Застосування формули Тейлора

ЗМІСТ ВСТУП

1. ЖИТТЯ ВЕЛИКОГО МАТЕМАТИКА

2. МНОГОЧЛЕН ТЕЙЛОРА

3. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

3.1 Тейлорова формула із залишковим членом у формі Пеано

3.2 Тейлорова формула із залишковим членом у Лагранжовій формі

3.3 Тейлорова формула для многочлена

3.4 Тейлорова формула в диференціальній формі

3.5 Формула Тейлора із залишковим членом в інтегральній формі

4. РОЗВИНЕННЯ ДЕЯКИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ ЗА ФОРМУЛОЮ ТЕЙЛОРА

4.1 Формула f (x) = ex

4.2 Функція f (x) = sin x

4.3Функція f (x) = cos x

4.4 Логарифмічна функція f (x)=ln (1+х)

4.5 Степенева функція f (x)=(1+x)б

5. ЗАСТОСУВАННЯ ФОРМУЛИ ТЕЙЛОРА ВИСНОВОК СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ДОДАТКИ

ВСТУП Математичний аналіз один з найважливіших розділів математики, він включає дві основні частини: диференціальне і інтегральне числення. Математичний аналіз виник приблизно в XVIII столітті.

Розділ математичного аналізу, в якому вивчається похідні і диференціали функції і і застосування до дослідження функцій, називається диференціальним численням. Оформлення цього розділу в окрему дисципліну пов’язаний з іменами І. Ньютона і Г. Лейбніца. Вони сформулювали основні положення диференціального числення і чітко вказали на взаємно обернений характер операції диференціювання і інтеграції. Створення цього розділу відкрило нову епоху в розвитку математики.

Диференціальне числення відіграє величезну роль в математичному аналізі. Тому так поважно вивчити формули диференціального числення.

Метою даної роботи є вивчення можливостей практичного вживання формули Тейлора.

Завдання: вивести Тейлорову формулу—потужний математичний інструмент дослідження функцій, обчислення границі і наближеного обчислення значень функцій, навчитися застосовувати на практиці, а також розглянути приклади розкладання елементарних функцій по формулі.

Об'єкт: дослідження функцій і кривих ліній.

Предмет: застосування формули Тейлора.

1. ЖИТТЯ ВЕЛИКОГО МАТЕМАТИКА Брук Тейлор (англійський математик) народився 18 серпня 1685р. у селі Едмонтон в графстві Мідлсекс, у восьми милях від Лондона. Його дід користувався увагою з боку Кромвеля, батько був шталмейстером. Хлопчик отримав прекрасне виховання, загальне, а також художнє і музичне .

У 1701 році, коли Тейлору виповнилося 15 років, він поступив в Кембріджський університет, в коледж Сент-Джон. Якраз в цей час Ньютон остаточно розлучився з Кембриджем, але, звичайно, залишався кумиром молодих математиків. До них приєднався з самої своєї появи в Кембріджі і молодій Брук Тейлор.

У 1709 році Тейлор отримав ступінь бакалавра, а в 1714 році ступінь доктора права. Незалежно від цього він вивчав математику.

До 1712 року в його активі числиться вже два мемуари: «Про центр коливань» і «Про підйом води між двома площинами». Статті Тейлора були визнані настільки цінними, що в тому ж році його обрали членом Королівського суспільства.

У 1714р. Тейлор представив cуспільству рукопис своєї книги «Метод приростів пряма і обернена». У 1716 р. Тейлор зробив поїздку до Парижа. Увага з боку вчених, знаки пошани, цікаві знайомства в Парижі — все це справило гарне враження на Тейлора. Але рокова «хвороба століття» —перехід від природних наук до теології і містики оволоділа і Тейлором. У 1718 р. він йде з посади секретаря Королівського суспільства, щоб звільнити час для філософської роботи.

У 1721р. Тейлор одружувався, що викликало розрив з батьком. Щастя, куплене такою дорогою ціною, виявилося неміцним. У 1723р. Тейлор втрачає дружину і дитину. У 1725р. він знову одружується — вже при повному схваленні батька. Але щастя і цього разу не прийшло до Тейлора: у 1730 р. дружина померла при пологах. Правда залишилася дівчинка, але Тейлор був безутішний в своєму горі. Його здоров’я різко погіршувалося і більше не відновлювалося.

29 грудня 1731р. він помер і був похоронений в Лондоні.

Досягнення в математиці:

Відомий тим, що його ім'ям названа загальна формула розкладання функції в степеневий ряд. Тейлор започаткував математичне вивчення задачі про коливання струни. Йому належать заслуги в розробці теорії кінцевих різниць. Тейлор також автор робіт про перспективу, центр гойдання, взаємодію магнітів, капілярності, зчеплення між рідинами і твердими тілами [посилання 1].

2. МНОГОЧЛЕН ТЕЙЛОРА Відомо, що найбільш простими функціями в сенсі обчислення є многочлени. Виникає питання про можливість заміни функції f в околі точки x0 многочленом певної міри.

З визначення диференціювання функції f в точці x0 випливає, що якщо

y = f (x) диференційована в точці x 0, то її приріст можна представити у вигляді

?f (x 0)= f ?(x 0) ?x + о (x),

f (x)=f (x 0)+f ?(x 0)(xx 0)+о (xx 0).

Іншими словами існує многочлен першого ступеня

P1(x)=f (x0)+b1 (x-x0), (1)

такий що при x > x0

f (x)=P1(x)+о (x-x0),

причому P1(x) задовольняє такі умови: P1(x0)=f (x0), P?(x0)=b1=f ?(x0).

Поставимо більш загальну задачу. Нехай функція, визначена в деякій околі точки x0 має в цій точці n похідних f ?(x0), f ?? (x 0), f ???(x 0)… f (n)(x 0).

Потрібно з’ясувати, чи існує многочлен Pn (x) ступеня не вище n такий, що

f (x) = Pn (x)+ o (x — x0)

Знайдемо многочлен ступеня не вище n (запис якого аналогічна (1))

Pn (x) = b0 + b1 (x — x 0) + b2 (x — x0)2 + … + bn (x — x0) n, (2)

за умови, що значення многочлена Pn (x) і всіх його похідних до n-го порядку включно в точці x0 збігаються зі значеннями функції f (x) та її відповідних похідних в тій же точці:

f (x0)=Pn (x0), f ?(x0)=Pn (x0), …, f (n)(x0)=Pn (n)(x0). (3)

Визначимо коефіцієнти b0, b1, …, bn, так щоб вони задовольняли умови (3). Для цього попередньо обчислимо похідні Pn (x):

Pn?(x)=b1+2b2(x-x0)+3b3(x-x0)2+…+nbn (x-x0)n-1

P n??(x)=2•1b2+3•2b3(x-x0)2+…+n (n-1)bn (x-x0)n-2 (4)

Pn?(x)=3•2b3+…+n (n-1)(n-2)bn (x-x0)n-3

…

P (n)(x)=n (n-1)(n-2) •••2•1b

Підставляючи в ліві частини рівностей (2) і (3) замість х значення x0 отримаємо значення всіх коефіцієнтів bi:

f (x0)=Pn (x0)=b0, b0=f (x0)

f ?(x0)=Pn?(x0)=b1, b1=f ?(x0)

f ?(x0)=Pn?(x0)=2•1•b2, b2= f?(x0) (5)

f?(x0)=Pn?(x0)=3•2•1•b3, b3=f?(x0)

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

f (n)(x0)=Pn (n)(x0)=n!bn, bn= f (n)(x0)

Факторіалом числа n називається добуток послідовних натуральних чисел, починаючи з 1 до n включно 1•2•3•… •(n-1)n і позначається

n≠1•2•3•… •(n-1)n.

Зауваження! За домовленістю 0≠1.

Тепер можемо підставити отримані значення коефіцієнтів у рівність (2), і отримаємо многочлен виду

Pn (x) = f (x0) + (x-x0)+ (x-x0)2 +…+ (x-x0)n,

який називається многочленом Тейлора за степенями (x-x0) функції f (x) [посилання 2].

3. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Позначимо через Rn (x) різницю значень даної функції f (x) і побудованого многочлена Pn (x): Rn (x)=f (x) — Pn (x) (додаток 1).

Звідси f (x)= Rn (x)+Pn (x), а в більш розгорнутій формі має вигляд:

Pn (x) = f (x0) + (xx0)+(x-x0)2 +…+(x-x0)n + Rn (x) (6)

Функція (6) називається формулою Тейлора, а Rn (x) називається залишковим членом формули Тейлора [посилання 3].

Залишковий член формули Тейлора Rn (x) визначає похибку наближення функції f (x) її многочленом Рп (х).

Якщо вважати, що залишок Rn (x) малий, то його можна відкинути без великої погрішності; при цьому виходить наближена формула

Pn (x)? f (x0) + (x-x0) + (x-x0)2 +…+ (x-x0)n,

яка дає можливість для наближеного знаходження значень функцій f (x).

3.1 Тейлорова формула із залишковим членом у формі Пеано Доведемо, що

Rn (x)=o (x-x0)п — = 0.

Згідно з визначенням многочлена P n (x) випливає, що

Rn (x0) = Rn? (x0) = Rn?(x0) =…= Rn (n)(x0) = 0.

Для обчислення границі застосуємо правило Лопіталя n разів і отримаємо:

= =…= =

== 0

тобто Rn (x) = o (x-x0)n при x>x0, оскільки Rn (x) — величина вищого порядку, чим (х — х0) п .¦ Таким чином доведена теорема.

Теорема 1.

Якщо функція y=f (x) означена на інтервалі (a, b) і п разів диференційована в околі точки х0, то правдива формула

f (x) = f (x0) + (x-x0) + (x-x0)2 +…+ (x-x0) n +o (x-x0)n

або можемо записати у скороченій формі

f (x) = (x-x0) k+ o (x-x0)n, x>x0, (7)

де Rn (x) = o (x-x0)n —залишковий член у формулі Пеано [посилання 4].

Формула із залишковим членом у формі Пеано носить локальний характер і тому її праву частину називають асимптотичним представленням функції f в околі точки x0. Цю формулу можна використовувати для наближених обчислень значень функції f в точках, наближених до точки x0, оскільки відомий порядок погрішності Rn (x) .

Відзначимо також, що формула (7) вельми ефективна при відшуканні меж функцій.

Якщо в Тейлоровій формулі покласти х0=0, дістанемо її окремий випадок — формулу Тейлора — Маклорена, яка є асимптотичним представленням функції f в околі 0.

f (x) = f (0) + x + x 2 +…+ x n + o (x)n

f (x) = xk + o (xn). (8)

Ми отримали так звану формулу Маклорена із залишковим членом у формі Лагранжа.

Слід зазначити, що при розкладанні функції в ряд, вживання формули Маклорена переважає, чим вживання безпосередньо формули Тейлора, оскільки обчислення значень похідних в нулі простіше, ніж в якій-небудь іншій точці, звичайно, за умови, що ці похідні існують.

3.2.Тейлорова формула із залишковим членом у Лагранжовій формі

Існують різні форми запису залишкового члена Rn (x) Тейлорової формули. У наближених обчисленнях зручною є Лагранжова форма залишкового члену.

Теорема 2.

Якщо функція y = f (x) означена й (n+1) разів диференційована в околі точки х0, то виконується формула

f (x) = f (x0) + (x-x0) + (x-x0)2 +…+ (x-x0) n+ Rn (x),

де Rn (x) =(x-x0)n+1—залишковий член у Лагранжовій формі.

Доведення теореми 2 див. (додаток 2).

3.3 Тейлорова формула для многочлена Нехай задано многочлен

Pn (x)=b0+b1x+…+bnxn.

Для будь-якого х0 цей многочлен можна зобразити як суму степенів різниці

х-х0, узятих з деякими коефіцієнтами. Покладемо х=х0+t

Тоді Pn (x)=Pn (x 0+t)=b0+b1(x0+t)+…+bn (x0+t)n.

Розкриваючи у правій частині дужки і групуючи подібні члени, одержимо

Pn (x)=A0+A1t+A2t2+…+Antn

Pn (x)=A0+A1(x-x0)+A2(x-x0)2+…+An (x-x0)n.

Вираз справа — буде Тейлоровим многочленом за степенями (х-х0) для многочлена Pn (x) степеня п. Отже,

Ak =, k = 0, n; Rn (x) = 0;

Pn (x) = Pn (x0) + (x-x0) + (x-x0)2 +…+ (x-x0)n.

3.4 Тейлорова формула в диференціальній формі

Покладаючи х — х0 =? х, х = х0 +? х у Тейлоровій формулі

f (x) = f (x0) + (x-x0) + (x-x0)2 +…+ (x-x0) n+ Rn (x),

f (x0 +?х) = f (x0) + ?х + ?х 2 +…+ ?х n+ Rn (x).

Оскільки

f (x0 +?х) — f (x0)=? f (x0),

f (n) (x0) ?xn =dn f (x0),

то Тейлорову формулу п-го порядку функції f можна записати у диференціальній формі

?f (x0)=df (x0) + + +.. .+ + Rn (x).

3.5 Формула Тейлора із залишковим членом в інтегральній формі

Теорема 3.

Нехай функція f має безперервну похідну (п+1)-го порядку в інтервалі

(х0-h, x0+h), де h>0. Тоді залишковий член Rn для x є (x0-h, x0+h) може бути записаним в вигляді:

Rn (x)= (9)

Формула (9) називається залишковим членом формули Тейлора в інтегральній формі.

Доведення теореми 3 див. (додаток 3).

4. РОЗВИНЕННЯ ДЕЯКИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ ЗА ФОРМУЛОЙ ТЕЙЛОРА Вживання формули Тейлора для розкладання функцій в степеневий ряд широко використовується і має величезне значення при проведенні різних математичних розрахунків. Безпосереднє обчислення інтегралів деяких функцій може бути зв’язане із значними труднощами, а заміна функції степеневим рядом дозволяє значно спростити завдання. Знаходження значень тригонометричних, зворотних тригонометричних, логарифмічних функцій також може бути зведене до знаходження значень відповідних многочленів.

Якщо при розкладанні в ряд взяти достатню кількість доданків, то значення функції може бути знайдене з будь-якою наперед заданою точністю. Практично можна сказати, що для знаходження значення будь-якої функції з розумною мірою точності (передбачається, що точність, яка перевищує 10 — 20 знаків після десяткової коми, необхідна дуже рідко) достатньо 4−10 члени розкладання в ряд.

Знайдемо розклад за формулою Тейлора при х0=0 (точніше за формулою Маклорена) функцій ех, sin x, cos x, ln (1+x), (1+x)a [посилання 5].

4.1 Розвинення функції f (x) = ex

Функція f (x) = eх, що нескінченно диференційована на R. Знайдемо послідовні похідні від функції f (x) = eх :

f (x) = eх, f (0)=1,

f? ?(x) = eх f? ?(0) =1,

… …

f (n)(x) = eх f (n)(0) =1,

f (n+1)(x) = eх f (n+1)(?x) =e?x,

Підставляючи одержані значення f (0), f? ?(0),…, f (n)(0), f (n+1)(?x)у формулу Тейлора-Маклорена із залишковим членом у Лагранжовій формі, дістаємо

ex=1+x+

Rn (x)=

де 0

Зауважимо, що для будь-якого х:

.

4.2 Розвинення функції f (x) = sin x.

Функція f (x) = sin x нескінченно диференційована на R. Знайдемо послідовні похідні від f (x) = sin x:

а потім цикл знову повторяється. Тому при підстановці х0 = 0 також виникає повторення:

f (x) = sin x, f (0)=0,

f? ?(x) = cos x=sin (x+), f? ?(0) =1,

f? (x)= -sin x= sin (x+2), f? (x)=0,

f ?(x)= -cos x=sin (x+3), f ?(x)=-1,

… …

f (n)(x) = sin (x+ f (n)(0) =sin ,

f (n+1)(x) = sin (x+(n+1)), f (n+1)(?x)=sin (?x+(n+1) Отже,

У Тейлоровому многочлені для sin x рівні нулеві коефіцієнти при парних степенях х, так що многочлен степеня (2п+1) та степеня (2п) збігаються.

Підставляючи знайдені значення похідних у формулу Тейлора-Маклорена, дістаємо

sin x = x — + + + …+ (-1)2 k-1 R2k-1 (x),

R2k+1(x)=

У цьому випадку, як і в попередньому, при усіх значеннях х:

.

4.3 Розвинення функції f (x) = cos x

Оскільки (cos x)(n) = cos (x+n), то

f (m)(0)=cos =

R2k+2=

4.4 Розвинення функції f (x)=ln (1+ x)

Функція f (x)=ln (1+x) означена і нескінченно диференційована в інтервалі (-1;+?). Знайдімо послідовні похідні цієї функції

f (x)=ln (1+x), f (0)=0,

f ?(x) =, f ?(0)=1,

f ?(x) =, f ?(0)= -1,

f ?(x)= f ?(0)= 2 1,

… …

f (n)(x) = f (n)(0) =

f (n+1)(x)=, f (n+1)(x)=,

Підставляючи обчислені значення у формулі Тейлора-Маклорена, дістаємо розвинення ln (1+x)за формулою Тейлора-Маклорена із залишковим членом у Лагранжовій формі:

ln (1+x) = x,

Rn (x)=

4.5 Розвинення функції f (x)=(1+x)б Функція f (x)=(1+x)б, б? R, означена і нескінченно диференційована в інтервалі (-1;1). Знайдемо послідовно похідні від функції f (x)=(1+x)б.

f (x)=(1+x)б,

f ?(x)=

f ?(x)=

f ?(x)=

…

f (n)(x)=

f (n+1)(x) =,

f (0)=1,

f ?(0)=б ,

f ?(0)=б (б-1),

f ?(0)= б (б-1)(б-2),

…

f (n)(0)= б (б-1)…(б-n+1),

f (n+1)(?x)= б (б-1)…(б-n)(1+ ?x)б-n-1

Підставляючи знайдені значення функції та її похідні у формулу Тейлора-Маклорена, дістаємо:

(1+x)a=1+бx + x2 +…+

Rn (x)=

Якщо б=m?N, то всі члени формули Тейлора-Маклорена, починаючи з

(т+1)-го зникають, і формула Тейлора-Маклорена перетворюється на відому формулу Ньютонового бінома.

5. ЗАСТОСУВАННЯ ФОРМУЛИ ТЕЙЛОРА

1. Формули Тейлора—Маклорена із залишковим членом у формі Пеано є джерелом асимптотичних формул.

Приміром, для функції f (x) = ex маємо:

ex = 1+ x +o (x),

ex = 1+ + o (x2),

ex = 1+ + o (x3).

Використаємо ці формули до обчислення границі:

=

2. Формулу Тейлора за степенями (х — х0) із залишковим членом у формі Лагранжа застосовують для обчислення наближених значень функції в околі U (x0)х[посилання 6].

Значення f (x) в околі U (x0) обчислюють за формулою

f (x)? f (x0) + (x-x0) + (x-x0)2 +…+ (x-x0)n

похибка наближення не перевищує

ВИСНОВОК В даній роботі розглянуто формулу Тейлора. Ми за допомогою різних функції вивели формулу Тейлора, як потужного математичного інструменту дослідження функцій, обчислення границь і наближеного значення функції. А також всі її залишкові члени, за допомогою яких можемо розкладати елементарні функції, наприклад, ех, sin x, cos x, ln (1+x), (1+x)a. Для чого нам не потрібно знаходити 10−20 знаків після коми, а достатньо лише 4−10 членів розкладання в ряд. Також підтверджено, що такими формулами можливо і зручно користуватися практично (для учнів шкіл та вищих навчальних закладів) у розрахунках, що не вимагають дуже високої точності.

А також в цій роботі наведенні приклади, які розв’язуються за допомогою елементарних функцій.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ формула тейлор многочлен

1. Бугров Я. С., Никольский С. М.; Высшая математика: Учеб. для вузов: В 3 т. / под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — Т. 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. — 512 c.

2. Електронний ресурс: Біографія Тейлора: http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Math/tteilor.htm

3. Електронний ресурс: «Формула Тейлора»: http://matica.org.ua/kratkiy-kurs-lektsiy-po-differentsialnomu-ischisleniiu/5−3-formula-teylora

4. Електронний ресурс: «Остаток в формуле Тейлора и его оценка»: http://webmath.exponenta.ru/s/kiselev1/node58.htm

5. О.І.Соколенко. Вища математика: підручник — Київ: Видавничий центр «Академія», 2003.—430с.

6. Шкіль М.І. Математичний аналіз: В 2ч.—К.:Вища шк. Головне вид-во, 1981.—Ч.2—455с.

ДОДАТОК 1.

у х

Як видно з малюнка Rп (x) має погрішність, що виникає при заміні функції

у = f (x) многочленом Pп (x). Для значень х з околу точки x0, для яких погрішність Rп (x) досить мала, многочлен Pп (x) дає наближене представлення функції.

ДОДАТОК 2.

Доведення теореми 2.

Вимагатимемо, щоб функція f мала похідну (n+1) -го порядку в околі точки x0. Розгляньмо функцію g (x)=(x — x0) n+1. Очевидно, що

g (x0) = g?(x0) = …= g (n)(x0) = 0,

g (n+1)(x0) = (n+1)!? 0.

Застосуймо до функції Rn (x) та g (x) = (x — x0) n+1 теорему Коші. Тоді на підставі умови

R?n (x0) = R? n (x0) = …= Rn (n)(x0) = 0

=

де c1? (x0, x); c2? (x0, c1), …, cn? (x0, cn-1); о? (x0, cn).

Отже, показано, що

о? (x0, х).

З урахуванням того, що

g (x) = (x — x0) n+1 ,

g (n+1) (о) = (n+!)!,

Rn (n)(о) = f (n+1) (о),

дістаємо залишковий член у Лагранжовій формі

Rn (x) = (x — x0) n+1, о? (x0, х).

Оскілки о? (x0, х), то о можна зобразити у вигляді

о = x0 + (x — x0), 0< < 1,

тобто залишковий член у Лагранжовій формі можна записати у вигляді

Rn (x) = (x — x0) n+1.

ДОДАТОК 3.

Доведення теореми 3.

Так як f (x) — f (x0) =

то, інтегруючи за частинами, отримаємо

f (x) — f (x0) = —f (t) (x-t)|xx0 + =

= f ?(x0)(x-x0) +

Нехай для деякого m? n вже доведено, що

f (x) — f (x0)= (x-x0)k + (9)

Інтегруючи за частинами останній доданок, бачимо, що

= — =

= — |xx0 +

= (x — x0) m + .

Підставляючи цей вираз в (9), отримуємо ту ж саму формулу з заміною m на m+1. Таким чином, формула (9) доведена по індукції для всіх m? n. При т=п вона приводиться до співвідношення (8).