Регрессионный аналіз в моделюванні систем. 
Дослідження відвідуваності WEB сайту (Курсовая)

[pic].

Кафедра математичної статисти та эконометрики.

Додаткова работа.

По курсу:

«Математична статистика».

По теме:

«Регресійний аналіз моделюванні систем».

«Дослідження відвідуваності WEB сайта».

Група: ДІ 202.

Студент: Шеломанов Р.Б.

Керівник: Шевченка К.К.

Москва 1999.

Содержание Теоретическая частину роботи 3 Основні завдання корреляционно-регрессионного аналізу 3 Кореляція випадкових величин 4 Лінійна регресія 5 Оцінка суттєвості зв’язку, прийняття рішення основі рівняння регресії. 10 Практична частину роботи 11 1. Опис об'єкта 11 2. Чинники формують моделируемое явище 12 3. Аналіз матриці коефіцієнтів парних кореляцій 13 4. Побудова рівняння регресії 13 5. Сенс моделі 15 Література 16.

Теоретична частина работы Основные завдання корреляционно-регрессионного анализа.

Усі явища і процеси, що характеризують соціально-економічному розвитку і складові єдину систему національних рахунків, тісно взаємозв'язані й взаємозалежні між собою. У статистиці показники, що характеризують ці негативні явища, може бути пов’язані або кореляційної залежністю, чи бути незалежними Кореляційна залежність є приватною випадком стохастической залежності, при якої зміна значень факторних ознак (x 1×2 …, хn) тягне за собою зміну середнього значення результативного ознаки. Кореляційна залежність досліджується з допомогою методів кореляційного і регресійного аналізів. Кореляційний аналіз вивчає взаємозв'язку показників і дозволяє вирішити такі задачи.

1. Оцінка тісноти зв’язок між показниками з допомогою парних, приватних і багатьох коефіцієнтів корреляции.

2. Оцінка рівняння регрессии.

Основний передумовою застосування кореляційного аналізу є необхідність підпорядкування сукупності значень всіх факторних (х1×2 … хn) і результативного (У) ознак r-мерному нормальному закону розподілу чи близькість щодо нього. Якщо обсяг досліджуваної сукупності досить великий (n > 50), то нормальність розподілу то, можливо підтверджено з урахуванням розрахунку аналізу критеріїв Пірсона, Боярського, Колмогорова, чисел Вастергарда тощо. буд. Якщо n < 50, то закон розподілу вихідних даних визначається з урахуванням побудови і візуального аналізу поля кореляції. У цьому тоді як розташуванні точок має місце лінійна тенденція, можна припустити, що сукупність вихідних даних підпорядковується нормальному розподілу. Метою регресійного аналізу є оцінка функціональної залежності умовного середнього значення результативного ознаки (У) від факторних (х1. Х2…, хn). Основний передумовою регресійного аналізу і те, що тільки результативний ознака (У) підпорядковується нормальному закону розподілу, а факторні ознаки х1. Х2…, хn може мати довільний закон розподілу. У аналізі динамічних рядів як факторного ознаки виступає час t Причому у регрессионном аналізі заздалегідь мається на увазі наявність причинно-наслідкових перетинів поміж результативним (У) і факторными х1. Х2…, хn ознаками. Рівняння регресії, чи статистична модель зв’язку соціальноекономічних явищ, висловлюване функцією Y=f (х1. Х2…, хn) є досить адекватним реальному моделируемому явища чи процесу у разі дотримання таких вимог їх построения.

1. Сукупність досліджуваних вихідних даних мусить бути однорідної і математично описуватися безперервними функциями.

2. Можливість описи моделируемого явища однією або кількома рівняннями причинно-наслідкових связей.

3. Усі факторні ознаки повинен мати кількісне (цифрове) выражение.

4. Наявність досить великого обсягу досліджуваної вибіркової совокупности.

5. Причинно-наслідкові зв’язок між явищами і процесами слід описувати лінійної чи наведеній до лінійної формою зависимости.

6. Відсутність кількісних обмежень на параметри моделі связи.

7. Сталість територіальної і тимчасової структури досліджуваної сукупності. Дотримання даних вимог дозволяє досліднику побудувати статистичну модель зв’язку, найкраще аппроксимирующую моделируемые соціально-економічні явища і процессы.

Корреляция випадкових величин.

Пряме токування терміна кореляція — стохастичну, ймовірна, можлива зв’язок між двома (парна) чи декількома (множинна) випадковими величинами.

Для числової оцінки можливий зв’язок між двома випадковими величинами: Y (со середнім My і середньоквадратичним відхиленням Sy) і — X (із середнім Mx і середньоквадратичним відхиленням Sx) прийнято використовувати так званий коефіцієнт корреляции.

Rxy=[pic] .

Цей коефіцієнт може приймати значення від -1 до +1 — в залежність від тісноти зв’язок між даними випадковими величинами.

Якщо коефіцієнт кореляції нульовий, то X і Y називають некоррелированными. Вважати їх незалежними зазвичай немає підстав — виявляється, що є такі, зазвичай — нелинейные зв’язку величин, у яких Rxy = 0, хоча величини залежать друг від друга. Протилежне завжди вірно — якщо величини незалежні, то Rxy = 0. Але, якщо модуль Rxy = 1, тобто підстави вважати наявність лінійної зв’язку між Y і X. Саме тому часто говорять про лінійної кореляції при використанні такого способу оцінки зв’язок між СВ.

У окремих випадках доводиться вирішувати питання зв’язках кількох (більш 2) випадкових величин чи запитання про множинної корреляции.

Нехай X, Y і Z — випадкові величини, за спостереженнями з яких ми встановили їх середні Mx, My, Mz і среднеквадратичные відхилення Sx, Sy, Sz.

Тоді можна знайти парні коефіцієнти кореляції Rxy, Rxz, Ryz по наведеної вище формулі. Але це вочевидь не досить — адже ми кожному із трьох етапів просто забували про наявність третьої випадкової величини! Тож у випадках множинного кореляційного аналізу іноді потрібно відшукувати т. зв. приватні коефіцієнти кореляції — наприклад, оцінка вихляння Z на зв’язок між X і Y проводиться за допомогою коэффициента.

Rxy.z = [pic].

І, нарешті, можна порушити питання — а як і зв’язок між даної СВ і сукупністю інших? Відповідь такі запитання дають коефіцієнти множинної кореляції Rx. yz, Ry. zx, Rz. xy, формули для обчислення яких побудовано за тими самими принципам — обліку зв’язку одній з величин зі всіма іншими в совокупности.

На складності обчислень всіх описаних показників кореляційних зв’язків годі й звертати особливої уваги — програми їхнього розрахунку досить прості та є у готовому вигляді у багатьох ППП сучасних комп’ютерів. Наприклад програмне забезпечення «Олімп» з допомогою якого виробляється ряд розрахунків у цієї работе.

Лінійна регрессия.

Там, коли з природи процесів в моделі або з даних спостережень з неї напрошується висновок про нормальному законі розподілу двох СВ — Y і X, у тому числі одна є незалежною, т. е. Y є функцією X, виникає спокуса визначити таку залежність «формульно», аналитически.

Що стосується успіху ми зможемо набагато простіше вести моделювання. Звісно, найбільш привабливою є перспектива лінійної залежності типу Y = a + b (X .

Така завдання називається завдання регресійного аналізу та передбачає наступний спосіб решения.

Ставиться наступна гипотеза:

H0: випадкова величина Y при фіксованому значенні величини X розподілено нормально з математичним ожиданием.

My = a + b (X і дисперсией Dy, яка від X.

За наявності результатів спостережень над парами Xi і Yi попередньо обчислюються середні значення My і Mx, та був виробляється оцінка коефіцієнта b в виде.

b =[pic][pic] = Rxy [pic][pic].

що з визначення коефіцієнта кореляції. Після цього обчислюється оцінка для a як {2 — 16}.

і виробляється перевірка значимості отриманих результатів. Таким чином, регресійний аналіз є потужною, хоч і які завжди допустимим розширенням кореляційного аналізу, вирішуючи все те саме завдання оцінки зв’язків у складній системе.

Тепер докладніше розглянемо множинну чи многофакторную регресію. Нас цікавить лише лінійна модель виду: Y=A0+A1X1+A2X2+…AkXk.

Вивчення зв’язок між трьома і більше пов’язаними між собою ознаками називається множинної (многофакторной) регресії. При дослідженні залежностей методами множинної регресії завдання формулюється як і, як і за використанні парній регресії, т. е. потрібно визначити аналітичне вираз зв’язок між результативним ознакою (У) і факторными ознаками (х1×2, х3 …, хn) знайти функцію: Y=f (х1. Х2…, хn).

Побудова моделей множинної регресії включає кілька этапов:

• вибір форми зв’язку (рівняння регрессии):

• відбір факторних признаков:

• забезпечення достатнього обсягу сукупності щоб одержати несмещенных оценок.

Розглянемо докладніше кожен із них.

Вибір форми зв’язку не може тим, що, використовуючи математичний апарат, теоретично залежність між ознаками має великою кількістю різних функций.

Вибір типу рівняння ускладнене тим, що з будь-який форми залежності вибирається низку рівнянь, які у певної міри будуть описувати ці зв’язку. Деякі передумови для вибору певного рівняння регресії отримують з урахуванням аналізу попередніх аналогічних досліджень чи базі аналізу подібних робіт у суміжних галузях знань. Оскільки рівняння регресії будується головним чином заради пояснення й кількісного висловлювання взаємозв'язків, він повинен добре відбивати сформовані між досліджуваними чинниками фактичні связи,.

Найприйнятнішим способом визначення виду вихідного рівняння регресії є метод перебору різних уравнений.

Сутність цього методу у тому, що велика кількість рівнянь (моделей) регресії, відібраних для описи зв’язків будь-якого соціальноекономічного явища чи процесу, реалізується на ЕОМ з допомогою спеціально розробленого алгоритму перебору із наступною статистичної перевіркою, головним чином основі t-крнтерия Стьюдeнта і F-критерия Фішера. Спосіб перебору є дуже важким і пов’язані з великим обсягом обчислювальних робіт. Практика побудови багатофакторних моделей взаємозв'язку показує, що це реально існуючі залежності між соціально-економічними явищами можна описати, використовуючи п’ять типів моделей: 1. лінійна: Y=A0+A1X1+…AkXk 2. статечний 3. показова 4. параболічна 5. гиперболическая.

Основне значення мають лінійні моделі у силу простоти і логічності їх економічної інтерпретації. Нелинейные форми залежності наводяться до лінійним шляхом линеаризации.

Важливим етапом побудови вже обраного рівняння множинної регресії є добір і наступне включення факторних ознак. Складність формування рівняння множинної регресії у тому, що всі факторні ознаки перебувають у залежності одне одного. Проблема розмірності моделі зв’язку, т. е. визначення оптимальної кількості факторних ознак, є одним із основних проблем побудови множинного рівняння регресії. З одного боку, що більше факторних ознак включено в рівняння, тим вона краще описує явище. Проте модель размерностью 100 і більше факторних ознак складно реалізується і вимагають великих витрат машинного часу. Скорочення розмірності моделі за рахунок виключення другорядних, економічно та статистично несуттєвих чинників сприяє простоті і якістю його реалізації. У той самий час побудова моделі регресії малої розмірності можуть призвести до того що, що така модель не вистачить адекватна досліджуваним явищам і процесам. Проблема відбору факторних ознак для побудови моделей взаємозв'язку може бути розв’язана з урахуванням евристичних чи багатомірних статистичних методів анализа.

Метод експертні оцінки як евристичний метод аналізу основних макроекономічних показників, формують єдину междуна-, рідну систему розрахунків, грунтується на интуитивно-логических передумови, содержательно-качественном аналізі. Аналіз експертної інформації проводиться з урахуванням розрахунку аналізу непараметрических показників зв’язку: рангових коефіцієнтів кореляції Спирмена, Кендалла і конкордации .

Найприйнятнішим способом відбору факторних ознак є крокова регресія (кроковий регресійний аналіз). Сутність методу крокової регресії залежить від послідовному включенні чинників в рівняння регресії і наступного перевірці їхньої значимості. Чинники по черзі вводяться в рівняння так званим «прямим методом ». Під час перевірки значимості введеного чинника визначається, наскільки зменшується сума квадратів залишків і збільшується величина множинного коефіцієнта кореляції. одночасно використовують і зворотний метод, тобто., виняток чинників, стали незначущі з урахуванням t-критерия Стьюдента. Чинник є незначущим, якщо його включення до рівняння регресії лише змінює значення коефіцієнтів регресії, не зменшуючи суми квадратів залишків і збільшуючи їх значення. Якщо за включенні в модель відповідного факторного ознаки величина множинного коефіцієнта кореляції збільшується, а коефіцієнт регресії не змінюється (чи змінюється несуттєво), то даний ознака істотний та її включення до рівняння регресії необходимо.

Якщо навіть за включенні в модель факторного ознаки коефіцієнти регресії змінюють як величину, а й знаки, а множинний коефіцієнт кореляції зростає, то даний факторний ознака визнається недоцільним для включення до модель связи.

Складність і взаємна переплетення окремих чинників, що обумовлюють досліджуване економічне явище (процес), виявлятися в так званої мультиколлинеарности. Під мультиколлинеарностью розуміється тісний залежність між факторными ознаками, включеними в модель.

Наявність мультиколлинеарности між ознаками наводить к:

• спотворення величини параметрів моделі, які мають тенденцію до завышению;

• зміни сенсу економічної інтерпретації коефіцієнтів регрессии;

. слабкої зумовленості системи нормальних уравнений;

. ускладнення процесу визначення істотних факторних признаков.

Однією з індикаторів визначення наявності мультиколлинеарности між ознаками є перевищення парним коефіцієнтом кореляції величини 0,8 .

Усунення мультиколлинеарности може реалізовуватися через виняток з кореляційної моделі однієї чи кількох линейно-связанных факторних ознак чи перетворення вихідних факторних ознак на нові, укрупнені факторы.

Питання, який із чинників годиться викинути, вирішується на підставі якісного логічного аналізів досліджуваного явления.

Якість рівняння регресії залежить від рівня достовірності й надійності вихідних даних, і обсягу сукупності. Дослідник повинен йти до збільшення кількості спостережень, оскільки великий обсяг спостережень є одним із передумов побудови адекватних статистичних моделей.

Аналітична форма висловлювання зв’язку результативного ознаки й низки факторних називається многофакторным (множинним) рівнянням регресії, чи моделлю связи.

Рівняння лінійної множинної регресії має вид:

Y=A0+A1X1+…AkXk.

Коефіцієнти Аn обчислюються з допомогою систем нормальних рівнянь. Наприклад система нормальних рівнянь для обчислення коефіцієнтів регресії для рівняння лінійної регресії з цими двома факторными признаками:

[pic].

где An=an Загальний вид нормальних рівнянь до розрахунку коефіцієнтів регрессии:

[pic].

Оценка суттєвості зв’язку, прийняття рішення основі рівняння регрессии.

Перевірка адекватності моделей, побудованих з урахуванням рівнянь регресії, починається з перевірки значимості кожного коефіцієнта регресії. Значимість коефіцієнтів регресії здійснюється з допомогою t-критерия Стьюдента:

— дисперсія коефіцієнта регресії. Параметр моделі визнається статистично значимим, якщо tp>tкр

Найскладнішим у тому вираженні є визначення дисперсії, яка то, можливо розрахована двояким способом. Найпростіший спосіб, вироблений методикою експериментування, у тому, що обсяг дисперсії коефіцієнта регресії то, можливо наближено визначену за выражению:

— дисперсія результативного ознаки: k — число факторних ознак в уравнении.

Найскладнішим етапом, завершальним регресійний аналіз, є інтерпретація рівняння, т. е. переклад його з мови статисти та математики мовою економіста. Інтерпретація моделей регресії здійснюється методами тієї галузі знань, до якої належить досліджувані явища. Але кожна інтерпретація починається з статистичної оцінки рівняння регресії загалом з оцінкою значимості які входять у модель факторних ознак, т. е. зі з’ясування, як впливають на величину результативного ознаки. Чим більший величина коефіцієнта регресії, то більша вплив даного ознаки на моделируемый. Особливого значення у своїй має знак перед коефіцієнтом регресії. Знаки коефіцієнтів регресії говорять про характері впливу результативний ознака. Якщо факторний ознака має знак плюс, те з збільшенням даного чинника результативний ознака зростає; якщо факторний ознака зі знаком мінус, те з його збільшенням результативний ознака зменшується. Інтерпретація цих знаків повністю визначається соціально-економічним змістом моделируемого (результативного) ознаки. Якщо його величина змінюється у бік зростання, то плюсові знаки факторних ознак мають позитивний вплив. При зміні результативного призна-л-1 у бік зниження позитивне значення мають мінусові знаки факторних ознак. Якщо економічна теорія підказує, що факторний ознака повинен мати позитивне значення, а він з знаком мінус, необхідно перевірити розрахунки параметрів рівняння регресії. Таке явище найчастіше буває силу допущених помилок при рішенні. Проте слід пам’ятати, що з аналізі сукупного впливу чинників, за наявності взаємозв'язків з-поміж них характер їхнього впливу може змінюватися. Щоб бути впевненим, що факторний ознака змінив знак впливу, необхідна ретельна перевірка вирішення цієї моделі, оскільки часто знаки можуть змінюватися в тому силу допустимих помилок під час збирання чи обробці інформації. При адекватності рівняння регресії досліджуваного процесу можливі такі варіанти. 1. Побудована модель з урахуванням її перевірки по F-критерию Фішера загалом адекватна, і всі коефіцієнти регресії значимі. У такій моделі то, можливо використана прийняття рішень для реалізації прогнозів. 2. Модель по F-критерию Фішера адекватна, але частина коефіцієнтів регресії незначима. І тут модель придатна до ухвалення деяких рішень, але з для прогнозів. 3. Модель по F-критерию Фішера адекватна, але не всі коефіцієнти регресії незначимі. Тому модель повністю вважається неадекватною. її основі не приймають рішення і здійснюються прогнозы.

Практична частина работы.

1. Опис объекта.

У нашому випадку об'єктом дослідження є сукупність спостережень за відвідуванням WEB сайту Комітету у справах семъи й молоді Уряди р. Москви internet Тематика сайту — це надання соціально незахищеним верствам населення: молоді, студентам інформації про працевлаштуванні у Москві. Інформація щодня оновлюється, приблизно 200 нових вакансій щодня. На сайті міститься інформацію про поточних програмах уряду р. Москви вкладених у підтримку зазначених вище тих категорій населення. Моделируемым показником є Nкількість людей щодня які відвідали сайт.

2. Чинники формують моделируемое явление.

Відбір чинників для моделі ввозяться два етапу. У першому йде аналіз, за результатами якого дослідник робить висновок необхідність розгляду тих чи інших явищ як змінних, визначальних закономірності розвитку досліджуваного процесу, другою — склад попередньо відібраних чинників уточнюється безпосередньо по результатам статистичного анализа.

Отримані дані з допомогою програми контролю над комп’ютерної мережею (Net Medic, Net lab) не є зовсім точними, але досить близькі до реальним і з цього вважатимемо, що вони дають уявлення про характер процесу. (отримання точніших даних захопив автора неможливо у зв’язку з із недостатньою технічної базою) З сукупності цих факторів я відібрав такі :

Зависимый фактор:

Nкількість людей щодня які відвідали сайт.

Для моделі у абсолютних показателях Независимые чинники: P — Завантаженість внутрішньої мережі (чел/день) P. S — Cкорость обміну даними у мережі Кбит/сек V — У вакансій сучасний день B — Кількість «Баннерів» — рекламних посилань на досліджуваний сайт. Дані представлені у таблиці 1.

Таблиця 1.

|№ Об'єкт |N |P |P.S |V |B | |спостереження |Кол-во|Загруже|Скорость|Кол-во |У | | |челове|нность |обміну |вакансий|баннеро| | |до в |внутрен|данными |на |в | | |день |ній |у мережі |поточний | | | | |мережі |Кбит/сек|день. | | | | |(чел/де| | | | | | |зв) | | | | |1 |11 |651 |2627 |165 |4 | |2 |18 |1046 |3045 |400 |4 | |3 |19 |944 |2554 |312 |5 | |4 |11 |1084 |4089 |341 |4 | |5 |15 |1260 |6417 |496 |7 | |6 |10 |1212 |4845 |264 |8 | |7 |12 |254 |923 |78 |1 | |8 |14 |1795 |9602 |599 |13 | |9 |9 |2851 |12 542 |622 |12 | |10 |15 |1156 |6718 |461 |9 |.

3. Аналіз матриці коефіцієнтів парних корреляций.

Таблиця 2.

|№ чинника |N |P |P.S |V |B | |N |1.00 |-0.22|-0.06|0.44|0.12| |P |-0.22|1.00 |0.91 |0.68|0.74| |P.S |-0.06|0.91 |1.00 |0.86|0.91| |V |0.44 |0.68 |0.86 |1.00|0.85| |B |0.12 |0.74 |0.91 |0.85|1.00|.

З таблиці 2 знаходимо тісно коррелирующие чинники. В наявності мультиколлениарность чинників P і P. S (0.91). Залишимо лише одне чинник P. І це дійсно якщо швидкість мережі висока вона може без значних затримок у часі обробити значне у запитів від користувачів, отже що більше швидкість мережі тим більше у ній користувачів. Тим загруженее мережу. 4. Побудова рівняння регрессии.

Використовуючи програмне забезпечення «ОЛИМП» (що у своє чергу використовує для розрахунків вищезазначені принципи і формули ніж значно полегшує нам життя), знайдемо дані рівняння множинної регресії, виключивши зі розрахунків, як вказувалося вище, чинники P. S — швидкість мережі (чел/день).

Шляхом перебору можливих комбінацій решти факторних ознак одержимо таку модель:

Функція N = +12.567−0.005*P+0.018*V.

Оцінки коефіцієнтів лінійної регрессии.

|№ |Значення |Дисперсія |Среднеквадратическое |Значення | | | | |відхилення |tрасч | |1 |12.57 |2.54 |1.59 |7.88 | |2 |-0.01 |0 |0 |-3.60 | |3 |0.02 |0 |0 |4.07 |.

Кpитические значення t-pаспpеделения пpи 8 ступенях свободи мають такі значення: веpоятность t-значение.

0.900 1.400.

0.950 1.863.

0.990 2.887.

В нашої моделі |tрасч |> tкритич в усіх коефіцієнтів регресії отже можна стверджувати, що модель є адекватної моделируемому явища, тобто. гіпотеза — про значимості рівняння не відхиляється, про що свідчать також дані видані компьютером:

Характеристики остатков.

Середнє значення… -0.000.

Оцінка дисперсії… 3.6.

Оцінка наведеної дисперсії… 4.95.

Середній модуль залишків… 1.391.

Відносна помилка апроксимації. 9.898.

Критерій Дарбина-Уотсона… 1.536.

Коефіцієнт детермінації… 0.690.

F — значення (n1 = 3, n2 = 8)… 143.

Гіпотеза про значимість рівняння не відхиляється з імовірністю 0.950.

5. Сенс модели.

При зростання кількості вакансій щодня, кількість які відвідали сайт людей збільшуватиметься. Це означає що у сьогодні сайт в повному обсязі задовольняє запити користувачів, що слід збільшити кількість вакансій, та у з існуючим економіки Росії становищем це проблематичным.

При збільшенні завантаженості внутрішньої мережі у якій розташований сервер у якому досліджуваний сайт громадян України які відвідали сайт буде зменшаться через зниження швидкості доступу щодо нього і навіть через можливі перевантаженнях в вузлах мережі, у зв’язку з ніж сервер у якому сайт може відповідати на запити користувачів. Також із перевантаженням пов’язані різні збої у роботі системи, що негативно позначається на роботі сайту. Коефіцієнт детермінації у лінійної моделі - 0.69. Це означає, що чинники, ввійшли до модель пояснюють зміна кількості які відвідали сайт людей на 69%. Отже значення отримані з допомогою лінійної моделі близькі до фактическим.

«Теория статистики» підручник під редакцією проф. Р. А. Шмойловой Видавництво «Фінанси і статистика» 1996 г.

———————————;

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].