${\left(\frac{U}{V}\right)}^{}=\frac{U^{\text{'}}V-V^{\text{'}}U}{V^2}\text{.}$$ е) $$y_x^{}=y_z^{}{z}_x^{}\text{.}$$.

є) $$x_y^{}=\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$y_x^{}$}\right.$$ — и) (хn)xn-1, x.

і) (sin x) s xї) (cos x) in x;

й) (tg x) c2xк) (сtg х) osec2x;

л) $$({\text{log}}_{a}x{)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\text{ln}a}-(\text{ln}x{)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}-$$ м) (аx) ln a, (ex).

н) (аrcsin x) math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >11-x2- o) (arccos x) math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >-11-x2 ;

п) (arctg x) math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >11+x2- р) (arcctg x) math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >-11+x2;

7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:

f (x2)-f (x1)=(x2-x1)f де (х1,х2).

8. Функія у=f (x) зростає, якщо f)>0, і спадає, якщо f<0.

9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду $$\frac{0}{0}$$ або $$\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}$$ :

$$\underset{x->a}{\text{lim}}\frac{(x)}{(x)}=\underset{x->a}{\text{lim}}\frac{{}^{\text{'}}(x)}{{}^{\text{'}}(x)},$$ якщо границя з права існує.

10. Локальна формула Тейлора:

f (x)=f (x0)+f0)(x-x0)+…+ $$\frac{f^{\left(n\right)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+0[(x-x_0{)}^n],$$.

де f (n)(x) існує в деякому повному околі точки х0.

11.а) Необхідна умова екстремуму функції f (x) в точці x0:

6) $$\text{sin}\text{xdx}=-\text{cos}x+C$$ .

7) $$\frac{\text{dx}}{{\text{cos}}^{2}x}=\text{tgx}+C\text{.}$$.

8) $$\frac{\text{dx}}{{\text{sin}}^{2}x}=-\text{ctgx}+C\text{.}$$.

9) $$\frac{\text{dx}}{\sqrt{1-x^2}}=\text{arcsin}x+C=-\text{arccos}x+C_1$$ .

10) $$\frac{\text{dx}}{1+x^2}=\text{arctgx}+C=-\text{arcctgx}+C_1$$ .

11) $$\frac{\text{dx}}{1-x^2}=\frac{1}{2}\text{ln}|\frac{1+x}{1-x}|+C-$$ $$\frac{\text{dx}}{x^2-1}=\frac{1}{2}\text{ln}|\frac{1-x}{1+x}|+C-$$ .

12) $$\frac{\text{dx}}{\sqrt{x^2+}}=\text{ln}|x+\sqrt{x^2+}|+C,$$ де 0.

13) $$\text{shxdx}=\text{chx}+C\text{.}$$.

14) $$\text{chxdx}=\text{shx}+C\text{.}$$.

1. 3.Основні методи інтегрування.

а) метод розкладу:

$$f(x)\text{dx}=f_1(x)\text{dx}+f_2(x)\text{dx}$$, де f (x)=f1(x)+f2(x).

б) метод підстановки: якщо x=, то.

$$f(x)\text{dx}=f((t)){}^{\text{'}}(t)\text{dt}\text{.}$$.

в) метод інтегрування частинами:

$$\text{udv}=\text{uv}-\text{vdu}\text{.}$$.

4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f (x) — неперервна і F=f (x), то.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=F(b)-F(a)$$ .

5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми:

де $$b_n=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{}}f(x)\text{sin}\frac{\mathit{n}}{l}\text{dx}$$, (n=1, 2,…).

IX.Диференціальні рівняння.

1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.

X (x)Y (y)dx+X1(x)Y1(y)dy=0.

має загальний інтеграл: $$\frac{X(x)}{X_1(x)}\text{dx}+\frac{Y(y)}{Y_1(y)}\text{dy}=C$$ (1).

Особливі розвзки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х1(х)=0 і У1(у)=0.

2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0,.

де P (x, y) і Q (x, y) — щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розвзуються за допомогою підстановки y=uu — нова функція).

3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

a (x)yx)y+c (x)=0.

можна розвзати за допомогою підстановки y=u/p>

де u — не нульовий розвзок однорідного рівняння.

a (x)yx)y=0, а v — нова функція.

4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо y=f (x), то загальний розвзок:

$$y=\text{dx}f(x)\text{dx}+C_{1}x+C_2$$ ;

б) якщо y=f (у), то загальний інтеграл:

$$\frac{\text{dy}}{\sqrt{2f(y)\text{dy}+C_1}}=\pm (x+C_2)$$ ;

в) якщо y=f (уто загальний інтеграл рівняння можна.

знайти з співвідношення: $$\frac{\text{dp}}{f(p)}=x+C_1$$, де у.

5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо у=f (x, yто приймаючи у (х), отримуємо:

$$\frac{\text{dp}}{\text{dx}}=f(x,p)$$ ;

б) якщо у=f (у, yто приймаючи у (у), отримуємо:

$$p\frac{\text{dp}}{\text{dy}}=f(y,p)$$ .

6. Загальний розвзок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у+р (х)уx)y=0 має вигляд у=С1у1+С2у2,.

де у1 і у2 — лінійно незалежні частинні розвзки.

7. Загальний розвзок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у+р (х)уx)y=f (x) має вигляд $$y=\stackrel{}{y}+z$$ ,.

де $$\stackrel{}{y}$$ — загальний розвзок відповідного неоднорідного рівнянняz — частинний розвзок даного неоднорідного рівняння.

8. Таблиця 1.

Загальний вигляд розвзків однорідного рівняння у+ру=0 (p i q — сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k2+pk+q=0.

(a>0,a d (ln u)= $$\raisebox{1ex}{$\text{du}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$u$}\right.\text{.}$$.

4) d (sin u)=cos u du- 10) d (arctg u)= $$\raisebox{1ex}{$\text{du}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$1+u^2$}\right.$$ ;

5) d (cos u)= -sin u du- 11) d (arcctg u)= $$\raisebox{1ex}{$-\text{du}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$1+u^2$}\right.-$$.

6) d (tg u)= $$\raisebox{1ex}{$\text{du}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\text{cos}}^{2}u$}\right.-$$ 12) df (u)=fdu.

15.Малий приріст диференційованої функції:

f (x+f (x)p>

16. Диференціал другого порядку функції у=f (x), де х — незалежна змінна (d2x)=0:

d2y=у''dx2.

III. Інтегральне числення.

1. Якщо dy=f (x)dx, то y= $$f(x)\text{dx}$$ (незвичайний інтеграл).

2. Основні властивості незвичайного інтеграла:

а) $$df(x)\text{dx}=f(x)\text{dx}$$ $$[f(x)\text{dx}{]}^{\text{'}}=f(x)-$$.

б) $$\text{dF}(x)=F(x)+C-$$ в) $$\text{Af}(x)\text{dx}=Af(x)\text{dx}-$$ (А.

г) $$[f(x)+g(x)-h(x)]\text{dx}=f(x)\text{dx}+g(x)\text{dx}-h(x)\text{dx}$$.

Таблиця найпростіших невизначених інтегралів.

1) $$x^m\text{dx}=\frac{x^{m+1}}{m+1}+C$$ (m.

2) $$\frac{\text{dx}}{x}=\text{ln}|x|+C$$, (при х<0 i при x>0).

3) $$e^x\text{dx}=e^x+C$$ ;

4) $$a^x\text{dx}=\frac{a^x}{\text{ln}a}+C,$$ (a>0, a.

5) $$\text{cos}\text{xdx}=\text{sin}x+C$$ .

де h=(b-a)/n, x0=a, xn=b, y=f (x), yi=f (x0+ih), (i=0,1,2,…, n).

11. Формула Сімпсона: $$\underset{a}{\overset{b}{}}\text{ydx}=\frac{h}{3}\left[y(a)+4y(\frac{a+b}{2})+y(b)\right],$$.

де h=(b-a)/2.

12. Невласний інтеграл: $$\underset{a}{\overset{+\mathrm{}}{}}f(x)\text{dx}=\underset{b->\mathrm{}}{\text{lim}}\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}\text{.}$$.

13. Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у=f (x) (f (x) віссю Ох і двома вертикалями х=а, х=b (a<b): $$S=\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}$$ .

14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією полярні координати) і двома промінями — $$S=\frac{1}{2}\underset{}{\overset{}{}}{}^2\mathit{d}$$ .

15. Довжина дуги гладкої кривої y=f (x) в прямокутних координатах х і у від точки х=а до точки х=b (a<b):

$$\begin{array}{c}2\\ l=\underset{a}{\overset{b}{}}\sqrt{1+y^{}}\text{dx}\\ \end{array}$$ .

16. Довжина дуги гладкої кривої в полярних координатах ід точки о точки -/p>

$$\begin{array}{c}2\\ l=\underset{}{\overset{}{}}\sqrt{{}^2+{}^{}}\mathit{d}\\ \end{array}$$ ,.

17. Довжина дуги гладкої кривої х= y=, задано параметрично (t0<T): $$\begin{array}{c}2\\ 2\\ l=\underset{t_0}{\overset{T}{}}\sqrt{x^{}{y}^{}}\text{dt}\text{.}\\ \end{array}$$.

18.Об'єм тіла з відомим поперечним перерізом S (x):

9. Ряд Маклорена.

$$f(x)=f(0)+f^{\text{'}}(0)x+\frac{f^{\text{'}\text{'}}(0)}{2!}{x}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

10. Розклад в степеневі ряди функцій:

а) $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\text{.}\text{.}\text{.}+x^n+\text{.}\text{.}\text{.}$$, при t- 1;

б) ln (1+x) = $$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\text{.}\text{.}\text{.}+(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\text{.}\text{.}\text{.}$$, при -1<x.

в) $$\text{arctgx}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\text{.}\text{.}\text{.}+(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}$$, при.

г) $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{x^n}{n!}+\text{.}\text{.}\text{.}$$, при t- +/div>

д) $$\text{sin}x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\text{.}\text{.}\text{.}+(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ ,.

при t- +p>

е) $$\text{cos}x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\text{.}\text{.}\text{.}+(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\text{.}\text{.}\text{.}$$, при t- +/div>

ж) $$(1+x{)}^m=1+\text{mx}+\frac{m(m-1)}{12}{x}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{m(m-1)\text{.}\text{.}\text{.}[m-(n-1)]}{12\text{.}\text{.}\text{.}n}{x}^n+\text{.}\text{.}\text{.}$$ ,.

при t- 1.

11. Ряд Тейлора.

$$f(x)=f(a)+f^{\text{'}}(a)(x-a)+\frac{f^{\text{'}\text{'}}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

12. Ряди в комплексній області: $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(U_n+{\text{iV}}_n)=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{U}_n+i\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{V}_n$$ .

13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}|U_n+{\text{iV}}_n|=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\sqrt{U_n^2+V_n^2}$$ збігається, то ряд.

$$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(U_n+{\text{iV}}_n)$$ також збігається (абсолютно).

14. Формули Ейлера: $$e^{\text{ix}}=\text{cos}x+i\text{sin}x$$, $$e^{-\text{ix}}=\text{cos}x-i\text{sin}x$$ .

15. Тригонометричний ряд Фуркусково-гладкої функції f (x) періоду 2l має вигляд:

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(a_n\text{cos}\frac{\mathit{n}}{l}+b_n\text{sin}\frac{\mathit{n}}{l})$$, (1).

де $$a_n=\frac{1}{l}\underset{-l}{\overset{l}{}}f(x)\text{cos}\frac{\mathit{n}}{l}\text{dx}$$, (n=0, 1, 2,…);

$$b_n=\frac{1}{l}\underset{-l}{\overset{l}{}}f(x)\text{sin}\frac{\mathit{n}}{l}\text{dx}$$, (n=1, 2,…).

(коефіцієнти Фурфункції f (x)). Для функції f (x) періоду 2аємо $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(a_n\text{cos}\text{nx}+b_n\text{sin}\text{nx})$$ ,.

де $$\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\}=\frac{1}{}\underset{-}{\overset{}{}}f(x)\{\begin{array}{c}\text{cos}\text{nx}\\ \text{sin}\text{nx}\end{array}\text{dx}$$, (n=0, 1, 2,…).

В точках розриву функцій f (x) сума ряду (1) дорівнює.

$$S(x)=\frac{1}{2}\left[f(x-0)+f(x+0)\right]$$.

16. Якщо 2l — періодична функція f (x) парна, то.

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n\text{cos}\frac{\mathit{n}}{l}$$ ,.

де $$a_n=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{}}f(x)\text{cos}\frac{\mathit{n}}{l}\text{dx}$$, (n=0,1, 2,…).

Якщо 2l — періодична функція f (x) непарна, то.

$$f(x)=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{b}_n\text{sin}\frac{\mathit{n}}{l}$$ ,.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=\underset{\text{max}|{\mathit{}}_i|->0}{\text{lim}}\underset{i=0}{\overset{m-1}{}}f(\stackrel{}{x_i}){\mathit{}}_i,$$.

де $$x\left[x_i,x_{i+1}\right]$$ і $${\mathit{}}_i=x_{i+1}-x_i\text{.}$$.

6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні):

а) $$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=\underset{a}{\overset{b}{}}f(t)\text{dt}$$ — б) $$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=0-$$.

в) $$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=-\underset{b}{\overset{a}{}}f(x)\text{dx}-$$ г) $$\underset{a}{\overset{b}{}}\text{Af}(x)\text{dx}=A\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}-$$.

д) $$\underset{a}{\overset{c}{}}f(x)\text{dx}+\underset{c}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}-$$.

е) $$\underset{a}{\overset{b}{}}\left[f(x)+g(x)-h(x)\right]\text{dx}=\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}+\underset{a}{\overset{b}{}}g(x)\text{dx}-\underset{a}{\overset{b}{}}h(x)\text{dx}-$$.

ж) $$\frac{d}{\text{dx}}\underset{a}{\overset{x}{}}f(t)\text{dt}=f(x),\frac{d}{\text{dx}}\underset{x}{\overset{b}{}}f(t)\text{dt}=-f(x)$$.

7. Теорема про середнє: якщо f (x) — неперервна на [a, b], то.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=(b-a)f(c)$$, де а<c<b.

8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі: $$\underset{a}{\overset{b}{}}u(x)v^{\text{'}}(x)\text{dx}=u(x)v(x){|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{}}v(x)u^{\text{'}}(x)\text{dx}$$.

9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=\underset{}{\overset{}{}}f((t)){}^{\text{'}}(t)\text{dt},$$ де а=b=.

10. Формула трапецій: $$\underset{a}{\overset{b}{}}\text{ydx}=h(\frac{1}{2}{y}_0+y_1+\text{.}\text{.}\text{.}+y_{n-1}+\frac{1}{2}{y}_n)$$ ,.

z=r (cosin де r=g z.

5. Теореми про модуль та аргумент:

а) z2 б) 2p>

Arg z1z2=Arg z1+Arg z2;

в) $$|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}-$$ Arg $$\frac{z_1}{z_2}$$ =Arg z1-Arg z2- (z2.

г) Arg zn=n Arg z (n — ціле).

6. Корінь з комплексного числа:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\left(\text{cos}\frac{\text{arg}z+2\mathit{k}}{n}+i\text{sin}\frac{\text{arg}z+2\mathit{k}}{n}\right)$$, (k=0,1,2,…, n-1).

7. Показникова формула комплексного числа:

z = r eiде z = Arg z.

8. Визначник другого порядку:

$$=|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}|=a_1{b}_2-a_2{b}_1$$ .

9. Розв’язок системи $$\{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y=C_1\\ a_{2}x+b_{2}y=C_2\end{array}$$ знаходяться за формулами: х=у=правило Крамера), де.

$$=|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}|/=0-\mathit{}=|\begin{array}{cc}{c}_1& b_1\\ c_2& b_2\end{array}|-\mathit{}=|\begin{array}{cc}{a}_1& c_1\\ a_2& c_2\end{array}|$$ .

10. Розв’язок однорідної системи: $$\{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=0\end{array}$$ визначається за формулами: х= y=- z= (—t<

де $${}_1=|\begin{array}{cc}{b}_1& c_1\\ b_2& c_2\end{array}|,{}_2=|\begin{array}{cc}{a}_1& c_1\\ a_2& c_2\end{array}|,{}_3=|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}|$$ ;

мінори матриці $$\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\end{array}\right)$$ .

$$\frac{z}{x}=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{f(x+\mathit{},y)-f(x,y)}{\mathit{}}-$$ $$\frac{z}{y}=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{f(x,y+\mathit{})-f(x,y)}{\mathit{}}$$.

3. Повний диференціал функції z = f (x, y) від незалежних змінних х, у:

$$\text{dz}=\frac{z}{x}\text{dx}+\frac{z}{y}\text{dy},$$ де dx= dy=.

Якщо U = f (x, y, z), то $$\text{du}=\frac{u}{x}\text{dx}+\frac{u}{y}\text{dy}+\frac{u}{z}\text{dz}$$ .

4. Малий приріст диференційованої функції:

$$\mathit{}\frac{z}{x}\mathit{}+\frac{z}{y}\mathit{},$$.

5. Похідна функції U = f (x, y) по напряму l, заданому одиничним вектором {cos os дорівнює:

$$\frac{u}{l}=\frac{u}{x}\text{cos}+\frac{u}{y}\text{cos}$$ .

Аналогічно, якщо U = f (x, y, z) і {cos os os одиничний вектор напряму l, то.

$$\frac{u}{l}=\frac{u}{x}\text{cos}+\frac{u}{y}\text{cos}+\frac{u}{z}\text{cos}$$.

6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f (x, y, z) визначаються з рівнянь:

fx, y, z)=0- f, y, z)=0- f, y, z)=0.

7. Градієнтом скалярного поля U = f (x, y, z) є вектор

$$\text{gradU}=\left\{\frac{u}{x},\frac{u}{y},\frac{u}{z}\right\}$$ $$$$.

Звідси $$|\text{gradU}|=\sqrt{{\left(\frac{u}{x}\right)}^2+{\left(\frac{u}{y}\right)}^2+{\left(\frac{u}{z}\right)}^2}$$ .

8. Якщо P (x, y) dx + Q (x, y) dy є повним диференціалом в області G, то.

$$\frac{P}{y}=\frac{Q}{x}$$ ((x, y) є G).

(ознака повного диференціалу.).

VIII. Ряди.

1.Основне означення: $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{U}_n=\underset{N->\mathrm{}}{\text{lim}}\underset{n=1}{\overset{N}{}}{U}_n$$ .

2. Необхідна ознака збіжності ряду:

якщо ряд $$\underset{n>1}{\overset{\mathrm{}}{}}{U}_n$$ збігається, то $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{U}_n=0$$ .

3. Геометрична прогресія: $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{\text{aq}}^{n-1}=\frac{a}{1-q}$$, якщо t- 1.

4. Гармонічний ряд 1 + ½ + 1/3 + … (розбігається).

1. 5.Ознака Даламбера. Нехай для ряду $$\underset{n>1}{\overset{\mathrm{}}{}}{U}_n$$ (Un>0) існує.

$$\underset{}{\text{lim}}\frac{U_{n+1}}{U_n}=l$$.

Тоді: а) Якщо l < 1, то ряд збігається;

б) Якщо l > 1, то ряд розбігається, Un непрямує до 0.

6. Абсолютна збіжність. Якщо ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}|U_n|$$ збігається, то ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{U}_n$$ також збігається (абсолютно).

7. Ознака Лейбніца. Якщо $$V_1>=V_2>=V_3>=\text{.}\text{.}\text{.}>=0$$ і $$V_n->0$$ при $$n->\mathrm{}$$, то знакозмінний ряд V1-V2+V3-V4+… — збігається.

8. Радіус збіжності степеневого ряду а0+а1х+а2×2+… визначається за формулою: $$R=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$$, якщо остання має зміст.

$$V=\underset{a}{\overset{b}{}}S(x)\text{dx}$$ .

19. Об'єм тіла обертання:

а) навколо осі Ох: $$V_x=\underset{a}{\overset{b}{}}{y}^2\text{dx}-$$ (a<b).

б) навколо осі Оу: $$V_y=\underset{c}{\overset{d}{}}{x}^2\text{dy}-$$ (c<d).

20. Робота змінної сили F=F (x) на ділянці [a, b]:

$$A=\underset{a}{\overset{b}{}}F(x)\text{dx}\text{.}$$.

ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь.

1. Комплексне число z=x+iy, де х=Re z, y=Im z — дійсні числа, і2=-1.

Модуль комплексного числа:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}>=0\text{.}$$.

Рівність комплексних чисел:

z1=z2z1=Re z2, Im z1=Im z2.

2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy: $$\stackrel{}{z}=x-\text{iy}$$.

3. Арифметичні дії над комплексними числами z1=x1+iy1, z2=x2+iy2:

a) $$z_1\pm z_2=\left(x_1\pm x_2\right)+i\left(y_1\pm y_2\right)-$$.

б) $$z_1{z}_2=\left(x_1{x}_2-y_1{y}_2\right)+i\left(x_1{y}_2+x_2{y}_1\right)-$$.

в) $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1{\stackrel{}{z}}_2}{{|z_2|}^2}=\frac{\left(x_1{x}_2+y_1{y}_2\right)+i\left(x_2{y}_1-x_1{y}_2\right)}{x_2^2+y_2^2}-$$ (z2.

Зокрема Re z =½ (z+ $$\stackrel{}{z}$$), Im z= (z- $$\stackrel{}{z}$$)/2і, $$\stackrel{}{z}$$ .

4. Тригонометрична форма комплексного числа:

V. Елементи векторної алгебри.

1. Сумою векторів $$\stackrel{}{a}$$, $$\stackrel{}{b}$$, $$\stackrel{}{c}$$ є вектор $$\stackrel{}{S}=\stackrel{}{a}+\stackrel{}{b}+\stackrel{}{c}$$ .

2. Різницею векторів $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ є вектор $$\stackrel{}{d}=\stackrel{}{a}-\stackrel{}{b}=\stackrel{}{a}+(-\stackrel{}{b})$$, де.

— $$\stackrel{}{b}$$ — вектор, протилежний вектору $$\stackrel{}{b}$$ .

3. Добутком вектора $$\stackrel{}{a}$$ на скаляр $$\stackrel{}{k}$$ є вектор $$\stackrel{}{b}=k\stackrel{}{a}$$ такий що $$b=|k|\stackrel{}{a}$$, де $$\stackrel{}{a}=|\stackrel{}{a}|$$ і $$\stackrel{}{b}=|\stackrel{}{b}|$$, причому напрям вектора $$\stackrel{}{b}$$ співпадає з напрямком вектора $$\stackrel{}{a}$$, якщо k > 0, і протилежний до нього, якщо k < 0.

4. Вектор $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ колінеарні, якщо $$\stackrel{}{b}=k\stackrel{}{a}$$ (k — скаляр).

Вектори $$\stackrel{}{a}$$, $$\stackrel{}{b}$$, $$\stackrel{}{c}$$ компланарні, якщо $$\stackrel{}{c}=k\stackrel{}{a}+l\stackrel{}{b}$$ ,(k, l-скаляри).

5. Скалярним добутком векторів $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ є число.

$$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=|\stackrel{}{a}||\stackrel{}{b}|\text{cos}$$, де t-($$\stackrel{}{a}$$, $$\stackrel{}{b}$$).

Вектори $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ ортогональні, якщо $$\stackrel{}{a}$$ * $$\stackrel{}{b}$$ = 0.

Якщо $$\stackrel{}{a}=\left\{a_x,a_y,a_z\right\}$$ і $$\stackrel{}{b}=\left\{b_x,b_y,b_z\right\}$$, то $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$$ .

6. Векторним добутком векторів $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ є вектор $$\stackrel{}{c}=\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}$$ ,.

де $$\stackrel{}{c}\stackrel{}{a},\stackrel{}{c}\stackrel{}{b}$$, $$\stackrel{}{c}=\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}\text{sin}$$, (<(a, b)),.

причому а, b, с — права трійк.

Якщо $$a=\left\{a_x,a_y,a_z\right\}$$ і $$b=\left\{b_x,b_y,b_z\right\}$$, то $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}|$$, де.

i, j, k — одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.

7. Мішаний добуток $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}\stackrel{}{c}=\left(\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}\right)\stackrel{}{c}$$ являє собою об'єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с.

Якщо $$a=\left\{a_x,a_y,a_z\right\}$$, $$b=\left\{b_x,b_y,b_z\right\}$$, $$c=\left\{c_x,c_y,c_z\right\}$$, то.

$$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}\stackrel{}{c}=|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}|$$ .

VI. Аналітична геометрія в просторі.

1. Декартові прямокутні координати точки М (х, у, z) простору Охуz є:

x=rx, y=ry, z=rz, де r= $$\stackrel{->}{\text{OM}}$$ — радіус-вектор точки М.

2. Довжина та напрям вектора а={ax, ay, az} визначаються формулами: $$a=|a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$$ ;

cos /acos /acos /a,.

(cos2s2s2,.

де cos os os напрямні косинуси вектора а.

3. Відстань між двома точками M1(x1,y1,z1) i M2(x2,y2,z2):

$$d=|\stackrel{->}{M_1{M}_2}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$ .

4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A, B, C}що проходить через точку M0(x0,y0,z0) є Nr0)=0,…(1).

де r — радіус-вектор текучої точки площини M (x, y, z) і r0 — радіус-вектор точки М0.

В координатах рівняння (1) має вид:

А (х-х0)+В (у-у0)+С (z-z0)=0 або Ax+By+Cz+D=0 (2).

де D= -Ax0-By0-Cz0 (згальне рівняння площини).

5. Відстань від точки M1(x1,y1,z1) до площини (2) дорівнює:

$$d=\frac{|{\text{Ax}}_1+{\text{By}}_1+{\text{Cz}}_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$.

6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі:

r=r0+st (3).

де r{x, y, z} - текучий радіус-вектор прямоїr0{x0,y0,z0} - радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m, n, p} напрямний вектор прямої і t — параметр (—t<+/p>

В координатній формі рівняння прямої (3) має вигляд:

$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$ .

7. Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: $$\{\begin{array}{c}\text{Ax}+\text{By}+\text{Cz}+D=0\\ A^{\text{'}}x+B^{\text{'}}y+C^{\text{'}}z+D^{\text{'}}=0\end{array}$$ (4).

Напрямним вектором прямої (4) є S=Nде N={A, B, C}, N/p>

8. Рівняння сфери радіуса R з центром (x0,y0,z0):

$$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R^2$$ .

9. Рівняння трьохосьового еліпса з півосями a, b, c:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$ .

10. Рівняння параболоїда обертання навколо осі Оz:

x2+y2=2pz.

VII. Диференціальне числення функції.

декількох змінних.

1. Умова некперервності функції z=f (x, y):

$$\underset{\begin{array}{c}\mathit{}->0\\ \mathit{}->0\end{array}}{\text{lim}}\mathit{}=\underset{\begin{array}{c}\mathit{}->0\\ \mathit{}->0\end{array}}{\text{lim}}\left[f(x+\mathit{},y+\mathit{})-f(x,y)\right]=0$$ ,.

або $$\underset{\begin{array}{c}{x}_1->x\\ y_1->y\end{array}}{\text{lim}}f(x_1,y_1)=f(x,y)$$.

Аналогічно визначається неперервність функції f (x, y, z).

2. Частинні похідні функції z = f (x, y) по змінних х, у:

11. Визначник третього порядку:

$$=|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}|=a_1{A}_1+b_1{B}_1+c_1{C}_1,$$.

де $$A_1=|\begin{array}{cc}{b}_2& c_2\\ b_3& c_3\end{array}|-B_1=-|\begin{array}{cc}{a}_2& c_2\\ a_3& c_3\end{array}|-C_1=|\begin{array}{cc}{a}_2& b_2\\ a_3& b_3\end{array}|$$ — алгебраїчні.

доповнення відповідних елементів визначника.

12. Розв’язок системи $$\{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3\end{array}$$ визначається за формулою Крамера х=у==/div>

де $$=|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}|/=0-$$ $$\mathit{}=|\begin{array}{ccc}{d}_1& b_1& c_1\\ d_2& b_2& c_2\\ d_3& b_3& c_3\end{array}|,$$.

$$\mathit{}=|\begin{array}{ccc}{a}_1& d_1& c_1\\ a_2& d_2& c_2\\ a_3& d_3& c_3\end{array}|,$$ $$\mathit{}=|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& d_1\\ a_2& b_2& d_2\\ a_3& b_3& d_3\end{array}|$$ .

13. Розв’язок однорідної системи $$\{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=0\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=0\end{array}$$, якщо.

$$=|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}|=\mathrm{0,}$$ $$=|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}|/=\mathrm{0,}$$.

знаходяться з підсистеми: $$\{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=0\end{array}$$ .

.

.

.