Стохастичний експеримент. 
Простір елементарних подій. 
Випадкові події та операції над ними (реферат)

Реферат на тему:

Стохастичний експеримент. Простір елементарних подій. Випадкові події та операції над ними.

Вихідним поняттям теорії ймовірностей є поняття стохастичного експерименту, випадкової події та ймовірності випадкової події. Стохастичними називають експерименти, які можна повторити будь яку кількість раз, але результати яких не можна напевне передбачити. В основі теоретико-множинного методу викладу теорії ймовірностей лежить припущення, що кожному стохастичному експерименту поставлено у відповідність деяка множина точки якої зображають всі можливі наслідки даного експерименту. Множину азивають простором елементарних подій, а його точки — елементарними подіями. Таким чином, простір елементарних подій е сукупність всіх можливих наслідків стохастичного експерименту.

Приклад1. Припустимо, що монету підкидають один раз. Простір елементарних подій, цього експерименту має вигляд Г, Р}, де Г означає появу герба, буква Р-появу решки.

Приклад2. Монету підкидають двічі. Простором елементарних подій цього експерименту є множина ГГ, ГР, РГ, РР}. Тут ГР означає, наприклад, що при першому підкиданні з’явився герб, а при другомурешка.

Приклад 3. Підкидають шестиграний гральний кубик на якому вибиті очки від 1 до 6. Нас цікавить число очок, яке випало. Простіром елементарних подій тут може бути множина, яка складається з чисел 1,2,3,4,5,6, тобто 1,2,3,4,5,6}.

В прикладах розглянутих вище простір елементарних подій був скінченною множиною. Але в багатьох задачах теорії ймовірностей експерименти мають нескінченне число можливих наслідків.

Приклад 4. Будемо вважати, що монету підкидають до першої появи герба. Простором елементарних подій такого експерименту є множина.

= { $$$$ 1, $$$$ 2, …, $$$$ n, … $$$$ де $$$$ n = РРРРР… РГ означає, що герб вперше.

n-1 раз.

з’явиться при n-тому підкиданні монети, а $$$$ відповідає тій можливості, що герб ніколи не з’явиться (в цьому випадку наш експеримент продовжується нескінчено довго, ліченна множина).

Неважко уявити собі задачу, де множина всіх наслідків стохастичного експерименту незліченна.

Приклад 5. Нехай експеримент полягає у вимірюванні двох величин, які набувають значення з відрізка [ 0, 1]. Простір елементарних подій (x, y): 0 $$x<=\mathrm{1,0}<=y<=1$$ } має континуум наслідків, так як результатом може виступити довільна точка відрізку [ 0, 1].

ВИПАДКОВІ ПОДІЇ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ.

Будь-яка підмножина, А простору елементарни подій (А $$$$ називається випадковою подією. При цьому достовірна подія, тобто подія, яка відбувається при будьякому наслідку стохастичного експерименту.

Говорять, що подія, А наступила, якщо наступила, яка небудь з елемен-тарних подій $$\begin{array}{c}\\ \end{array}$$ А.

Приклад1. Припустимо, що один раз підкидають гральний кубик і.

А одія, яка полягає в тому, що число очок, яке з’явиться, ділиться на 3. Тоді.

1, 2, 3, 4, 5, 6}, А={3, 6}.

Приклад 2. Припустимо, що монету підкидають до першої появи герба. Нехай Аодія, яка полягає в тому, що буде зроблено не більше трьох підкидань. Тоді А={Г, РГ, РРГ}, Г, РГ, РРГ, РРРГ, РРРРГ, …, РРРРР… РГ, …}.

n-1 раз Таким чином, випадкові події пов’язані з даним стохастичним експериментом ідмножини в просторі елементарних подій /p>

Сумою двох подій, А та В називається подія А+ В (А $$$$ В), яка складається з елементарних подій, які належать хоча б одній із подій, А або В.

Добутком АВ (А $$$$ В) називається подія, яка складається з елементарних подій які належать одночасно і А і В.

Різниця подій, А та В відповідає множині А-В (АВ), яка складається з тих елементів А, які не належать В. $$\stackrel{-}{A}$$ = $$\mathrm{}-$$ А називається доповненням до події А. Правило де Моргана $$\stackrel{}{\stackrel{------}{AB}=\stackrel{}{\stackrel{-}{A}\stackrel{-}{B}}}$$ .

Відзначимо, що основні поняття теорії множин можна також подати мовою теорії ймовірностей.

Сума (об'єднання) $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}(n)}{}}{A}_i$$ є подія, яка наступає тоді і тільки тоді, коли наступає одна з подій $$A_i$$ .

Добуток (або перетин) $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}(n)}{\mathit{intersect}}}{A}_i$$ називається подія, яка полягає в тому, що відбуваються всі події Аі, і=1, 2, 3,…, або всі події Аі, і=1, 2, 3,…, n.

Задача1. Монету підкидають двічі. Описати простір елементарних подій. Описати події: А={ принаймі один раз з’явиться герб }, подія В={ при другому підкиданні з’явиться герб }.

Задача2. Гральний кубик підкидають двічі. Описати простір елементарних подій. Описати події: А={ сума очок які з’явились дорівнює 8 }, подія.

В={ принаймі один раз з’явиться 6 }.

Задача3. З партії, що містить Nиробів, серед яких є n бракованих, взято m виробів. Описати простір елементарних подій. Описати подію А: серед взятих виробів lбракованих (n<N, l/p>

Розв’язування.Простір елементарних подій складається з усіх можливих партій, що містять m виробів, l (число таких партій $$C_N^m$$), Акладається з тих партій m виробів, серед яких є рівно l бракованих (число таких партій $$C_n^l{C}_{N-n}^{m-l}$$).

Задача4. Побудувати множину елементарних подій в експерименті, що полягає в виборі з урни, яка містить m білих та n чорних куль, k уль, де k<n+m. Яке число елементарних подій? Розв’язати задачу при умові, що кулі виймаються послідовно по одній.

Задача5. В коробці шість однакових, занумерованих кубиків. Навмання по одному вилучають всі кубики. Скільки елементарних подій містить простір $$\mathrm{}$$

? Описати подію А={номери вилучених кубиків з’являться в зростаючому порядку}.

.

Задача 6. Три раза підкидають монету. а) Описати простір елементарних подій;

б) описати події:А={двічі випав герб}, В={ принаймі один раз випав герб}.

Задача 7. Серед усіх родин з двома дітьми обрано одну. Описати простір елементарних подій і випадкові події: А={ в родині є хлопчик і дівчинка},.

B={ в родині не більше однієї дівчинки}.

Задача 8. З таблиці випадкових чисел навмання вибрані два числа. Події А та В відповідно означають, що вибрано хоча б одне просте та хоча б одне парне число. Що означають події А та, А ?

Розв’язування. Подія, А означає появу подій, А та В, тобто з двох вибраних чисел одне просте, а друге парне. Подія, А означає появу хоча б однієї з подій, А чи В, тобто серед двох вибраних чисел є хоча б одне просте або хоча б одне парне число, або одне з цих чисел просте, друге арне.

Задача 9. Із множини подружніх пар навмання вибирається одна пара. Подія А={ чоловіку більше 30 років }, подія В={ чоловік старший за жінку }, подія С={ жінці більше 30 років }. З’ясувати зміст подій, А А (В, Аath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B.

Розв’язування. Аподружжю за 30 років, причому чоловік старший за жінку };

А (В =(А але не В чоловіку за 30 років, але він не старший за жінку };

Аath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B подружжю за 30 років, причому чоловік не старший за жінку };

Задача 10. Подія, А — хоча б один з трьох приборів які перевіряються бракований. Всі прибори доброякісні. Що означають події: А А.

Задача 11. Із таблиці випадкових чисел навмання взяте одне число. Подія, А вибране число ділиться на 5- подія Вдане число закінчується нулем. Що означають події А В та Аath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B;

Задача 12. Підкидають два гральних кубики. Нехай подія А={сума очок непарна}, подія В={хоча б на одному кубику випала одиниця}. Описати події А, А Аath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B .

Задача 13. Зроблено 3 постріли по мишені. Нехай Аі одія, яка полягає в тому, що при і-тому пострілі є влучення (і=1,2,3). Виразити через події Аі такі.

події: а) А ідбулось три влученняб) В е було жодного влученняв) лише одне влученняг) не менше двох влучень.

Задача 14. М ішень складається з 1О кругів, які обмежені концентричними колами з радіусами rк (k=1,2,…, 10), причому r 1 $$$$

r2.

$$$$

…

$$$$

r10. Подія, А к-попадання в круг радіуса rк (k=1,2,…, 10). Що означають події В=.

$$\underset{k=1}{\overset{6}{}}{A}_k$$

С=.

$$\underset{k=5}{\overset{\text{10}}{\mathit{intersect}}}{A}_k$$ .

Задача 15. Нехай А1, А2,…, Аnвипадкові події. Довести, що Р ($$\underset{i=1}{\overset{n}{}}{A}_i)=1-P\left(\stackrel{}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathit{intersect}}}{\stackrel{-}{A_i}}_i}\right)$$

.

.