Π”ΠΎΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π° Ρƒ написанні освітніх Ρ€ΠΎΠ±Ρ–Ρ‚...
Π”ΠΎΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌΠΎ швидко Ρ‚Π° Π· Π³Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚Ρ–Ρ”ΡŽ якості!

Π’ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½Ρ– простори Ρ‚Π° основні означСння ΠΏΠΎΠ²"язані Π· Π½ΠΈΠΌΠΈ

ΠšΡƒΡ€ΡΠΎΠ²Π°Π”ΠΎΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π° Π² написанніДізнатися Π²Π°Ρ€Ρ‚Ρ–ΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΡ”Ρ— Ρ€ΠΎΠ±ΠΎΡ‚ΠΈ

Π—Π³Ρ–Π΄Π½ΠΎ Π· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, існує скінчСнна ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ… ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π², Ρ‰ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΡ€ΠΈΠ²Π°Ρ” ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρƒ. МноТина являє собою Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΠΉ ΠΎΠΊΡ–Π» Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ– Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠ½Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ–Π· ΠΎΠ±'єднанням сукупності ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π², які ΡƒΡ‚Π²ΠΎΡ€ΡŽΡŽΡ‚ΡŒ скінчСннС покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΎΠΌΡƒ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠ½Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π·. Для ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ±ΡƒΠ΄ΡƒΡ”ΠΌΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΡ–Π», який Π½Π΅ ΠΌΡ–ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ. Π¦Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ”, Ρ‰ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π° мноТиною Π½Π΅ ΠΌΡ–ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΆΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π΄ΠΎΡ‚ΠΈΠΊΡƒ… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ Ρ‰Π΅ >

Π’ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½Ρ– простори Ρ‚Π° основні означСння ΠΏΠΎΠ²"язані Π· Π½ΠΈΠΌΠΈ (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсова, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°)

Зміст Вступ

1. Вопологія. Π‘Π°Π·ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— Ρ‚Π° ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠΈ ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π²

2. Замикання ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ. Аксіоми числСнності. Π—Π±Ρ–ΠΆΠ½Ρ– послідовності

3. ΠŸΡ–Π΄ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ–Ρ€ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΈΠΉ Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΎΠΊ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΡ… просторів

4. НСпСрСрвні відобраТСння Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΡ… просторів

5. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΡ… просторах Висновки Бписок використаної Π»Ρ–Ρ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€ΠΈ

Вступ Π’ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΠΉ простір Ρ” Ρ‚ΠΈΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΈΠΌ поняттям, якС Π΄Π°Ρ” ΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²Ρ–ΡΡ‚ΡŒ розглянути Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Ρ–Π΄ Ρ– Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ відобраТСння Π² Π½Π°ΠΉΠ±Ρ–Π»ΡŒΡˆ Π·Π°Π³Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ вигляді Ρ‚Π° ΡƒΠ·Π°Π³Π°Π»ΡŒΠ½ΡŽΡ” поняття ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору.

ΠœΠ΅Ρ‚Π° курсової Ρ€ΠΎΠ±ΠΎΡ‚ΠΈ: ΠΎΠ·Π½Π°ΠΉΠΎΠΌΠΈΡ‚ΠΈΡΡŒ Π· ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚тям Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору, розглянути основні означСння. Розглянути Ρ€Ρ–Π·Π½Ρ– Ρ‚ΠΈΠΏΠΈ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΡ… просторів.

Завдання:

— ΠΎΠ·Π½Π°ΠΉΠΎΠΌΠΈΡ‚ΠΈΡΡŒ Π· ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΈΠΌΠΈ означСннями Π² Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΡ… просторах;

— Π·'ясувати які Ρ” Ρ‚ΠΈΠΏΠΈ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΡ… просторів;

— Ρ€ΠΎΠ·Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½Ρ– відобраТСння Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΡ… просторів.

Об'Ρ”ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ курсової Ρ€ΠΎΠ±ΠΎΡ‚ΠΈ Ρ” Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½Ρ– простори.

Π”Π°Π½Π° курсова Ρ€ΠΎΠ±ΠΎΡ‚Π° ΡΠΊΠ»Π°Π΄Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ–Π· ΠΏ’яти Ρ€ΠΎΠ·Π΄Ρ–Π»Ρ–Π², вступу, висновків Ρ‚Π° Π²ΠΈΠΊΠΎΡ€ΠΈΡΡ‚Π°Π½ΠΎΡ— Π»Ρ–Ρ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€ΠΈ. Π’ ΠΏΠ΅Ρ€ΡˆΠΎΠΌΡƒ Ρ€ΠΎΠ·Π΄Ρ–Π»Ρ– ΠΌΠΎΠ²Π° ΠΉΠ΄Π΅ ΠΏΡ€ΠΎ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½Π΅Π½Ρ– ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Ρ– ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΈ, базиси Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—, ΠΏΡ€ΠΎ ΡΠΊΡ€Ρ–Π·ΡŒ Ρ‰Ρ–Π»ΡŒΠ½Ρ– ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎ Π½Ρ–Π΄Π΅ Π½Π΅ Ρ‰Ρ–Π»ΡŒΠ½Ρ– ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ. Π—ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ°, Π½Π°Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ– означСння Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору Ρ‚Π° Π±Π°Π·ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору; Ρƒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ Ρ€ΠΎΠ·Π΄Ρ–Π»Ρ– Π½Π°Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ– означСння Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ Π΄ΠΎΡ‚ΠΈΠΊΡƒ, ΠΌΠ΅ΠΆΠΎΠ²ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ. Π’Π°ΠΊΠΎΠΆ Π½Π°Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ– аксіоми числСнності Ρ‚Π° Ρ€ΠΎΠ·ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Ρ– поняття Π·Π±Ρ–ΠΆΠ½ΠΈΡ… послідовностСй; Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚Ρ–ΠΉ Ρ€ΠΎΠ·Π΄Ρ–Π» Ρ€ΠΎΠ·ΠΊΡ€ΠΈΠ²Π°Ρ” Π½Π°ΠΌ поняття підпростору Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору. Π”Π°Π½ΠΎ означСння прямого Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΊΡƒ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору; Ρƒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ€ΠΎΠ·Π΄Ρ–Π»Ρ– висвітлСнС поняття Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ відобраТСння Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ–; ΠΏ’ятий Ρ€ΠΎΠ·Π΄Ρ–Π» присвячСний компактності Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΡ… просторів.

1. Вопологія. Π‘Π°Π·ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— Ρ‚Π° ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠΈ ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Π―ΠΊΡ‰ΠΎ — Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½Π° нСпороТня ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ всіх ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Ρ†Ρ–Ρ”Ρ— ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ,. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, .

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 1. Клас Ρ„ ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Π½Π΅ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ½ΡŒΠΎΡ— ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ”ΡŽ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρ–, якщо Π²Ρ–Π½ Π²ΠΎΠ»ΠΎΠ΄Ρ–Ρ” властивостями (Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” наступні ΡƒΠΌΠΎΠ²ΠΈ):

1)

2) якщо Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° індСксів, Ρ‚ΠΎ

3) ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌΡƒ справСдливС .

Впорядкована ΠΏΠ°Ρ€Π° ΠΏΡ€ΠΈ Ρ†ΡŒΠΎΠΌΡƒ Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΠΌ простором (Ρ‚.ΠΏ.). МноТини Ρ–Π· Π²ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎΠ³ΠΎ класу Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡŒΡΡ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору .

Π—Π°Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎ, Ρ‰ΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ²ΠΈ 13 Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡŒΡΡ Ρ–Π½Π°ΠΊΡˆΠ΅ аксіомами Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору, який Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·, якщо Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΎ яку Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–ΡŽ Ρ–Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠ²Π°.

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 2. МноТина, Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΡŽ Π² Ρ‚.ΠΏ., якщо .

Π‘ΠΏΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‡ΠΈΡΡŒ Π½Π° Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΈ Π΄Π΅ ΠœΠΎΡ€Π³Π°Π½Π° Ρ‚Π° Π²Π»Π°ΡΡ‚ивості Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Ρ‚.ΠΏ. ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° довСсти наступні твСрдТСння:

Π°) Ρ‚Π° Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ– ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ;

Π±) ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠ½ Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΎΡ— сукупності Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΈΠΉ;

Π²) ΠΎΠ±'єднання скінчСнної сукупності Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Π΅.

ЗауваТСння 1. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ дСякий клас ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, який Π²ΠΎΠ»ΠΎΠ΄Ρ–Ρ” Π²ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠΈ Π²ΠΈΡ‰Π΅ властивостями Π°), Π±), Π²), Ρ‰ΠΎ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ– для Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΈΡ… ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Ρ‚.ΠΏ., Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ– Ρ†ΡŒΠΎΠ³ΠΎ класу Π²ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ топологія Π½Π°, яка ΡΠΊΠ»Π°Π΄Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ, як ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΠΈ, Π· ΡƒΡΡ–Ρ… Π½Π°ΠΉΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²Ρ–ΡˆΠΈΡ… доповнСнь Π΄ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½.

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 1. Впорядкована ΠΏΠ°Ρ€Π° ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ всіх Π½Π°ΠΉΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²Ρ–ΡˆΠΈΡ… ΠΎΠ±'Ρ”Π΄Π½Π°Π½ΡŒ Ρ–Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ–Π² Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Ρ–Π· мноТиною, Ρ” Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΠΉ простір.

Π’ΠΈΡΠ²Π»ΡΡ”Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‰ΠΎ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρ–, яка ΠΌΡ–ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π±Ρ–Π»ΡŒΡˆΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΅Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΠΈ Ρ€Ρ–Π·Π½Ρ– Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌΡƒΡŽΡ‡ΠΈ Ρ€Ρ–Π·Π½Ρ– Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½Ρ– простори. Π—ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ° топологіями Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρ– Ρ” наступні класи ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½:. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ†ΡŒΠΎΠΌΡƒ Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π°Π½Ρ‚ΠΈΠ΄ΠΈΡΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ”ΡŽ, Π° Π΄ΠΈΡΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ”ΡŽ. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½Π° топологія Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρ–, Π²ΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ–ΠΉ Π²ΠΈΡ‰Π΅, Ρ‚ΠΎ, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, .

Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρ–, Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ– Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— Ρ–, Ρ‚ΠΎ Ρ‚опологія Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ–ΡˆΠΎΡŽ Π·Π° Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–ΡŽ, Π° Ρ‚опологія — слабшою Π·Π° Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–ΡŽ .

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 3. ΠŸΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Ρ‚.ΠΏ., Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, якщо Π²ΠΎΠ½Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ” дСяку Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Ρƒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρƒ Ρ–Π·, Ρ‰ΠΎ ΠΌΡ–ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ .

Π‘ΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ всіх ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 4. Π”ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½Π° Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°, Ρ‚.ΠΏ., яка ΠΌΡ–ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΠΌ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ .

Π‘ΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ всіх Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ… ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· .

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°, Ρ” Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΎΡŽ Π² Ρ‚.ΠΏ. Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ– Ρ– лишС Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ–, ΠΊΠΎΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ½Π° Ρ” ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΡ— своєї Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1. НСхай ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π΅Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ поставлСно Ρƒ Π²Ρ–Π΄ΠΏΠΎΠ²Ρ–Π΄Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, які Π²ΠΎΠ»ΠΎΠ΄Ρ–ΡŽΡ‚ΡŒ властивостями.

Π’ΠΎΠ΄Ρ– існує Ρ”Π΄ΠΈΠ½Π° топологія Π½Π°, Π² ΡΠΊΡ–ΠΉ Π²Ρ–Π΄Ρ–Π³Ρ€Π°Ρ” Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ сукупності всіх ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ–Π·. Π’ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° топологія Π·Π°Π΄Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ€Ρ–Π²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŽ.

ДовСдСння ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΡŒΠΎΠ²Π°Π½ΠΎΡ— Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° Π·Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π² ΠΏΡ–Π΄Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΠΈΠΊΡƒ.

ЗауваТСння 2. НСваТко пСрСконатися Π² Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‰ΠΎ ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ всіх ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚.ΠΏ., Π²ΠΎΠ»ΠΎΠ΄Ρ–Ρ” властивостями Ρ‚ΠΈΠΏΡƒ 4)-7), які Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ– для сукупностСй ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, Π²ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΡ… Π² ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π½Ρ–ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ–. Π—Π°Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎ, Ρ‰ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1 Π΄Π°Ρ” ΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–ΡŽ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρ– Π· Π΄ΠΎΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎΡŽ класів ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎ які Ρ–Π΄Π΅ Ρ‚Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠ²Π°.

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 5. Клас, Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ базою Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρ–, якщо ΠΊΠΎΠΆΠ½Π° Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π° нСпороТня ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°, являє собою ΠΎΠ±'єднання дСякої сукупності ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Ρ–Π· Ρ†ΡŒΠΎΠ³ΠΎ класу.

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 2. Π‘Π°Π·ΠΎΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— Ρ” ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ всіх Π½Π°ΠΉΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²Ρ–ΡˆΠΈΡ… Ρ–Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ–Π² Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Ρ–Π· мноТиною. Роль Π±Π°Π·ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— Π²ΠΈΠΊΠΎΠ½ΡƒΡ” Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΆ зчислСнна ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ всіх Π½Π°ΠΉΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²Ρ–ΡˆΠΈΡ… Ρ–Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ–Π², Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Ρ–Π· мноТиною .

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 2. Клас, Ρ” базою Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρ– Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ– Ρ– Ρ‚Ρ–Π»ΡŒΠΊΠΈ Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ–, ΠΊΠΎΠ»ΠΈ

ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ…Ρ–Π΄Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π±Π°Π·Π° Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— Π½Π° Ρ–, Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅. Π’ΠΎΠΌΡƒ .

Π”ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ клас Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½,, Π²ΠΎΠ»ΠΎΠ΄Ρ–Ρ” Π²Π»Π°ΡΡ‚ΠΈΠ²Ρ–ΡΡ‚ΡŽ (1), Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΎΠΌΡƒ. ΠžΡ‚ΠΆΠ΅,, Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠΆΠ½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°, Ρ” ΠΎΠ±'єднанням ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Ρ–Π· класу

ЗауваТСння 3. На ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ– ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΡŒΠΎΡ— Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΠΈ, Ρ‰ΠΎ ΠΊΠ»Π°Ρ ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ” базою дСякої Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— Π½Π° Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ– Ρ– лишС Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ–, ΠΊΠΎΠ»ΠΈ Π²ΠΈΠΊΠΎΠ½ΡƒΡŽΡ‚ΡŒΡΡ ΡƒΠΌΠΎΠ²ΠΈ:

8) ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ” ΠΎΠ±'єднанням ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Ρ–Π· класу ;

9) для Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΈΡ… Π΄Π²ΠΎΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Ρ‚Π° Ρ–Π· класу Ρ– ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, існує ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°, Ρ‚Π°ΠΊΠ°, Ρ‰ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈ Ρ†ΡŒΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° топологія Π·Π°Π΄Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ класом ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½. Π”Π²Ρ– Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— Π½Π° Ρ–Π· ΡΠΏΡ–Π»ΡŒΠ½ΠΎΡŽ базою ΡΠΏΡ–Π²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡŒ.

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 6. Π‘ΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ базою систСми всіх ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Ρ†Ρ–Ρ”Ρ— Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ–Π· Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору, якщо .

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 3. Π’ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ просторі Ρ–Π· ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ”ΡŽ Π½Π° ΠΊΠ»Π°Ρ Ρ–Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ–Π² ΡƒΡ‚Π²ΠΎΡ€ΡŽΡ” Π±Π°Π·Ρƒ систСми всіх ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ…. Ця Π±Π°Π·Π° ΡΠΊΠ»Π°Π΄Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ–Π· зчислСнної сукупності ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ .

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 3. НСхай Π² ΠΊΠΎΠΆΠ½Ρ–ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ–, Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ клас ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, який Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” ΡƒΠΌΠΎΠ²ΠΈ:

10) ;

11)

12) .

Π’ΠΎΠ΄Ρ– існує Ρ”Π΄ΠΈΠ½Π° топологія Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρ–, для якої класи, Ρ” Π±Π°Π·Π°ΠΌΠΈ систСми всіх Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ… ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π° ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ всіх ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Ρ–Π· усіх класів, Ρ” базою Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΎΠΌΡƒ .

ДовСдСння Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΈ 3 Π·Π½ΠΎΠ²Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° Π·Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π² ΠΏΡ–Π΄Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΠΈΠΊΡƒ .

ЗауваТСння 4. МоТна пСрСконатися Π² Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‰ΠΎ ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚Ρ– всіх Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ… ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору, Π²ΠΎΠ»ΠΎΠ΄Ρ–ΡŽΡ‚ΡŒ властивостями Ρ‚ΠΈΠΏΡƒ 10−12), які Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ– для сукупностСй ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ–Π· ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΡŒΠΎΡ— Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΈ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 3 Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΆ Π΄Π°Ρ” ΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–ΡŽ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρ–, Π· Π΄ΠΎΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎΡŽ класів, ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, які Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡŽΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠΎΠ²ΠΈ 10−12) (Ρ– які для Ρ†Ρ–Ρ”Ρ— Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ΡŒ Π±Π°Π·Π°ΠΌΠΈ систСми всіх Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ… ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ .

2. Замикання ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ. Аксіоми числСнності. Π—Π±Ρ–ΠΆΠ½Ρ– послідовності

НСхай — Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½Π° нСпороТня ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Ρ‚.ΠΏ. .

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠ½ усіх Π½Π°ΠΉΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²Ρ–ΡˆΠΈΡ… Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Ρ–Π· Ρ‚.ΠΏ., які Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρƒ, Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡŒΡΡ замиканнями Ρ†Ρ–Ρ”Ρ— ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ– ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π°Π±ΠΎ .

ΠžΡΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΠΈ Π²ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΡ‰Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠ½ Ρ” Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°, Ρ‚ΠΎ Ρ– - Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΎΠΌΡƒ Ρ†Π΅ Π½Π°ΠΉΠ²ΡƒΠΆΡ‡Π° Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°, Ρ‰ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ” .

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ– Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°). ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†Ρ–Ρ замикання Π²ΠΎΠ»ΠΎΠ΄Ρ–Ρ” властивостями:. Π’ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ– означСння замикання.

НСхай Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ‚.ΠΏ., Ρ– ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ .

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 2. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΡŽ Π΄ΠΎΡ‚ΠΈΠΊΡƒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, якщо ;

Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, якщо ;

Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ–Π·ΠΎΠ»ΡŒΠΎΠ²Π°Π½ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, якщо .

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π΄ΠΎΡ‚ΠΈΠΊΡƒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ — Ρ†Π΅ Π°Π±ΠΎ Ρ–Π·ΠΎΠ»ΡŒΠΎΠ²Π°Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Π°Π±ΠΎ Ρ—Ρ— Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°. Π—Ρ€ΠΎΠ·ΡƒΠΌΡ–Π»ΠΎ, Ρ‰ΠΎ ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ всіх Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ Π΄ΠΎΡ‚ΠΈΠΊΡƒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ співпадає Ρ–Π· Ρ—Ρ— замиканням.

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 3. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Ρ–ΡˆΠ½ΡŒΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΡŽ ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ‚.ΠΏ., якщо .

Π‘ΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ всіх Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Ρ–ΡˆΠ½Ρ–Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ—Ρ— Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Ρ–ΡˆΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŽ Ρ– ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ .

МноТина Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ мСТСю ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ– ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ .

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 4. Π“ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‰ΠΎ Ρ‚.ΠΏ. Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ–, ΠΏΠ΅Ρ€ΡˆΡƒ аксіому Π· Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚Ρ– Π°.Π·.), якщо існує Π±Π°Π·Π° систСми всіх ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Ρ†Ρ–Ρ”Ρ— Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, яка ΡΠΊΠ»Π°Π΄Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ–Π· зчислСнної сукупності ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π².

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 5. Π“ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‰ΠΎ Ρ‚.ΠΏ. Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ аксіому зачислСнності (Π†Π† Π°.Π·.), якщо існує Π±Π°Π·Π° Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—, яка ΡΠΊΠ»Π°Π΄Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ–Π· зчислСнної сукупності Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½.

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 2. Π†Π· ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Ρƒ 3, § 1.1., Π²ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ²Π°Ρ”, Ρ‰ΠΎ Ρ‚.ΠΏ. Ρ–Π· ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ”ΡŽ Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Π† Π°.Π·. Π² ΠΊΠΎΠΆΠ½Ρ–ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ– Ρ….

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 6. ΠŸΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Ρ‚.ΠΏ. Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‰Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΎΡŽ Π² Ρ†ΡŒΠΎΠΌΡƒ просторі, якщо .

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 7. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ існує зчислСнна ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°, яка Ρ‰Ρ–Π»ΡŒΠ½Π° Π² Ρ‚.ΠΏ., Ρ‚ΠΎ Ρ†Π΅ΠΉ простір Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡŒ ΡΠ΅ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 3. ΠžΡΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Ρ€Π°Ρ†Ρ–ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΈΡ… чисСл зчислСнна Ρ– Π²ΠΎΠ½Π° Ρ‰Ρ–Π»ΡŒΠ½Π° Π² Ρ‚.ΠΏ. Ρ–Π· ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ”ΡŽ, Ρ‚ΠΎ Ρ†Π΅ΠΉ простір ΡΠ΅ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΉ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ– твСрдТСння:

1) якщо Ρ‚.ΠΏ. Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ–, Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Π† Π°.Π·., Ρ‚ΠΎ існує зчислСнна Π±Π°Π·Π° систСми всіх ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, яка ΡΠΊΠ»Π°Π΄Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ–Π· Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, Ρ‰ΠΎ

2) якщо Ρ‚.ΠΏ. Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Π†Π† Π°.Π·., Ρ‚ΠΎ Π²Ρ–Π½ Π² ΠΊΠΎΠΆΠ½Ρ–ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ–, Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Ρ– Π† Π°.Π·.;

3) якщо Ρ‚.ΠΏ. Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Π†Π† Π°.Π·., Ρ‚ΠΎ Π²Ρ–Π½ ΡΠ΅ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΉ.

ПокаТСмо ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ–ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΡˆΠΎΠ³ΠΎ твСрдТСння. ΠŸΡ€ΠΈ Π²ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΡ… Π² Ρ†ΡŒΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ– ΡƒΠΌΠΎΠ²Π°Ρ… існує зчислСнна Π±Π°Π·Π° систСми усіх ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π’ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π° Ρ–. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ, Ρ‚ΠΎ. Π—Π° ΠΏΠΎΠ±ΡƒΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‚ΠΎ. А Ρ†Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ”, Ρ‰ΠΎ Π±Π°Π·Π° систСми всіх ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ .

Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π²ΠΈΠΊΠΎΠ½ΡƒΡŽΡ‚ΡŒΡΡ ΡƒΠΌΠΎΠ²ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ твСрдТСння, Ρ‚ΠΎ існує зчислСнна Π±Π°Π·Π° Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—. Π’ΠΎΠ΄Ρ– Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π±Π°Π·ΠΈ систСми всіх ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π²Ρ–Π΄Ρ–Π³Ρ€Π°ΡŽΡ‚ΡŒ всі Ρ‚Ρ– ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ–Π· Π±Π°Π·ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—, які ΠΌΡ–ΡΡ‚ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π’Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Ρ– ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΡƒΡ‚Π²ΠΎΡ€ΡŽΡŽΡ‚ΡŒ Π±Π°Π·Ρƒ всіх ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Π² Ρ†Ρ–ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ– Ρ–, ΠΎΡ‚ΠΆΠ΅, клас ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Ρ–Π· класу ΡƒΡ‚Π²ΠΎΡ€ΡŽΡ” зчислСнну Π±Π°Π·Ρƒ систСми .

ΠŸΡ€ΠΈ Π²ΠΈΠΊΠΎΠ½Π°Π½Π½Ρ– ΡƒΠΌΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΎΠ³ΠΎ твСрдТСння існує Π·Π½ΠΎΠ²Ρƒ зчислСнна Π±Π°Π·Π° Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—. Π’ΠΈΠ±Ρ€Π°Π²ΡˆΠΈ Ρ–Π· ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΡ— ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρ–ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ–, ΡƒΡ‚Π²ΠΎΡ€ΠΈΠΌΠΎ зчислСнну ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρƒ. НСваТко ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΠΈ, Ρ‰ΠΎ. ΠžΡΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Π΅, Ρ‚ΠΎ

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 8. ΠŸΠΎΡΠ»Ρ–Π΄ΠΎΠ²Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ Ρ‚.ΠΏ. Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π·Π±Ρ–ΠΆΠ½ΠΎΡŽ Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ– ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ΡŒ Π°Π±ΠΎ, якщо .

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ†ΡŒΠΎΠΌΡƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅ΡŽ послідовності .

Π’ΠΈΡΠ²Π»ΡΡ”Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‰ΠΎ Π·Π±Ρ–ΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎΡΠ»Ρ–Π΄ΠΎΠ²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ Ρ‚.ΠΏ. ΠΌΠΎΠΆΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈ ΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΠ° Ρ– Π½Π°Π²Ρ–Ρ‚ΡŒ нСскінчСнну ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 4. Π’ Ρ‚.ΠΏ. Ρ–Π· Π°Π½Ρ‚ΠΈΠ΄ΠΈΡΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ”ΡŽ ΠΊΠΎΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎΡΠ»Ρ–Π΄ΠΎΠ²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ ΠΉΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ Π·Π±Ρ–Π³Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄ΠΎ Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 9. Π’ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΠΉ простір Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ»ΡŽΠ²Π°Π½ΠΈΠΌ Π°Π±ΠΎ Ρ–Π½Π°ΠΊΡˆΠ΅ хаусдорфовим, якщо для Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΈΡ… Ρ€Ρ–Π·Π½ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ Ρ‚Π° Ρ–Π·, Ρ–ΡΠ½ΡƒΡŽΡ‚ΡŒ Ρ—Ρ… ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΈ, Ρ‰ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ΡŒΡΡ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 2. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ– твСрдТСння:

1) ΠΏΠΎΡΠ»Ρ–Π΄ΠΎΠ²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ Ρ‚.ΠΏ. Π·Π±Ρ–Π³Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ– Ρ– лишС Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ–, ΠΊΠΎΠ»ΠΈ для ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρƒ Ρ–Π· дСякої Π±Π°Π·ΠΈ систСми всіх ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ існує Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ ΠΏ.

2) Ρƒ Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ»ΡŽΠ²Π°Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚.ΠΏ. Π·Π±Ρ–ΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎΡΠ»Ρ–Π΄ΠΎΠ²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ” лишС ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†ΡŽ.

ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ…Ρ–Π΄Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠΎΠ² твСрдТСння 4) ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Π°. ПокаТСмо Ρ—Ρ… Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Ρ†Ρ– ΡƒΠΌΠΎΠ²ΠΈ Π²ΠΈΠΊΠΎΠ½ΡƒΡŽΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‚ΠΎ. Π’ΠΎΠ΄Ρ–. ΠžΡ‚ΠΆΠ΅, .

ВвСрдТСння 5 Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π²Ρ–Π΄ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π· Π²ΠΈΠΊΠΎΡ€ΠΈΡΡ‚анням означСння Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ– послідовності.

ЗауваТСння. МоТна ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΠΈ, Ρ‰ΠΎ, Π΄Π΅ ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Ρ‚.ΠΏ., , який Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ– Π† Π°.Π·., Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ– Ρ– лишС Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ–, ΠΊΠΎΠ»ΠΈ існує ΠΏΠΎΡΠ»Ρ–Π΄ΠΎΠ²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ, яка Π·Π±Ρ–Π³Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ .

3. ΠŸΡ–Π΄ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ–Ρ€ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΈΠΉ Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΎΠΊ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΡ… просторів НСхай Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½Π° нСпороТня ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Ρ‚.ΠΏ. ,. ПокаТСмо, Ρ‰ΠΎ ΠΊΠ»Π°Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½, Ρ” Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ”ΡŽ Π½Π° .

Π’Π°ΠΊΠΈΠΉ висновок Π²ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ²Π°Ρ” Ρ–Π· наступних рівностСй:

Π΄Π΅

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 1. Вопологія, Ρ‰ΠΎ Π²ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π²ΠΈΡ‰Π΅, Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ–Π½Π΄ΡƒΠΊΠΎΠ²Π°Π½ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ”ΡŽ, Π° Ρ‚.ΠΏ. — ΠΏΡ–дпростором Ρ‚.ΠΏ. .

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 1. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Ρ– топологія, яка Ρ–Π½Π΄ΡƒΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ”ΡŽ, Ρ‚ΠΎ Ρ” підпростором Ρ‚.ΠΏ. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ†ΡŒΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Π½Π΅ Ρ” Π½Ρ– Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΎΡŽ Π½Ρ– Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΡŽ відносно Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—. Однак Π²ΠΎΠ½Π° Ρ” Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΎΡŽ Ρ– Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΡŽ відносно Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—

МоТна ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΠΈ, Ρ‰ΠΎ Π² Π·Π°Π³Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΈΠΏΠ°Π΄ΠΊΡƒ

Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π΄Π°Π½ΠΎ Π΄Π²Π° Ρ‚.ΠΏ., Ρ‚ΠΎ Ρ€ΠΎΠ·Π³Π»ΡΠ½Π΅ΠΌΠΎ прямий Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΎΠΊ, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Ρ‚Π° Ρ– клас

ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ,

Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Ρ‚ΠΎ Π’ΠΎΠΌΡƒ, Π·Π³Ρ–Π΄Π½ΠΎ Ρ–Π· зауваТСнням 3, § 1.1., клас Ρ” базою Ρ”Π΄ΠΈΠ½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— Π½Π°. Вопологія Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ прямим Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–ΠΉ Ρ‚Π° Ρ– ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 2. Впорядкована ΠΏΠ°Ρ€Π°, Π΄Π΅ Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ прямим Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠΌ Ρ‚.ΠΏ. Ρ– Ρ‚.ΠΏ. .

Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π΄Π°Π½ΠΎ Ρ‚.ΠΏ. Ρ‚ΠΎ ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ всіх ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ Ρ”, як ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΠΈ, базою Ρ”Π΄ΠΈΠ½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρ–. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ†ΡŒΠΎΠΌΡƒ топологія, яка Π²ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ вказаною базою, Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ прямим Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— Ρ– ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ

Впорядкована ΠΏΠ°Ρ€Π° Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ прямим Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠΌ Ρ‚.ΠΏ. .

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 2. Π’ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΠΉ простір (ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΈ) Ρ– ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π½Π° топологія Ρ” прямий Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΎΠΊ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΡ… просторів. Π‘Π°Π·Π° Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— ΡΠΊΠ»Π°Π΄Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π· ΡƒΡΡ–Ρ… Π½Π°ΠΉΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²Ρ–ΡˆΠΈΡ… Π²ΠΈΠΌΡ–Ρ€Π½ΠΈΡ… Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΡ–ΠΏΠ΅Π΄Ρ–Π² Ρ‚Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ .

4. НСпСрСрвні відобраТСння Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΡ… просторів НСхай Π΄Π°Π½ΠΎ Π΄Π²Π° Ρ‚.ΠΏ.

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 1. ВідобраТСння Ρ‚.ΠΏ. Π² Ρ‚.ΠΏ. Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½ΠΈΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ–, якщо для ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ існує ΠΎΠΊΡ–Π» Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΉ, Ρ‰ΠΎ ВідобраТСння Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½ΠΈΠΌ (Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½ΠΈΠΌ Π½Π°), якщо Π²ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½Π΅ Π² ΠΊΠΎΠΆΠ½Ρ–ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ– Ρ–Π·

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄. ВідобраТСння Ρ‚Π°ΠΊΠ΅, Ρ‰ΠΎ, Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½Π΅, ΠΎΡΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΠΈ для ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ– Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ справСдливС

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ– твСрдТСння:

1) Π²ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π΅ Π² ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΡŒΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ– відобраТСння Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ– Ρ– лишС Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ–, ΠΊΠΎΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π· ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΡ— Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΎΡ— ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ–Π· Ρ‚.ΠΏ. Ρ” Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Ρ‚.ΠΏ. ;

2) якщо відобраТСння Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½Π΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ–, Ρ‚ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΡ— послідовності Ρ‚Π°ΠΊΠΎΡ—, Ρ‰ΠΎ Π²ΠΈΠΊΠΎΠ½ΡƒΡ”Ρ‚ΡŒΡΡ

3) якщо Ρ‚.ΠΏ. Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ–, Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Π† Π°.Π·., Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π½Ρ Π²ΠΈΠΌΠΎΠ³Π° Ρ” Ρ– Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚Π½ΡŒΠΎΡŽ для нСпСрСрвності відобраТСння Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ– ;

4) якщо відобраТСння Ρ‚.ΠΏ. Π² Ρ‚.ΠΏ. Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½Π΅ Ρ– відобраТСння Ρ‚.ΠΏ. Π² Ρ‚.ΠΏ. Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½Π΅, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†Ρ–я Π΄Π΅, Ρ†ΠΈΡ… Π²Ρ–Π΄ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΆ Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½Π°.

Зупинимося Π½Π° Π΄ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ– ΠΏΠ΅Ρ€ΡˆΠΎΠ³ΠΎ твСрдТСння. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ відобраТСння Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½Π΅ Ρ– Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π° ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ‚ΠΎ Π΄Π»Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π²ΠΈΠΊΠΎΠ½ΡƒΡ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ– Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ” ΠΎΠΊΡ–Π» Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Існує ΠΎΠΊΡ–Π» Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΉ Ρ‰ΠΎ ΠžΡ‚ΠΆΠ΅, існує Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π° ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, для якої, Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‚ΠΎ Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‚ΠΎ. ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ…Ρ–Π΄Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠΎΠ² ΠΏΠ΅Ρ€ΡˆΠΎΠ³ΠΎ твСрдТСння Π΄ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ.

Π”ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π²ΠΈΠΊΠΎΠ½ΡƒΡŽΡ‚ΡŒΡΡ ΡƒΠΌΠΎΠ²ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΡˆΠΎΠ³ΠΎ твСрдТСння, Ρ‚ΠΎ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ– Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρƒ існує Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π° ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠ°, Ρ‰ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ” Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π° ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, яка ΠΌΡ–ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΠΎΡΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΠΈ ΠžΡ‚ΠΆΠ΅, ΠΎΠΊΡ–Π» Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ–. ΠΠ΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ відобраТСння Π΄ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π°.

Π”Ρ€ΡƒΠ³Π΅ твСрдТСння Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π· Π΄ΠΎΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎΡŽ означСння нСпСрСрвності відобраТСння .

Π’Ρ€Π΅Ρ‚Ρ” твСрдТСння Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π²Ρ–Π΄ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ.

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ твСрдТСння Π²ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ²Π°Ρ” Ρ–Π· ΡΠΏΡ–Π²Π²Ρ–Π΄Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½Π½Ρ

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 2. Π‘Ρ–Ρ”ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Π΅ відобраТСння Ρ‚.ΠΏ. Π½Π° Ρ‚.ΠΏ. Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½ΠΈΠΌ (Π°Π±ΠΎ Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Ρ–Π·ΠΌΠΎΠΌ), якщо Ρ– ΠΎΠ±Π΅Ρ€Π½Π΅Π½Π΅ Π΄ΠΎ Π½ΡŒΠΎΠ³ΠΎ відобраТСння Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½Ρ–.

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 3. ВідобраТСння Ρ‚.ΠΏ. Π² Ρ‚.ΠΏ. Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΠΌ (Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΈΠΌ), якщо ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΡ— Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΎΡ— (Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΡ—) ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, Ρ” Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π° (Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Π°) ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°.

5. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΡ… просторах ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ‚Ρ компактності Π²Ρ–Π΄Ρ–Π³Ρ€Π°Ρ” Π²Π°ΠΆΠ»ΠΈΠ²Ρƒ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² Ρ€Ρ–Π·Π½ΠΈΡ… Ρ€ΠΎΠ·Π΄Ρ–Π»Π°Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. Π—ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ° Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΌΠ° Π· ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»Ρ–Π·Ρƒ Π»Π΅ΠΌΠ° БорСля-Π›Π΅Π±Π΅Π³Π° Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ствСрдТує ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ–Π΄Ρ€Ρ–Π·ΠΊΠ° числової прямої Ρ– Π²ΠΎΠ½Π° Π΄Π°Ρ” ΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²Ρ–ΡΡ‚ΡŒ довСсти ряд Π·ΠΌΡ–Π½ΡŽΠ²Π°Π½ΠΈΡ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ. Π©Π΅ Π±Ρ–Π»ΡŒΡˆ суттєві застосування ΠΌΠ°Ρ” поняття компактності Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ– Π·ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору.

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 1. Клас ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ покриттям ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, якщо (Ρƒ Π²ΠΈΠΏΠ°Π΄ΠΊΡƒ, ΠΊΠΎΠ»ΠΈ, Π²ΠΈΠΌΠ°Π³Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‰ΠΎΠ±).

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 2. Π’ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π΅ Π²ΠΈΡ‰Π΅ покриття Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ скінчСнним (зчислСнним), якщо ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° індСксів скінчСнна (зчислСнна); Ρ‚Π°ΠΊΠ΅ покриття Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΠΌ, якщо всі ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Ρ–.

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 3. Π’ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΠΉ простір Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΌ, якщо Ρ–Π· ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ покриття ΠΉΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° Π²ΠΈΠ΄Ρ–Π»ΠΈΡ‚ΠΈ скінчСннС покриття (підпокриття);

Ρ†Π΅ΠΉ простір Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ зчислСнно-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΌ, якщо ΠΊΠΎΠΆΠ½Π° нСскінчСнна ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°, ΠΌΠ°Ρ” Π² Ρ†ΡŒΠΎΠΌΡƒ просторі ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°ΠΉΠΌΠ½Ρ– ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ;

Ρ‚.ΠΏ. Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ сСквСнційно ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΌ, якщо Ρ–Π· ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΡ— послідовності, ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° Π²ΠΈΠ΄Ρ–Π»ΠΈΡ‚ΠΈ Π·Π±Ρ–ΠΆΠ½Ρƒ ΠΏΡ–Π΄ΠΏΠΎΡΠ»Ρ–Π΄ΠΎΠ²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Ρ‚.ΠΏ. Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Π†Π† Π°.Π·., Ρ‚ΠΎ Ρ–Π· ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ нСскінчСнного Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ покриття ΠΉΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° Π²ΠΈΠ΄Ρ–Π»ΠΈΡ‚ΠΈ зчислСннС покриття (підпокриття).

Π―ΠΊΡ‰ΠΎ, Π΄Π΅ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Ρ– ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ– зчислСнна Π±Π°Π·Π° Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ–Π· Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ покриття, яка ΠΌΡ–ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. ΠŸΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ–Π· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Π±Π°Π·ΠΈ, яка ΠΌΡ–ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Ρ– Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π². ЗчислСнна ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Ρ–Π· Π±Π°Π·ΠΈ ΡƒΡ‚Π²ΠΎΡ€ΡŽΡ” покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ. Для ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΡ— ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Π²ΠΈΠ±Π΅Ρ€Π΅ΠΌΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ–Π· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½, яка Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ” .

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 2. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ– твСрдТСння:

1) якщо Ρ‚.ΠΏ. зчислСнно-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΠ½ΠΈΠΉ, Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ»ΡŽΠ²Π½ΠΈΠΉ (хаусдорфів) Ρ– Π² ΠΊΠΎΠΆΠ½Ρ–ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ–, Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Π† Π°.Π·., Ρ‚ΠΎ Π²Ρ–Π½ сСквСнційно ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΉ;

2) якщо Ρ‚.ΠΏ. сСквСнційно ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΉ Ρ– Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Π†Π† Π°.Π·., Ρ‚ΠΎ Π²Ρ–Π½ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΉ;

3) якщо Ρ‚.ΠΏ. ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ–Π½ зчислСнно-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΉ;

4) якщо Ρ‚.ΠΏ. сСквСнційно ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ–Π½ зчислСнно-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΉ.

Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π²ΠΈΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‰ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° скінчСнна, Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π΅Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ρ†Ρ–Ρ”Ρ— послідовності, який ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·, Π·ΡƒΡΡ‚Ρ€Ρ–Ρ‡Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π½Ρ–ΠΉ нСскінчСнну ΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΡ–ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Ρ–Π² Ρ– Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ–Π΄ΠΏΠΎΡΠ»Ρ–Π΄ΠΎΠ²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Π·Π±Ρ–Π³Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° нСскінчСнна, Ρ‚ΠΎ Π·Π³Ρ–Π΄Π½ΠΎ Π· ΡƒΠΌΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΡˆΠΎΠ³ΠΎ твСрдТСння Π²ΠΎΠ½Π° ΠΌΠ°Ρ” Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. ΠžΡΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΠΈ Ρ‚.ΠΏ. Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ– Π† Π°.Π·., Ρ‚ΠΎ Π·Π³Ρ–Π΄Π½ΠΎ Ρ–Π· Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΌΠΈΠΌ твСрдТСнням, існує зчислСнна Π±Π°Π·Π° систСми усіх Ρ—Ρ— ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π², яка ΡΠΊΠ»Π°Π΄Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ–Π· Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, Ρ‰ΠΎ. ΠŸΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠ΅Ρ€ΡˆΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ послідовності, Π²Ρ–Π΄ΠΌΡ–Π½Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ–Π΄. ΠžΡΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΠΈ Ρ‚.ΠΏ. Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ»ΡŽΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎ Ρ–ΡΠ½ΡƒΡŽΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ, які Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ΡŒΡΡ. ΠžΠΊΡ–Π» Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ” ΠΎΠΊΡ–Π» Ρ–Π· Π±Π°Π·ΠΈ систСми ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π². Π—Ρ€ΠΎΠ·ΡƒΠΌΡ–Π»ΠΎ, Ρ‰ΠΎ Ρ– .

ΠŸΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠ΅Ρ€ΡˆΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ послідовності, який Π½Π°Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρƒ Ρ– Π²Ρ–Π΄ΠΌΡ–Π½Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ–Π΄, Ρ– Ρ‚.Π΄. Ми ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌΠ°Π»ΠΈ ΠΏΡ–Π΄ΠΏΠΎΡΠ»Ρ–Π΄ΠΎΠ²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒ, Ρ‰ΠΎ Π—упинимося Π½Π° Π΄ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ– Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ твСрдТСння. Π’Π²Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‡ΠΈ Ρ‚.ΠΏ. сСквСкційно ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΌ, Ρ– який Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Π†Π† Π°.Π·., припустимо, Ρ‰ΠΎ Π²Ρ–Π½ Π½Π΅ Ρ” ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΌ. Π’ΠΎΠ΄Ρ– існує покриття ΠΉΠΎΠ³ΠΎ ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŽ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½, Ρ–Π· якого Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Ρ–Π»ΠΈΡ‚ΠΈ скінчСннС покриття (підпокриття). Π ΠΎΠ·Π³Π»ΡΠ½ΡƒΠ²ΡˆΠΈ Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ– ΠΏΠΎΡΠ»Ρ–Π΄ΠΎΠ²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‰ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌΠΎ ствСрдТувати, Ρ‰ΠΎ Ρ–Π· Π½Π΅Ρ— Π½Π΅ΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Ρ–Π»ΠΈΡ‚ΠΈ Π·Π±Ρ–ΠΆΠ½Ρƒ ΠΏΡ–Π΄ΠΏΠΎΡΠ»Ρ–Π΄ΠΎΠ²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ. Π¦Π΅ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‰ΠΎ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΈΠΏΠ°Π΄ΠΊΡƒ границя Π·Π±Ρ–ΠΆΠ½ΠΎΡ— підпослідовності Π½Π°Π»Π΅ΠΆΠ°Π»Π° Π± дСякій ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρ–. ΠžΡΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΠΈ Ρ” ΠΎΠΊΡ–Π» Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎ Ρ‰ΠΎ Π½Π΅ΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²Π΅ Π·Π° ΠΏΠΎΠ±ΡƒΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΡŽ послідовності Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Ρ–, якщо Ρ‚ΠΎ. ΠžΡ‚ΠΆΠ΅, Ρ–Π· послідовності Π½Π΅ΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Ρ–Π»ΠΈΡ‚ΠΈ Π·Π±Ρ–ΠΆΠ½Ρƒ ΠΏΡ–Π΄ΠΏΠΎΡΠ»Ρ–Π΄ΠΎΠ²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ. А Ρ†Π΅ ΡΡƒΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ сСквСнційній компактності Ρ‚.ΠΏ.

ПокаТСмо ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΎΠ³ΠΎ твСрдТСння. Π’Π²Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‡ΠΈ Ρ‚.ΠΏ. ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΌ Ρ– взявши Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½Ρƒ нСскінчСнну ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρƒ розглянСмо зчислСнну Ρ—Ρ— ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρƒ ПокаТСмо, Ρ‰ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° ΠΌΠ°Ρ” Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, яка Π±ΡƒΠ΄Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΡŽ Ρ– для ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ ΠŸΡ€ΠΈΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½Π΅, Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‚ΠΎ, Ρ‰ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Π½Π΅ ΠΌΠ°Ρ” ΠΆΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ— Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π’ΠΎΠ΄Ρ– ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Π°, ΠΎΡΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΠΈ Π²ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ ΠΌΠ°Ρ” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ Π΄ΠΎΡ‚ΠΈΠΊΡƒ Π·ΠΎΠ²Π½Ρ– Π½Π΅Ρ—. ΠžΡ‚ΠΆΠ΅, ΠΊΠΎΠΆΠ½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π°, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΎΠΌΡƒ ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ всіх Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ ΡƒΡ‚Π²ΠΎΡ€ΡŽΡ” Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅ покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Ρ–, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π°Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ всім ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°ΠΌ; якщо, Ρ‚ΠΎ. Π’ΠΈΠ±Ρ€Π°Π²ΡˆΠΈ скінчСннС Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅ покриття (підпокриття) ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌΠ°Ρ”ΠΌΠΎ ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΠΌΠ°Π½Π΅ протиріччя ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡƒΡ” ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΎΠ³ΠΎ твСрдТСння.

Π”ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌΠΎ Π½Π°Ρ€Π΅ΡˆΡ‚Ρ– Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ твСрдТСння. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π²ΠΈΠΊΠΎΠ½ΡƒΡŽΡ‚ΡŒΡΡ ΠΉΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ²ΠΈ, Ρ‚ΠΎ, взявши нСскінчСнну ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρƒ, розглянСмо Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½Ρƒ зчислСнну Ρ—Ρ— ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρƒ. Π†Π· послідовності ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ Ρ€Ρ–Π·Π½ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Ρ–Π»ΠΈΠΌΠΎ Π·Π±Ρ–ΠΆΠ½Ρƒ Ρ—Ρ— ΠΏΡ–Π΄ΠΏΠΎΡΠ»Ρ–Π΄ΠΎΠ²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Π’ΠΎΠ΄Ρ– Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ” Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ–, ΠΎΡ‚ΠΆΠ΅, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ М.

Наслідок. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ»ΡŽΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‚.ΠΏ. Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Π†Π† Π°.Π·., Ρ‚ΠΎ Π΅ΠΊΠ²Ρ–Π²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ– наступні твСрдТСння:

Π°) зчислСнно-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΉ Ρ‚.ΠΏ.;

Π±) сСквСнційно ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΉ Ρ‚.ΠΏ.;

Π²) ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΉ Ρ‚.ΠΏ.

Π―ΠΊ Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΌΠΎ, якщо Ρ‚.ΠΏ. Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Π†Π† Π°.Π·., Ρ‚ΠΎ Π²Ρ–Π½ Π² ΠΊΠΎΠΆΠ½Ρ–ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ–, Π·Π°Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡΡ” Ρ– Π† Π°.Π·. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ ΠΎΠΊΡ€Ρ–ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚.ΠΏ. Ρ‰Π΅ Ρ” Ρ– Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ»ΡŽΠ²Π°Π½ΠΈΠΌ, Ρ‚ΠΎ, Π·Π°ΡΡ‚ΠΎΡΠΎΠ²ΡƒΡŽΡ‡ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ, ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π΄ΠΎ Π²ΠΈΡΠ½ΠΎΠ²ΠΊΡƒ, Ρ‰ΠΎ Π²ΡΡ– Ρ–ΠΌΠΏΠ»Ρ–ΠΊΠ°Ρ†Ρ–Ρ— Ρ–Π· Π»Π°Π½Ρ†ΡŽΠ³Π° Π±) Π²)Π°) істинні. А Ρ†Π΅ ΡΡ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΆΡƒΡ” Π²ΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ– Π²ΠΈΡ‰Π΅ СквівалСнтності.

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 1. Π’ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΠΉ простір Ρ–Π· ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ”ΡŽ Π½Π° Π½Π΅ Ρ” ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΌ, ΠΎΡΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΠΈ Ρ–Π· покриття ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠΎΡŽ Ρ–Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ–Π² Π½Π΅ΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Ρ–Π»ΠΈΡ‚ΠΈ скінчСннС покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ Ρ–Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°ΠΌΠΈ.

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 4. ΠŸΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Ρ‚.ΠΏ. Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎΡŽ, якщо Ρ–Π· ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ покриття Ρ—Ρ— Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Ρ†ΡŒΠΎΠ³ΠΎ простору ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° Π²ΠΈΠ΄Ρ–Π»ΠΈΡ‚ΠΈ скінчСннС покриття (ΠΏΡ–Π΄ покриття).

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 2. Π—Π³Ρ–Π΄Π½ΠΎ Ρ–Π· Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΌΠΎΡŽ лСмою БорСля-Π›Π΅Π±Π΅Π³Π°, ΠΊΠΎΠΆΠ½Π° ΠΎΠ±ΠΌΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π° Ρ– Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Π° ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° М Ρ‚.ΠΏ., ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚) Ρ– ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π½Π° топологія ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Π°.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 3. ΠŸΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Ρ‚.ΠΏ., ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Π° Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ– Ρ– лишС Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ–, ΠΊΠΎΠ»ΠΈ Ρ‚.ΠΏ. Ρ–Π· Ρ–Π½Π΄ΡƒΠΊΠΎΠ²Π°Π½ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ”ΡŽ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΉ.

ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ…Ρ–Π΄Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½Π΅ покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Ρ–Π· Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—, Ρ‚ΠΎ Ρ€ΠΎΠ·Π³Π»ΡΠ½Π΅ΠΌΠΎ Ρ‚Ρ– Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Ρ– ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ–Π· Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—, для яких .

Клас ΡƒΡ‚Π²ΠΎΡ€ΡŽΡ” покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Ρ–Π· Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—. ΠžΡΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Π° відносно Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—, Ρ‚ΠΎ Ρ– дСяка скінчСнна ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΆ ΡƒΡ‚Π²ΠΎΡ€ΡŽΡ” покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ. Π’ΠΎΠ΄Ρ– ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ–Π· Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— ΡƒΡ‚Π²ΠΎΡ€ΡŽΡŽΡ‚ΡŒ скінчСннС покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ .

Π”ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½Π΅ покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Ρ–Π· Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ скінчСнС покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ–Π· Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ— Ρ‚ΠΎ, Π΄Π΅, Ρ” покриттям ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Ρ–Π· Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—, Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΡ–Π½Ρ‡Π΅Π½Π½Π΅ покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Ρ–Π· Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 4. Π”ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½Π° Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Π° ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚.ΠΏ. ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Π°.

Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½Π΅ покриття Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΡ— ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ,, Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Ρ–Π· Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Ρ–Π· мноТиною ΡƒΡ‚Π²ΠΎΡ€ΡŽΡŽΡ‚ΡŒ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅ покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ. Π’ΠΈΠ΄Ρ–Π»ΠΈΠ²ΡˆΠΈ Ρ–Π· ΠΎΡΡ‚Π°Π½Π½ΡŒΠΎΠ³ΠΎ покриття скінчСннС покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌΠ°Ρ”ΠΌΠΎ скінчСннС покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 5. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Π° ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ»ΡŽΠ²Π°Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚.ΠΏ., Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Π°.

Π’Π²Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‡ΠΈ Ρ– взявши Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌΠΎ ствСрдТувати, Ρ‰ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ–ΡΠ½ΡƒΡŽΡ‚ΡŒ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Ρ– ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΈ Ρ‚Π°, які Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ΡŒΡΡ. Клас усіх Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ… ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π² Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ–Π· ΡƒΡ‚Π²ΠΎΡ€ΡŽΡ” Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅ покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ .

Π—Π³Ρ–Π΄Π½ΠΎ Π· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, існує скінчСнна ΡΡƒΠΊΡƒΠΏΠ½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ… ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π², Ρ‰ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΡ€ΠΈΠ²Π°Ρ” ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρƒ. МноТина являє собою Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΠΉ ΠΎΠΊΡ–Π» Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ– Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠ½Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ–Π· ΠΎΠ±'єднанням сукупності ΠΎΠΊΠΎΠ»Ρ–Π², які ΡƒΡ‚Π²ΠΎΡ€ΡŽΡŽΡ‚ΡŒ скінчСннС покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΎΠΌΡƒ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠ½Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ Π·. Для ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΡ— Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ±ΡƒΠ΄ΡƒΡ”ΠΌΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΡ–Π», який Π½Π΅ ΠΌΡ–ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ. Π¦Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ”, Ρ‰ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π° мноТиною Π½Π΅ ΠΌΡ–ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΆΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π΄ΠΎΡ‚ΠΈΠΊΡƒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‚ΠΎ Ρ–, ΠΎΡ‚ΠΆΠ΅,

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 6. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ– твСрдТСння:

1) ΠΎΠ±Ρ€Π°Π· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚.ΠΏ. ΠΏΡ€ΠΈ ΠΉΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ–Π΄ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ– Π² Ρ‚.ΠΏ. ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΉ.

2) Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½Π΅ відобраТСння ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚.ΠΏ. Ρƒ Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ»ΡŽΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‚.ΠΏ. Ρ” Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Π΅ відобраТСння.

Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π²ΠΈΠΊΠΎΠ½ΡƒΡŽΡ‚ΡŒΡΡ ΡƒΠΌΠΎΠ²ΠΈ твСрдТСння 5), Ρ‚ΠΎ Ρ€ΠΎΠ·Π³Π»ΡΠ½Π΅ΠΌΠΎ Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½Π΅ покриття ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Ρƒ Всі ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, внаслідок нСпСрСрвності відобраТСння, Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Ρ–,. Клас Ρ” Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΠΌ покриттям ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ. Π’ΠΈΠ΄Ρ–Π»ΠΈΠ²ΡˆΠΈ Ρ–Π· ΠΎΡΡ‚Π°Π½Π½ΡŒΠΎΠ³ΠΎ покриття скінчСннС ΠΏΡ–Π΄ покриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌΠ°Ρ”ΠΌΠΎ Π²Ρ–Π΄ΠΏΠΎΠ²Ρ–Π΄Π½ΠΎ скінчСннС підпокриття ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ. А Ρ†Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ” ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ .

Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π²ΠΈΠΊΠΎΠ½ΡƒΡŽΡ‚ΡŒΡΡ ΡƒΠΌΠΎΠ²ΠΈ твСрдТСння 6), Ρ‚ΠΎ Ρ€ΠΎΠ·Π³Π»ΡΠ½Π΅ΠΌΠΎ Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½Ρƒ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρƒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρƒ. Ця ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Π°, внаслідок Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΈ 4. Π‡Ρ— ΠΎΠ±Ρ€Π°Π· Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΆ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΉ, внаслідок твСрдТСння 5). ΠžΡΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΠΈ Ρ‚.ΠΏ. Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ»ΡŽΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Π°.

ЗауваТСння. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Ρ” Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½Π΅ відобраТСння Ρ–Π· ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡŽ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ”ΡŽ, Ρ– (ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚), Ρ‚ΠΎ, Π·Π³Ρ–Π΄Π½ΠΎ Ρ–Π· ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π½Ρ–ΠΌΠΈ твСрдТСннями, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎΡ— ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ‚.ΠΏ. ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΠΉ. Π―ΠΊ Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΌΠΎ Π· ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»Ρ–Π·Ρƒ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Ρ” Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Π° Ρ– ΠΎΠ±ΠΌΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π° Π² Ρ‚.ΠΏ. Ми ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌΠ°Π»ΠΈ Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Π’Π΅ΠΉΡ”Ρ€ΡˆΡ‚Ρ€Π°ΡΡΠ°, Π·Π³Ρ–Π΄Π½ΠΎ Π· ΡΠΊΠΎΡŽ, Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½Π° Π½Π° Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ–ΠΉ Ρ– ΠΎΠ±ΠΌΠ΅ΠΆΠ΅Π½Ρ–ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Ρ– Π• Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²Π° функція ΠΎΠ±ΠΌΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π° Ρ– досягає Π½Π° ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΉΠ±Ρ–Π»ΡŒΡˆΠΎΠ³ΠΎ Ρ– наймСншого Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΡŒ. Π¦Π΅ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‰ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ–Π΄ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ– Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΡ— Ρ– ΠΎΠ±ΠΌΠ΅ΠΆΠ΅Π½ΠΎΡ— ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Π•, справСдливі ΡΠΏΡ–Π²Π²Ρ–Π΄Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½Π½Ρ: .

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ 5. ΠŸΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Ρ‚.ΠΏ., Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎΡŽ, якщо Ρ—Ρ— замикання ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Π΅ Π² Ρ†ΡŒΠΎΠΌΡƒ просторі.

Π—Ρ€ΠΎΠ·ΡƒΠΌΡ–Π»ΠΎ, Ρ‰ΠΎ ΠΊΠΎΠΆΠ½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Π° ΠΏΡ–Π΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору Ρ” ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎΡŽ, Π°Π»Π΅ Π½Π΅ Π½Π°Π²ΠΏΠ°ΠΊΠΈ.

Висновки Π£ Π΄Π°Π½Ρ–ΠΉ курсовій Ρ€ΠΎΠ±ΠΎΡ‚Ρ– Π±ΡƒΠ»ΠΎ розглянуто Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½Ρ– простори Ρ‚Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ– означСння ΠΏΠΎΠ²’язані Π· Π½ΠΈΠΌΠΈ.

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€ΡˆΠΎΠΌΡƒ Ρ€ΠΎΠ·Π΄Ρ–Π»Ρ– ΠΌΠΎΠ²Π° йшла ΠΏΡ€ΠΎ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½Π΅Π½Ρ– ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, Π²Ρ–Π΄ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Ρ– ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΈ, базиси Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ—, ΠΏΡ€ΠΎ ΡΠΊΡ€Ρ–Π·ΡŒ Ρ‰Ρ–Π»ΡŒΠ½Ρ– ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎ Π½Ρ–Π΄Π΅ Π½Π΅ Ρ‰Ρ–Π»ΡŒΠ½Ρ– ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ. Π—ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠ°, Π±ΡƒΠ»ΠΈ Π½Π°Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ– означСння Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору Ρ‚Π° Π±Π°Π·ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору.

Π£ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ Ρ€ΠΎΠ·Π΄Ρ–Π»Ρ– Π±ΡƒΠ»ΠΈ Π½Π°Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ– означСння Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ Π΄ΠΎΡ‚ΠΈΠΊΡƒ, ΠΌΠ΅ΠΆΠΎΠ²ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΎΠΊ. Π’Π°ΠΊΠΎΠΆ Π½Π°Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ– аксіоми числСнності Ρ‚Π° Ρ€ΠΎΠ·ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Ρ– поняття Π·Π±Ρ–ΠΆΠ½ΠΈΡ… послідовностСй.

Π’Ρ€Π΅Ρ‚Ρ–ΠΉ Ρ€ΠΎΠ·Π΄Ρ–Π» Ρ€ΠΎΠ·ΠΊΡ€ΠΈΠ² Π½Π°ΠΌ поняття підпростору Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору. А Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΆ ΠΌΠΈ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΉΠΎΠΌΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π· ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½ΡΠΌ прямого Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΊΡƒ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ простору. Ознайомились Π· ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ‚Ρ Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ відобраТСння Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Ρ†Ρ–, Ρ‚Π° ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Ρ–Π·ΠΌΡƒ ΠΌΠΈ Ρ€ΠΎΠ·Π³Π»ΡΠ½ΡƒΠ»ΠΈ Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ€ΠΎΠ·Π΄Ρ–Π»Ρ–.

ΠžΡΡ‚Π°Π½Π½Ρ–ΠΉ Ρ€ΠΎΠ·Π΄Ρ–Π» Π½Π°ΡˆΠΎΡ— Ρ€ΠΎΠ±ΠΎΡ‚ΠΈ Π±ΡƒΠ² присвячСний компактності Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΡ… просторів. Π’ Π½ΡŒΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΈ Ρ€ΠΎΠ·ΠΊΡ€ΠΈΠ»ΠΈ поняття ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΡ… просторів, зчислСнно-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΈΡ… Ρ‚Π° ΡΠ΅ΠΊΠ²Π΅Π½Ρ†Ρ–ΠΉΠ½ΠΈΡ…. Π’Π°ΠΊΠΎΠΆ ознайомились Π· ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎΡ— ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½ΠΈ Ρ‚Π° підпокриття.

аксіома ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΈΠΉ простір Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΈΠΉ

Бписок використаної Π»Ρ–Ρ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€ΠΈ

1. Π‘ΡƒΡ€Π±Π°ΠΊΠΈ Н. ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ топология. — Πœ., Наука, 1957.

2. Π—ΠΎΡ€ΠΈΡ‡ Π’. А. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·. Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2. — Π˜Π·Π΄. 4-Π΅, испр.- М., 2002. — 664 с.

3. ΠšΡƒΡ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŒΠΊΠΈΠΉ, ΠšΠ°Π·ΠΈΠΌΠΈΡ€ «Π’опологія'. ΠŸΠ΅Ρ€. Π· Π°Π½Π³Π». М. Π―. ΠΠ½Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΡŒΠΊΠΎΠ³ΠΎ. Ρ‚.1−2, Москва, «ΠœΠΈΡ€' 1966;1969Ρ€.

4. Π ΠΈΡˆΠ°Ρ€Π΄ Π•Π½Π³Π΅Π»ΡŒΠΊΠΈΠ½Π³ «ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ топология» — Москва, «ΠœΠΈΡ€», 1986 Ρ€.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΠΈ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ²Π½ΠΈΡ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡŽ Ρ€ΠΎΠ±ΠΎΡ‚ΠΎΡŽ