Числові ряди.
Ознака збіжності рядів. (практичне заняття) (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Тема: Числові ряди. Ознака збіжності рядів М е т а: Засвоїти поняття: знакосталі та знакозмінні (знакопочергові ряди), абсолютна та умовна збіжність рядів. Дати практику дослідження рядів з додатними членами на збіжність за ознаками порівняння, Даламбера, Коші, інтегральною ознакою Коші. Навчитись досліджувати абсолютну та умовну збіжності знакочергових рядів за ознакою Лейбніца. Завдання 1… Читати ще >

Числові ряди. Ознака збіжності рядів. (практичне заняття) (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Реферат на тему:

Числові ряди. Ознака збіжності рядів. (практичне заняття).

Література: [3,336- 7,336- 13,356- 18,204- 20,339- 22,130].

Зміст практичного заняття Завдання 1. Перевірити, чи виконується необхідна умова збіжності рядів:

1) $_{n = 1}^{} \frac{1}{2 n - 1}$ — 2) $_{n = 1}^{} \frac{n + 1}{2 n + 1}$ ;

3) $_{n = 1}^{} \frac{n}{n^{2} + 1}$ — 4) $_{n = 1}^{} n sin \frac{1}{n}$ ;

5) $_{n = 1}^{} \frac{1}{\sqrt{n}}$ — 6) $_{n = 1}^{} \frac{1}{2 n - 1}$ ;

7) $_{n = 1}^{} \frac{1}{2 n - 1}$ — 8) $_{n = 1}^{} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ .

Завдання 2. Використовуючи ознаку порівняння, дослідити збіжність рядів.

1) $_{n = 1}^{} \frac{1}{\sqrt{n}}$ — 2) $_{n = 1}^{} \frac{1}{n 2^{n}}$ ;

3) $_{n = 1}^{} \frac{1}{\sqrt[3]{n + 1}}$ — 4) $_{n = 1}^{} \frac{1}{n 8^{n}}$ ;

5) $_{n = 1}^{} \frac{2^{n}}{1 + 2^{2 n}}$ — 6) $_{n = 1}^{} \frac{1}{ln n}$ ;

7) $_{n = 1}^{} \frac{2^{n}}{n (2^{n} + 1)}$ — 8) $_{n = 1}^{} \frac{1}{{(n + 1)}^{n + 1}}$ .

Завдання 3. За допомогою ознаки Даламбера дослідити ряди на збіжність:

1) $_{n = 1}^{} \frac{1}{n!}$ — 2) $_{n = 1}^{} \frac{5^{n}}{n^{5}}$ ;

3) $_{n = 1}^{} \frac{1}{\sqrt{n}}$ — 4) $_{n = 1}^{} \frac{n^{n}}{n!}$ ;

5) $_{n = 1}^{} \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}$ — 6) $_{n = 1}^{} \frac{1}{n}$ ;

7) $_{n = 1}^{} \frac{2 n - 1}{2^{n}}$ — 8) $_{n = 1}^{} \frac{3^{n}}{2^{n} (3 n + 1)}$ ;

9) $_{n = 1}^{} \frac{n^{3}}{4^{n}}$ — 10) $_{n = 1}^{} \frac{2 n + 1}{e^{n}}$ .

Завдання 4. За допомогою ознаки Коші дослідити ряди на збіжність:

1) $_{n = 0}^{} {(\frac{n + 1}{2 n - 1})}^{n}$ — 2) $_{n = 1}^{} {(\frac{7 n}{3 n - 1})}^{2 n}$ ;

3) $_{n = 1}^{} {(\frac{3 n}{5 n + 1})}^{n}$ — 4) $_{n = 1}^{} {(\frac{3 n + 1}{3 n^{2} + 2})}^{n}$ .

Завдання 5. Використовуючи інтегральну ознаку Коші, дослідити ряди на збіжність:

1) $_{n = 1}^{} \frac{1}{n^{}}, > 0$ — 2) $_{n = 1}^{} \frac{1}{1 + n^{2}}$ ;

3) $_{n = 1}^{} \frac{n + 2}{n^{2}}$ — 4) $_{n = 1}^{} \frac{1}{2 n - 1}$ ;

5) $_{n = 1}^{} \frac{1}{\sqrt{n} (n + 1)}$ — 6) $_{n = 1}^{} \frac{2 n}{n^{2} + 1}$ ;

7) $_{n = 1}^{} \frac{n}{{(n + 1)}^{3}}$ — 8) $_{n = 1}^{} \frac{1}{{(2 n + 1)}^{2} - 1}$ .

Завдання 6. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність ряди:

1) $_{n = 1}^{} \frac{sin n}{n^{2}}$ — 2) $_{n = 1}^{} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{3^{n}}$ ;

3) $_{n = 1}^{} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n^{}}$ — 4) $_{n = 1}^{} \frac{{(- 1)}^{n}}{ln n}$ ;

5) $_{n = 1}^{} \frac{{(- 1)}^{n + 1} \sqrt[3]{n}}{n + 2}$ — 6) $_{n = 1}^{} \frac{{(- 1)}^{n + 1} n^{10}}{e^{n}}$ ;

7) $_{n = 1}^{} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{10 n + 1}$ — 8) $_{n = 1}^{} \frac{{(- 1)}^{n} ln n}{n}$ ;

9) $_{n = 1}^{} {(- 1)}^{n - 1} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ — 10) $_{n = 1}^{} \frac{{(- 1)}^{n + 1} 2 n}{3 n + 2}$ ;

11) $_{n = 1}^{} \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt[4]{n^{5}}}$ — 12) $_{n = 1}^{} \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n 5^{n}}$ .

Методичні вказівки до виконання завдань.

Завдання 1. При виконанні даних завдань пригадайте теорему Теорема (про необхідну умову збіжності числових рядів):

Якщо ряд $_{n = 1}^{} a_{n}$ збігається, то його загальний член $a_{n} -> 0$ при $n ->$ , тобто.

$lim_{n ->} a_{n} = 0$ . (1).

Застосуйте цю теорему для перевірки необхідної умови збіжності рядів.

Завдання 2. Для виконання даних завдань застосуйте ознаку порівняння. Нехай потрібно дослідити збіжність заданого ряду.

$_{n = 1}^{} a_{n}, a_{n} > 0$ . (2).

Візьмемо другий додатний числовий ряд, збіжність чи розбіжність якого відома або її легко встановити:

$_{n = 1}^{} b_{n}, b_{n} > 0$ . (3).

Зауваження. Найчастіше для порівняння беруть ряд геометричної прогресії або узагальнений гармонічний ряд.

Ознака порівняння. Якщо ряд (3) збігається і, починаючи з деякого $n >= N$ , виконуються співвідношення $a_{n} <= b_{n}$ , тоді й ряд (2) також збігається.

Якщо ряд (3) розбігається і, починаючи з деякого $n >= N$ , виконуються співвідношення $a_{n} >= b_{n}$ , тоді й ряд (2) також розбігається.

Завдання 3. Для виконання даних завдань пригадайте ознаку:

Ознака Даламбера. Позначимо сталу Даламбера, яку знаходять за формулою.

$= lim_{n ->} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ . (4).

1. Якщо $< 1$ , тоді додатний числовий ряд $_{n = 1}^{} a_{n}$ збігається.

2. При $> 1$ цей ряд розбігається.

3. При $= 1$ треба застосовувати іншу ознаку.

Завдання 4. Пригадайте ознаку Коші дослідження ряду на збіжність:

Ознака Коші. Позначимо $K$ — сталу Коші, яку знаходять за формулою.

$K = lim_{n ->} \sqrt[n]{a_{n}}$ . (5).

1. Якщо $K < 1$ , тоді додатний числовий ряд $_{n = 1}^{} a_{n}$ збігається.

2. При $K > 1$ ряд розбігається.

3. Якщо $K = 1$ , то треба застосовувати іншу ознаку.

Завдання 5. Для виконання даних завдань використайте ознаку:

Інтегральна ознака Коші. Треба дослідити збіжність додатного числового ряду $_{n = 1}^{} a_{n}$ , де $a_{n} = f (n)$ . Розглянемо невласний інтеграл.

$_{1}^{} f (x) dx$ . (6).

Якщо цей інтеграл збігається, то числовий ряд також збігається. Якщо інтеграл розбіжний, то числовий ряд також розбіжний.

Завдання 6. Для дослідження рядів на абсолютну та умовну збіжність пригадайте такі поняття та означення:

Означення. Ряд, члени якого почергово мають додатний та від'ємний знаки, називають знакозміннимми (знакопочерговими).

Такий ряд можна записати у вигляді.

$_{n = 1}^{} {(- 1)}^{n - 1} U_{n} = U_{1} - U_{2} + U_{3} - U_{4} + . . . + {(- 1)}^{n - 1} U_{n} + . . .$ (7).

$U_{n} > 0, n = 1, 2, 3, . . .$ .

Означення. Знакозмінний ряд називають збіжним абсолютно, якщо збігається додатний числовий ряд $_{n = 1}^{} U_{n}$ , складений з абсолютних величин знакозмінного ряду (7).

Означення. Якщо ряд, складений з абсолютних величин членів ряду (7) розбігається, а знакозмінний ряд збігається, то кажуть, що ряд (7) збігається неабсолютно або умовно.

Абсолютну збіжність знакозмінного ряду досліджують з використанням додатніх ознак збіжності додатних числових рядів. Умовну збіжність знакозмінного ряду досліджують з використанням ознаки Лейбніца.

Ознака Лейбніца. Якщо абсолютні величини знакозмінного ряду монотонно спадають, тобто.

$U_{1} > U_{2} > U_{3} > . . . > U_{n} > . . .$ ,.

і границя його загального члена дорівнює нулю при $n ->$ , тобто виконується умова.

$lim_{n ->} U_{n} = 0$ ,.

тоді знакозмінний ряд збігається, причому його часткова сума $S_{m}$ обов’язково менше першого члена ряду.

Завдання 5. Обчислити наближено значення:

1) ${(1, 08)}^{3, 96}$ — 2) $1, 94^{2} e^{0, 12}$ ;

3) $sin 1, 59 tg 3, 09$ — 4) $2, 68^{sin 0, 05}$ .

Завдання 6. Показати, що мішана частинна похідна другого порядку не залежить від порядку диференціювання функції, тобто $\frac{^{2} Z}{x y} = \frac{^{2} Z}{y x}$ :

1) $Z = sin x cos y$ — 2) $Z = x e^{y}$ ;

3) $Z = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ — 4) $Z = ln (x - 2 y)$ ;

5) $Z = x^{2} sin \sqrt{y}$ — 6) $Z = y ln x$ ;

7) $Z = x + y + xy$ — 8) $Z = sin x (x + y)$ .

Завдання 7. Знайдіть частинні охідні вищих порядків.

1. Частинні похідні третього порядку для функцій:

а) $Z = x^{4} + 5 y^{3} + 3 x - y$ — б) $Z = x^{2} y^{3}$ ;

в) $Z = sin (3 x - 2 y)$ — г) $Z = \frac{x}{y}$ ;

д) $Z = {xe}^{y} + {ye}^{x}$ — е) $Z = \frac{x^{2}}{1 - y}$ .

2. Знайти частинні похідні $Z_{yxx}^{'''}$ та $\frac{^{4} Z}{x {(y)}^{3}}$ функції $Z = 3 x^{4} y^{5}$ .

3. Знайти частинні похідні $Z_{xyy}^{'''}$ функції $Z = sin (xy)$ .

4. Знайти частинні похідні $Z_{xyy}^{'''}$ та $Z_{xxy}^{'''}$ функції $Z = {xe}^{2 x + y^{2}}$ .

Завдання 8. Знайти похідну $\frac{dZ}{dt}$ складної функції $Z = f (x, y)$ , якщо $x = x (t)$ , $y = y (t)$ :

1) $Z = f (x, y)$ , $x = t^{3} + 2$ , $y = 3 t^{4} - 1$ ;

2) $Z = x^{2} y^{2}$ , $x = t$ , $y = t^{2}$ ;

3) $Z = \frac{y}{x}$ , $x = e^{t}$ , $y = 1 - e^{2 t}$ ;

4) $Z = x^{2} + {xy}^{2}$ , $x = e^{2 t}$ , $y = sin t$ ;

5) $Z = x sin \frac{x}{y}$ , $x = 1 + 3 t$ , $y = \sqrt{1 + t^{2}}$ ;

6) $Z = e^{xy} ln (x + y)$ , $x = 2 t^{2}$ , $y = 1 - 2 t^{2}$ .

Методичні вказівки до виконання завдань.

Завдання 1. Пригадайте правило знаходження частинної похідної по змінній $x_{k}$ . При знаходженні частинної похідної по змінній $x_{k}$ всі інші аргументи слід вважати постійними величинами і тому можна використовувати правила диференціювання та таблицю похідних функцій однієї змінної.

Завдання 2. Знайдіть частинні похідні першого порядку вказаних функцій та підставте їх у відповідні рівняння. Перевірте виконання тотожностей.

Завдання 3. Повний диференціал функції двох змінних знаходять за формулою.

$dZ = f_{x}^{'} (x, y) dx + f_{y}^{'} (x, y) dy$ . (1).

Якщо частинні похідні неперервні в точці $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ , то повний приріст функції двох змінних (повний диференціал) можна записати у вигляді.

$dZ = f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) + f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})$ . (2).

Завдання 4. пригадайте означення:

Градієнтом функції $Z = f (M)$ в точці $M (x, y)$ називається вектор, координати якого дорівнюють відповідним частинним похідним $\frac{Z}{x}$ і $\frac{Z}{y}$ , взятим в точці $M (x, y)$ . Позначається.

$grad Z = (\frac{Z}{x}, \frac{Z}{y})$ . (3).

Аналогічно градієнт функції трьох змінних.

$grad U = (\frac{U}{x}, \frac{U}{y}, \frac{U}{z})$ — (4).

$| grad Z | = \sqrt{{(\frac{Z}{x})}^{2} + {(\frac{Z}{y})}^{2}}$ — (5).

$| grad U | = \sqrt{{(\frac{U}{x})}^{2} + {(\frac{U}{y})}^{2} + {(\frac{U}{z})}^{2}}$ . (6).

Зауваження. Напрямок найбільшої швидкості зміни функції співпадає з напрямком вектора-градієнта $grad Z$ , а величина цієї найбільшої швидкості дорівнює довжині вектора-градієнта $| grad Z |$ .

Завдання 5. Заміняючи повний приріст функції повним диференціалом (формула (2)).

$dZ = f (x_{0} +, y_{0} +) - f (x_{0}, y_{0})$ ,.

отримаємо формулу для обчислення наближеного значення двох змінних.

$f (x_{0} +, y_{0} +) f (x_{0}, y_{0}) + f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) + f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})$ (7).

Завдання 6−7. пригадайте означення: для функції двох змінних $Z = f (x, y)$ частинну похідну першого порядку по змінній $y$ від частинної похідної першого порядку по змінній $x$ називають частинною похідною другого порядку функції по змінних $x$ та $y$ :

$\frac{^{2} Z}{x y} = \frac{}{x} (\frac{Z}{x}) = \frac{}{y} (\frac{Z}{x})$ , (8).

$\frac{^{2} Z}{x^{2}} = \frac{}{x} (\frac{Z}{x})$ , $\frac{^{2} Z}{y^{2}} = \frac{}{y} (\frac{Z}{y})$ . (9).

Рівність (8) формулюється так: мішана частинна похідна другого порядку не залежить від порядку диференціювання функції.

Ця рівність виконується, коли мішані похідні другого порядку неперервні.

Аналогічно визначаються частинні похідні порядку $k > 2$ .

Завдання 8. Якщо $Z = f (x, y)$ , $x = x (t)$ , $y = y (t)$ , то $Z = f [x (t), y (t)]$ є складною функцією від $t$ .

При цьому похідна складної функції обчислюється так:

$\frac{Z}{t} = \frac{Z}{x} \frac{dx}{dt} + \frac{Z}{y} \frac{dy}{dt}$ (10).

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 6.3.

Тема: Невизначений інтеграл. Інтегрування тригонометричних функцій. Інтегрування ірраціональних функцій М е т а: Дати практику знаходження невизначеного інтеграла від тригонометричних та ірраціональних функцій за допомогою деяких спеціальних підстановок. Закріпити вміння знаходити інтеграл методом заміни змінної та за допомогою таблиці основних інтегралів. Повторити поняття невизначеного інтеграла, основні правила інтегрування функцій.

Література: [3, 282- 7,253- 13,271- 18,113].

Зміст практичного заняття Завдання І. Знайти невизначені інтеграли:

1) $\sqrt{1 - x^{2}} dx$ — 2) $\sqrt{9 - x^{2}} dx$ ;

3) $\sqrt{16 - x^{2}} dx$ — 4) ${cos}^{3} x dx$ ;

5) ${sin}^{5} x dx$ — 6) ${sin}^{2} x {cos}^{2} x dx$ ;

7) $\frac{{cos}^{3} x}{{sin}^{2} x} dx$ — 8) $\frac{{sin}^{3} x}{{cos}^{2} x} dx$ ;

9) ${cos}^{4} x dx$ — 10) ${sin}^{3} x {cos}^{2} x dx$ ;

11) ${cos}^{3} x {sin}^{5} x dx$ — 12) $\frac{dx}{1 + sin x}$ ;

13) $\frac{dx}{3 + cos x}$ — 14) $\frac{dx}{3 sin x + 4 cos x}$ ;

15) $\frac{dx}{2 sin x + sin 2 x}$ — 16) $\frac{dx}{sin x - cos x}$ ;

17) $\frac{dx}{sin x + cos x}$ — 18) $\frac{dx}{2 {sin}^{2} x + 4 {cos}^{2} x}$ ;

19) ${ctg}^{5} x dx$ — 20) ${tg}^{4} x dx$ .

Завдання ІІ. Знайти невизначені інтеграли від ірраціональних функцій:

1) $\sqrt{x} {(2 + 3 \sqrt[3]{x})}^{5} dx$ — 2) $x^{2} \sqrt{1 + 2 x^{3}} dx$ ;

3) $x \sqrt[3]{2 + x^{3}} dx$ — 4) $\frac{dx}{(1 + \sqrt[3]{x}) \sqrt{x}}$ ;

5) $x \sqrt{3 - x} dx$ — 6) $\frac{dx}{\sqrt{{(5 - x^{2})}^{3}}}$ ;

7) $x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} dx$ — 8) $\frac{dx}{x \sqrt{x^{2} - 9}}$ ;

9) $x^{3} \sqrt{1 + 3 x^{4}} dx$ — 10) $\sqrt[3]{x} {(2 + \frac{1}{x})}^{2} dx$ ;

11) $\sqrt[3]{x^{2}} (1 + x^{2}) dx$ — 12) $\sqrt{x} \sqrt[3]{2 + x^{2}} dx$ ;

13) $x \sqrt[4]{5 + x} dx$ — 14) $x \sqrt[5]{2 + 3 x} dx$ ;

15) $x \sqrt[7]{4 + 2 x} dx$ — 16) $x^{5} \sqrt[3]{1 + x^{3}} dx$ ;

17) $\frac{\sqrt[3]{x} dx}{1 + \sqrt{x}}$ — 18) $\frac{x dx}{2 + \sqrt[3]{x}}$ .

Методичні вказівки до виконання завдань.

При виконанні завдань пригадайте метод заміни змінної:

Якщо для знаходження заданого інтеграла.

$f (x) dx$ зробити заміну $x = (t)$ ,.

тоді має місце рівність.

$f (x) dx = f [(t)]^{'} (t) dt$ . (*).

При цьому потрібно пам’ятати, що після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування $x$ (функція $x = (t)$ повинна мати обернену функцію $t = (x)$ ).

Зауваження. Якщо заміна вибрана вдало, то одержаний інтеграл буде простішим і мета заміни досягнута.

Завдання І. При виконанні даних завдань використайте такі спеціальні підстановки:

1. Якщо підінтегральний вираз містить корінь вигляду.

$\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ ,.

то доцільно застосувати тригонометричну заміну.

$x = a cos t$ або $x = a sin t$ .

2. Інтегрування раціонально-тригонометричних функцій.

$f (sin x, cos x) dx$ .

завжди спрощує заміна.

$tg (\frac{x}{2}) = t$ ,.

$(sin x = \frac{2 t}{1 + t^{2}}, cos x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}, dx = \frac{2 dt}{1 + t^{2}})$ .

3. Якщо $f (- sin x, cos x) = - f (sin x, cos x)$ , то заміна $cos x = t$ .

4. Якщо $f (sin x, - cos x) = - f (sin x, cos x)$ , то заміна $sin x = t$ .

5. Якщо $f (- sin x, - cos x) = - f (sin x, cos x)$ , то заміна $tgx = t$ .

Завдання ІІ. При виконанні даних завдань використайте такі рекомендації щодо замін змінних інтегрування:

Інтегрування ірраціональних функцій вигляду.

$x^{m} {(a + {bx}^{n})}^{p} dx, m, n, p Q, ab /= 0$ .

спрощується в таких випадках:

1. $p Z$ . Підстановка $x = t^{k}$ , де $k$ — спільний знаменник $m$ і $n$ .

2. $\frac{m + 1}{n} Z$ . Підстановка $ax - n + b = t^{k}$ , де $k$ — знаменник $p$ .

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою