Золотий перетин

МОУ Гімназія № 8.

Золотое сечение.

Виконав: Кибенко А. О.

Учень 8 «А» класса.

Гімназії № 8.

Проверил:

Пирогова Т. А. — вчитель геометрии;

Каверзина Т. М. — вчитель информатики Рубцовск, 2004 год.

|Зміст … |2 | |Запровадження. Поняття золотого перерізу… |5 | |Історія золотого перерізу … |6−8 | |Побудова пропорції … |9 | | «Золоті «постаті… |10 | |Золоте перетин мистецтво… |11−12 | |Укладання. Практичне застосування… |13 | |Література… |14 | | |15 |.

Мета роботи: Дізнатися, що таке золоте сечение.

Об'єкт дослідження: Золоте сечение.

Предмет дослідження: Відображення «Золотого перерізу» в аспектах діяльності: 1. Геометрія; 2. Живопис; 3. Архітектура; 4. Жива природа (організми); 5. Музыка.

Гіпотеза: Людина перетворюється на своєї діяльності постійно стикається з предметами, використовуючи у своїй основі золоте сечение.

Завдання: 1. Підібрати адекватні фігури літературу на тему «Золоте перетин». 2. Знайти інформацію з темі з Інтернету. 3. Знайти малюнки, пов’язані з цим темою. 4. Підготувати презентацію на тему в Power Point.

Методологія: Використання методу Йоганна Кеплера, аналіз, синтез, сопоставление.

Звіт про виконану роботу: 1. Підібрана література на тему «Золоте перетин». 2. Найдена інформація на тему з Інтернету. 3. Знайдено малюнки, пов’язані з цим темою. 4. Підготовлено презентація на тему в Power Point.

1.

Введение

Пропорція золотого перерізу. Ф і ?.

" Геометрія має двома еликими.

скарбами. Перше — це теорема Піфагора, друге — розподілу відрізка в крайньому і среднем.

відношенні «.

Йоганн Кеплер Пятиконечная зірка — пентаграма — дуже гарна, недарма її поміщають на свої прапори і герби багато країн. Її врода, виявляється, має математичну основу. Спробуйте намалювати пейзаж і проведіть листку папери — майбутньої картині - лінію горизонту. Чому і ще художники проводять лінію горизонту у такий спосіб? Тож, причетне висоти картини до відстані від верхнього краю до лінії горизонту одно відношенню відстані від верхнього краю до лінії горизонту до відстані від лінії горизонту до нижнього краю. Це ставлення, і є ставлення золотого перерізу. Втім, пропорції золотого перерізу часто використовуються художниками як при проведенні лінії горизонту, а й у стосунках між іншими елементами картини. Леонардо так Вінчі знаходив цей показник в пропорціях людського тіла. Давньогрецький скульптор Фідія використовував золотий переріз при оформленні Парфенона. То чого ж одно золотий переріз? Якщо висоту картини прийняти рівної 1, а відстань від верхнього краю до горизонту позначити через x, те з умов золотого перерізу одержимо: 1: х=х:(1-х). Перетворивши це рівняння одержимо х2 — x — 1=0. Позитивний коріння цієї рівняння дорівнює ((5 + 1)/2. Це число зазвичай позначають грецької буквою тау — (. Іноді її позначають і інший грецької буквою (- на вшанування Фідія. Звернімося тепер до п’ятикутною зірці, у ній, так би мовити, «де ні копни скрізь золото». Крапка D ділить відрізок СА щодо (, вона також й відрізок АЕ у тому відношенні; довжини відрізків АС і АВ, і довжини відрізків АВ і AD, також у золотом отношении.

2.История золотого сечения Принято вважати, що правове поняття про золотом розподілі увів у науковий обіг Піфагор, давньогрецький філософ і математик (VI в. е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого розподілу запозичив у єгиптян і вавилонян. І це дійсно, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстра користувалися співвідношеннями золотого розподілу за її створенні. Французький архітектор Ле Корбюзьє знайшов, що у рельєфі з храму фараона Мережі I в Абидосе й у рельєфі, изображающем фараона Рамсеса, пропорції постатей відповідають величинам золотого розподілу. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев’яної дошки з гробниці його від імені, тримає до рук вимірювальні інструменти, у яких зафіксовані пропорції золотого розподілу. Греки ж були майстерними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей з допомогою геометричних постатей. Квадрат Піфагора і діагональ цього квадрата були підставою для для побудови динамических.

прямоугольников.

Платон (427…347 рр. е.) також знав про золотом розподілі. Його діалог «Тімей «присвячений математичним і навіть естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого розподілу. Парфенон має 8 колон по коротким сторонам і 17 по довгим. Ставлення висоти будинку для її довжині одно 0,618. Якщо зробити розподіл Парфенона по «золотого перерізу», одержимо ті чи інші виступи фасаду. У його розкопках виявлено циркулі, які використовували архітектори і скульптори античного світу. У Помпейском циркуле (музей у Неаполі) також закладено пропорції золотого деления.

В дійшла до нас античної літературі золотий розподіл вперше згадується у «Засадах «Евкліда. У 2-ї книзі «Почав «дається геометричне побудова золотого розподілу. Після Евкліда дослідженням золотого розподілу займалися Гипсикл (ІІ. е.), Папп (III в. н.е.) та інших. У середньовічний Європі з золотим розподілом познайомилися по арабським перекладам «Почав «Евкліда. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (III в.) зробив до переведення коментарі. Секрети золотого розподілу ревно оберігалися, зберігалися у суворій таємниці. Вони мусили відомі лише посвященным.

У період Відродження посилюється інтерес до золотого діленню серед вчених і митців у зв’язки з його застосуванням, як і геометрії, і у мистецтві, особливо у архітектурі. Леонардо так Вінчі, художник і видатний учений, бачив, що у італійських художників великий емпіричний досвід, але брак знань. Він задумав і почав писати книжку з геометрії, але у цей час з’явилася книга ченця Луки Пачолі, і Леонардо залишив свою затію. На думку сучасників і істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії період між Фібоначчі і Галилеем. Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р по запрошенню герцога Моро він приїжджає в Мілан, де викладає лекції по математиці. У Мілані при дворі Моро тоді працював і Леонардо так Вінчі. У 1509 р. у Венеції було видано книжку Луки Пачолі «Божественна пропорція «з блискуче виконаними ілюстраціями, тому вважають, що й зробив Леонардо так Вінчі. Книжка була захопленим гімном золотий пропорції. Серед багатьох достоїнств золотий пропорції чернець Лука Пачолі відразу ж назвати й її «божественну суть «як вираз божественного триєдності: бог син, бог батько і слава Богу дух святої (передбачалося, що дядько відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок — бога батька, а весь відрізок — бога духу святого).

Леонардо так Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого розподілу. Він робив перерізу стереометрического тіла, освіченого правильними п’ятикутниками, і щоразу отримував прямокутники із гармонійними стосунками сторін у золотом розподілі. І він дав цьому діленню назва золотий переріз. Так це й тримається досі як саме популярное.

У той самий час північ від Європи, у Німеччині, з тих ж проблемами трудився Альбрехт Дюрер. Він робить ескізи запровадження до першого варіанта трактату щодо пропорцій. Дюрер пише: «Необхідно, щоб він, хто щось вміє, навчив цього інших, які у цьому потребують. Оце і має намір зробити » .

Судячи з одного з листів Дюрера, він не зустрічався з Лукою Пачолі під час перебування у Італії. Альбрехт Дюрер докладно розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотого перерізу. Зріст людини ділиться в золотих пропорціях лінією пояса, і навіть лінією, проведеної через кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина особи — ротом тощо. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.

Побудова низки відрізків золотий пропорції можна робити як і бік збільшення (зростаючий ряд), і у бік зниження (спадний ряд).

Коли прямий довільній довжини, відкласти відрізок m (?), поруч відкладаємо відрізок M. З цих двох відрізків вибудовуємо шкалу відрізків золотий пропорції вранішнього і спадного рядов.

[pic].

В наступні століття правило золотий пропорції перетворилася на академічний канон і, коли згодом мистецтво почалася боротьби з академічної рутиною, під час боротьби «разом із купіллю було виплеснуто уяву і дитини ». Знову «відкрито «золотий переріз був у середині в XIX ст. У 1855 р. німецький дослідник золотого перерізу професор Цейзинг опублікував свою працю «Естетичні дослідження ». З Цейзингом саме те, що має був неминучим статися з дослідником, що розглядає явище як такий, без зв’язки з іншими явищами. Він абсолютизував пропорцію золотого перерізу, оголосивши її універсальної всім явищ природи й мистецтва. У Цейзинга були численні послідовники, але й противники, які оголосили вчення щодо пропорцій «математичної естетикою » .

3. Побудова пропорції. Тут наводиться побудова точки Є, який ділив відрізок прямий в пропорції золоте сечение.

Из точки У відновлюється перпендикуляр, рівний половині АВ. Отримана точка З з'єднується лінією до точки А. На отриманої лінії відкладається відрізок ЗС, який закінчується точкою D. Відтинок AD переноситься безпосередньо АВ. Отримана у своїй точка Є ділить відрізок АВ у відсотковому співвідношенні золотий пропорції. Саме це відтинки використовував Евклид при побудові правильного п’ятикутника, т.к. кожна зі сторін пятиугольной зірки ділиться іншими в такій пропорции.

Отже, зірчастий п’ятикутник також має «золотим перерізом». Цікаво, що в п’ятикутника можна продовжити будувати п’ятикутники, і цей показник буде сохраняться.

Зірчастий п’ятикутник називається пентаграммой. Піфагорійці вибрали п’ятикутну зірку як талісмана, вона вважалася символом здоров’я та перемоги служила розпізнавальним знаком.

Нині існує гіпотеза, що пентаграма — первинне поняття, а «золотий переріз» вдруге. Пентаграмму хто б винаходив, її лише скопіювали з натури. Вигляд п’ятикутною зірки мають пяти-лепестковые квіти плодових дерев і чагарників, морські зірки. Ті й ті створення природи людина спостерігає вже тисячі років. Тож природно припустити, що геометричний образ цих об'єктів — пентаграма — відомою раніше, ніж «золота» пропорция.

5. «Золоті «фигуры.

5.1.Золотой прямокутник: Якщо побудувати квадрат зі стороною АВ=а, знайти середину М відрізка АВ і провести дугу окружності радіусом МС з центром у точці М до перетину з продовженням боку АВ у точці Є, то точка У розділить відрізок АЕ в крайньому і середньому відношенні. Аби у тому, зауважимо, що у теоремі Пифагора.

МС2=а2+(а/2)2=5а2/4.

З огляду на чего.

АЕ=а/2 +МЕ=(?5+1)а/2=?АВ Прямокутник АЕFD зі сторонами АЕ=?АD називається золотим прямокутником. Чотирикутник АВСD — квадрат. Неважко бачити, що прямокутник ВЕFС також золотий, оскільки BC=a=?ВЕ. Ця обставина відразу викликає думка про подальшому розбивці прямокутника ВЕFС. Чи, що прямокутник зі ставленням сторін, рівним ?, виглядає витонченіше, ніж прямокутники зі ставленням сторін, скажімо, 2:1, 3:2 чи 5:7? Щоб це питання, було проведено спеціальні експерименти. Результати їх зовсім переконливі, проте свідчить про деякому перевагу, отдаваемом золотого перерізу. Втім, чи може прямокутник сам собою бути захопливо прекрасним чи відразливіші безобразным?

5.2.Золотой трикутник: Проводимо пряму АВ. Від точки, А відкладаємо у ньому тричі відрізок Про довільній величини, через отриману точку Р проводимо перпендикуляр до лінії АВ, на перпендикуляре вправо і вліво від точки Р відкладаємо відтинки Про. Отримані точки d і d1 з'єднуємо прямими до точки А. Відтинок dd1 відкладаємо на лінію Ad1, одержуючи точку З. Вона розділила лінію Ad1 в пропорції золотого перерізу. Лініями Ad1 і dd1 користуються для побудови «золотого» прямоугольника.

5.3. Золотий п’ятикутник; побудова Евклида.

Чудовий приклад «золотого перерізу» є правильний п’ятикутник — опуклий і зірчастий (рис. 5).

Для побудови пентаграммы необхідно побудувати правильний п’ятикутник. Нехай Про — центр окружності, А — точка на окружності та О — середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіусу ОА, відновлений у точці Про, перетинається з окружністю у точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина боку записаного до окружність правильного п’ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на окружності відтинки DC й одержимо п’ять точок для начерки правильного п’ятикутника. З'єднуємо кути п’ятикутника через один діагоналями й одержуємо пентаграмму. Усі діагоналі п’ятикутника ділять один одного відтинки, пов’язані між собою золотий пропорцією. Кожен кінець пятиугольной зірки є золотий трикутник. Його боку утворюють кут 36° при вершині, а підставу, відкладену на бічну бік, ділить їх у пропорції золотого перерізу. Є й золотий кубоидце прямокутний паралелепіпед з ребрами, мають довжини 1.618, 1 і 0.618. Тепер на доказ, запропоноване Евклидом в «Засадах». Подивимося тепер, як Евклид використовує золотий переріз у тому, щоб побудувати кут в 72 градуси — саме під такою кутом видно сторона правильного п’ятикутника з єдиного центру описаної окружності. Почати з відрізка АВЕ, розділеного в середньому і крайньому відношенні точкою У. Проведемо далі дуги окружностей з центрами в точках У та О і радиусах АВ, пересічні у точці З. Трохи нижче доведемо, що АС=АЕ, а поки приймемо це віру. Отже, нехай АС=АЕ. Означимо через (рівні кути ЄВС і СІВШИ. Оскільки АС=АЕ, то кут АСІ також дорівнює (. Теорему у тому, сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів, дозволяє знайти кут ВСЕ: він дорівнює 180−2(, а кут ЕАС — 3(- 180. Але тоді кут АВС дорівнює 180-(. Підсумовуючи кути трикутника АВС получаем,.

180=(3(-180) + (3(-180) + (180 — ().

Звідки 5(=360, отже (=72. Отже, кожен із кутів при підставі трикутника ВЕС ще більше кута при вершині, рівного 36 градусів. Отже, щоб побудувати правильний п’ятикутник, і її провести будь-яку окружність з центром у точці Є, що перетинає ЄС точці Х і бік ЄВ у точці Y: відрізок XY служить однієї зі сторін записаного до окружність правильного п’ятикутника; Оминувши навколо всієї окружності, можна знайти і всі інші боку. Доведемо тепер, що АС=АЕ. Припустимо, що вершина З з'єднана відрізком прямий з серединою N відрізка ВЕ. Зауважимо, що позаяк СВ=СЕ, то кут СNЕ прямий. По теоремі Пифагора:

CN2 = А2 — (а/2() 2= А2 (1−4(2) Звідси маємо (АС/а) 2 = (1+½() 2 + (1−¼(2) = 2+1/(= 1 + (=(2 Отже, АС = (а = (АВ = АЕ, що потрібно було довести 5.4.Спираль Архимеда.

Последовательно відтинаючи цим від золотих прямокутників квадрати до нескінченності, щоразу поєднуючи протилежні точки чвертю окружності, ми матимемо досить витончену криву. Першим увагу до неї звернув давньогрецький учений Архімед, ім'я яку вона і має. Він вивчав неї і вивів рівняння цієї спирали.

[pic].

В час спіраль Архімеда широко використовують у технике.

7.Золотое перетин в искусстве.

7.1. Золоте перетин у живопису. Переходячи до прикладів «золотого перерізу» у живопису, мушу зупинити своєї уваги на творчості Леонардо так Вінчі. Його особистість — одне з загадок історії. Сам Леонардо так Вінчі говорив: «Нехай ніхто, який був математиком, не наважиться читати мої труды».

Поза сумнівом, що Леонардо так Вінчі був великим художником, це визнавали вже його сучасники, та його особистість і діяльність залишаться покритими таємницею, оскільки він залишив нащадкам не чіткий виклад своїх ідей, а тільки численні рукописні начерки, нотатки, у яких говориться «про все у світі». Портрет Монны Лізи (Джоконди) довгі роки привертає мою увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка полягає в золотих трикутниках, є частинами правильного зірчастого п’ятикутника. Також пропорція золотого перерізу проявляється у картині Шишкіна. І на цій знаменитої картині І. І. Шишкіна вочевидь проглядаються мотиви золотого перерізу. Яскраво освітлена сонцем сосна (що стоїть першому плані) ділить довжину картини по золотого перерізу. Праворуч від сосни — освітлений сонцем горбок. Він ділить по золотого перерізу праву частина картини по горизонтали.

У фільмі Рафаеля «Побиття немовлят «проглядається інший елемент золотий пропорції - золота спіраль. На підготовчому ескізі Рафаеля проведено червоні лінії, які від смислового центру композиції - точки, де пальці воїна зімкнулися навколо щиколотки дитини — вздовж постатей дитини, жінки, прижимающей його себе, воїна з занесеним мечем і далі вздовж постатей той самий групи у правій частині ескізу. Невідомо, будував чи Рафаель золоту спіраль чи відчував её.

Т.Кук використовував під час аналізу картини Сандро Боттічеллі «народження Венери» золоте сеченеие .

8.

Заключение

.

Слід зазначити, що «золоте перетин має велику використання у нашої життя. Було доведено, що людське тіло ділиться в пропорції золотого перерізу лінією пояса. Раковина наутилуса закручена подібно золотий спіралі. Завдяки золотого перерізу відкрили пояс астероїдів між Марсом і Юпітером — по пропорції винна перебувати ще одна планета. Порушення струни у точці, делящей їх у відношенні золотого розподілу, не викликає коливань струни, тобто, це точка компенсації. На літальних апаратах з електромагнітними джерелами енергії створюються прямокутні осередки з пропорцією золотого сечения.

Джоконда побудовано золотих трикутниках, золота спіраль бере участь у картині Рафаеля «Побиття немовлят». Пропорція виявлено у картині Сандро Боттічеллі «Народження Венери» Відомо багато пам’ятників архітектури, побудованих за використанням золотий пропорції, зокрема Пантеон і Парфенон в Афінах, будинку архітекторів Баженова і Малевича. Івану Кеплеру, жило п’ять століть тому, належить висловлювання: «Геометрія має двома великими скарбами. Перше — це теорема Піфагора, друге — розподілу відрізка в крайньому і середньому відношенні «.

1. Д. Пидоу. Геометрія і мистецтво. — М.: Світ, 1979.

2. Журнал «Наука і «3. Журнал «Квант», 1973, № 8.

4. Журнал «Математика у шкільництві», 1994, № 2; № 3. 5. Ковальов Ф. В. Золоте перетин у живопису. До.: Выща школа, 1989. 6. Стахов А. Коди золотий пропорції. 7. «Математика. Я пізнаю світ». — М.: Аванта + 1998 1. «Математика — Енциклопедія для дітей «М.: Аванта +, 1998 2. Мурутаев. «Питання філософії» 1994 р. № 6 стор. 71 (Про гармонії світу). 3. Інформація з Інтернету: internet & internet.

———————————- Рис. 10. Побудова шкали відрізків золотий пропорции.

Рис. 9. Античний циркуль золотого сечения Рис. 8. Парфенон Рис. 7. Динамічні прямоугольники Рис. 6. Побудова правильного п’ятикутника і пентаграммы.

Рис. 1. Розподіл відрізка прямий по золотого перерізу. BC = ½ AB; CD = BC.