Теоретичні основи вивчення теми «закони множення і ділення» (реферат)

Реферат на тему:

Теоретичні основи вивчення теми «закони множення і ділення» .

Теоретичною основою вивчення теми є закони множення і ділення.

§ 1. Множення і ділення з 0 і 1.

Поняття добутку цілих невід'ємних чисел можна визначити по різному. Розглянемо підхід в основі якого лежить поняття суми.

Означення. Добутком цілих невід'ємних чисел, а і в називається таке ціле невід'ємне число, а. в, яке задовольняє слідуючим умовам:

1. 1)а. в = а+ …+а при в >1;

в доданків.

1. 2)а. 1 = а при в = 1.

2. 3)а. 0 = 0 при в= 0.

Теоретико-множинний зміст цього означення слідуючий.

Якщо множини А1, А2…, А6 мають по, а елементів кожне і ніякі два із них не перетинаються, то їх об'єднання містить, а в елюентів. Отже, добуток, а. в — це число елементів в об'єднанні з в попарно непересікаючих множин, кожна із яких містить по, а елементів. Рівності а.1 = і а.0 = 0 приймаються по умові.

Дія, за допомогою якої знаходять добуток чисел, а і в, називають множеннямчисла, які множать, називають множниками.

Добуток любих цілих невід'ємних чисел існує, і він єдиний.

З даним означенням учня знайомляться в початкових класах. Зміст його розкривається при розв’язування простих задач.

Розглянемо таку задачу: «На кожне дитяче пальто потрібно пришити 4 гудзики. Скільки ґудзиків потрібно пришити на 6 таких пальт?» .

Чому задача розв’язується за допомогою множення? Тому, що в ній потрібно знайти число елементів в об'єднанні, які стають із 6 множин, в кожному із яких по 4 елементи.

Згідно умови це число знаходиться множенням: 4.6=24 (гудзики).

Існує і друге означення добутку цілих невід'ємних чисел. Воно зв’язано з декартовим добутком множин.

Нехай дано дві множини:

А (х, у, Z) і В = (n, t, ч, S). Знайдемо їх декартів добуток, який запишемо у вигляді прямокутної таблиці.

(x, n), (x, t), (x, ч), (x, S),.

(y, n), (y, t), (y, ч), (y, S),.

(Z, n), (Z, t), (Z, ч), (Z, S),.

В кожній лінійці всі пари мають однакову першу компоненту, а в кожному стовпчику однакова друга компонента. При цьому ніякі дві лінійки не мають хоча б одну однакову пару. Звідси випливає, що число елементів в декартовому добутку АХВ рівне 3+3+3+3=12. З другої сторони, n (А) =3,n (B)= 4 і 3 .4 = 12. Бачимо, що число елементів в Декартові добутку даних множин, А і В рівне добутку n (А). n (В).

Якщо, А і В — скінчені множини, то n (А х В) =n (A) n (В).

Таким чином, добуток цілих невід'ємних чисел, а і в можна розглядати як число елементів декартового добутку множин, А і В, де n (А)=а, n (В) = в:

а. в = n (A x B), де n (A)=а, n (В)=в.

І в першому, і в другому випадку нами означено добуток двох чисел. А як визначити добуток кількох множників?

Нехай добуток двох множників визначено і визначено добуток n множників. Тоді добуток, який складається із n+1 множника, тобто добуток а1. а2. … аn. an+1, рівний (а1. а2. … аn). an+1.

Наприклад, щоб знайти добуток 2.7.5.9 згідно цього означення. Потрібно виконати послідовно слідуючи перетворення:

2.7.5.9= (2.7.5).9= ((2.7).5).9 = (14.5).9 = 70.9=630.

§ 2. Множення і ділення на основ і нумерації.

Якщо числа та і в однозначні, то, щоб знайти їх добуток, досить порахувати число елементів в Декартові добутку таких множин, А і В, що n (A)=а, n (В)=в. Але, щоб виконати множення таких чисел не звертаючись до множин і рахунку, всі добутки, які одержуються при множенні двох означних чисел, запам’ятовують.

Усі такі добутки записують в таблицю, яка називається таблицею множення однозначних чисел.

Якщо числа, а і в многозначні, то їх множать «стовпчиком» .

Помножимо число 426 на 123.

Для одержання результату нам треба число 426 помножити на 3,2,1, тобто помножити багатоцифрове число на одноцифровепомноживши на 2, ми результат записали по-особливому, помістивши одиниці числа 852 під десятками числа 1278, — це тому, що ми множили на 2 десятки, третій доданок 426 — це результат множення на 1 сотню. Нам прийшлося знайти суму багатоцифрових чисел.

Щоб виконати множення багатоцифрового числа на багатоцифрове, потрібно уміти:

• -.множити багатоцифрове число на одноцифрове;

• -.множити багатоцифрове число на степінь 10;

• -.додавати багатоцифрові числа.

Вияснило, які теоретичні основи множення багатоцифрового числа на одноцифрове і на степінь десяти.

Розглянемо процес множення числа 426 на 3. Число 426 можна записати у вигляді 4. 102+2.10+6, і тоді 426.3 = (4.102+2.10+6).3.

На основі розподільного закону множення відносно додавання перетворимо запис, розкривши дужки: (4.102).3+(2.10).3+6.3.

Переставний і сполучний закони множення позволяють доданки в цій сумі записати так: (4.3 .102.+(2.10).10+(6.3).

Добуток у дужках можна знайти за таблицею множення одноцифрових чисел: 12.102+6.10+18.

Отже, множення багатоцифрового числа на одноцифрове звелось до множення одноцифрових чисел.

Але одержаний вираз не є десятковим записом числа — коефіцієнти перед степенями 10 повинні бути менші 10. Тому 12 залишимо у вигляді 10+2, а число 18 у вигляді 10+8:

(10+2).102 + 6.10+(10+8).

Відкриємо дужки: 103+2.102+6.10+10+8.

Використаємо сполучний закон множення і розподільний закон множення відносно додавання:

1 .103+2.102+(6+1).10+8.

Сума 6+1 є сума одноцифрових чисел і легко знаходиться по таблиці додавання: 1.103+2.102+7.10+8.

Одержаний вираз є десятковим записом числа 1278. Отже, 426,3=1278.

Аморитм множення числа х=аnan-1…a1a0 на однозначне число у можна сформулювати так:

1. 1.Записуємо друге число під першим.

2. 2.Множимо цифри розряду одиниць на число у. Якщо добуток менший 10, його записуємо в розряд одиниць відповіді і переходимо до слідую чого розряду (десятків).

3. 3.Якщо добуток цифри одиниць на число у більший або рівний 10, то записуємо його у вигляді 10. g1+С0, де С0 — одноцифрове числозаписуємо С0 в розряд одиниць відповіді і запам’ятовуємо g1 — переносимо в слідуючий розряд.

4. 4.Множимо цифру розряду десятків на числа у, додаємо до одержаного добутку число g1 і повторюємо процес, описаний в п. 2. і 3.

5. 5.Процес множення закінчується, коли буде помножена цифра старшого розряду.

Множення числа х на число вигляду 10k зводиться до приписування до десяткового запису даного числа k нулів. Дійсно, якщо х=аn.10n + an-1. 10n-1+…+a1.10+a0, то x. 10k = (an-1. 10n+an-1.10n-1+… +a1/10+a0). 10k.

Застосувавши розподільний закон множення відносно додавання і інші закони множення, одержимо:

При ділення одноцифрових чисел і двоцифрових (які не перевищують 89) на одноцифрове використовується таблиця множення одноцифрових чисел.

Нехай потрібно 54 поділити на 9. Шукаємо в 9-му стовпчику (9-ій лінійці) число 54. Воно знаходиться в 6-ій лінійці (6-му стовпчику). Отже, 54:9=6.

Поділимо тепер 51 на 9. В 9-му стовпчику нема числа 51. Тому візьмемо в цьому стовпчику ближче до нього менше число 45. Так як 45 знаходиться в 5-й лінійці, то неповинна частка рівна 5. Щоб знайти остачу. Віднімемо від 51 число 45: 51−45=6. Тому 51 = 9.5+6, або в шкільній символіці 51:9+5 (ост.6).

Вияснимо, як ділять багатоцифрові числа на одноцифрові. Нехай треба 238 поділити на 4. Це означає що треба знайти таку неповну частку g і остачу ч, щоб 238 = 4g+ч, 0<=ч<4.

Вимоги до неповної частки g чисел 238 і 4 можна записати у такому вигляді: 4g<=238<4 (g+1).

Вияснимо. Скільки цифр буде міститься в запису числа g. Одноцифровим число g бути не може, так як добуток числа 4 на одноцифрове число плюс остача не дорівнює 238. Якщо число g двоцифрове, тобто якщо 10<g<100, то тоді число 238 міститься між числами 40 і 400. Отже, частка чисел 238 і 4 — число двоцифрове.

Щоб знайти цифру десятків частки, помножимо послідовно ділена 20,30,40 і т.д. Оскільки 4×20 =80, 4×50= 200, 4×60 = 240 і 200 < 238 <240, то неповна частка міститься між числами 50 і 60. тобто g = 50 = g0.

Коли про число 238 можна сказати, що звідси.

і.

Число g0 (цифру одиниць частки), яке задовольняє дану нерівність можна знайти, використавши таблицю множення. Одержимо, що g0 = 9 і неповна частка g = 50+9 = 59. Остачу знаходимо відніманням: 238−4×59=2.

При діленні числа 238 на 4 одержуємо неповну частку 59 і остачу 2: 238 = 4×59 +2.

Описаний процес ділення лежить в основі ділення кутом:

Аналогічно виконується ділення багатоцифрового числа на багатоцифрове.

І. Якщо, а = в, то частка g = 1, остача ч=0.

ІІ. Якщо а>в і число розрядів в числах, а і в однакове, то частку знаходимо переборок, послідовно множимо в на 1,2,3,4,5,7,8,9, так як, а < 10 в.

ІІІ. Якщо а>в і число розрядів в числі а більше, ніж в числі в, то записуємо ділене, а і справа від нього дільник в, який відділяємо від, а кутом, і шукаємо частку і остачу в такій послідовності:

1. 1)Виділимо в числі в стільки старших розрядів, скільки розрядів в числі, в, або. Якщо потрібно, на один розряд більше, але так, щоб вони утворювали число d1, більше або рівне в. Підбором знаходимо частку g1 під кутом (нижче в).

2. 2)Множимо в на g1 і записуємо добуток під числом, а так, щоб молодший розряд числа вg1 був записаний під молодшим розрядом виділеного числа d1.

3. 3)Проводимо риску під в1 і знаходимо різницю.

ч1=d1-вg1.

1. 4)Записуємо різницю ч1 під числом вg1, дописуємо справа до ч1 старший розряд із невикористаних розрядів діленого, а і порівнюємо одержане число d2 з числом в.

2. 5)Якщо одержане число d2 >= в, то поступаємо так як в п. І або ІІ. Частку g2 записуємо після g1.

3. 6)Якщо одержане число d2 < в, то дописуємо ще стільки слідуючи розрядів, скільки потрібно, щоб вийшло переш число d3 >= в. В цьому випадку записуємо після g1 таку ж кількість нулів. Відносно d3 поступаємо згідно n І або ІІ. Частку g2 записуємо після нулів. Якщо при використанні меншого розряду числа, а виявиться, що d3 >= в, то частка чисел d3 і в рівна нулю, і цей нуль записуємо останнім розрядом до частки, а остача ч= d3.

§ 3. Множення суми на число і числа на суму.

Розподільний закон множення відносно додавання: для любих цілих невід'ємних чисел а, в, с правильна рівність (а+в). с = вс+вс.

Цей закон виводиться із рівності (A B) xC) = (AXC) (BXC) (*).

Нехай Тоді за означенням добутку маємо (а+в). с = n (A B) xC).Звідси на основі рівності (*) одержимо.

і далі за означенням суми і добутку.

Вияснимо, як використовуються закони множення при обчисленнях. Наприклад 750 .120.

Число 750 запишемо у вигляді суми двох доданків 700 і 50: (700+50). 120.

Помножимо кожний доданок на 120.

700×120 + 50×120 = 8400+6000 = 90 000.

Розподільний закон множення відносно додавання розглядається в школі на конкретних прикладах носить назву правли множення числа на суму і суми на число.

§ 4. Ділення суми на число.

Правило ділення суми на число. Якщо числа, а і в діляться на число с, то і їх сума а+в ділиться на счастка, яку одержуємо при ділення суми +в на число с, рівна сумі часток, які одержуємо при діленні а на с і на в на с, тобто.

(а+в) :с = а: с + в: с Доведення. Так як, а ділиться на с, то існує таке натуральне число m= а: с, що а=с.m. Аналогічно існує таке натуральне число n=в:с, що в =с.n.

Тоді +в= с. m + с. n = с.(m + n). Звідси випливає, що в одержуємо при ділення а+в число с, рівна m+n, тобто а: с+в:с.

Доведене правило можна пояснити на теоретико-множинній основі.

Нехай а=n (А), в=n (В), причому, А В = O. Якщо кожна із множин, А і В можна розбити на с рівнопотужних підмножин, то і об'єднання цих множин допускає таке ж розбиття,.

6:2=3.

4:2=2.

10:2=5.

При цьому якщо в кожній підмножині розбиття множини, А міститься а: с елементів, а в кожній під множині множини В міститься в: с елементів, то в кожній підмножині множини, А В міститься а: с+в:с елементів, то в кожній підмножині множини, А В міститься а: с+в:с елементів. Це означає, що (а+в):с = а: с = в: с.

§ 5. Ділення числа на добуток.

Правило ділення числа на добуток. Якщо натуральне число, а ділиться на натуральне число в і с, то, щоб поділити, а на добуток чисел в і с, досить поділити число, а на в© і одержану частку поділити на с (в):

А (в с) = (а:в:с) = (а:с): в.

Доведення. Нехай (а:в) :с = х.

Тоді за означенням частки а: в = с. х, звідси, а = в (сх.). На основі сполучного закону множення, а = (вс) х. Одержана рівність означає, що а: (вс) = х. Таким чином, а:(вс) = (а:в):с.

Правило множення числа на частку двох чисел.

Щоб помножити число на частку двох чисел, досить помножити це число на ділене і одержаний добуток поділити на дільник.

а (в:с) = (а в):с Доведення аналогічне попередньому.

Застосування даних правил дозволяє спростити обчислення.

Наприклад, щоб знайти значення виразу (720+600):24 досить поділити на 24 доданки 720 і 600 і одержані частки додати: (720 +600) :24 + 720:24 + 60:24 + 30+25 = 55.

Значення виразу 1440: (12×15) можна знайти так, поділимо спочатку 1440 на 12, а потім одержану частку поділимо на 15:

1440: (12 15) = (1440:12): 15 + 120: 15 + 8.

Дані правила розглядаються в початковому курсі математики на конкретних прикладах. При першому ознайомленні з правилом ділення суми 6+4 на число 2 використовують демонстраційний матеріал. Це правило використовується для раціоналізації обчислень. Правило ділення числа на добуток широко застосовується при діленні чисел, які закінчуються нулями.

§ 6. Ділення з остачею.

Числа 37 не ділиться на 8. Але існують числа 4 і 5. такі, що 37+ 8×4 +5. Ділення числа 37 на 8 виконано з остачею, при цьому знайдено не повну частку 4 і остачу 5.

Означення. Поділити з остачею ціле невід'ємне число, а на натуральне число в — 25 означає знайте такі цілі невід'ємні числа g і ч, що, а = вg+ч і 0<=ч<в.

Остача — це натуральне число, яке менше за дільник в, тому при діленні на в можна одержати в різних остач: 0,1,2,3,…, в-1. Наприклад, при діленні з остачею на 5 можливі остачі: 0,1,2,3,4.

Якщо, а <в, то при діленні а на в з остачею неповна частка g =0, а остача ч =а, тобто, а = 0 в+а.

Чи завжди можна виконати ділення, а на в з остачею? Відповідь дає така теорема, яку приймають без доведення.

Теорема. Для любого цілого невід'ємного числа, а і натурального числа в існують цілі невід'ємні числа g і ч, такі, що а=в.g+ч, причому 0<=ч<в. Пара цілих невід'ємних чисел (g, ч), яка володіє цією властивістю, єдина.

Розглянемо теоретико-множинний зміст ділення з остачею.

Нехай а=n (А) і множина, А розбита на множини А1, А2,…, Аg Х так, що множини А1, А2,…, Аg рівнопотухні і містить менше елементів. Ніж кожна із А1, А2,…, Аg, наприклад N (Х)=ч. Тоді а вg+ч, де 0<=ч<в. Таким чином, неповна частка g — це число рівно потужних підмножин (в кожній із яких в елементів) в розбиті множини А, а остача ч — це число елементів в множині Х.

В початковій школі орзнайолмення з діленням з остачею проходить при розгляді ситуації, в якій із 9 дітей утворюється 4 пари і 1 учень залишається без пари. Використовується такий запис ділення з остачею:

9:2=4 (ост. 1).

Якщо при діленні одержуємо остачу, то вона завжди менша від дільника.

Важливість ділення з остачею в тому, що воно може лежати в основі алгоритму ділення багатоцифрових чисел.