Cинтез систем з оптимізацією модальних регуляторів (реферат)

Реферат на тему:

Cинтез систем з оптимізацією модальних регуляторів

Розглянемо задачу оптимального вибору структури розподілу керуючого сигналу в лінійній системі з метою мінімізації норми матриці коефіцієнтів підсилення в оберненому зв’язку закону модального регулювання.

Нехай в системі.

$$\frac{\mathit{dx}(t)}{\text{dt}}=\text{Ax}(t)+\text{Bu}(t),$$ (3.1).

де $$x$$ — n — вимірний, u — m — вимірний вектори, необхідно визначити обернений зв’язок.

$$u(t)=\mathit{Cx}(t)$$ (3.2).

згідно умови модального керування.

$$\text{det}({\mathit{}}_n-A-\text{BC})={}^n+a_1{}^{n-1}+K+a_n$$ (3.3).

при оптимізації $$C$$ за рахунок вибору як елементів матриці С, так і елементів матриці B з відповідних множин $${\mathrm{}}_C,{\mathrm{}}_B\text{.}$$.

Методи визначення матриці підсилення модального регулятора наводяться в роботах [2, 4, 6, 9, 11]. Один з можливих методів визначення матриці модального регулятора зводиться до представлення шуканої матриці у вигляді $$C={\text{vq}}^T$$ [ 10, 11 ]. Це представлення матриці підсилення звужує множину можливих модальних регуляторів, але дає можливість порівняно просто визначати коефіцієнти модального регулятора. Пропонується наступний підхід по визначенню матриці C. Представимо систему (3.1) у вигляді.

$$\begin{array}{c}\frac{\mathit{dx}(t)}{\text{dt}}=\text{Ax}(t)+b_1{u}_1(t)+b_2{u}_2(t)+K+b_m{u}_m(t)=\\ (A+b_1{c}_1^T+b_2{c}_2^T+K+b_m{c}_m^T)x(t),\end{array}$$.

де.

$$=\left(\begin{array}{c}{}_1^T\\ M\\ {}_m^T\end{array}\right),B=(b_1,K,b_m),u(t)=\left(\begin{array}{c}{u}_1(t)\\ M\\ u_m(t)\end{array}\right)\text{.}$$.

Спочатку розглянемо систему.

$$\frac{\mathit{dx}(t)}{\text{dt}}=\text{Ax}(t)+b_1{u}_1(t)$$.

і визначимо коефіцієнти характеристичного рівняння.

$$\text{det}({\mathit{}}_n-A-b_1{c}_1^T)=0$$.

по формулі [ 9 ].

$$p(1)=p(0)-P(0)S^T(b_1,A(0))c_1,$$.

де.

$$p(0)=p,A(0)=A,$$.

елементами вектора p є коефіцієнти характеристичного рівняння розімкнутої системи.

На наступному кроці розглядається система.

$$\frac{\mathit{dx}(t)}{\text{dt}}=(A+b_1{c}_1^T)x(t)+b_2{u}_2(t)$$.

з коефіцієнтами характеристичного рівняння замкнутої системи.

$$p(2)=p(1)-P(1)S^T(b_2,A(1))c_2,$$.

де.

$$A(1)=A(0)+b_1{c}_1^T\text{.}$$.

На кроці m розглядається наступна система рівнянь.

$$\frac{\mathit{dx}(t)}{\text{dt}}=A(m-1)x(t)+b_m{u}_m(t),$$.

де.

$$A(m-1)=A(m-2)+b_{m-1}{u}_{m-1}(t),$$.

для замкнутої системи, якій необхідно забезпечити наступні коефіцієнти характеристичного рівняння.

$$p(m)=a=p(m-1)-P(m-1)S^T(b_m,A(m-1))c_m,$$.

вибираючи відповідним чином вектор $$c_m$$ [ 9 ]. Компоненти вектора $$a^T=(a_1,a_2,K,a_n)$$ є коефіцієнтами характеристичного рівняння (3.3).

Таким чином, у випадку обмежень виду.

$${}_j\mathrm{^I}{\mathrm{}}_C(j),b_j\mathrm{^I}{\mathrm{}}_B(j),$$.

наведена задача оптимізації модального регулятора зводиться до наступної задачі керування системою з дискретним аргументом.

$$\begin{array}{c}p(k+1)=p(k)-P(k)S^T(b_{k+1},A(k))c_{k+1},\\ A(k+1)=A(k)+b_{k+1}{c}_{k+1}^T,k=\mathrm{0,1,2,}K,m-1\end{array}$$ (3.4).

з початкового стану.

$$p(0)=p,A(0)=A$$ (3.5).

в кінцевий.

$$p(m)=a=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ M\\ a_n\end{array}\right)$$ (3.6).

при умові оптимізації наступного функціоналу.

$$\begin{array}{c}{b}_j\mathrm{^I}{\mathrm{}}_b(j),c_j\mathrm{^I}{\mathrm{}}_c(j),\text{j= {overline {1,m}} } } Sum cSub {j=1} cSup {m} { ldline c rSub {j} rdline rSup {2} size 12{}\mathrm{.}\text{}} } {}\\ \\ I(c,b)=\underset{}{\text{min}}\\ \end{array}$$ (3.7).

Вектор $$p^T=(p_1,p_2,K,p_n)$$ визначається з умови.

$$\text{det}({\mathit{}}_n-A)={}^n+p_1{}^{n-1}+K+p_n,$$.

$$P(k)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& K& 0\\ p_1(k)& 1& 0& K& 0\\ p_2(k)& p_1(k)& 1& K& 0\\ L& L& L& L& L\\ p_{n-1}(k)& p_{n-2}(k)& p_{n-3}(k)& K& 1\end{array}\right),$$.

$$S(b_{k+1},A(k))=(b_{k+1},A(k)b_{k+1},K,A^{n-1}(k)b_{k+1})\text{.}$$.

Для розв’язання поставленої задачі запишемо чисельну процедуру знаходження матриць $$\mathit{CiB}\text{.}$$ З цією метою запишемо функцію Гамільтона [12] для системи (3.4).

$$H(p(k),A(k),Y(k+1),F(k+1),k)=-{c_{k+1}}^2+$$.

$$+Y^T(k+1)\left[p(k)-P(k)S^T(b_{k+1},A(k))c_{k+1}\right]+\text{tr}\left[F^T(k+1)(A(k)+b_{k+1}{c}_{k+1}^T)\right]\text{.}$$.

Спряжені змінні $$Y(k),F(k)$$ задовільняють наступним системам рівнянь.

$$Y(k)={\text{grad}}_{p(k)}H()=$$.

$$=\left[E_n-\left(\begin{array}{ccccc}0& c_{k+1}^T{b}_{k+1}& c_{k+1}^{T}A(k)b_{k+1}& K& c_{k+1}^T{A}^{n-2}(k)b_{k+1}\\ 0& 0& c_{k+1}^T{b}_{k+1}& K& c_{k+1}^T{A}^{n-3}(k)b_{k+1}\\ L& L& L& L& L\\ 0& 0& 0& L& c_{k+1}^T{b}_{k+1}\\ 0& 0& 0& L& 0\end{array}\right)\right]Y(k+1)$$.

$$Y(m)=\mathrm{0,}k=m-\mathrm{1,}K\mathrm{,\; 0},$$.

$$F(k)={\text{grad}}_{A(k)}H()=$$.

$$=F(k+1)-\left(c_{k+1},A^T(k)c_{k+1},K,A^{T^{n-2}}(k)c_{k+1}\right)\text{'}$$.

$$\text{'}\left({\stackrel{}{E}}_2{P}^T(k)Y(k+1),{\stackrel{}{E}}_3{P}^T(k)Y(k+1),K,{\stackrel{}{E}}_n{P}^T(k)Y(k+1)\right)\left(\begin{array}{c}{b}_{k+1}^T\\ b_{k+1}^T{A}^T(k)\\ M\\ b_{k+1}^T{A}^{T^{n-2}}(k)\end{array}\right),$$.

$$F(m)=\mathrm{0,}k=m-\mathrm{1,}K\mathrm{,\; 0}\text{.}$$.

Матриці $${\stackrel{}{E}}_i,i=\stackrel{}{\mathrm{2,}n}$$ розмірності $$(n-1)\text{'}n$$ мають наступну структуру.

$${\stackrel{}{E}}_2=\left(\begin{array}{c}{e}_2^T\\ e_3^T\\ M\\ e_n^T\end{array}\right),{\stackrel{}{E}}_3=\left(\begin{array}{c}{e}_3^T\\ e_4^T\\ M\\ 0\end{array}\right),K,{\stackrel{}{E}}_n=\left(\begin{array}{c}{e}_n^T\\ 0\\ M\\ 0\end{array}\right),$$.

де $$e_i-i=\stackrel{}{\mathrm{2,}n}$$ одиничні орти розмірності n. Тоді.

$${\text{grad}}_{c_{i+1}}I(c,b)=-{\text{grad}}_{c_{i+1}}H()=$$.

$$=2c_{i+1}+S(b_{i+1},A(i))P^T(i)Y(i+1)-F^T(i+1)b_{i+1},$$.

$${\text{grad}}_{b_{i+1}}I(c,b)=-{\text{grad}}_{b_{i+1}}H()=$$.

` $$=\left(c_{i+1},A^T(i)c_{i+1},K,A^{n-1^T}(i)c_{i+1}\right)P^T(i)Y(i)-F(i)c_{i+1},$$.

для градієнтних обчислювальних процедур

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{{}_j}=c_j-{}_j{\text{grad}}_{c_j}I(c,b),\\ \stackrel{}{b_j}=b_j-{\stackrel{}{}}_j{\text{grad}}_{b_j}I(c,b),j=\mathrm{1,2,}K,m\text{.}\end{array}$$.

Після знаходження нових параметрів, в результаті градієнтного спуску, $$\stackrel{}{c_j},\stackrel{}{b_j},j=\stackrel{}{\mathrm{1,}m}$$ значення функціоналу (3.7) зменшиться, але при цих параметрах кінцева умова (3.6) не буде виконуватися. Для коректування параметрів, при яких буде задовольнятися кінцева умова (3.6), пропонується наступна процедура. Ліанеризуємо систему (3.4) в околі векторів $$c_j,j=\stackrel{}{\mathrm{1,}m},p_i(k),i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n-1},k=\stackrel{}{\mathrm{0,}m-1},$$ в результаті для приростів отримаємо наступну систему рівнянь.

$$\mathit{Dp}(k+1)=\left[E-\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& K& 0& 0\\ b_{k+1}^T{c}_{k+1}& 0& K& 0& 0\\ b_{k+1}^T{A}^T(k)c_{k+1}& b_{k+1}^T{c}_{k+1}& K& 0& 0\\ L& L& L& L& L\\ b_{k+1}^T{A}^{T^{n-2}}(k)c_{k+1}& b_{k+1}^T{A}^{T^{n-3}}(k)c_{k+1}& K& b_{k+1}^T{c}_{k+1}& 0\end{array}\right)\right]\mathit{Dp}(k)-$$.

$$-\left(\begin{array}{cccc}1& 0& K& 0\\ p_1(k)& 1& K& 0\\ p_2(k)& p_1(k)& K& 0\\ L& L& L& L\\ p_{n-1}(k)& p_{n-2}(k)& K& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_{k+1}^T\\ b_{k+1}^T{A}^T(k)\\ b_{k+1}^T{A}^{T^2}(k)\\ M\\ b_{k+1}^T{A}^{T^{n-1}}(k)\end{array}\right){\mathit{Dc}}_{k+1},$$.

$$A(k+1)=A(k)+b_{k+1}{c}_{k+1}^T+b_{k+1}{\mathit{Dc}}_{k+1}^T,$$.

$$p(0)=0,A(0)=A\text{.}$$.

Тоді кінцевий стан системи для приростів має наступний вигляд.

$$p(m)=\underset{k=0}{\overset{m-1}{}}W(m,k)c_{k+1},$$.

де $$W(m,k)=V(m-1)V(m-2)\dots V(k+1)D(k)$$ — імпульсна перехідна функція системи,.

$$V(k)=-\left(\begin{array}{ccccc}-1& 0& \dots & 0& 0\\ b_{k+1}^T{c}_{k+1}& -1& \dots & 0& 0\\ b_{k+1}^T{A}^T{c}_{k+1}& b_{k+1}^T{c}_{k+1}& \dots & 0& 0\\ & & & & \\ b_{k+1}^T{A}^{T^{n-2}}{c}_{k+1}& b_{k+1}^T{A}^{T^{n-3}}{c}_{k+1}& \dots & b_{k+1}^T{c}_{k+1}& -1\end{array}\right),$$.

$$D(k)=-\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ p_1(k)& 1& \dots & 0\\ p_2(k)& p_1(k)& \dots & 0\\ & & & \\ p_{n-1}(k)& p_{n-2}(k)& \dots & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_{k+1}^T\\ b_{k+1}^T{A}^T(k)\\ b_{k+1}^T{A}^{T{}^2}(k)\\ \\ b_{k+1}^T{A}^{T{}^{n-1}}(k)\end{array}\right)\text{.}$$.

Спроектуємо вектор $$c_k$$, використовуючи операцію псевдообернення [1, 7], отримаємо, що при.

$$c_k={\mathit{Dc}}_k-$$.

з точністю до величин другого порядку малості кінцевий стан системи (3.4) задовільняє умові (3.6), де — операція псевдообернення матриці до матриці T.