Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними (реферат)

Реферат на тему:

Інтегрування і пониження порядку деяких ДР

з вищими похідними.

1. 1.ДР що містять n-ту похідну від шуканої функції і незалежну змінну.

а) Розглянемо ДР $$y^{(n)}=f(x)$$ (4.38).

Так як $${\left(y^{(n-1)}\right)}^{}=f(x)$$, то.

$$y^{(n-1)}=\underset{x_0}{\overset{x}{}}f(x)\text{dx}+c_1$$.

Аналогічно $$y^{(n-2)}=\underset{x_0}{\overset{x}{}}\underset{x_0}{\overset{x}{}}f(x)\text{dxdx}+c_1(x-x_0)+c_2$$, …,.

$$y=\underset{x_0}{\overset{x}{}}\text{.}\text{.}\text{.}\underset{x_0}{\overset{x}{}}f(x)\text{dx}\text{.}\text{.}\text{dx}+c_1\left(\frac{(x-x_0{)}^{n-1}}{(n-1)!}\right)+c_2\left(\frac{(x-x_0{)}^{n-2}}{(n-2)!}\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+c_n$$ (4.39).

Остання формула дає розвязок загальний в області.

$$a<x<b,-\mathrm{}<y<\mathrm{},-\mathrm{}<y^{\text{'}}<\mathrm{},-\mathrm{}<y^{\text{'}\text{'}}<\mathrm{},\text{.}\text{.}\text{.},-\mathrm{}<y^{(n-1)}<\mathrm{}\text{.}$$.

Формулу (4.39) легко використати для знаходження розвязків задачі Коші з начальними умовами.

$$y(x_0)=y_0,y^{\text{'}}(x_0)=y_0^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}{y}^{(n-1)}(x_0)=y^{{(n-1)}_0},$$ (4.40).

Цей розвязок представляється в вігляді $$y=\underset{x_0}{\overset{x}{}}\text{.}\text{.}\text{.}\underset{x_0}{\overset{x}{}}f(x)\text{dx}\text{.}\text{.}\text{dx}+y^{{n-1}_0}\left(\frac{(x-x_0{)}^{n-1}}{(n-1)!}\right)+y^{{n-2}_0}\left(\frac{(x-x_0{)}^{n-2}}{(n-2)!}\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+y_0$$ (4.41).

Ф-я

$$y=\underset{x_0}{\overset{x}{}}\text{.}\text{.}\text{.}\underset{x_0}{\overset{x}{}}f(x)\text{dx}\text{.}\text{.}\text{dx}$$.

являється частиним розвязком ДР (4.38) з початковими умовами.

$$y_1(x_0)=\mathrm{0,}{y}_1^{\text{'}}(x_0)=\mathrm{0,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}{y}_{1^{(n-1)}}(x_0)=\mathrm{0,}$$.

яким відповідають константи $$c_1=c_2=\text{.}\text{.}\text{.}=c_n=0$$.

Для обчислення використовують ф-лу Коші.

$$y_1(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{x_0}{\overset{x}{}}f(t)(x-t{)}^{n-1}\text{dt}$$ (4.42).

Дійсно інтеграл $$\underset{x_0}{\overset{x}{}}\underset{x_0}{\overset{x}{}}f(x)\text{dxdx}=\underset{x_0}{\overset{x}{}}\left(\underset{x_0}{\overset{u}{}}f(t)\text{dt}\right)\text{du}=\underset{x_0}{\overset{x}{}}\text{du}\underset{x_0}{\overset{u}{}}f(t)\text{dt}$$.

можна розглядати як повторний інтеграл в заштрихованій області (мал. 1).

Міняючи порядок інтегрування, отримаємо $$\underset{x_0}{\overset{x}{}}\text{du}\underset{x_0}{\overset{u}{}}f(t)\text{dt}=\underset{x_0}{\overset{x}{}}f(t)\text{dt}\underset{t}{\overset{x}{}}\text{du}=\underset{x_0}{\overset{x}{}}f(t)(x-t)\text{dt}$$.

Аналогічно обчислюємо $$\underset{x_0}{\overset{x}{}}\underset{x_0}{\overset{x}{}}\underset{x_0}{\overset{x}{}}f(x)\text{dxdxdx}=\underset{x_0}{\overset{x}{}}\underset{x_0}{\overset{u}{}}f(t)(u-t)\text{dtdu}=\underset{x_0}{\overset{x}{}}\text{du}\underset{x_0}{\overset{u}{}}f(t)(u-t)\text{dt}=$$.

$$=\underset{x_0}{\overset{x}{}}f(t)\text{dt}\underset{t}{\overset{x}{}}(u-t)\text{du}=\frac{1}{2}\underset{x_0}{\overset{x}{}}f(t)(u-t{)}^2\text{dt}$$. і. т. д.

Приходимо до ф-ли (4.42).

Таким чином розвязок (4.41) записується у вигляді $$$$ $$y_1(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{x_0}{\overset{x}{}}f(t)(x-t{)}^{n-1}\text{dt}+y^{n-1_0}\left(\frac{(x-x_0{)}^{n-1}}{(n-1)!}\right)+y^{n-2_0}\left(\frac{(x-x_0{)}^{n-2}}{(n-2)!}\right)+\text{.}\text{.}+y_0$$.

Загальний розвязок ДР (4.38) можна також записати через невизначений інтеграл.

$$y=\underset{}{\overset{}{}}\text{.}\text{.}\text{.}\underset{}{\overset{}{}}f(x)\text{dx}\text{.}\text{.}\text{dx}+c_1\left(\frac{(x-x_0{)}^{n-1}}{(n-1)!}\right)+c_2\left(\frac{(x-x_0{)}^{n-2}}{(n-2)!}\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+c_n$$.

Пр. 4.4 Розвязати рівняння $$y^{\text{'}\text{'}}=6x$$.

Послідовно знаходимо $$y^{\text{'}}=3x^2+c_1$$, $$y=x^3+{\text{xc}}_1+c_2$$.

б) Розглянемо випадок $$F\left(x,y^{(n)}\right)=0$$ (4.43).

в якому співвіднощення (4.43) не можна розвязати відносно $$y^{(n)}$$ в елементарних ф-ях, або вирази для $$y^{(n)}$$ будуть досить складними.

Припустимо, що ДР (4.43) допускає параметризацію (4.44).

$$y^{(n)}=(t),x=(t)$$ (4.44),.

де $$(t)$$ та $$(t)$$ такі, що $$F\left((t),(t)\right)0$$.

Проводимо обчислення $${\text{dy}}^{(n-1)}=y^{(n)}\text{dx}=(t){}^{\text{'}}(t)\text{dt}$$, $$y^{(n-1)}=(t){}^{\text{'}}(t)\text{dt}+c_1{}_1(t,c_1)$$.

Аналогічно обчислюємо $$y^{(n-2)}=(t,c_1){}^{\text{'}}(t)\text{dt}+c_2{}_2(t,c_1,c_2)$$.

Остаточно маємо

$$\{\begin{array}{c}y={}_n(t,c_1,c_2\text{.}\text{.}\text{.}{c}_n)\\ x=(t)\end{array}$$ (4.45) -загальний зорвязок в параметричній формі.

Відмітимо два випадки, в яких ДР (4.43) легко параметрмзується.

I. $$x=(y^{(n)})$$ (4.46) $$y^{(n)}=(t),x=((t))$$ (частинні випадки $$y^{(n)}=t,x=(t)$$).

II. $$P\left(x,y^{(n)}\right)+Q\left(x,y^{(n)}\right)=0$$ (4.47), де $$P$$ і $$Q$$ -однорідні ф-ї відповідного.

виміру $$k$$ і $$m$$ .

Покладемо $$y^{(n)}=\text{tx}$$ (4.48).

і розвяжемо р-ня (4.47) відносно $$x$$ через $$t$$: $$x=(t)$$.

Піставляючи в (4.48), отримаємо $$\{\begin{array}{c}{y}^{(n)}=\mathit{t}(t)\\ x=(t)\end{array}$$ (4.49).

Дальше вищеотриманим способом знаходимо загальний розвязок в параметричній формі.

Пр. 4.5 Розвязати р-ня $$e^{y^{\text{'}\text{'}}}+y^{\text{'}\text{'}}=x$$.

Зробимо заміну $$\{\begin{array}{c}{y}^{\text{'}\text{'}}=t\\ x=e^t+t\end{array}$$.

$$d{y}^{\text{'}}=y^{\text{'}\text{'}}\text{dx}=t(e^t+1)\text{dt}$$.

$$y^{\text{'}}=(t-1)e^t+\frac{t^2}{2}+c_1$$.

$$\text{dy}=y^{\text{'}}\text{dx}=\left[(t-1)e^t+\frac{t^2}{2}+c{}_1\right](e^t+1)\text{dt}$$ остаточно маємо.

$$\{\begin{array}{c}y=\left(\frac{t}{2}-\frac{3}{4}\right)e^{2t}+\left(\frac{t^2}{2}+c_1-1\right)e^t+\frac{t^3}{6}+c_{1}t+c_2\\ x=e^t+t\end{array}$$.

1. 2.Інтегрування ДР, які не містять шуканої ф-ї та $$(k-1)$$ похідної.

Розглянемо ДР $$F\left(x,y^{(k)},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)}\right)=0$$ (4.50), в якому є $$y^{(k)}$$ .

Введемо нову змінну $$y^{(k)}=z$$ (4.51).

отримаємо $$F\left(x,z,z^{\text{'}},z^{\text{'}\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},z^{(n-k)}\right)=0$$ (4.52).

тобто ми понизили порядок ДР (4.50) на $$k$$ одиниць.

Припустимо, що ми розвязали ДР (4.52) і визначили $$z=(x,c_1,\text{.}\text{.}\text{.},c_{n-k})$$ (4.53).

Тоді р-ня $$y^{(k)}=(x,c_1,\text{.}\text{.}\text{.},c_{n-k})$$ (4.54).

інтегруємо і отримаємо загальний розвязок $$y=(x,c_1,\text{.}\text{.}\text{.},c_n)$$ (4.55).

Якщо замість загального розвязку (4.53) можна знайти загальний інтеграл $$\mathrm{}\left(x,z,c_1,\text{.}\text{.}\text{.},c_{n-k}\right)=0$$ (4.54).

то отримаємо ДР $$\mathrm{}\left(x,y^{(k)},c_1,\text{.}\text{.}\text{.},c_{n-k}\right)=0$$ типу (4.43).

Розглянемо два частичних випадка відносно ДР (4.50) :

а) ДР вигляду $$F\left(y^{(n-1)},y^{(n)}\right)=0$$.

якщо ДР (4.51) можна розвязати відносно $$y^{(n)}$$ :

$$y^{(n)}=f(y^{(n-1)})$$ (4.52).

то поклавши $$y^{(n-1)}=z$$ перейдемо до р-ня $$z^{\text{'}}=f(z)$$.

Якщо $$z=(x,c_1)$$ — загальний розвязок останнього р-ня, то остотаточно маємо р-ня вигляду (4.38) $$y^{(n-1)}=(x,c_1)$$.

Припустимо, що ДР (4.51) не можна записати в вигляді (4.52), але воно допускає параметризацію $$y^{(n-1)}=(t),y^{(n)}=(t)$$ (4.53).

то з співвідношення $${\text{dy}}^{(n-1)}=y^{(n)}\text{dx}$$ знаходимо $$\text{dx}=\frac{{}^{\text{'}}(t)\text{dt}}{(t)}$$.

Звідки $$\{\begin{array}{c}x=\frac{{}^{\text{'}}(t)\text{dt}}{(t)}+c_1\\ y^{(n-1)}=(t)\end{array}$$ (4.54).

ДР (4.54) вигляду (4.44) і розвязки можна отримати в параметричній формі.

б) ДР вигляду $$F\left(y^{(n-2)},y^{(n)}\right)=0$$ (4.55).

Нехай ДР (4.55) можно розвязати відносно $$y^{(n)}$$.

$$y^{(n)}=f(y^{(n-2)})$$ (4.56).

Позначимо $$y^{(n-2)}=z$$ і перейдемо до ДР $$z^{\text{'}\text{'}}=f(z)$$ (4.57).

Домножимо (4.57) на $$2z^{\text{'}}\text{dx}$$: $$2z^{\text{'}}{z}^{\text{'}\text{'}}\text{dx}=2z^{\text{'}}f(z)\text{dx}$$.

Звідки $$d(z^{\text{'}}{)}^2=2f(z)\text{dz}$$. Отже $$(z^{\text{'}}{)}^2=2f(z)\text{dz}+c_1$$.

з якого визначимо.

$$z^{\text{'}}=\pm \sqrt{2f(z)\text{dz}+c_1}$$ .

Останнє ДР є р-ням з відокремлюваними змінними.

Знайшовши з нього.

$$z=(x,c_1,c_2)$$.

ми остаточно переходимо до ДР вигляду (4.38).

$$y^{(n-2)}=(x,c_1,c_2)$$ (4.58).

Припустимо, що ДР (4.55) не можна розвязати відносно $$y^{(n)}$$ але для нього можлива параметризація $$y^{(n-2)}=(t),y^{(n)}=(t)$$.

Запишемо співвідношення $${\text{dy}}^{(n-1)}=y^{(n)}\text{dx},{\text{dy}}^{(n-2)}=y^{(n-1)}\text{dx}$$.

Домножимо першу рівність на $$y^{(n-1)}$$ :

$$y^{(n-1)}{\text{dy}}^{(n-1)}=y^{(n)}{y}^{(n-1)}\text{dx}$$.

$$d(y^{(n-1)}{)}^2=2y^{(n)}{y}^{(n-1)}=2y^{(n)}{\text{dy}}^{(n-2)}$$.

Звідки $$d(y^{(n-1)}{)}^2=2(t){}^{\text{'}}(t)\text{dt}$$ .

Отже маємо $$y^{(n-1)}=\pm \sqrt{2(t){}^{\text{'}}(t)\text{dt}+c_1}(t,c_1)$$.

Прийшовши до отсанньої рівності $$y^{(n-2)}=(t)$$ ми отримаємо а).

1. 3.Пониження порядку ДР які не містять незалежної змінної.

Ці ДР мають вигляд $$F\left(y,y^{\text{'}},\text{.}\text{.},y^{(n)}\right)=0$$ (4.59).

і його можна понизити на один порядок заміною $$y^{\text{'}}=z$$.

При цьому $$y$$ стане незалежною зміною, а $$z$$ — функцією.

Обчислюємо.

$$y^{\text{'}\text{'}}=\frac{\text{dz}}{\text{dx}}=\frac{\text{dz}}{\text{dy}}\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\frac{\text{dz}}{\text{dy}}z,$$.

$$y^{\text{'}\text{'}\text{'}}=\frac{d{y}^{\text{'}\text{'}}}{\text{dx}}=\frac{d}{\text{dy}}\left(\frac{\text{dz}}{\text{dy}}z\right)\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\left(\frac{d^{2}z}{{\text{dy}}^2}+{\left(\frac{\text{dz}}{\text{dy}}\right)}^2\right)$$.

…

$$y^{(n)}={}_n(z,\frac{\text{dz}}{\text{dy}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}z}{{\text{dy}}^{n-1}})$$.

і остаточно прийдемо до ДР $$(n-1)$$ порядку.

$$F\left(y,z,\frac{\text{dz}}{\text{dy}}z,\text{.}\text{.}\text{.},{}_n(z,\frac{\text{dz}}{\text{dy}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}z}{{\text{dy}}^{n-1}})\right)=0$$.

Якщо $$z=(y,c_1,\text{.}\text{.}\text{.},c_{n-1})$$ — розвязок ДР (4.60) то.

$$y^{\text{'}}=(y,c_1,\text{.}\text{.}\text{.},c_{n-1})$$.

Інтегруємо ДР (4.61) і знайдемо загальний інтеграл.

Особливі зорвязки можуть появлятися при інтегруванні ДР (4.61). При переході до ДР (4.60) ми можимо загубити розвязки $$y=\text{const}$$ .

Для їх знаходження необхідно розвявати р-ня $$F\left(b\mathrm{,\; 0},\text{.}\text{.}\text{.}\mathrm{,\; 0}\right)=0$$ .

Якщо $$b=b_i$$ — розвязок однорідного р-ня, то $$y=b_i$$ — розвязок ДР (4.59).

Пр. 4.6 Розвязати р-ня $$4y^{\text{'}\text{'}}\sqrt{y}=1$$ $$$$.

Вводимо змінну $$y^{\text{'}}=z$$, $$y^{\text{'}\text{'}}=\frac{\text{dz}}{\text{dy}}z$$, $$$$.

$$4\frac{\text{dz}}{\text{dy}}z\sqrt{y}=1$$, $$z^2=\sqrt{y}+c_1$$.

звідки $$z=\pm \sqrt{\sqrt{y}+c_1}$$, отже, $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\pm \sqrt{\sqrt{y}+c_1}$$, $$x+c_2=\pm \frac{\text{dy}}{\sqrt{\sqrt{y}+c_1}}$$.

— загальний інтергал рівняння.

4. Однорідні ДР відносно шуканої ф-ї та її похідних.

Так називаються ДР вигляду $$F\left(x,y,y^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)}\right)=0$$ в якому $$F\left(\right)$$ являється однорідною ф-єю відносно $$y,y^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)}$$, тобто $$t$$ маємо $$F\left(x,\text{ty},t{y}^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},{\text{ty}}^{(n)}\right)=t^{m}F\left(x,y,y^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)}\right)$$.

Шляхом заміни $$\frac{y^{\text{'}}}{y}=z$$ ДР (4.62) можна понизити на один порядок.

Обчислюємо.

$$y^{\text{'}}=\text{yz},y^{\text{'}\text{'}}=y^{\text{'}}z+y{z}^{\text{'}}=y(z^2+z^{\text{'}}),\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)}={\mathit{y}}_n(z,z^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},z^{(n-1)})$$.

Тому ДР (4.62) прийме вигляд.

$$y^{m}F\left(x\mathrm{,\; 1},z,z^2+z^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},{}_n(z,z^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},z^{(n-1)})\right)=0$$ (4.63).

Скорочуючи на $$y^m$$ ($$y=0$$ при $$m>0$$ може бути розвязком ДР (4.62)), перейдемо до ДР порядку $$(n-1)$$ .

Якщо $$z=(x,c_1,\text{.}\text{.}\text{.},c_{n-1})$$ — загальний розвязок останнього ДР, то $$\frac{y^{\text{'}}}{y}=(x,c_1,\text{.}\text{.}\text{.},c_{n-1})$$.

звідки $$y=c_n{e}^{(x,c_1,\text{.}\text{.}\text{.},c_{n-1})\text{dx}}$$ (4.64) — загальний розвязок ДР (4.62). Розвязок $$y(x)0$$ міститься в формулі (4.64) при $$c_n=0$$ .

Пр 4.7 Знайти загальний розвязок ДР.

$$\begin{array}{c}2\\ {\text{xy {}y}^{\text{'}\text{'}}+x{y}^{}y{y}^{\text{'}}=0\end{array}$$.

Це ДР являється однорідним відносно шуканої ф-ї і її похідних, тому $$\frac{y^{\text{'}}}{y}=z,y^{\text{'}}=\text{yz},y^{\text{'}\text{'}}=y(z^2+z^{\text{'}}),{\text{xy}}^2(z^2+z^{\text{'}})+{\text{xy}}^2{z}^2-y^{2}z=0$$ .

Маємо ДР Бернулі - $$x{z}^{\text{'}}+2{\text{xz}}^2-z=0$$ .

Інтегруючи отрімаємо $$z=\frac{x}{x^2+c}$$, $$\frac{y^{\text{'}}}{y}=\frac{x}{x^2+c}$$ Звідки $$y=c_2\sqrt{x^2+c_1}$$. Наше ДР має розвязок $$y=c$$ який не міститься в знайденому загальному інтергалі.

1. 4.ДР, ліва частина якого є точна похідна.

Припустимо, що ДР (4.62), його ліва частина, є точна похідна по $$x$$ від деякої ф-ї $$Ф(x,y,y^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n-1)})$$, тобто $$F(x,y,y^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)})=\frac{d}{\text{dx}}Ф(x,y,y^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n-1)})=\frac{Ф}{x}+\frac{Ф}{y}{y}^{\text{'}}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{Ф}{y^{(n-1)}}{y}^{(n)}=0$$ ,.

тоді ДР (4.62) має перший інтерграл $$Ф(x,y,y^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n-1)})=c$$ (4.64) так, що яого порядок можна понизити на одиницю.

Пр 4.8 Розвязати ДР $$\begin{array}{c}2\\ y^{\text{'}\text{'}}y+y^{}0\end{array}$$.

Маємо $$\frac{d}{\text{dx}}(y^{\text{'}}y)=0$$, $$y^{\text{'}}y=c_1$$, $$\text{ydy}=c_1\text{dx}$$, $$\frac{y^2}{2}=c_{1}x+c_2$$ — загальний інтеграл. Якщо ліва частина ДР (4.62) не являється точною похідною, то в деяких випадках можна знайти ф-ю $$(x,y,y^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n-1)})$$, після домноження на яку р-ня (4.62), його ліва частина буде точною похідною. Ця ф-я називається інтергрувальним множником. Якщо ми знаємо ф-ю $$$$, то можна знайти не тільки перший інтеграл, а й особливі розвязки, які знаходяться з р-ня $$\frac{1}{}=0$$.

Пр 4.9 Знайти загальний розвязок ДР $$\begin{array}{c}2\\ 2\\ y^{\text{'}\text{'}}y+2y^2{y}^{}{y}^{}\frac{2y{y}^{\text{'}}}{x}=0\end{array}$$ .

Візьмемо $$=\frac{1}{y{y}^{\text{'}}}$$, тоді $$\frac{y^{\text{'}\text{'}}}{y^{\text{'}}}+2y{y}^{\text{'}}+\frac{y^{\text{'}}}{y}-\frac{2}{x}=0$$ .

При цьому $$y=0$$, $$y=c$$ — розвязки нашого ДР.

Маємо $${\frac{d}{\text{dx}}(\text{ln {}y}^{\text{'}}+y^2+\text{ln}y-2\text{ln}x)=0$$ .

$${\text{ln {}y}^{\text{'}}+y^2+\text{ln}y-2\text{ln}x=\text{ln}{c}_1$$ — перший інтерал.

$$e^{y^2}y{y}^{\text{'}}-c_1{x}^2=\frac{d}{\text{dx}}(\frac{1}{2}{e}^{y^2}-\frac{c_1}{3}{x}^3)=0$$, $$\frac{1}{2}{e}^{y^2}-\frac{c_1}{3}{x}^3=c{}_2$$ загальний інтергал.

Особливих розвязків немає, так як ДР $$y{y}^{\text{'}}=0$$ приводіть до розвязків $$y=c$$, які містяться в загальному.