Елементарні випадкові функції. 
Закони розподілу випадкових процесів (реферат)

Реферат На тему:

Елементарні випадкові функції. Закони розподілу випадкових процесів У реальних задачах випадкові процеси зручно подавати у вигляді найпростіших елементарних функцій.

Елементарною випадковою функцією називається така функція від аргументу t, в якій залежність від t подається звичайною невипадковою функцією, причому як параметри туди входять одна або кілька звичайних, незалежних від t випадкових величин.

Приклад 1. Елементарна випадкова функція має такий вигляд:

$$Y\left(t\right)=X\text{ln}t\left(t>0\right),$$.

де Х — неперервна випадкова величина, яка має, наприклад, рівномірний закон розподілу на проміжку (-1- 1).

Множину реалізацій $$Y\left(t\right)$$ ілюструє рис. 2.

Рис. 2.

Приклад 2. Елементарна випадкова функція подається у вигляді.

$$Y\left(t\right)=X\text{cos}\text{at},$$.

де Х — випадкова величинаa — невипадковий параметр. Множину реалізацій зображено на рис. 3.

Рис. 3.

Закони розподілу випадкових процесів

Нехай маємо випадковий процес $$X\left(t\right)\text{.}$$ Переріз для $$X\left(t\right)$$ при будь-якому значенні аргументу t є випадковою величиною, яка має такий закон розподілу:

$$F\left(t,x\right)=P\left(X\left(t\right)<x\right)$$. (1).

$$F\left(x,t\right)$$ є функцією розподілу ймовірностей, яка залежить від двох аргументів: t, для якого проводиться переріз, та Х, меншим за яке має бути випадкова функція $$X\left(t\right)\text{.}$$.

Функція (1) називається одновимірним законом розподілу випадкового процесу $$X\left(t\right)$$. Ця функція характеризує лише властивості одного, окремо вибраного перерізу випадкового процесу $$X\left(t\right)$$, але не дає інформації про спільний розподіл двох і більше перерізів.

Розглянемо два випадкові процеси, подані реалізаціями на рис. 4 і 5.

Рис. 4Рис. 5.

Якщо реалізації випадкового процесу $$X_1\left(t\right)$$ мають плавний характер, то для $$X_2\left(t\right)$$ ми спостерігаємо різкі зміни реалізації. Для процесу $$X_1\left(t\right)$$ характерна тісна залежність між перерізами випадкового процесу, тоді як для $$X_2\left(t\right)$$ тіснота цієї залежності зменшується зі збільшенням відстані між перерізами.

Отже, $$F\left(t,x\right)$$ не дає повної інформації про випадковий процес. Очевидно, повнішу інформацію може дати двовимірний закон розподілу, який подається спільною функцією розподілу двох перерізів випадкового процесу $$X\left(t\right),$$ які беруться для моменту часу $$t_1,t_2$$ :

$$F\left(t_1,t_2,x_1,x_2\right)=P\left(X\left(t_i\right)<x_1,X\left(t_2\right)<x_2\right)$$. (2).

Таким чином, ми дістали функцію чотирьох аргументів: $$t_1,t_2,x_1,x_2\text{.}$$.

Це показано на рис. 6.

Рис. 6.

Теоретично можна необмежено збільшувати кількість перерізів і діставати при цьому повнішу інформацію про випадковий процес $$X\left(t\right)\text{.}$$ Але оперувати з такими функціями, які залежать від багатьох аргументів, дуже незручно. Обсяг інформації, який дістаємо зі збільшенням кількості перерізів, дуже швидко зростає. Тому, як правило, обмежуються лише двома перерізами, тобто розглядають функцію розподілу (2). Для одного перерізу закон розподілу можна задати щільністю ймовірностей $$f\left(t,x\right)\text{.}$$.

Добуток $$f\left(t,x\right)\text{dx}$$ наближено дорівнює значенню ймовірності $$P\left(x<X\left(t\right)<x+\text{dx}\right)$$ .

Отже, $$f\left(t,x\right)=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{F\left(t,x+\mathit{}\right)-F\left(t,x\right)}{\mathit{}}=F_x^{\text{'}}\left(t,x\right)$$. (3).

Імовірність $$P\left(x<X\left(t\right)<x+\mathit{}\right)$$ унаочнює рис. 7.

Рис. 7.

Щільність імовірностей для двох перерізів подається так:

$$f\left(t_1,t_2,x_1,x_2\right)=\frac{{}^{2}F\left(t_1,t_2,x_1,x_2\right)}{x_1{x}_2}$$. (4).

Добуток $$f\left(t_1,t_2,x_1,x_2\right){\text{dx}}_1{\text{dx}}_2$$ є наближеним значенням імовірності $$P\left(x_1<X\left(t_1\right)<x_1+{\text{dx}}_1,x_2<X\left(t\right)<x_2+{\text{dx}}_2\right),$$ яку зображено на рис. 8.

Рис. 8.

Функція $$f\left(t_1,t_2,x_1,x_2\right)$$ має дві важливі властивості:

1) $$f\left(t_1,t_2,x_1,x_2\right)=f\left(t_2,t_1,x_2,x_1\right)$$ — симетрія;

2) $$\begin{array}{c}\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}f\left(t_1,t_2,x_1,x_2\right){\text{dx}}_2=f\left(t_1,x_1\right)\text{.}\\ \end{array}$$.