Загальні теореми множення й додавання ймовірностей (реферат)

РЕФЕРАТ на тему:

Загальні теореми множення й додавання ймовірностей ПЛАН.

1. 1.Додавання ймовірностей несумісних подій.

2. 2.Ймовірність добутку незалежних подій.

3. 3.Додавання ймовірностей довільних подій.

4. 4.Ймовірність настання хоча б однієї події.

5. 5.Теорема множення ймовірностей залежних і незалежних подій.

6. 6.Приклади розв’язання типових задач.

Список використаної літератури.

1. Додавання ймовірностей несумісних подій Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

(1).

Формула додавання ймовірностей справедлива і тоді коли подія є об'єднанням будь-якого скінченого числа несумісних подій:

(2).

якщо.

З формули додавання ймовірностей випливає, що сума ймовірностей настання події і події, протилежної до, дорівнює одиниці. Тобто.

.

Звідси.

(формула ймовірності протилежної події);

2. Ймовірність добутку подій.

Означення 4. Дві події і називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від появи, чи не появи іншої. У протилежному випадку вони називаються залежними.

Нехай і - незалежні події. Тоді ймовірність одночасної появи цих подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

. (2).

3. Формула суми ймовірностей довільних подій Ймовірність появи хоча б однієї із двох довільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірностей їх довільної появи:

. (3).

Дана формула може бути узагальнена на будь-яке скінчене число сумісних подій. Наприклад, для трьох сумісних подій.

.

4. Ймовірність настання хоча б однієї події.

Ймовірність настання події, яка полягає в настанні хоча б однієї з подій дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій :

. (4).

Якщо всі подій мають однакову ймовірність, то ф-ла (4) має вигляд:

. (5).

5. Теорема множення ймовірностей залежних і незалежних подій З формул.

. (5.3).

. (5.4).

для обчислення умовної ймовірності безпосередньо випливають теореми множення ймовірностей.

Теорема 1. Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої при умові, що відбулась перша, тобто.

. (5.5).

Методом математичної індукції теорема 1 поширюється на довільне число співмножників.

Теорема 2. Для довільних подій справедлива формула.

. (5.6).

Якщо події незалежні, то теорема множення набуває вигляду:

Теорема 3. Ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей, тобто.

. (5.7).

Означення 5. Події називаються незалежними в сукупності, якщо при будь-яких справедлива рівність.

(5.8).

та попарно незалежними, якщо при будь-яких.

. (5.9).

Очевидно, що події незалежні в сукупності є також попарно незалежними. Для незалежної сукупності подій теорема множення ймовірностей набуває вигляду:

. (5.10).

6. Приклади розв’язання задач за допомогою даних теорем Приклад 1. На полиці у випадковому порядку розставлено 15 книжок, причому 6 з них з математики. Навмання беруть три книжки. Знайти ймовірність того, що серед них хоч одна книжка з математики.

Розв’язання.

І спосіб. Подіяхоча б одна з трьох взятих книжок з математики, відбудеться, якщо відбудеться будь-яка з трьох несумісних подій: — одна книжка з математики, — дві книжки з математики, — три книжки з математики. За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій. Знайдемо ймовірності подій :

Отже,.

ІІ спосіб. Подія (хоча б одна книжка з математики) і (жодна із взятих книг не з математики) — протилежні, тому, звідки. Знайдемо :

. Тоді .

Приклад 2. Ймовірність появи деякої випадкової події у першому випробовуванні - 0.9, у другому — 0.8, у третьому — 0.7. Яка ймовірність того, що при трьох випробовуваннях подія з’явиться:

1) тільки один раз;

2) тільки два рази;

3) принаймі один раз;

4) жодного разу.

Розв’язання. Позначимо появу події вму випробуванні через. За умовою задачі.

Тоді, , .

Отже,.

1. Ймовірність того, що подія наступить один раз при трьох випробуваннях:

.

2. Ймовірність того, що подія наступить тільки два рази при трьох випробуваннях:

.

3. Ймовірність того, що подія наступить принаймі один раз в трьох випробуваннях:

.

4. Ймовірність того, що подія не наступить жодного разу в даних трьох випробуваннях .

Приклад 3

В ящику знаходиться 7 деталей вищого та 4 деталі першого гатунку. З ящика навмання витягують 4 деталі. Знайти ймовірності подій.

1)серед них менше двох деталей вищого гатунку ;

2)хоча б одна деталь першого гатунку .

Розвязання .

Розглянемо події.

А={не менше двох деталей вищого гатунку },.

В={хоча б одна деталь першого гатунку},.

={усі деталі першого гатунку},.

={лише одна деталь вищого гатунку},.

={лише дві деталі вищого гатунку},.

={лише три деталі вищого гатунку},.

={чотири деталі вищого гатунку}.

Знайдено ймовірність події А .

Очевидно ,.

Тому простіше знайти спочатку Р (), а потім Р (А).

За класичним визначенням ймовірності.

Тому.

Тоді.

Р (А)=1-Р (А)=1-.

Знайдемо ймовірність події В .

Очевидно,.

і .

Тому.

Приклад 4. Задано множину цілих чисел ={1,2,…, 30}. Навмання з цієї множини беруть одне число. Яка ймовірність того, що воно виявиться кратним 5 або 7 ?

Розвязання. Простір істить n=30 елементарних подій. Позначимо через, А подію, що полягає в появі числа, кратного 5, а через В у появі числа, кратного 7 .Тоді дістанемо :

А=(5,10,15,20,25,30), =6 ;

В=(7,14,21,28), =4 ;

А = >

Згідно з (1) маємо:

Р (А) = Р (А) + Р (В)=.

Приклад 5. В урні містяться 20 однакових кульок які пономеровані від 1 до 20. Навмання із урни беруть одну кульку. Яка ймовірність того, що номер кульки виявиться кратним 3 або 5 ?

Розвязання. Кількість усіх елементарних подій множини =20. Позначемо через, А подію, що номер кульки кратний трьом А={3,6,9,12,15,18, }, а через В = {5,10,15,20} = 4 — появу кульки із номером, кратним 5 .

Подія: А і В є сумісними подіями.Їх перетин, А = (15).

Згідно з (3.) дістанемо.

Р (А=Р (А)+Р (В)-Р (А= =.

Список використаної літеатури

1. 1.Калемаев В. А., Староверов О. В., Турундаевский В. Б. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1991.

2. 2.Теорія ймовірностей і математична статистика / Г. Я. Стопень, В. Б. Рудницький і т.д., Хмельницький, ТУП, 2001.

3. 3.Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. — М.:Наука, 1987.