Методология вивчення теми «Ознаки паралельності прямих

Методология вивчення теми «Ознаки паралельності прямых

Курсовая робота за курсом «Основи викладання математики».

Кировоградский державний педагогічний університет ім. Винниченка Кировоград.

Введение

Учащиеся, розпочинаючи систематичного вивченню курсу геометрії, володіють деяким запасом геометричних знань. Знання ці переважно почерпнуто чи безпосередньо з досвіду чи сприйняті ними інтуїтивно, шляхом зіставлення низки аналогічних або вже знайомих їм геометричних фактів.

Преподаватель повинен зуміти: 1) належно своїх використовувати накопичені учнями знання розгортання їх шкільного логічного курсу геометрії, у якому логічне доказ висувається перше місце, де інтуїція ж виконує функцію розвідки, в досвід відходить на задній план, 2) привчити учнів знаходити нові геометричні факти, 3) підкріплювати під час розгляду окремих питань теоретичні висновки ілюстрацією їх практичної цінності й цим знаходити тісну ув’язку теорії з практикою, 4) використовувати явища оточуючої дійсності, досвід минулого і інтуїцію як стимул щоб поставити питання, зовсім на замінюючи логічне доказ досвідом, 5) привчати учнів вбачати взаємозалежність між окремими геометричними фактами, 6) розвинути в учнів спостережливість, строгість і послідовність в судженнях, любов до дослідження, 7) навчити учнів користуватися підручником, вести чітку конспективную запис, виконувати охайно і точно креслення і «бути завжди готовими до відповідальності - ось відповідальна і складне завдання викладача, починаючи з перших занять із геометрии.

В свою роботу викладач завжди повинен пам’ятати, що учні мусимо навчитися доводити, і аж ніяк заучувати незрозуміле доказатель-ство. Необхідно вести роботу так, щоб учні вміли чітко відрізняти при розборі теореми, дане йому, і те, що потрібно довести. Будь-яке доказ жадає від учнів зосередженості уваги і напруження думки, тому не можна перевантажувати урок розбором і доказом більш як двох-трьох теорем.

Юнг у своїй книжки «Як викладати геометрію» писав: «якщо геометрію вивчати те щоб учень робив відкриття, він відчує її жизнь».

Раздел 1. Методика викладання теми «Паралельні прямі. Завдання, пов’язані з паралельними прямыми».

1.1. Паралельні прямые

К поняттю про паралельних прямих слід підвести учнів так. Учням пропонується провести довільну пряму АВ, відзначити у ньому дві сусідні точки М і N і провести через ці точки до прямий АВ перпендикуляри ММ1 і NN1. Ставиться питання, перетнуться ці перпендикуляри, якщо їх продовжити у той чи інший бік від прямий АВ.

Если на це запитання піде відповідь, що прямі не перетнуться, але це учні відчувають інтуїтивно, чи, навпаки, буде надано відповідь, що прямі перетнуться, необхідно вказати учням, що з зроблених ними тверджень має бути доведено, тобто. обгрунтоване посиланням на відомі їм аксіоми і теоремы.

Доказательство: маємо ММ1 перпендикулярно АВ, NN1 перпендикулярно АВ. Доведемо, що перпендикуляри ММ1 і NN1, проведені лише до й тієї прямий АВ, що неспроможні перетнутися. Припустимо гидке, саме — що перпендикуляри ММ1 і NN1 перетнуться у певній точці Про, тоді виходить трикутник МОN, у якому сума двох внутрішніх кутів, Ð1 і Ð2, дорівнює двом прямим: Ð1+Ð2=180, що організувати неможливо, оскільки відповідно до сума двох кутів трикутника завжди менше 180 градусів. Звідси випливає, що прийняте припущення, що перпендикуляри ММ1 і NN1 при своєму продовженні перетнуться у певній точці Про, не так. Отже, два перпендикуляра лише до й тієї прямий не перетинаються, скільки їх ні продолжать.

После такого розбору учням вказується, що у площині можна розмістити дві прямі отже вони перетнуться, і дають визначення: прямі, які перебувають у площині і перетинаються, називаються параллельными.

Возвращаясь потім одержаному вище висновку про взаємній становищі двох перпендикулярів до одному й тому ж прямий, викладач зазначає, що це висновок можна формулювати як теореми: дві прямі, перпендикулярні до третьої, параллельны.

Вводится знак для позначення паралельності двох прямих: АВ ççCD.

Преподаватель мушу наголосити, що необхідною передумовою паралельності двох прямих і те, що прямі повинні лежати одноплощинно. Це вказівку має бути виявлено у визначенні, тому визначення паралельних прямих без слів «найчастіше розташованих у площині» є неполным.

Следует використовувати модель куба для показу паралельних і непараллельных прямих. Так, ребра куба АВ і А1D1 не перетинаються: лежать у різних площинах; пояснюється, такі прямі, на відміну прямих паралельних, називаються перехресними. ребра ж куба АВ і А1В1, АА1 і ВВ1, ВВ1 і СС1 теж перетинаються; проте вони попарно розташовані на півметровій площині, вони параллельны.

Теорема про перші два перпендикулярах на площині лише до й тією самою прямий одна із ознак паралельності прямих. Необхідно показати учням її практичний додаток, навіщо слід вирішити задачу:

На площині дано дві точки Проте й У. Провести через ці точки дві паралельні прямые.

Построение. Через точки Проте й У проводиться пряма MN, й у тих самих точках будуються до прямий MN перпендикуляри АС і BD (АС ççBD). Продовжуючи обидва перпендикуляра з іншого кращий бік від прямий MN маємо: СС1 çç DD1. Це з численних рішень; через точки Проте й У можна провести незліченну кількість пар паралельних прямых.

Действительно, проводимо на площині ряд довільних прямих і до них через точки Проте й У перпендикуляри. Отримуємо, що у кожної з точок Проте й У пучок прямих. У цьому кожної прямий пучка з центром у точці А відповідає певна пряма, їй паралельна, що належить пучку з центром у точці В.

После цього слід вирішити завдання на побудова. Через точку, А поза даної прямий провести пряму, паралельну данной.

Запись завдання на дошці: Дана пряма MN і поза нею точка А. Провести через точку, А пряму, паралельну данной.

Решение. З даної точки, А проводять до прямий MN з допомогою лінійки і креслярського трикутника перпендикуляр АР. Потім проводять через точку, А до прямий АР перпендикуляр АК також за допомоги лінійки і креслярського трикутника. Пряма АК паралельна MN виходячи з теореми: дві прямі, перпендикулярні до третьої, параллельны.

Необходимо запропонувати учням зробити кілька побудов, різна розмістивши пряму MN щодо краю дошки чи аркуша бумаги.

Когда побудова виконано, викладач повинен зазначити, що потрібен ще досліджувати, чи немає крім побудованої прямий ще інший прямий, що також проходить через точку Проте й паралельна даної прямий MN, і якщо такого немає, то проведена пряма єдина прямий, що проходить через точку, А паралельно прямий MN.

Учащимся роз’яснюється, що вимога довести це положення не можна з допомогою відомих нам аксіом і теорем І що вікової досвід людства, набутий рішенням практичних завдань, навів ще древніх геометрів до висновку, що за цю точку поза прямий на площині можна навести тільки один пряму, паралельну даної прямой.

Последнее судження є аксіома про параллельных.

Не зайве вказати учням, що, починаючи давніх часів, найкращими математиками все-таки робилися спроби довести аксіому про паралельних, тобто. розглядати її як теорему, яка, як вони припускали, то, можливо доведено з допомогою вже прийнятих аксіом. Проте їх спроби були й залишилися безуспішними. У цей час міркуваннями, що виходять межі елементарного курсу геометрії, встановлено, що аксіому про паралельних не можна довести без внесення додаткових аксіом до тих, встановлені Евклидом.

На аксіомі про паралельних і наслідках з її слід акцентувати увагу учащихся.

Учащиеся повинні вміти формулювати словами запис: на площині АВ çç CD і CDççMN, вміти зробити до неї потрібний креслення і після відповідного докази записати висновок, що з взаємного розташування прямих АВ, CD і MN. Як-от, що АВççMN. До читання що така записів й навчання по записи зробити відповідне висновок слід привчати учащихся.

Большинство підручників зазвичай наводить аксіому про паралельних безпосередньо перед розглядом зворотної теореми про паралельних, тобто. теореми: дві паралельні прямі, перетнуті третьої, утворюють рівні внутрішні навхрест що лежать кути, оскільки доказ цієї теореми грунтується на аксіомі про паралельних. Для прямий теореми: дві прямі, перетнуті третьої, рівнобіжні, якщо внутрішні навхрест що лежать кути рівні - не потрібно при застосуванні аксіоми про паралельних. Аби довести прямий теореми досить попередніх аксіом.

Приводя все-таки аксіому про паралельних раніше, саме — у зв’язку з аналізом виконання завдання про проведенні прямий, паралельної даної прямий, вважаємо, що за такого розташуванні матеріалу учням доступніше усвідомлення потрібності аксіоми про параллельных.

1.2. Кути при паралельних прямых

Ознакомление учнів з кутами, утвореними двома паралельними і січною, доцільно розпочати з повторення властивостей кутів, утворених двома пересічними прямими, розглянути одержувані протилежні і суміжні кути і потім можливість перейти до розгляду кутів, утворених трьома попарно пересічними прямими, з яких одна стосовно двох інших, паралельним, називається секущей.

Получаемым при цьому восьми кутках даються назви. Потрібно вказати, чого слід вимагати від учнів запам’ятовування всіх найменувань кутів, утворених двома паралельними прямими і січною. Досить, якщо учні вміють чітко розумітися на розташуванні відповідних і розвитку внутрішніх навхрест лежачих кутів. Доводиться, що певна залежність між кутами якоюсь однією з таких дванадцяти пар кутів — Ð3 і Ð5, Ð4 і Ð6, Ð1 і Ð7, Ð2 і Ð8, Ð1и Ð5, Ð4 і Ð8, Ð2 і Ð6, Ð3 і Ð7, Ð4 і Ð5, Ð1 і Ð8, Ð3 і Ð6, Ð2 і Ð7 — тягне за собою певну залежність між кутами кожної з інших пар. Тож якщо перша пара кутів дорівнює, то рівні й такі сім пар кутів, що чотири пари кутів пополнительные і т.д.

Небесполезно звернути увагу учнів наступний: кути, утворювані після перетину двох паралельних третьої прямий, січною, — у випадку кути гострі і тупі, при цьому всі гострі кути між собою і злочини все тупі кути між собою рівні, а будь-яка пара кутів, з яких одна гострий, а інший тупий, — кути пополнительные. Якщо хоча один із восьми кутів — прямий, то ми все кути рівні й всі кутки попарно пополнительные.

1.3. Ознаки паралельності прямых

В ряді підручників теорема ознаки паралельності двох прямих, які перетнув третьої, доводиться способом від противного.

Это доказ таке: скажімо, що прямі АВ і CD не рівнобіжні. Але вони можуть перетнутися чи який-небудь точці Про, лежачої права від січною EF, чи який-небудь точці О1, лежачої зліва січною EF. Якщо АВ і CD перетнуться у точці Про, то отриманому трикутнику OMN Ð1.