Допомога у написанні освітніх робіт...
Допоможемо швидко та з гарантією якості!

Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Маємо d dx (y ' y) = 0, y ' y = c 1, ydy = c 1 dx, y 2 2 = c 1 x + c 2 — загальний інтеграл. Якщо ліва частина ДР (4.62) не являється точною похідною, то в деяких випадках можна знайти ф-ю (x, y, y ', .. ., y (n — 1)), після домноження на яку р-ня (4.62), його ліва частина буде точною похідною. Ця ф-я називається інтергрувальним множником. Якщо ми знаємо ф-ю, то можна знайти не… Читати ще >

Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Реферат на тему:

Інтегрування і пониження порядку деяких ДР

з вищими похідними.

  1. 1.ДР що містять n-ту похідну від шуканої функції і незалежну змінну.

а) Розглянемо ДР y ( n ) = f ( x ) (4.38).

Так як ( y ( n - 1 ) ) = f ( x ) , то.

y ( n - 1 ) = x 0 x f ( x ) dx + c 1 .

Аналогічно y ( n - 2 ) = x 0 x x 0 x f ( x ) dxdx + c 1 ( x - x 0 ) + c 2 , …,.

y = x 0 x . . . x 0 x f ( x ) dx . . dx + c 1 ( ( x - x 0 ) n - 1 ( n - 1 ) ! ) + c 2 ( ( x - x 0 ) n - 2 ( n - 2 ) ! ) + . . . + c n (4.39).

Остання формула дає розвязок загальний в області.

a < x < b , - < y < , - < y ' < , - < y ' ' < , . . . , - < y ( n - 1 ) < . .

Формулу (4.39) легко використати для знаходження розвязків задачі Коші з начальними умовами.

y ( x 0 ) = y 0 , y ' ( x 0 ) = y 0 ' , . . . . y ( n - 1 ) ( x 0 ) = y ( n - 1 ) 0 , (4.40).

Цей розвязок представляється в вігляді y = x 0 x . . . x 0 x f ( x ) dx . . dx + y n - 1 0 ( ( x - x 0 ) n - 1 ( n - 1 ) ! ) + y n - 2 0 ( ( x - x 0 ) n - 2 ( n - 2 ) ! ) + . . . + y 0 (4.41).

Ф-я

y = x 0 x . . . x 0 x f ( x ) dx . . dx .

являється частиним розвязком ДР (4.38) з початковими умовами.

y 1 ( x 0 ) = 0, y 1 ' ( x 0 ) = 0, . . . . y 1 ( n - 1 ) ( x 0 ) = 0, .

яким відповідають константи c 1 = c 2 = . . . = c n = 0 .

Для обчислення використовують ф-лу Коші.

y 1 ( x ) = 1 ( n - 1 ) ! x 0 x f ( t ) ( x - t ) n - 1 dt (4.42).

Дійсно інтеграл x 0 x x 0 x f ( x ) dxdx = x 0 x ( x 0 u f ( t ) dt ) du = x 0 x du x 0 u f ( t ) dt .

можна розглядати як повторний інтеграл в заштрихованій області (мал. 1).

Міняючи порядок інтегрування, отримаємо x 0 x du x 0 u f ( t ) dt = x 0 x f ( t ) dt t x du = x 0 x f ( t ) ( x - t ) dt .

Аналогічно обчислюємо x 0 x x 0 x x 0 x f ( x ) dxdxdx = x 0 x x 0 u f ( t ) ( u - t ) dtdu = x 0 x du x 0 u f ( t ) ( u - t ) dt = .

= x 0 x f ( t ) dt t x ( u - t ) du = 1 2 x 0 x f ( t ) ( u - t ) 2 dt . і. т. д.

Приходимо до ф-ли (4.42).

Таким чином розвязок (4.41) записується у вигляді y 1 ( x ) = 1 ( n - 1 ) ! x 0 x f ( t ) ( x - t ) n - 1 dt + y n - 1 0 ( ( x - x 0 ) n - 1 ( n - 1 ) ! ) + y n - 2 0 ( ( x - x 0 ) n - 2 ( n - 2 ) ! ) + . . + y 0 .

Загальний розвязок ДР (4.38) можна також записати через невизначений інтеграл.

y = . . . f ( x ) dx . . dx + c 1 ( ( x - x 0 ) n - 1 ( n - 1 ) ! ) + c 2 ( ( x - x 0 ) n - 2 ( n - 2 ) ! ) + . . . + c n .

Пр. 4.4 Розвязати рівняння y ' ' = 6 x .

Послідовно знаходимо y ' = 3 x 2 + c 1 , y = x 3 + xc 1 + c 2 .

б) Розглянемо випадок F ( x , y ( n ) ) = 0 (4.43).

в якому співвіднощення (4.43) не можна розвязати відносно y ( n ) в елементарних ф-ях, або вирази для y ( n ) будуть досить складними.

Припустимо, що ДР (4.43) допускає параметризацію (4.44).

y ( n ) = ( t ) , x = ( t ) (4.44),.

де ( t ) та ( t ) такі, що F ( ( t ) , ( t ) ) 0 .

Проводимо обчислення dy ( n - 1 ) = y ( n ) dx = ( t ) ' ( t ) dt , y ( n - 1 ) = ( t ) ' ( t ) dt + c 1 1 ( t , c 1 ) .

Аналогічно обчислюємо y ( n - 2 ) = ( t , c 1 ) ' ( t ) dt + c 2 2 ( t , c 1 , c 2 ) .

Остаточно маємо

{ y = n ( t , c 1 , c 2 . . . c n ) x = ( t ) (4.45) -загальний зорвязок в параметричній формі.

Відмітимо два випадки, в яких ДР (4.43) легко параметрмзується.

I. x = ( y ( n ) ) (4.46) y ( n ) = ( t ) , x = ( ( t ) ) (частинні випадки y ( n ) = t , x = ( t ) ).

II. P ( x , y ( n ) ) + Q ( x , y ( n ) ) = 0 (4.47), де P і Q -однорідні ф-ї відповідного.

виміру k і m .

Покладемо y ( n ) = tx (4.48).

і розвяжемо р-ня (4.47) відносно x через t : x = ( t ) .

Піставляючи в (4.48), отримаємо { y ( n ) = t ( t ) x = ( t ) (4.49).

Дальше вищеотриманим способом знаходимо загальний розвязок в параметричній формі.

Пр. 4.5 Розвязати р-ня e y ' ' + y ' ' = x .

Зробимо заміну { y ' ' = t x = e t + t .

d y ' = y ' ' dx = t ( e t + 1 ) dt .

y ' = ( t - 1 ) e t + t 2 2 + c 1 .

dy = y ' dx = [ ( t - 1 ) e t + t 2 2 + c 1 ] ( e t + 1 ) dt остаточно маємо.

{ y = ( t 2 - 3 4 ) e 2 t + ( t 2 2 + c 1 - 1 ) e t + t 3 6 + c 1 t + c 2 x = e t + t .

  1. 2.Інтегрування ДР, які не містять шуканої ф-ї та ( k - 1 ) похідної.

Розглянемо ДР F ( x , y ( k ) , . . . , y ( n ) ) = 0 (4.50), в якому є y ( k ) .

Введемо нову змінну y ( k ) = z (4.51).

отримаємо F ( x , z , z ' , z ' ' , . . . , z ( n - k ) ) = 0 (4.52).

тобто ми понизили порядок ДР (4.50) на k одиниць.

Припустимо, що ми розвязали ДР (4.52) і визначили z = ( x , c 1 , . . . , c n - k ) (4.53).

Тоді р-ня y ( k ) = ( x , c 1 , . . . , c n - k ) (4.54).

інтегруємо і отримаємо загальний розвязок y = ( x , c 1 , . . . , c n ) (4.55).

Якщо замість загального розвязку (4.53) можна знайти загальний інтеграл ( x , z , c 1 , . . . , c n - k ) = 0 (4.54).

то отримаємо ДР ( x , y ( k ) , c 1 , . . . , c n - k ) = 0 типу (4.43).

Розглянемо два частичних випадка відносно ДР (4.50) :

а) ДР вигляду F ( y ( n - 1 ) , y ( n ) ) = 0 .

якщо ДР (4.51) можна розвязати відносно y ( n ) :

y ( n ) = f ( y ( n - 1 ) ) (4.52).

то поклавши y ( n - 1 ) = z перейдемо до р-ня z ' = f ( z ) .

Якщо z = ( x , c 1 )  — загальний розвязок останнього р-ня, то остотаточно маємо р-ня вигляду (4.38) y ( n - 1 ) = ( x , c 1 ) .

Припустимо, що ДР (4.51) не можна записати в вигляді (4.52), але воно допускає параметризацію y ( n - 1 ) = ( t ) , y ( n ) = ( t ) (4.53).

то з співвідношення dy ( n - 1 ) = y ( n ) dx знаходимо dx = ' ( t ) dt ( t ) .

Звідки { x = ' ( t ) dt ( t ) + c 1 y ( n - 1 ) = ( t ) (4.54).

ДР (4.54) вигляду (4.44) і розвязки можна отримати в параметричній формі.

б) ДР вигляду F ( y ( n - 2 ) , y ( n ) ) = 0 (4.55).

Нехай ДР (4.55) можно розвязати відносно y ( n ) .

y ( n ) = f ( y ( n - 2 ) ) (4.56).

Позначимо y ( n - 2 ) = z і перейдемо до ДР z ' ' = f ( z ) (4.57).

Домножимо (4.57) на 2 z ' dx : 2 z ' z ' ' dx = 2 z ' f ( z ) dx .

Звідки d ( z ' ) 2 = 2 f ( z ) dz . Отже ( z ' ) 2 = 2 f ( z ) dz + c 1 .

з якого визначимо.

z ' = ± 2 f ( z ) dz + c 1 .

Останнє ДР є р-ням з відокремлюваними змінними.

Знайшовши з нього.

z = ( x , c 1 , c 2 ) .

ми остаточно переходимо до ДР вигляду (4.38).

y ( n - 2 ) = ( x , c 1 , c 2 ) (4.58).

Припустимо, що ДР (4.55) не можна розвязати відносно y ( n ) але для нього можлива параметризація y ( n - 2 ) = ( t ) , y ( n ) = ( t ) .

Запишемо співвідношення dy ( n - 1 ) = y ( n ) dx , dy ( n - 2 ) = y ( n - 1 ) dx .

Домножимо першу рівність на y ( n - 1 ) :

y ( n - 1 ) dy ( n - 1 ) = y ( n ) y ( n - 1 ) dx .

d ( y ( n - 1 ) ) 2 = 2 y ( n ) y ( n - 1 ) = 2 y ( n ) dy ( n - 2 ) .

Звідки d ( y ( n - 1 ) ) 2 = 2 ( t ) ' ( t ) dt .

Отже маємо y ( n - 1 ) = ± 2 ( t ) ' ( t ) dt + c 1 ( t , c 1 ) .

Прийшовши до отсанньої рівності y ( n - 2 ) = ( t ) ми отримаємо а).

  1. 3.Пониження порядку ДР які не містять незалежної змінної.

Ці ДР мають вигляд F ( y , y ' , . . , y ( n ) ) = 0 (4.59).

і його можна понизити на один порядок заміною y ' = z .

При цьому y стане незалежною зміною, а z  — функцією.

Обчислюємо.

y ' ' = dz dx = dz dy dy dx = dz dy z , .

y ' ' ' = d y ' ' dx = d dy ( dz dy z ) dy dx = ( d 2 z dy 2 + ( dz dy ) 2 ) .

y ( n ) = n ( z , dz dy , . . . , d n - 1 z dy n - 1 ) .

і остаточно прийдемо до ДР ( n - 1 ) порядку.

F ( y , z , dz dy z , . . . , n ( z , dz dy , . . . , d n - 1 z dy n - 1 ) ) = 0 .

Якщо z = ( y , c 1 , . . . , c n - 1 )  — розвязок ДР (4.60) то.

y ' = ( y , c 1 , . . . , c n - 1 ) .

Інтегруємо ДР (4.61) і знайдемо загальний інтеграл.

Особливі зорвязки можуть появлятися при інтегруванні ДР (4.61). При переході до ДР (4.60) ми можимо загубити розвязки y = const .

Для їх знаходження необхідно розвявати р-ня F ( b , 0 , . . . , 0 ) = 0 .

Якщо b = b i  — розвязок однорідного р-ня, то y = b i  — розвязок ДР (4.59).

Пр. 4.6 Розвязати р-ня 4 y ' ' y = 1 .

Вводимо змінну y ' = z , y ' ' = dz dy z , .

4 dz dy z y = 1 , z 2 = y + c 1 .

звідки z = ± y + c 1 , отже, dy dx = ± y + c 1 , x + c 2 = ± dy y + c 1 .

— загальний інтергал рівняння.

4. Однорідні ДР відносно шуканої ф-ї та її похідних.

Так називаються ДР вигляду F ( x , y , y ' , . . . , y ( n ) ) = 0 в якому F ( ) являється однорідною ф-єю відносно y , y ' , . . . , y ( n ) , тобто t маємо F ( x , ty , t y ' , . . . , ty ( n ) ) = t m F ( x , y , y ' , . . . , y ( n ) ) .

Шляхом заміни y ' y = z ДР (4.62) можна понизити на один порядок.

Обчислюємо.

y ' = yz , y ' ' = y ' z + y z ' = y ( z 2 + z ' ) , . . . , y ( n ) = y n ( z , z ' , . . . , z ( n - 1 ) ) .

Тому ДР (4.62) прийме вигляд.

y m F ( x , 1 , z , z 2 + z ' , . . . , n ( z , z ' , . . . , z ( n - 1 ) ) ) = 0 (4.63).

Скорочуючи на y m ( y = 0 при m > 0 може бути розвязком ДР (4.62)), перейдемо до ДР порядку ( n - 1 ) .

Якщо z = ( x , c 1 , . . . , c n - 1 )  — загальний розвязок останнього ДР, то y ' y = ( x , c 1 , . . . , c n - 1 ) .

звідки y = c n e ( x , c 1 , . . . , c n - 1 ) dx (4.64) — загальний розвязок ДР (4.62). Розвязок y ( x ) 0 міститься в формулі (4.64) при c n = 0 .

Пр 4.7 Знайти загальний розвязок ДР.

2 xy { y ' ' + x y y y ' = 0 .

Це ДР являється однорідним відносно шуканої ф-ї і її похідних, тому y ' y = z , y ' = yz , y ' ' = y ( z 2 + z ' ) , xy 2 ( z 2 + z ' ) + xy 2 z 2 - y 2 z = 0 .

Маємо ДР Бернулі - x z ' + 2 xz 2 - z = 0 .

Інтегруючи отрімаємо z = x x 2 + c , y ' y = x x 2 + c Звідки y = c 2 x 2 + c 1 . Наше ДР має розвязок y = c який не міститься в знайденому загальному інтергалі.

  1. 4.ДР, ліва частина якого є точна похідна.

Припустимо, що ДР (4.62), його ліва частина, є точна похідна по x від деякої ф-ї Ф ( x , y , y ' , . . . , y ( n - 1 ) ) , тобто F ( x , y , y ' , . . . , y ( n ) ) = d dx Ф ( x , y , y ' , . . . , y ( n - 1 ) ) = Ф x + Ф y y ' + . . . + Ф y ( n - 1 ) y ( n ) = 0 ,.

тоді ДР (4.62) має перший інтерграл Ф ( x , y , y ' , . . . , y ( n - 1 ) ) = c (4.64) так, що яого порядок можна понизити на одиницю.

Пр 4.8 Розвязати ДР 2 y ' ' y + y 0 .

Маємо d dx ( y ' y ) = 0 , y ' y = c 1 , ydy = c 1 dx , y 2 2 = c 1 x + c 2  — загальний інтеграл. Якщо ліва частина ДР (4.62) не являється точною похідною, то в деяких випадках можна знайти ф-ю ( x , y , y ' , . . . , y ( n - 1 ) ) , після домноження на яку р-ня (4.62), його ліва частина буде точною похідною. Ця ф-я називається інтергрувальним множником. Якщо ми знаємо ф-ю , то можна знайти не тільки перший інтеграл, а й особливі розвязки, які знаходяться з р-ня 1 = 0 .

Пр 4.9 Знайти загальний розвязок ДР 2 2 y ' ' y + 2 y 2 y y 2 y y ' x = 0 .

Візьмемо = 1 y y ' , тоді y ' ' y ' + 2 y y ' + y ' y - 2 x = 0 .

При цьому y = 0 , y = c  — розвязки нашого ДР.

Маємо d dx ( ln { y ' + y 2 + ln y - 2 ln x ) = 0 .

ln { y ' + y 2 + ln y - 2 ln x = ln c 1  — перший інтерал.

e y 2 y y ' - c 1 x 2 = d dx ( 1 2 e y 2 - c 1 3 x 3 ) = 0 , 1 2 e y 2 - c 1 3 x 3 = c 2 загальний інтергал.

Особливих розвязків немає, так як ДР y y ' = 0 приводіть до розвязків y = c , які містяться в загальному.

Показати весь текст
Заповнити форму поточною роботою