Допомога у написанні освітніх робіт...
Допоможемо швидко та з гарантією якості!

Неперервні функції (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

В околі точки х0 графік має вигляд неперервної лі­нії. При будь-якому пряму­ванні х → х0 f (х) → f (х0). В точках х, та х, інша ситу­ація. При наближенні х до х1 зліва f (х) → а, а при х → х, справа f (х) → b, тоб­то lim x → x 1 f (x) залежить від способу прямування х до х1. В точці х2 умова непе­рервності функції також не виконується тому, що lim x → x 2 f (x) =, тобто не існує… Читати ще >

Неперервні функції (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Реферат з математики Тема: Неперервні функції.

1. Неперервність функції в точці і на відрізку.

Нехай у = f

(х) і аргумент х змінюється від значення х = х1, до значення х = х2. Різницю між цими значеннями аргументу нази­вають прирістом аргументу і позначають.

х .

.

Отже,

х = х2- х1.

.

При х = х1 маємо у, = f (х1), а при х = х2 маємо у2 = f (х2). Різни­цю функції, яка викликана зміною аргументу, називають прирі­стом функції і позначають

у.

.

Отже,

у = у2 — у1= f (х, +.

х) — f (x1) .

.

Тепер можна перейти до поняття неперервності функції. Да­мо два означення неперервності функції в точці, які досить час­то використовуються.

Означення 1. Якщо нескінченно малому прирісту аргументу

х в точці х = х0 відповідає нескінченно малий приріст.

у функції, що визначена в точці х0 та в її околі, то функцію у = f (х) нази­вають неперервною при х = х0 або в точці х0.

.

Із цього означення випливає, що для дослідження неперервності функції в точці х = х0 достатньо впевнитись, що при

х -> 0 буде.

у -> 0.

.

Означення 2. Функцію у = f (х) називають неперервною при х = х0, якщо:

1) f (х) існує при х = х0 та в деякому околі точки х0;

2) існує скінченна границя lim x -> x 0 f ( x ) - ;

3) lim x -> x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) незалежно від способу прямування х до х0,.

тобто lim x -> x 0 - 0 f ( x ) = lim x -> x 0 + 0 f ( x ) = f ( x 0 ) . .

Останню умову можна записати так: lim x -> x 0 f ( x ) = f [ lim x x -> x 0 ] = f ( x 0 ) .

Ця ознака нижче буде використана для класифікації точок розриву.

Означення 3. Якщо функція неперервна в кожній точці деяко­го інтервалу (а, b), то її називають неперервною в інтервалу (а, b). Якщо функція визначена при х = а i lim x -> a + 0 f ( x ) = f ( a ) , то кажуть, що f (х) неперервна в точці а справа.

Якщо f (а) визначена при x = b i lim x -> b - 0 f ( x ) = f ( b ) , то кажуть, що f (х) в точці х = b неперервна зліва.

Якщо f (х) неперервна в кожній точці інтервалу (а, b) та непе­рервна на кінцях інтервалу, відповідно зліва та справа, то функ­цію f (х) називають неперервною на відрізку [а, b].

2. Класифікація розривів функції.

Якщо при деякому х = x1 будь-яка із умов неперервності означення 2 не виконується, то кажуть, що функція в цій точці має розрив, а точку x1 називають точкою розриву функції (дивись Мал. 1.).

.

Поняття неперервності та розриву функції можна наочно по­казати на графіку функції.

.

Мал. 1.

.

В околі точки х0 графік має вигляд неперервної лі­нії. При будь-якому пряму­ванні х -> х0 f (х) -> f (х0). В точках х, та х, інша ситу­ація. При наближенні х до х1 зліва f (х) -> а, а при х -> х, справа f (х) -> b, тоб­то lim x -> x 1 f ( x ) залежить від способу прямування х до х1. В точці х2 умова непе­рервності функції також не виконується тому, що lim x -> x 2 f ( x ) = , тобто не існує скінченної границі.

.

Графік функції, що зображений на Малюнку 1 має розриви в точках х1 та х2.

Розриви функції бувають ліквідовні та неліквідовні:

1) якщо функція f (х) не визначена в точці х, або визначена, але мають місце співвідношення.

lim x -> x 1 - 0 f ( x ) = lim x -> x 1 + 0 f ( x ) /= f ( x 1 ) , .

то розрив в точці х1 називають ліквідовним. В цьому випадку функцію можна визначити або змінити її значення в точці х, так, щоб виконувались рівності.

lim x -> x 1 - 0 f ( x ) = lim x -> x 1 + 0 f ( x ) = f ( x 1 ) .

2) неліквідовні розриви поділяються на розриви першого та другого роду.

а) якщо однобічні границі функції lim x -> x 1 - 0 f ( x ) , lim x -> x 1 + 0 f ( x ) існують та скінченні, але не рівні між собою, то х1 називають точкою розриву першого роду, а різницю lim x -> x 1 + 0 f ( x ) - lim x -> x 1 - 0 f ( x ) називають стрибком функції;

b) якщо хоч би одна з однобічних границь не існує або дорівнює , то розрив в цій точці називають розривом другого роду.

На Малюнку 1 функція має розрив першого роду в точці х1, її стрибок дорівнює b — а, а в точці х2 функція має розрив дру­гого роди.

3. Властивості неперервних функцій та дії з ними Приведемо без доведень властивості неперервних функцій.

Теорема 1. (Вейєрштрасса) Якщо функція у = f (х) неперервна на відрізку [a, b], то вона обмежена на цьому відрізку, тобто існують такі числа M та m, що.

m <= f ( x ) <= M .

для усіх х [а, b].

Теорема 2. Усі основні елементарні функції неперервні в кож­ній точці своєї області існування.

Теорема 3. Алгебраїчна сума, добуток (скінченної кількості до­данків та множників) та частка функцій, неперервних при x = х0 (в останньому випадку дільник в цій точці не повинен до­рівнювати нулю) є також неперервна функція при х = х0.

Теорема 4. Неперервна функція від неперервної функції є та­кож неперервна функція.

Теорема 5. Будь-яка елементарна функція неперервна в кож­ній точці своєї області існування.

Показати весь текст
Заповнити форму поточною роботою