Геометрія Лобачевського

Реферат.

З геометрії.

На тему:

" Геомтрія Лобачевського «.

Виконав.

Учень 10-А класу.

Середньої школи № 96.

Коркуна Дмитро.

Львів 2000.

Нехай тепер АОВ — деякий гострий кут. (рис1) У геометрії Лобачевського можна вибрати таку точку М на стороні ВВ, що перпендикуляр MQ до сторони ВВ не перетинається із другою стороною кута. Цей факт як раз підтверджує, що не виконується п «яте правило: сума кутів (й (є менше розгорнутого кута, але й прямі ОА й MQ не перетинаються. Якщо почати зближувати точку М до Про, то найдеться така «критична «точка М0, що перпендикуляр M0Q0 до сторони OB поки що не перетинається зі стороною ОА, але й для любої точки М`, котра лежить між Про й М0, відповідаючий перпендикуляр М`Q` перетинається зі стороною ОА. Прямі ОА й M0Q0 все понад приближаються одна до одної, але й спільних точок не мають. На мал.2 ці прямі зображено окремо; а саме такі необмежено наближаються одна до одної прямі Лобачевський в своїй геометрії називає паралельними. А два перпендикуляра до одної прямої, котрі необмежено віддаляються один від одного, як на малюнку Лобачевський називає прямими, котрі розходяться. Виявляється, що цим й обмежуються усі можливості розміщення двох прямих на площині Лобачевського: дві неспівпадаючі прямі, котрі чи перетинаються в одній точці, чи паралельні, чи можуть бути такими, що розходяться (в цьому випадку смердоті мають Єдиний спільний перпендикуляр).

На рис. 3 перпендикуляр МQ до сторони ВВ кута АОВ не перетинається зі стороною ОА, а прямі ВВ`, М`Q` симетричні прямим ВВ й MQ відносно ОА. Далі |ОА| = |MB|, так як MQ — перпендикуляр до відрізка ВВ` в його середині й аналогічно M`Q` - перпендикуляр до відрізка ВВ` в його середині. Ці перпендикуляри не перетинаються, тому не існує точки, однаково віддаленої від точок О, В, В`, отже трикутник ОВВ` не має описаного кола.

На рис. 4 зображено цікавий варіант розташування трьох прямих на площині Лобачевського: кожні дві з них паралельні, лише в різних напрямках. На рис. 5 усі прямі паралельні один на одному напрямі (пучок паралельних прямих). Лінія позначена пунктиром на див. мал.5 «перпендикулярна «усім проведеним прямим (тобто дотична до цієї лінії в любій її точці М перпендикулярна прямій, Яка проходити через М.). Ця лінія називається граничною кола, чи орициклом. Прямі розглянутого пучка аби є її «радіусами », а центр граничної кола лежить в нескінченності, оскільки «радіуси «паралельні. На тому годину гранична кола не являється прямою лінією, вона «викривлена ». І інші властивості, котрі в евклідовій геометрії має пряма, в геометрії Лобачевського виявляються властивими іншим лініям. Наприклад, із множини точок, котрі знаходяться на одній стороні від даної прямої на даній відстані від неї, в геометрії Лобачевського являють собою криву лінію, котра називається єквидистантою.

Ми коротко торкнулися деяких факторів геометрії Лобачевського, не згадуючи багатьох інших цікавих й змістовних теорем (наприклад, довжина кола й площа кола тут зростає в залежності від радіуса по показниковому закону). Виникає переконання, що ця теорія багата дуже цікавими й змістовними фактам, на самом деле не суперечлива. Алі це переконання (яку було б у всіх трьох творців неєвклідової геометрії) не замінює доведення несуперечливості.

Щоб дістати таке доведення, треба побудувати модель. І Лобачевський це добро розумів й намагався її знайти.

Алі сам Лобачевський уже не зміг цого зробити. Побудова такої моделі (доведення несупечливості геометрії Лобачевського) випало частку математиків наступного покоління.

У 1868 р. італійській математик Є. Бельтрамі дослідив зігнуту поверхність, котра називалась псевдосферою, й довів, що на цій поверховості діє геометрія Лобачевського! Якщо на цій лінії намалювати найкоротші лінії («геодезичні «) й вимірювати по цим лініям відстані, складати із дуг цих ліній трикутники тощо, то вияявляється, що в точності реалізуються усі формули геометрії Лобачевського (зокрема сума кутів будь-якого трикутника дорівнює менше 1800). Щоправда, на псевдосфері реалізується не вся площина Лобачевського.

Клейн бере деякий коло До і розглядає такі проективні перетворення площини, котрі відображають коло До у собі. «Площину «Клейн називає внутрішність кола До, а вказані проективні перетворення вважає «рухом «цієї «площини ». Далі кожну хорду кола До (без кінців оскільки беруться лише внутрішні точки кола) Клейн вважає «прямою ». Ос-кільки, «рух «являє собою проективні перетворення, «прямі «при цих рухах переходять в «прямі «. Тепер в цій «площині «можна роздивлятися відрізки, трикутники тощо. Дві фігури називаються рівними, якщо кожна із них може бути перетворена в іншу деяким «рухом ». Так саме введені усі поняття, котрі згадуються в аксіомах в цій моделі. Наприклад, очевидно, що через будь-які дві точки А, У проходити єдина пряма. Також, можна прослідкувати, що через точку, А лежить на прямій (, проходити нескінченно багато прямих, котрі не перетинають (. Пізніша перевірка показує, що в моделі Клейна виконуються і усі інші аксіоми геометрії Лобачевського. Частково для будь-якої прямої l існує «рух » ., перетворюючи її в другу пряму l` із віміченою точкою А`. Це дозволяє перевірити виконання всіх аксіом геометрії Лобачевського.

———————————;

[pic].

[pic].