Рівняння та нерівності в основній школі

http://www.аllbеst.ru/

Рівняння та нерівності в основній школі

Зміст

• Вступ
• Розділ 1. Аналіз програми вивчення рівнянь та нерівностей в основній школі
• Розділ 2. Теоретичні основи дослідження
• 2.1 Основні поняття рівнянь та нерівностей
• 2.2 Основні методи розв’язування лінійних рівнянь та нерівностей
• 2.3 Основні методи розв’язування квадратних рівнянь та нерівностей
• Розділ 3. Методика розв’язування рівнянь та нерівностей в основній школі
• 3.1 Методика розв’язування лінійних рівнянь та нерівностей
• 3.2 Методика розв’язування квадратних рівнянь та нерівностей
• 3.3 Методика розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних
• Висновок
• Список використаної літератури
• Додаток А. Самостійна робота на тему: Квадратні рівняння
• Додаток В. Контрольна робота по темі: Лінійні рівняння
• Додаток С. План-конспект на тему: Теорема Вієта. Розв’язування вправ

Вступ

" Мені доводиться розподілять свій час між політикою і рівняннями. Але рівняння, на мою думку, набагато важливіші" . (А. Ейнштейн)

Рівняння в шкільному курсі алгебри займають провідне місце. На їх вивчення відводиться часу більше, ніж на будь-яку іншу тему шкільного курсу математики. Сила теорії рівнянь в тому, що вона не тільки має теоретичне значення для пізнання природних законів, але і служить конкретним практичним цілям. Більшість задач по просторових формах і кількісних відносинах реального світу зводиться до розв’язування різних видів рівнянь. Навчившись їх розв’язувати, люди знаходять відповіді на різні питання з науки і техніки (транспорт, сільське господарство, промисловість, зв’язок і т.д.). Також для формування вміння розв’язувати рівняння велике значення має самостійна робота учня при навчанні розв’язування рівнянь. При вивченні будь-якої теми рівняння можуть бути використані як ефективний засіб закріплення, поглиблення, повторення і розширення теоретичних знань, для розвитку творчої математичної діяльності учнів.

Тема «Нерівності» займає важливе місце в курсі алгебри. Вона багата за змістом, за способами та прийомів розв’язування нерівностей, за можливостями її застосування при вивченні ряду інших тем шкільного курсу алгебри. Це пояснюється тим, що рівняння і нерівності широко використовуються в різних розділах математики, у вирішенні важливих прикладних задач.

Мета курсової роботи: розробка методичної системи навчання рівнянь та нерівностей в основній школі.

Завдання курсової роботи: розглянути теоретичні аспекти навчання рівнянь та нерівностей в 7−9 класах; проаналізувати програму вивчення рівнянь та нерівностей в основній школі; навести основні види рівнянь та нерівностей і методи їх розв’язування;

рівняння теорема нерівність школа

Об'єктом дослідження є методика навчання учнів розв’язуванню рівнянь та нерівностей в основній школі.

Предметом курсової роботи є різні способи розв’язування рівнянь та нерівностей.

Теоретичне і практичне значення даної роботи полягає у тому, що його висновки, основні положення та методичні рекомендації можуть бути використані вчителями школи при організації вивчення теми «Розв'язування рівнянь та нерівностей в основній школі» для підвищення якості знань школярів, активізації їх пізнавальної діяльності і студентам старших курсів при проведенні педагогічної практики.

Розділ 1. Аналіз програми вивчення рівнянь та нерівностей в основній школі

Курс математики основної школи логічно продовжує реалізацію завдань математичної освіти учнів, розпочату в початкових класах, розширюючи і доповнюючи ці завдання відповідно до вікових і пізнавальних можливостей школярів.

У 5 класі учень описує поняття рівняння, розв`язок рівняння; пояснює, що означає «розв`язати рівняння»; розв`язує вправи, що передбачають знаходження розв`язків рівнянь на основі залежностей між компонентами арифметичних дій.

Проблеми, які виникають при вивченні теми «Розв`язування рівнянь» у 5 класі - це невміння розв`язувати рівняння на кілька дій (у початкових класах їх застосовували для ознайомлення).

Можливе розв`язання проблеми — це вимагати від учнів заучування всіх правил розв`язування рівнянь на основі компонентів дій не обов’язково, оскільки в 6 класі вони ознайомляться з універсальним способом розв`язування рівнянь і вивчені раніше правила стануть непотрібними; проте обов’язковим для всіх учнів є знаходження невідомого доданка та множника.

Істотного розвитку набуває змістова лінія рівнянь та нерівностей. Відомості про рівняння доповнюються поняттям рівносильних рівнянь. Процес розв’язування рівняння трактується як послідовна заміна даного рівняння рівносильними йому рівняннями. На основі узагальнення відомостей про рівняння, здобутих у попередні роки, вводиться поняття лінійного рівняння з однією змінною. Курс передбачає вивчення лінійних рівнянь, квадратних рівнянь та рівнянь, які зводяться до лінійних або квадратних.

Значне місце відводиться застосуванню рівнянь до розв’язування різноманітних задач. Ця робота має пронизувати всі теми курсу. Важливе значення надається формуванню умінь застосовувати алгоритм розв’язування задачі за допомогою рівняння.

Елементарні відомості про числові нерівності доповнюються і розширюються за рахунок вивчення властивостей числових нерівностей, розгляду лінійних нерівностей з однією змінною та квадратних нерівностей та їх розв’язування.

У 7-му класі учні знайомляться із поняттям лінійного рівняння, а саме вивчають такі теми: «Лінійне рівняння з однією змінною», «Лінійне рівняння з двома змінними та його графік». На цьому етапі учні повинні вміти навести приклади рівнянь з однією та двома змінними; лінійних рівнянь з однією та двома змінними. Також учні повинні вміти пояснити поняття рівняння з однією та двома змінними; лінійних рівнянь з однією та двома змінними. На вивчення даної теми відводиться 9 годин.

У 8-му класі учні вивчають тему «Квадратні рівняння», яка включає в себе: Квадратні рівняння. Формулу коренів квадратного рівняння. Теорему Вієта та обернену до неї теорему. Квадратний тричлен. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних. Квадратне рівняння як математична модель текстової задачі. На вивчення даної теми відводиться 18 годин.

Учні повинні вміти наводити приклади квадратних рівнянь різних видів (повних, неповних, зведених), квадратних тричленів. Формулювати означення квадратного рівняння та квадратного тричлена; кореня квадратного тричлена; теорему Вієта та обернену до неї теорему. Після вивчення даної теми, учні повинні вміти записати формулу: коренів квадратного рівняння; розкладання квадратного тричлена на лінійні множники. Пояснюють способи розв’язування неповних квадратних рівнянь, доводять теорему Вієта.

На основі теоретичних знань учні розв’язують вправи, що передбачають: знаходження коренів квадратних рівнянь різних видів; застосування теореми Вієта і оберненої до неї теореми; розкладання квадратного тричлена на множники; знаходження коренів рівнянь, що зводяться до квадратних; складання і розв’язування квадратних рівнянь та рівнянь, що зводяться до них, як математичних моделей текстових задач.

Із поняттям нерівності учні більш детально знайомляться у 9-му класі. Зміст даної теми включає: Числові нерівності. Основні властивості числових нерівностей. Нерівності зі змінними. Лінійні нерівності з однією змінною.

Учні наводять приклади: числових нерівностей; нерівностей зі змінними; лінійних нерівностей з однією змінною; подвійних нерівностей.

Пояснюють зміст понять: а > b; а < b, а b, а b. Застосовують зазначені поняття для доведення нерівностей. Формулюють:

· властивості числових нерівностей; властивості нерівностей зі змінною;

· означення: розв’язку лінійної нерівності з однією змінною; рівносильних нерівностей.

Обґрунтовують властивості числових нерівностей, зображують на координатній прямій: задані нерівностями числові проміжки, виконують обернені завдання. Розв’язують лінійні нерівності з однією змінною.

Квадратну нерівність учні вивчають у 9-му класі, при вивченні теми «Квадратична функція». Спочатку вводиться поняття квадратичної функції, вивчається її графік та властивості, а вже після цього вивчається розв’язування квадратних нерівностей графічним способом та методом інтервалів. На вивчення квадратної нерівності відводиться 3 години.

Учні повинні вміти будувати квадратичну функцію, розуміти суть методу інтервалів та розв’язувати квадратні нерівності на основі попередньо отриманих знань.

Розділ 2. Теоретичні основи дослідження

2.1 Основні поняття рівнянь та нерівностей

Алгебра багато століть розвивалась як наука про рівняння. Рівняння — це рівність, яка містить невідомі числа, позначені буквами та інші числові дані. Невідомі числа в рівнянні називають змінними. Змінні найчастіше позначають буквами хоч можна застосувати і інші букви латинського або грецького алфавіту.

Приклад рівняння:. Якщо в ньому замість змінної написати число 5, матимемо правильну числову рівність. Говорять, що число 5 задовольняє дане рівняння.

Число, яке задовольняє рівняння, називається його коренем, або розв’язком.

Рівняння має тільки один корінь .

Рівняння має три корені: .

Рівняння не має жодного кореня, бо при кожному значенні число на 7 більше від .

Розв’язати рівняння — це означає знайти всі його корені, або показати, що їх не існує.

Найпростіші рівняння можна розв’язувати на підставі відомих залежностей між доданками та сумою, між множниками і добутком тощо.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язок. Тут невідомий від'ємник. Щоб знайти його, слід від зменшуваного відняти різницю:

або

Тут невідомий множник. Щоб знайти його, треба добуток поділити на відомий множник:

Відповідь: .

Кожне рівняння має ліву і праву частину. Наприклад, у рівнянні різниця — це ліва частина, а число 13 — права частина. Разом та 13 — члени цього рівняння.

Рівносильні рівняння

Розглянемо два рівняння: і. Кожне з них має один і той самий розв’язок:. Такі рівняння називаються рівносильними.

Два рівняння називаються рівносильними, якщо кожне з них має ті самі розв’язки, що й друге. Рівносильними вважають і такі рівняння, які не мають розв’язків, наприклад: та .

Щоб розв’язувати складніші рівняння, слід вміти замінювати їх простішими і рівносильними даним.

З розподільного закону множення випливає, що при будь якому значенні, числа та рівні. Тому рівносильні такі, наприклад, рівняння: та .

З розподільного закону випливає, що при кожному значенні числа і рівні. Тому рівносильні і такі рівняння:

та

Взагалі, якщо в будь-якій частині рівняння звести подібні доданки або розкрити дужки, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Додавши до обох частин правильної числової рівності одне й те саме число, отримаємо також правильну рівність. З цього випливає, що коли, наприклад, до обох частин рівняння додати по, то отримане рівняння, рівносильне даному. А додати по — це те саме, що перенести з правої частини рівняння в ліву його член з протилежним знаком. Взагалі, якщо з однієї частини рівняння в іншу перенести будь-який його член з протилежним знаком, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Згадаємо також, що обидві частини числової рівності можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля. Тому й коли обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля, то дістанемо рівняння, рівносильне даному рівнянню.

Завжди правильні такі основні властивості рівнянь:

1. У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки.

2. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.

У результаті таких перетворень завжди дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Нерівністю зі змінною (невідомим) називають два вирази зі змінною (невідомим), між якими стоїть один із знаків нерівності:

> (більше), < (менше),? (більше або дорівнює; не менше),? (менше або дорівнює; не більше).

Наприклад: , — нерівності.

Розв’язком нерівності називають значення змінної, яке перетворює його в правильну числову нерівність. Наприклад, число 2 — розв’язок нерівності + 3 > 4. Розвязати нерівність з однією змінною означає знайти всі її розвязки або довести, що розв’язків немає.

Нижче в таблиці наведено деякі числові підмножини, їх позначення, зображення на координатній прямій і запис у вигляді нерівності.

Розв’язування нерівностей, як правило, зводиться до зміни даної нерівності нерівністю, яка їй рівносильна.

Рівносильні нерівності

Нерівності, які мають одні й ті самі розв’язки, називають рівносильними. Нерівності, які не мають розв’язків, також вважають рівносильними.

Нерівності зі змінними мають багато властивостей, аналогічних до властивостей рівнянь:

1. Якщо з однієї частини нерівності перенесемо в іншу доданок з протилежним знаком, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

2. Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на одне й те саме додатне число, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

3. Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на одне й те саме від'ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

Арифметичні дії з нерівностями

Додавання: дві нерівності одного знака можна почленно додати. Одержимо нерівність того ж знака.

Віднімання: дві нерівності протилежних знаків можна почленно віднімати. Одержимо знак тієї нерівності від якої віднімаємо.

Множення: дві нерівності однакового знака з додатними членами можна почленно множити. Одержимо нерівність того ж знака.

Ділення: дві нерівності протилежних знаків з додатніми членами можна почленно ділити. Одержимо нерівність, яка має знак першої нерівності.

2.2 Основні методи розв’язування лінійних рівнянь та нерівностей

Загальну схему розв’язування рівнянь з одним невідомим, що зводяться до лінійних (хоча поняття лінійного рівняння тут ще не вводиться), варто дати учням ще в 6 класі, коли вони ознайомляться з властивістю рівнянь, яка дає змогу переносити члени рівняння з однієї частини до другої. Ця схема виглядатиме так:

1) спростити рівняння (розкрити дужки, звести подібні доданки);

2) перенести доданки, що містять невідоме, в одну частину (звичайно ліву), а доданки, що не містять невідомої, — в другу, змінивши в цьому разі знаки на протилежні;

3) звести подібні доданки;

4) знайти корінь рівняння. Якщо є потреба, то зробити перевірку.

У 7 класі цей алгоритм повторюється з використанням термінів «невідоме», «подібні члени» .

Нерівності бувають чисельні і буквені. Якщо нерівність виконується при всіх значеннях змінної, то воно називається тотожньою нерівністю. Нерівність називається алгебраїчною, якщо із змінними виконуються алгебраїчні дії. Інші нерівності називаються неалгебраїчними або трансцендентними.

Під час розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною доцільно використати аналогію з рівняннями і щодо означення, і щодо способу розв’язування.

Лінійною нерівністю з однією змінною називають нерівність вигляду ах < в або ах > в (або ах в або ах в), де х - змінна, а і в - стала.

Якщо а 0, то множиною розв’язків нерівності ах < в є або множина, або множина .

При а = 0 множиною розв’язків цієї нерівності є або множина всіх чисел (при в > 0) або порожня множина (при в <0).

При а0 множиною розв’язків нерівності ах > в є або множина, або множина .

2.3 Основні методи розв’язування квадратних рівнянь та нерівностей

Спосіб виділення квадрата двочлена

Розв’яжемо для прикладу рівняння. Якщо до виразу додати та відняти 9, то достанемо квадрат двочлена та додаткове число — 9: еквівалентне

. Отже,, звідки два корені = 8, .

Відповідь: = 8, .

Розв’яжемо подібним способом рівняння .

Помноживши обидві частини рівняння на отримаємо:

Вираз називають дискримінантом даного квадратного рівняння і позначають буквою .

Якщо, то дане рівняння не має коренів, не існує такого дійсного значення, при якому б значення виразу було б від'ємним.

Якщо, то, звідки — єдиний корінь рівняння.

Якщо, то дане квадратне рівняння рівносильне рівнянню:

², звідки два розв’язки:

,

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються тільки знаками перед коренем з дискримінанту. Коротко розв’язок формули коренів квадратного рівняння записують:

де .

Користуючись нею, можна розв’язати будь-яке квадратне рівняння.

Розвязування квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта

Квадратне рівняння називають зведеним, якщо його перший коефіцієнт дорівнює одиниці.

Теорема Вієта. Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену.

Доведення. Якщо рівняння має корені, то їх можна знаходити по формулам:

Додамо і перемножимо ці корені:

Отже, що і треба було довести.

Примітка. Якщо, то рівняння має два однакові корені .

Кожне квадратне рівняння виду (при) рівносильне зведеному квадратному рівнянню. Тому якщо таке рівняння має два корені, то:

При розв’язанні квадратних рівнянь застосовують знання формул скороченого множення многочленів:

Графічний спосіб

Якщо в рівнянні перенести другий і третій члени у праву частину, то отримаємо .

Побудуємо графіки залежності і. Графік першої залежності - парабола, яка проходить через початок координат. Графік другої залежності - пряма (рис. 1). Можливі наступні випадки:

— пряма і парабола можуть перетинатися у двох точках, абсциси точок перетину є коренями квадратного рівняння;

— пряма і парабола можуть дотикатися (тільки одна спільна точка), тобто рівняння має один розв’язок;

— пряма і парабола не мають спільних точок, тобто квадратне рівняння не має коренів.

Розв'язування квадратних нерівностей

(1)

Якщо, то нерівність (1) виконується при всіх при і нерівність (1) не виконується ні в одній точці при .

Якщо, то нерівність (1) завжди виконується в точці .

Нерівність (1) виконується при при і не виконується при при .

При знаходимо корені рівняння

. (2)

При нерівність виконується при .

При нерівність виконується при .

Розв’язування нерівностей за допомогою графіка квадратичної функції

Цей метод полягає в тому, щоб з’ясувати, для яких значень змінної х графік функції, що задається тричленом ах² + bх + c, знаходиться у верхній півплощині (тобто набуває додатних значень), і при яких Ї у нижній півплощині (тобто набуває від'ємних значень), і обрати ті значення, які відповідають заданій нерівності. Уведемо й дослідимо функцію ѓ (х) = ах² + bх+c:

1. Якщо дискримінант тричлена від'ємний (D < 0), то графік функції не перетинає вісь абсцис, і

· при додатному першому коефіцієнті а > 0 функція набуває додатних значень (ѓ () > 0) для всіх дійсних значень змінної (-?,?);

· при від'ємному першому коефіцієнті а ѓ () < 0) для всіх дійсних значень змінної (-?,?).

2. Якщо дискримінант тричлена дорівнює нулю (D = 0) — графік дотикається до осі абсцис у точці, і

· при а > 0 функція набуває додатних значень (ѓ () > 0) для всіх дійсних значень змінної, окрім значення ₁ (є (-?, ₁) U (₁, ?));

· при, а < 0, (ѓ () < 0) для всіх дійсних значень змінної, окрім значення х1 (є (-?,₁) U (₁, ?)), де ₁ — корінь квадратного тричлена, а ² + b + c. Якщо задана нерівність нестрога, то значення х₁ не вилучається.

3. Якщо дискримінант тричлена додатний (D > 0), то графік перетинає вісь абсцис у точках х₁ та х₂, і

· при, а > 0 функція набуває додатних значень (ѓ () > 0) для всіх дійсних значень змінної, що належать об'єднанню проміжків х є (-?, х₁) U (х₂, ?); функція набуває від'ємних значень для всіх значень змінної, що належать проміжку (х₁; х₂);

· при, а < 0 функція набуває від'ємних значень (ѓ () < 0) для всіх дійсних значень змінної, що належать об'єднанню проміжків х (-?, х₁) U (х₂, ?); функція набуває додатних значень для всіх значень змінної, що належать проміжку (х₁; х₂).

Щоб розв’язати квадратну нерівність за допомогою графіка, потрібно:

а) визначити напрям віток параболи за знаком першого коефіцієнта;

б) знайти корені відповідного квадратного рівняння, якщо вони є;

в) побудувати ескіз графіка квадратної функції;

г) за графіком визначити проміжки для х, на яких нерівність правильна.

Розділ 3. Методика розв’язування рівнянь та нерівностей в основній школі

3.1 Методика розв’язування лінійних рівнянь та нерівностей

Треба відрізняти лінійні рівняння від рівнянь першого степеня. Лінійне рівняння може і не буде рівнянням першого степеня. Нерідко пояснюють, що рівняння першого степеня з одним невідомим або має єдиний розв’язок, або зовсім не має розв’язків, або має нескінченну множину розв’язків. Це неправильно. Не треба говорити учням, що рівняння першого степеня з однією змінною може мати безліч коренів або зовсім не мати їх. Такий погляд суперечить основній теоремі алгебри, з якої випливає, що кожне алгебраїчне рівняння п-го степеня над полем комплексних чисел має рівно п коренів.

Правильно було б сказати так: лінійне рівняння з однією змінною (тобто рівняння виду, де і - довільні числа) може мати один, безліч або зовсім не мати коренів.

Рівняння першого степеня з однією змінною (тобто рівняння виду, де і - довільне число) завжди має тільки один корінь.

Рівняння виду ах = b називається лінійним рівнянням (лінійне рівняння — linеаr еquаtiоn) із змінною х. Числа а, b — коефіцієнти (коефіцієнт — cоеfficiеnt) даного рівняння; а — коефіцієнт при змінній х, b — вільний член рівняння.

Якщо а? 0, то рівняння ах = b називають рівнянням першого степеня з однією змінною (рівняння першого степеня — simplе еquаtiоn). Його корінь

х = .

Розв’язуючи рівняння, його спочатку намагаються звести до лінійного. Роблять це декількома способами:

1. Позбуваються знаменників (якщо вони є);

2. Розкривають дужки (якщо вони є);

3. Переносять члени з змінними в ліву частину рівняння, а інші - в праву.

4. Зводять подібні доданки.

У результаті такого перетворення отримують рівняння, рівносильне даному, а його корені є також коренями даного рівняння.

В 7 класі учні починають знайомитися з принципом розв’язування більш громіздких рівнянь, тому бажано починати розв’язування рівнянь першого степеня з одним невідомим з простіших і поступово переходити до складніших. Пояснювати розв’язування складніших рівнянь можна так:

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

+ 5 (- 6) — 13 = 3 (2 —) + .

Розв’язання. Замінимо дане рівняння рівносильним йому рівнянням з цілими коефіцієнтами. Для цього помножимо обидві його частини на 10:

5 + 50 (- 6) — 130 = 30 (2 —) + 2 (+ 4).

Розкриємо дужки:

5 + 50 — 300 — 130 = 60 — 30 + 2 + 8.

Перенесемо члени, що містять невідоме, в ліву частину, а вільні члени — в праву:

5 + 50 + 30 — 2 = 60 + 8 + 300 + 130.

Зведемо подібні члени:

83 = 498.

Поділимо обидві частини на коефіцієнт при невідомому:

=, або =6.

Відповідь. х = 6.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння.

+12 =

3 +123 = 3 (помножимо обидві частини рівняння на 3, щоб позбутися від дробового коефіцієнта)

+36 = 3 (перенесемо в ліву частину 3х, а в праву 36, змінивши знаки)

— 3 = - 36 (наведемо подібні складові)

2 = - 36 (розділимо твір на відомий множник)

= 18.

Відповідь: = 18

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння.

Розв’язок Відповідь: = - 11.

Нерівності виду, а > b, а? b, а < b, а? b, де, а і b — будь-які числа, а — змінна, називають лінійними нерівностями з однією змінною.

Якщо число, а відмінне від нуля, то ліву і праву частини нерівності можна поділити на а. При цьому використовуємо властивості числових нерівностей: якщо, а > 0, то знак нерівності залишаємо без змін; якщо ж, а < 0, то знак нерівності змінюємо на протилежний.

Приклад 4. Розв’яжіть нерівності:

1) З? — 15;

2) — 5 < 20.

Розв’язання. 1) поділимо ліву і праву частини нерівності на 3. Дістанемо? — 5.

2) поділимо ліву і праву частини нерівності на — 5, при цьому змінивши знак на протилежний. Маємо > - 4.

Нерівності виду 0 > b, 0? b, 0 < b, 0? b або не мають розв’язків, або їх розв’язком є множина всіх дійсних чисел.

Приклад 5. Розв’яжіть нерівності:

1) 0 < 1;

Розв’язання.

Яким би не було значення х ліва частина нерівності 0 < 1 дорівнює нулю. Нерівність 0 < 1 — правильна, тому множиною розв’язків нерівності є множина всіх дійсних чисел, тобто проміжок (-?; +?).

2) 0? 5.

Розв’язання.

Міркуємо аналогічно, але нерівність 0? 5 — неправильна, тому нерівність 0? 5 не має розв’язків.

Використовуючи властивості нерівностей, аналогічно до розв’язування рівнянь, можна розв’язувати і нерівності.

Приклад 6. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності.

.

Розв’язання. Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник дробів — число 10. Маємо:

Найменшим цілим розв’язком нерівності число 0.

3.2 Методика розв’язування квадратних рівнянь та нерівностей

Види квадратних рівнянь (залежно від значення коефіцієнтів)

Залежність коренів квадратного рівняння від дискримінанта

Починати розв’язання краще з неповних квадратних рівнянь:, ,. Основну увагу слід звернути на квадратні рівняння загального виду. Найбільш відомі три формули розв’язування таких рівнянь:

;

;

Раніше вимагали, щоб учні запам’ятовували всі три формули: «Важливо, щоб учні ясно засвоїли, якою з трьох формул для коренів квадратного рівняння вигідніше користуватися в різних випадках: формулою для коренів зведеного рівняння, коли і парне; другою формулою, коли — яке завгодно і непарне; третьою, коли відмінне від 1 і парне» .

Але чи потрібно запам’ятовувати всі ці формули? Адже кожна з них так само загальна, як і інші, кожна придатна для розв’язування будь-якого квадратного рівняння. Для того ж, коли учням пояснювати дві або три формули, то вони часто жодної з них не знають добре. Тому учням досить дати одну з цих формул, найкраще другу. Її зручно записувати і в такому вигляді:

де .

Тільки пізніше можна зауважити, що коли — число парне і, отже, — ціле, то зручно чисельник і знаменник у цій формулі поділити на 2.

Перед доведенням формули коренів корисно кілька простіших рівнянь розв’язати без неї, виділяючи повні квадрати двочленів.

Робити це можна так. Нехай треба розв’язати рівняння

Звідки

Маємо: звідки, або, звідки .

Відповідь. Дане рівняння має два корені: і .

Таким способом бажано розв’язати рівнянь. Тільки на наступному уроці треба дати учням формулу коренів.

Її можна виводити багатьма різними способами. Розглянемо один.

Помножимо обидві частини даного рівняння

на (нагадуємо, що). Дістанемо рівносильне йому рівняння

.

Розглянемо три випадки.

1. Якщо, то рівняння розв’язків не має.

2. Якщо, то, звідки

3. Якщо, то, звідки або

звідки. Ці два розв’язки прийнято записувати однією формулою:

.

Цією формулою можна користуватись і у випадку, коли, .

Оформляти розв’язання найкраще так:

,

.

Практика свідчить про те, що деякі учні припускаються помилок під час обчислення дискримінанта і при застосуванні формули коренів квадратного рівняння внаслідок неправильного вибору знаків другого коефіцієнта в і вільного члена с. Тому, вводячи означення квадратного рівняння, варто звернути увагу учнів на те, що в лівій частині рівняння ах + вх + с = 0, де а = 0, стоїть алгебраїчна сума. Якщо ж у конкретному рівнянні біля членів є знаки «-», то вони стосуються чисел й, в і с. Далі пропонується розв’язати кілька усних вправ і назвати а, в і с в конкретних прикладах квадратних рівнянь.

Розв’язування квадратних рівнянь із використанням теореми Вієта

Як відомо, зведене квадратне рівняння має вигляд

(1)

Його корені задовольняють теорему Вієта, яка при має вигляд Звідси можна зробити наступні висновки:

а) Якщо вільний член зведеного рівняння (1) додатній (, то рівняння має два корені, які мають однакові знаки і це залежить від другого коефіцієнта. Якщо, то обидва корені від'ємні, якщо то обидва корені додатні.

Наприклад, ; і, так як і ;

; і, так як і .

б) Якщо вільний член зведеного рівняння (1) від'ємний (, то рівняння має два різних корені різного знаку, більший по модулю корінь буде додатній, якщо, або від'ємний, якщо .

Наприклад, і , так як і

; і, так як і .

Квадратні нерівності

Квадратичною нерівністю називають нерівність, лівою частиною якої є вираз ах² + bх + с, де а ? 0, b, с — дані числа, а правою — нуль. Приклади квадратних нерівностей:

х² — 5х + 3 < 0, 2х² + 4? 0, — 3х² + 2х? 0, — х² + 3х + 7 > 0.

Нерівності вигляду ах² + вх + с < 0 і ах² +вх + с > 0, а 0 найдоцільніше розв’язувати графічно, попередньо записавши їх у вигляді х²+ і х²+, якщо а > 0. Визначаючи корені квадратного тричлена, що стоїть в лівій частині, і розкладаючи його на множники за теорією Вієта, дістаємо нерівності (х — х ₁) (х — х₂) <0 і (х — х₁) (х — х₂). Їх можна розв’язати одним з трьох способів:

1) побудувати ескіз графіка квадратного тричлена і вибрати множину тих значень х, за яких графік лежить нижче (вище) від осі х;

2) застосувати метод інтервалів;

3) скласти системи лінійних нерівностей, скориставшись умовою від'ємності або додатності добутку двох співмножників.

Якщо квадратний тричлен не має коренів, то, виділяючи в ньому квадрат двочлена, записують нерівності у вигляді а (х - т) +п<0, а (х-т) ²+п>0, де т=-, п=. Залежно від знаків, а і п роблять висновок про множину розв’язків нерівності.

Приклад 7. Розв’яжіть нерівність — х² + 2х + 3? 0.

Розв’язання. Графік функції у = - х² + 2х + 3 перетинає вісь х у точках з абсцисами — 1 і 3; вітки параболи напрямлені вниз. Тому схематично графік функції можна зобразити, як показано на малюнку. Значення функції не додатні за умови, що х належить проміжку (- ?; - 1] або [3; ?). Отже, множина розв’язків даної нерівності - об'єднання цих проміжків. Оскільки об'єднання множин прийнято позначати символом U, то відповідь можна записати так: (?; - 1] U [3; ?).

Зручним методом розв’язування квадратичних нерівностей (і нерівностей вищих степенів) у випадку, коли квадратний тричлен, що стоїть у лівій частині нерівності, можна розкласти на лінійні множники, є метод інтервалів.

Нехай задано квадратичну нерівність. Розкладемо квадратний тричлен на лінійні множники. Уведемо квадратичну функцію, що відповідає цьому тричлену.

Областю визначення такої функції є множина всіх дійсних чисел.

Знайдемо нулі функції, прирівнявши кожен лінійний множник, що містить змінну, до нуля. Нанесемо нулі функції на числову пряму; вони розіб'ють її на числові проміжки. На кожному з цих проміжків кожен лінійний множник має певний знак. За допомогою цих знаків з’ясуємо, який знак має функція на кожному з проміжків (зауважимо, що на кожному проміжку функція зберігає знак).

Обираємо ті проміжки, де функція набуває значення, які відповідають заданій нерівності. У відповідь записуємо, що змінна належить об'єднанню обраних проміжків або проміжку.

Познайомимося з розв’язуванням квадратичних нерівностей методом інтервалів на конкретному прикладі.

Приклад 8. Розв’язати нерівність х ² — 5 х + 6 < 0.

Р о з в ' я з, а н н я. Розкладемо квадратичний тричлен на множники:

х² - 5 х + 6 = (х — 2) (х — 3).

Отримаємо квадратичну нерівність виду: (х — 2) (х — 3) < 0.

Отже, розглянемо функцію у = (х — 2) (х — 3). Нулі функції розбили D (у) на проміжки

D (у): (-?; +?) знакосталості. Визначимо знаки проміжків.

Отже, х (2;

3) Для розв’язування квадратичних нерівностей використовують і аналітичні способи. Один з яких це спосіб розкладання лівої частини нерівності на множники.

Приклад 9. Розв’язати нерівність: х ² + 12 х + 35 > 0.

Розв’язання. Використаємо формулу розкладу квадратного тричлена на лінійні множники

= а (х — х₁) (х — х₂).

Одержуємо

х ² + 12х + 35 = = (х+ 5) (х + 7);

(х + 5) (х + 7) > 0. Одержуємо сукупність систем нерівностей:

х + 5 > 0 х > - 5

х + 7 > 0 х > - 7

х + 5 < 0 х < - 5

х + 7 < 0 х < - 7

Знайдемо розв’язки сукупності системи нерівностей:

7 - 5

Відповідь: х (-?; - 7) U (-5; +?)

Ще один, не менш поширений аналітичний спосіб розв’язування квадратичних нерівностей — спосіб виділення з лівої частини нерівності квадрата двочлена.

Приклад 10. Розв’язати нерівність х ² — 8 х + 17 > 0.

Розв’язання. х ² — 8х + 16 + 1 > 0. Використаємо формули скороченого множення а² — 2аb + b² = (а - b) ² і одержимо: (х — 4) ² + 1 > 0 при будь-якому значенні змінної х.

3.3 Методика розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних

Вище показана схема розв’язання рівнянь, що перетворюються на квадратні шляхом введення нової змінної. Схема розв’язування рівнянь таким методом майже співпадає зі схемою перетворення виразів (додається один пункт — після виконання оберненої заміни розв’язати здобуте рівняння).

У ході розв’язування письмових вправ на відпрацювання вмінь застосовувати схему, що передбачає введення нової змінної для переходу від даного рівняння до квадратного, слід врахувати кілька важливих моментів:

· якщо вводити заміну то тільки ефективну (щоб у результаті переходу до нової змінної рівняння з неквадратного перетворилось на квадратне);

розв’язувати новоутворене квадратне рівняння відносно його змінної (типова помилка учнів — виконання подібних записів: t² + 4t + 3 = 0,х₁ = - 1, х₂ = - 3);

· обов’язковим етапом розв’язування рівняння шляхом введення нової змінної є виконання оберненої заміни (звісно, у випадку, коли рівняння, здобуте після заміни, має корені).

Приклад 11. Розв’яжіть рівняння (х² — 1) ² — 11 (х² — 1) + 24 = 0.

Розв’язання. Зробимо заміну х² — 1 = t, t ? 0 тоді (х² — 1) ² = t²

Маємо

За теоремою Вієта

Відповідь: .

Приклад 12. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Зробимо заміну Тоді маємо рівняння для :

Повернемося до змінної:

.

Отже, початкове рівняння має корені:

Приклад 13. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Винесемо в лівій частині рівняння х за дужки:

Звідси = 0 або ² + З — 4 = 0. Друге рівняння має корені = 1; = - 4. Отже, рівняння ³ + З ² — 4 = 0 має корені = 0, = 1, = - 4.

Приклад 14. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Оскільки то початкове рівняння рівносильне наступному:

Звідси — 3 = 0 або ² + 1 = 0. Перше рівняння має корінь = 3, а друге — коренів не має. Отже, рівняння ³ — З² + - 3 = 0 має єдиний корінь = 3.

Рівняння четвертого степеня, до якого входять лише парні степені невідомого, називається біквадратним. Його записують так:

(. (1)

Як бачимо, біквадратне рівняння є частковим випадком тричленних рівнянь при. Біквадратні рівняння зводяться до квадратних заміною (2)

Підставивши (2) в (1), будемо мати: .

Формула розв’язку біквадратного рівняння має вигляд:

.

Приклад 15. Розв’язати біквадратне рівняння .

Розв’язання. Вводимо заміну:

За теоремою Вієта ,

Відповідь: .

Існує ще один вид рівнянь, що зводяться до квадратних це — дробово-раціональні рівняння.

Дробово-раціональне рівняння це рівняння, виду = 0 (А і В многочлен від однієї змінної).

Для його розв’язання доцільно виконати такі дії:

1) перенести всі доданки в один бік;

2) звести їх до спільного знаменника;

3) до одержаного рівняння виду = 0 (де і - деякі цілі вирази) застосувати умову рівності дробу нулю;

4) знайти корені чисельника;

5) перевірити, чи не дорівнює знаменник нулю при цих значеннях невідомого;

6) записати відповідь.

Приклад 16. Розв’язати рівняння:

Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля:

Якщо х = 2, то 2 (2 — 2) (2 + 2) = 0.

Якщо х = 3, то 3 (3 — 2) (3 + 2)? 0.

Відповідь: х = 3.

Приклад 17. Розв’язати дробово-раціональне рівняння:

.

Розв’язання., ОДЗ:

— сторонній корінь, тому що не задовольняє вимогам ОДЗ.

Відповідь: .

Висновок

Дана курсова робота написана на основі аналізу методичної літератури з математики та шкільних підручників, тому в даній роботі використовуються опорні матеріали, які дозволяють підвищити якість знань і практичні вміння учнів при вивченні рівнянь та нерівностей в основній школі.

Під час виконання даної роботи було систематизовано, теоретично обґрунтовано методичну систему вивчення рівнянь та нерівностей, а саме був проведений аналіз навчальної програми, розглянуто основні методи розв’язування рівнянь та нерівностей, розроблено план-конспект уроку, контрольну і самостійну роботу.

Також було розглянуто приклади, які допоможуть засвоїти основи математичного апарату розв’язування рівнянь та нерівностей використовуючи різні способи. Зокрема, під час вивчення даної теми було виявлено, що розв’язування рівнянь та нерівностей спрямоване на формування в учнів системи математичних знань, вироблення вмінь і навичок математичного моделювання, обчислення, розвитку прийомів розумової діяльності.

Від оволодіння вміннями розв’язувати рівняння та нерівності, залежить не лише підготовка школярів з алгебри на даному етапі навчання, а й осмислене засвоєння знань в подальшому вивченні математики у ВНЗ.

Список використаної літератури

1. Бевз Г. П. Алгебра: Підруч. для 7 кл. загальноосвіт. навч. закл. / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз — К.: Зодіак-ЕКО, 2007. — 304 с.

2. Бевз Г. П. Алгебра: Підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл. /

3. Бевз Г. П. Методика навчання математики: Навчальний посібник для інститутів. / Г. П. Бевз. — К.: Вища школа, 1989. — 367 с.

4. Бурда М.І. Математика / М.І. Бурда, Т. В. Колесник, 2010.

5. Газета «Математика в школах України» № 19 — 21, липень 2008р.

6. Галицький М. Л. «Збірник задач з алгебри» / М. Л. Галицький. — М., 2002.

7. Звавіч Л.І. «Алгебра 8 клас» / Л.І. Звавіч. — М., 2002.

8. Істер О. С. Алгебра: підруч. Для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл. /

9. О.С. Істер. — К.: Освіта, 2008. — 208с.

10. Кушнір В. А. Формування творчого мислення учнів при розв’язуванні рівнянь та нерівностей / В.А. Кушнір, Г. А. Кушнір, А. Петюренко — Математика в школі, 2005, № 5 (с.35−40).

11. Кушнір І.А. «Рівняння» / І.А. Кушнір. — Київ, 1996.

12. Мерзляк А. Г. Алгебра.9 клас. Підручник для класів з поглибленим вивченням математики / А. Г. Мерзляк,

13. Мордкович А. Г. «Алгебра 8 клас» / А. Г. Мордокович М., 2003.

14. Н. Я. Виленкин. «Алгебра 9 клас» Навчальний посібник для шкіл, що вчаться, і класів з поглибленим вивченням вивченням математикиленкин. — Москва: Видавництво «Освіта», 1998.

15. Слепкань З.І. Методика навчання математики. Підручник для студентів мат. спец. пед. навч. закладів. / З.І. Слепкань. — К.: Зодіак — ЕКО, 2000. — 512 с.

Додаток А. Самостійна робота на тему: Квадратні рівняння

Варіант № 1

1. (1 б) Розв’яжіть рівняння: у-16=0

2. (1 б) Знайдіть корені рівняння: х-5х=0

3. (1б) Знайдіть суму та добуток коренів рівняння: х+3х-40=0

4. (1 б) Складіть квадратне рівняння, корені якого 3 і 4:

5. (1 б) Знайдіть всі корені рівняння: 3х-7х+4=0

6. (2 б) Розв’яжіть рівняння: х (2х+3) — 1= (2х+1) (2х-1)

7. (2 б) Розв’яжіть рівняння: (х-1) + (х+2) - (х-3) (х+3) =22

8. (3 б) Один із коренів квадратного рівняння дорівнює 2. Знайдіть коефіцієнт k, та другий корінь рівняння: х+3х+к=0?

Варіант № 2

1. (1 б) Розв’яжіть рівняння: 25 - у =0

2. (1 б) Знайдіть корені рівняння: 3х+х=0

3. (1б) Знайдіть суму та добуток коренів рівняння: х-5х-40=0

4. (1 б) Складіть квадратне рівняння, корені якого — 2 і 1:

5. (1 б) Знайдіть всі корені рівняння: 5х-6х+1=0

6. (2 б) Розв’яжіть рівняння: (х+2) = (3х+2)

7. (2 б) Розв’яжіть рівняння: (х-2) + (х+1) - (х-5) (х+5) =45

8. (3 б) Один із коренів квадратного рівняння дорівнює 2. Знайдіть коефіцієнт k, та другий корінь рівняння: х+кх-8=0?

Додаток В. Контрольна робота по темі: Лінійні рівняння

Варіант № 1

1 рівень

Розв’яжіть рівняння

a) 3х-5= х (1б)

b) 5а+4 (а+3) =14 (1б)

c) 5х — 4+2х =7 (х — 3) (1б)

2 рівень

У прямокутнику довжина більша за ширину на 4 см, а периметр дорівнює 56 см. Знайдіть сторони прямокутника. (2б)

3 рівень

Розв’яжіть рівняння

a) 3х — (9х — 3) =3 (4−2х) (2б)

b) 2х — 1 = х+5 — 1 — х (2б)

4 рівень (3 б)

Розрахувавшись за покупку, Оля отримала здачу 1грн.15коп. монетами вартістю 25 коп. і 10 коп. Усього вона отримала 7 монет. Скільки монет кожної вартості отримала Оля?

Варіант № 2

1 рівень

Розв’яжіть рівняння

a) 9х +8=-5х (1б)

b) 2а-3 (а+6) =7 (1б)

c) 2а-6+7а=3 (а+3) (1б)

2 рівень

Ширина прямокутника у 6 разів менша від довжини, а периметр дорівнює 70 см. Знайдіть сторони прямокутника. (2б)

3 рівень

Розв’яжіть рівняння

a) 6х — (10х +11) =2 (5−2х) (2б)

b) 3х +1 = х — 5 — 3 — х (2б)

4 рівень (3 б)

На двох полицях 60 книг. Якщо з першої полиці переставити на другу 15 книг, то на першій полиці залишиться на 10 книг менше, ніж стане на другій. Скільки книг було на кожній полиці спочатку?

Варіант № 3

1 рівень

Розв’яжіть рівняння

a) 4 х — 13=2 х (1б)

b) 11у+3 (6у-5) =16 (1б)

c) 8 х +15+7 х =5 (х — 9) (1б)

2 рівень (2 б)

Катер пройшов відстань між пристанями за течією річки за 4 год, а назад-за 6 год. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії 1,5 км/год.

3 рівень

Розв’яжіть рівняння

a) 3 х — 9 (х — 1) =5 (5х — 9) (2б)

b) 2х +1 = 5х — 3 + 7 — х (2б)

4 рівень (3 б)

У Антона і Стаса 54 наклейки. Якщо Антон подарує Стасові 5 наклейок, то в нього стане наклейок у 2 рази менше, ніж у Стаса. Скільки наклейок було в Антона і Стаса спочатку?

Додаток С. План-конспект на тему: Теорема Вієта. Розв’язування вправ

Мета: формувати в учнів уміння використовувати теореми Вієта для розв’язування квадратних рівнянь та складання рівнянь за його коренями; формувати логічне мислення; створювати умови для розвитку творчої особистості; виховувати вольову сферу особистості: рішучість, самостійність, цілеспрямованість, сміливість, витримку.

Тип уроку: застосування знань та вмінь

Обладнання: портрет Вієта, картки з завданнями.

Хід уроку

І. Організаційний момент

Повідомлення теми і мети уроку.

ІІ. Перевірка домашнього завдання

В кінці уроку зібрати зошити для перевірки.

ІІІ. Актуалізація опорних знань

Виконання усних вправ

1. Перевірте, чи є числа х₁ і х₂ коренями квадратного рівняння:

а) х² — 9х + 14 = 0; х₁ = 2; х₂ = 7;

б) х² + 2х — 3 = 0; х₁ = - 1; х₂ = 3;

в) х² + 3,5х — 2 = 0; х₁ = 0,5; х₂ = — 4;

г) 3х² — 7х + 2 = 0; х₁ =; х₂ = 2.

2. Не розв’язуючи рівняння 7х² — 11х — 6 = 0 знайдіть другий корінь, якщо перший дорівнює 2.

ІV. Повідомлення учнів про Франсуа Вієта

V. Розв’язування вправ

№ 1 Робота в парі

(Учні розв’язують вправи, які записані на дошці, допомагають один одному. Перевірка здійснюється за допомогою самоконтролю.)

рівняння теорема нерівність школа

Один із коренів квадратного рівняння дорівнює - 2. Знайдіть другий корінь рівняння та коефіцієнт k.

1) х² + 17х + k = 0;

2) 7х² + 11х — k = 0;

3) х² + 5х + k = 0;

4) 5х² — 7х + k = 0;

5) х² + kх — 16 = 0;

6) 3х² + kх + 10 = 0.

№ 2 Робота в групах

Не розв’язуючи квадратного рівняння, корені якого х₁ і х_{2, знайти суму квадратів коренів цього рівняння.}

(Учні знаходять спосіб розв’язання, за допомогою теореми Вієта, подавши суму квадратів у вигляді .

Та група, яка першою виконає завдання, пропонує його для розгляду всьому класі.)

1) х² — 10х + 12 = 0;

2) х² — 9х — 17 = 0;

3) 3х² + х — 1 = 0;

4) 5х² + 10х + 4 = 0;

5) 3х² — 6х — 9 = 0;

6) х² — 7х + 9 = 0.

VІ. Самостійна робота

VІІ. Завдання додому

1. Придумайте і запишіть квадратні рівняння, корені якого дорівнюють:

1) 5 і 4;

2) 7 і - 9;

3) 0 і 6;

4) 8 і - 8;

5) 10 і - 20;

6) — 0,6 і 0,5.

2. Не розв’язуючи квадратного рівняння, корені якого х₁ і х₂, знайти коренів цього рівняння.

1) х² — 10х + 12 = 0;

2) 5х² + 10х + 4 = 0.

VІІІ. Підсумок уроку. Оцінювання результатів уроку.

За допомоги учнів приходимо до висновку, що після вивчення теми вони мали можливість:

1. Отримати уявлення про квадратні рівняння.

2. Навчитися розв’язувати квадратні рівняння різними способами.

3. Навчилися застосовувати набуті знання до розв’язування різних вправ.