Дослідження на збіжність числових рядів з додатними членами (за допомогою ознак Д"Аламбера і Коші) (реферат)

Реферат з математики Дослідження на збіжність числових рядів з додатними членами (за допомогою ознак Д’Аламбера і Коші).

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд $$1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{4}{3^3}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{n}{3^n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Розв’язання

Тут $$\begin{array}{cc}{a}_n=\frac{n}{3^{n-1}},& a_{n+1}\end{array}=\frac{n+1}{3^n}\text{.}$$.

Отже, $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{(n+1)3^{n+1}}{n{3}^n}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\left[\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]=\frac{1}{3}<1\text{.}$$ Даний ряд збігається.

Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{2^n}{n^3}\text{.}$$.

Розв’язання.

Маємо $$a_n=\frac{2^n}{n^3}\begin{array}{cc},& a_{n+1}\end{array}=\frac{2^{n+1}}{(n+1{)}^3}\text{.}$$.

$$l=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{2^{n+1}{n}^3}{2^n(n+1{)}^3}=2\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{n^3}{(n+1{)}^3}=2\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^3=2\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{\left(\frac{1}{1+1}\right)}^3=2\text{.}$$.

Оскільки l>1, то за ознакою Д’Аламбера ряд розбігається.

Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{5^n}{n!}$$ .

Розв’язання.

Маємо $$\begin{array}{cc}{a}_n=\frac{5^n}{n!},& a_{n+1}\end{array}=\frac{5^{n+1}}{(n+1)!}\text{.}$$.

$$l=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{5^{n+1}n!}{2^n(n+1)!}=5\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{n!}{(n+1)!}=5\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{n+1}=0\text{.}$$.

Тут l<1, отже ряд збігається.

Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд $$\frac{1}{3}+\frac{13}{36}+\frac{135}{369}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ .

Розв’язання.

Маємо $$\begin{array}{cc}{a}_n=\frac{135\text{.}\text{.}\text{.}(2n-1)}{369\text{.}\text{.}\text{.}3n},& a_{n+1}\end{array}=\frac{135\text{.}\text{.}\text{.}(2n-1)(2n+1)}{369\text{.}\text{.}\text{.}3n(3n+3)}\text{.}$$.

$$l=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{2n+1}{3n+3}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{2+\frac{1}{n}}{3+\frac{3}{n}}=\frac{2}{3}<1\text{.}$$ Ряд збігається.

Приклад 5. Дослідити на збіжність ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{n}{2^n}$$ .

Розв’язання.

Тут $$a^n=\frac{n}{2^n}$$, $$a_{n+1}=\frac{n+1}{2^{n+1}}$$. Тому.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{(n+1)2^n}{n{2}^{n+1}}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{n+1}{n2}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\frac{1}{2}\text{.}$$.

За ознакою Д’Аламбера даний ряд збігається.

Приклад 6. Дослідити на збіжність ряд.

$$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{n!}{n^n}=\frac{1!}{1^1}+\frac{2!}{2^2}+\frac{3!}{3^3}+\text{.}\text{.}\text{.}=\frac{1}{1}+\frac{12}{2^2}+\frac{123}{3^3}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ .

Розв’язання.

Тут $$a_n=\frac{n!}{n^n}$$. Отже,.

$$a=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{(n+1)!n^n}{(n+1{)}^{n+1}!}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{(n+1)!n^n}{(n+1{)}^n(n+1)n!}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{n}{(n+1{)}^n}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}=\frac{1}{e}<1$$.

Ряд збіжний за ознакою Д’Аламбера.

Приклад 7. Дослідити на збіжність ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{\left(\frac{2n+1}{n+3}\right)}^{2n}$$ .

Розв’язання.

Знайдемо.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\sqrt[n]{a_n}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\sqrt[n]{{\left(\frac{2n+1}{n+3}\right)}^{2n}}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{\left(\frac{2n+1}{n+1}\right)}^2={\left(\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{2n+1}{n+3}\right)}^2={\left(\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}\right)}^2=2^2=4>1$$ .

Отже, ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{\left(\frac{2n+1}{n+3}\right)}^{2n}$$ — розбіжний.

Приклад 8. Довести, що $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{{\text{10}}^n}{n!}=0$$ .

Розв’язання.

Розглянемо ряд з п-м членом $$a_n=\frac{{\text{10}}^n}{n!}$$, тобто ряд $$\frac{\text{10}}{1!}+\frac{{\text{10}}^2}{2!}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{{\text{10}}^n}{n!}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ .

Оскільки $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\left(\frac{{\text{10}}^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{:}\frac{{\text{10}}^n}{n!}\right)=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{\text{10}}{n+1}=0<\mathrm{1,}$$.

за ознакою Д’Аламбера $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l<1$$ — розглянутий ряд збіжний. Отже, на підставі необхідної умови збіжності ряду маємо $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{a}_n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{{\text{10}}^n}{n!}=0\text{.}$$.

Приклад 9. Дослідити на збіжність ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{3^{n}n!}{n^n}\text{.}$$.

Розв’язання.

Використаємо ознаку Д’Аламбера:

$$\begin{array}{c}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\left(\frac{3^{n+1}(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}\mathrm{:}\frac{3^{n}n!}{n^n}\right)=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{3(n+1)n^n}{(n+1{)}^{n+1}}=3\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{n^n}{(n+1{)}^n}=3\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n=\\ 3\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}=\frac{3}{e}>1\end{array}$$.

Оскільки $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$$, то даний ряд розбігається.

Приклад 10. Дослідити на збіжність ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{2^n+1}{3^n+1}\text{.}$$.

Розв’язання.

Застосуємо до даного ряду ознаку Д’Аламбера:

$$l=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{2^{n+1}+1}{3^{n+1}+1}\frac{3^n+1}{2^n+1}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1+\frac{1}{3^n}}{3+\frac{1}{3^n}}\frac{2+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{1}{2^n}}=\frac{2}{3}<\mathrm{1,}$$.

тобто даний ряд є збіжним.

До даного ряду можна застосувати також ознаку Коші. Оскільки.

$$a_n=\frac{2^n+1}{3^n+1}=\frac{2^n}{3^n}\frac{1+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{1}{3^n}},$$ то $$\sqrt[n]{a_n}=\frac{2}{3}\sqrt[n]{\frac{1+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{1}{3^n}}}=\frac{2}{3}<\mathrm{1,}n->\mathrm{}\text{.}$$.

Отже, за ознакою Коші ряд збігається.

Зауваження. Ознаку Д’Аламбера доцільно застосувати до рядів, загальні члени яких містять показникові вирази, добутки або факторіали. Ознакою Коші зручно користуватися при дослідженні рядів, загальні члени яких містять показникові вирази.

Приклад 11. Дослідити на збіжність ряд $$\frac{1}{\text{ln}2}+\frac{1}{{\text{ln}}^{2}3}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{{\text{ln}}^n(n+1)}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ за допомогою ознаки Коші.

Розв’язання.

Знаходимо: $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\sqrt[n]{\frac{1}{{\text{ln}}^n(n+1)}}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{\text{ln}(n+1)}=0<1\text{.}$$.

Тоді за ознакою Коші заданий ряд розбіжний.

Приклад 12. Дослідити на збіжність ряди, користуючись ознакою Коші:

$$\begin{array}{ccc}a)\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{\left(\text{sin}\frac{3}{n}\right)}^n-& б)\underset{т=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n^2}-& в)\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{\left(\frac{2n}{3n+1}\right)}^{5n}\end{array}\text{.}$$.

Розв’язання.

а). Маємо Ряд збіжний.

б). $$l=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\sqrt[n]{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n^2}}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e>1\text{.}$$ Ряд збіжний.

в). Ряд збіжний.

Приклад 13. Дослідити на збіжність ряд $$\frac{1}{1^{}}+\frac{1}{2^{}}+\frac{1}{3^{}}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{n^{}}+\text{.}\text{.}\text{.},$$ (1).

Розв’язання.

Якщо $$-\mathrm{}<<0$$, то для п-го члена цього ряду $$a_n=\frac{1}{n^{}}$$ маємо $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{a}_n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{n^{}}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{n}^{-}\text{=+}\mathrm{}\text{.}$$ Вихідний ряд при цьому розбіжний, бо $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{a}_n/=0\text{.}$$.

Якщо $$0<=<0$$ то $$\frac{1}{n^{}}>=\frac{1}{n},n=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}$$. Оскільки гармонічний ряд розбіжний, за першою порівняльною ознакою розбіжним є ряд $$\frac{1}{1^{}}+\frac{1}{2^{}}+\frac{1}{3^{}}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{n^{}}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Розглянемо тепер випадок $$1<\text{<+}\mathrm{}$$. Тут застосування ознак Коші та Д’Аламбера не приводить до мети, оскільки відповідні границі $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\sqrt[n]{a_n}=l$$ і $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l$$ дорівнюють одиниці. Застосуємо інтегральну ознаку Коші. Функція f (х), що задовольняє умові інтегральної ознаки Коші, вибирається тут легко:

$$f(x)=\frac{1}{x^{}}\begin{array}{cc},& x\left[1-+\mathrm{}\right]\end{array}$$ .

Якщо ж $$1<\text{<+}\mathrm{}$$, то.

$$\begin{array}{c}\frac{x^{1-}}{1-}\\ \underset{1}{\overset{+\mathrm{}}{}}f(x)\text{dx}=\underset{b->\mathrm{}}{\text{lim}}\underset{1}{\overset{b}{}}\frac{\text{dx}}{x^{}}=\underset{b->\mathrm{}}{\text{lim}}\left(\begin{array}{c}|b\\ |1\end{array}\right)=\frac{1}{1-},\end{array}$$.

тобто невласний інтеграл $$\underset{1}{\overset{+\mathrm{}}{}}\frac{\text{dx}}{x^{}}$$ збігається. За інтегральною ознакою Коші збіжним є також ряд (1).

Таким чином ряд (1) збіжний, якщо $$>1$$, і розбіжний, якщо $$<=1$$ .

Приклад 14. Дослідити на збіжність ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{1}{(n+1){\text{ln}}^3(n+1)}\text{.}$$.

Розв’язання.

Функція $$(x)=\frac{1}{(x+1){\text{ln}}^3(x+1)}$$

при.

$$x>=1$$

додатна, неперервна і монотонно спадає. Тому, досліджуючи ряд на збіжність, можна використати інтегральну ознаку збіжності Коші. Маємо.

.

$$\begin{array}{c}\underset{1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{\text{dx}}{(x+1){\text{ln}}^3(x+1)}=\underset{1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{d\text{ln}(x+1)}{{\text{ln}}^3(x+1)}=-\underset{b->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{2{\text{ln}}^2(x+1)}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{c}|b\\ |1\end{array}=\end{array}\\ =\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\left(\frac{1}{2{\text{ln}}^2(b+1)}-\frac{1}{2{\text{ln}}^{2}2}\right)=\mathrm{0,5}{\text{ln}}^{2}2\text{.}\end{array}$$.

Оскільки невласний інтеграл збігається, то даний ряд також збігається.

Відповідь. Ряд збігається.