Замечательное рівняння кінематики

Замечательное рівняння кинематики

Ю. Архипов Тарту-2006.

Резюме.

В запропонованій статті розглянута можливість розширення сфери застосування кінематичних рівнянь вирішення завдань механіки. Показана можливість перенесення методу складання найпростіших рівнянь руху, з урахуванням диференційних визначень фізичних величин, за іншими розділах фізики. Розглядаються залежності часу від координат, швидкостей, прискорень, тобто зворотні завдання кінематики, які вкрай рідко зустрічаються підручників механики.

В більшості підручників із механіці розділ кінематики обмежується визначеннями траєкторії, системи координат, переміщення, швидкості v=dx/dt, прискорення a=dv/dt і висновком формул шляхи до середньої, миттєвою швидкості, шляху для равноускоренного руху X=Xo+v*t+a*t²/2. Виявляється: з формул, визначальних швидкість v=dx/dt і прискорення a=dv/dt, виходить чудова пропорція — v*dv = a*dx -, тобто диференціальний рівняння з поділюваними перемінними. Область застосування сили виявляється несподівано великої. За аналогією із конкретним висновком цього рівняння, можна вивести, подібні до нього, диференціальні рівняння обертального руху, руху із широкого кола та інших фізичних процесів, котрим дано визначення фізичної величини Y (x), її першої y «(x) і друге y «» (x) похідних. З визначень миттєвих швидкості і прискорення виходять слідства: dv/dx = a/v, dt = dx/v (x), x (t) = 1/t (x), застосування яких рідко є у прикладах вирішення завдань по механике.

— Висновок закону збереження механічної енергії. — Помножимо обидві частини рівняння на постійну величину m, тобто масу чуток і проинтегрируем рівняння. Одержимо m*v²/2 = m*a*x. Висловивши рівняння у певних інтеграли, одержимо повну формулу закону збереження енергії. До речі, отримали лівої частини формулу кінетичною енергії, у правій — потенційної. Для обертального руху, аналогічно — з визначень кутовий швидкості w=df/dt і кутового прискорення e=dw/dt отримуємо пропорцію, помноживши на постійні масу, радіус в квадраті і проинтегрировав, отримуємо формулу закону збереження m*(w*R)^2/2 = m*e*R²*f.

***Алгоритмы вирішення завдань з урахуванням уравнения.***.

* Якщо відома залежність прискорення від координат a (x), то рівняння набуде вигляду v²(x)=2*Integr (a (x)*dx). Наприклад: a (x)= K*x -> v²(x)= 2*K*Integr (x*dx) a (x)= G/x² -> v²(x)= 2*G*Integr (dx/x²) 1. Знаходимо швидкість v (x)=(2*Integr (a (x)*dx))^0,5 2. Знаходимо час t (x)=Integr (dx/v (x)) 3. Знаходимо формулу шляху, як зворотний функцію x (t)=1/t (x). * Якщо відома залежність прискорення від швидкості a (v), то вона перенесено у ліву частина рівняння. Наприклад: a (v)=g-k*v -> dv/g-kv= dx a (v)=g-k*v² -> dv/g-kv²= dx 1. Знаходимо залежність x (v), зворотний функцію v (x)=1/x (v) 2. Знаходимо залежності t (x)=Integr (dx/v (x)) 3. Знаходимо формулу шляху, як зворотний функцію x (t)=1/t (x). * Усли відома залежність v (x), то, інтегруючи, знаходимо t (x)=Integr (dx/v (x)), якщо відома залежність v (t), знаходимо з її первообразную — X (t) і похідну — a (t). * Зауважимо — ми вдаємося тут до теорії диференційних рівнянь, де вони дають у вигляді рішень готові функції кожному за виду рівняння, не бажаючи, прямим інтегруванням, знаходимо ці функції. * Зауважимо — це чудовий рівняння є шаблоном для підстановки до нього відомих функцій під час вирішення конкретних завдань. У цьому потрібно вирішувати отримані рівняння у певних інтеграли, щоб врахувати задані початкові умови. У теоретичної механіці існують схожі шаблони як рівнянь Лагранжа, рівнянь для Гамільтона та т.д.

****Примеры рішення задач.****.

* Знайти час падіння тіла стану спокою, з відривом 6371 кілометрів від Землі, до його поверхні. Дана залежність а (х)=g/x², де x=(h+R)/R, g=10м/с², R=6371км. опір атмосфери не учитывать.

Решение: знаходимо v²(x)= 2*Integr (g*dx/x²)=(2*g*R*(1/x-1/Xo))^0,5, знаходимо t (x)=Int (dx/v (x))= (R/2g)^0,5*Xo³/2*(pi/2-arcsin ((x/Xo)^0,5)+(x/Xo)*(Xo/x-1)*0,5) Відповідь: час падіння t=2072c. Зауважимо: підручників частіше наводиться складний висновок часу через еліптичну формулу, з законів Кеплера.

* Знайти період коливань пружинного маятника, якщо відома залежність a (x)=k*x/m.

Решение: знаходимо v²(x)=2*Integr (k/m)*x*dx=(k/m)*(Xo²-x²) знаходимо T=4* t (x)=4*Integr (dx/v (x))=2*Pi*(m/k) Зауважимо: підручників частіше наводиться висновок часу, з готової функції x= A*sin (w*t), визначальною гармонійні колебания.

Заключение

.

Статья написана в стислому стилі, в припущенні, що читачеві знайомі умовні позначення як у формулах фізичних величин. Довжина позначена символом «x «для зручності сприйняття її як незалежної перемінної. Можливі деяких помилок, нехай читатель-рецензор їх виправить, якщо стаття видасться йому полезной.

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.