Высшая математика, інтеграли (шпаргалка)

Рівномірна непрерывность Определение 28.7: Функція [pic]называется рівномірно безупинної на безлічі [pic], якщо: [pic]. (на відміну критерію Коші: [pic]).

Пояснение: [pic] Нехай: [pic]. Тоді: [pic] Тобто. функція [pic]не є рівномірно безупинної на безлічі [pic]. Теорему 28.3: Безперервна на відрізку функція — рівномірно безупинна на ньому. Класи интегрируемых функцій Теорему 28.4: Безперервна на відрізку функція — интегрируема ньому. Теорему 28.5: Монотонна на відрізку функція — интегрируема ньому. Теорему 28.5: Якщо функція [pic]определена і обмежена на відрізку [pic], і якщо [pic]можно вказати кінцеве число інтервалів, покриваючих всі крапки розриву цієї функції на [pic]. До того ж загальна довжина цих інтервалів менше [pic]. Те [pic]- интегрируема на [pic].

Замечание: Вочевидь, що й [pic]- интегрируема на [pic], а [pic]отличается від [pic]только у кінцевому числі точок, то [pic]- интегрируема на [pic]и [pic]. Існування первообразной Визначення 28.9: Нехай [pic]- интегрируема на [pic], [pic], тоді: [pic]функция [pic]интегрируема на [pic]и функція [pic]называется інтегралом зі змінним верхнім межею, аналогічно функція [pic]- інтеграл з змінним нижньою межею. Теорему 28.6: Якщо функція [pic]- безупинна на [pic], те в неї існує на [pic]первообразная, одній із яких дорівнює: [pic], де [pic].

Замечание 1: З дифференцируемости функції [pic]следует її безперервність, тобто. [pic].

Замечание 2: Оскільки [pic]- одне з первообразных [pic], то визначенню невизначеного інтеграла і теоремі про різниці первообразных: [pic]. Це зв’язок між певним і неопределённым интегралами Интегрирование подстановкой Пусть для обчислення інтеграла [pic]от безупинної функції зроблено підстановка [pic]. Теорему. Якщо 1. Функція [pic]и її похідна [pic]непрерывны при [pic] 2. безліччю значень функції [pic] при [pic]является відрізок [a;b] 3. [pic], то [pic]=[pic]. Док-во: Нехай F (x) є первообразная для f (x) на відрізку [a;b]. Тоді формулі Ньютона-Лейбница [pic]=[pic]. Т.к. [pic], то [pic]является первообразной для функції [pic], [pic]. Тож за формулі Ньютона-Лейбница маємо [pic]=[pic][pic]. Формула заміни перемінної у певному интеграле.

1. при обчисленні опред. интег-ла методом підстановки повертатися до старої перемінної не требуется;

2. часто замість підстановки [pic]применяют підстановку t=g (x).

3. треба говорити змінювати межі інтегрування при заміні змінних. Інтегрування заміною перемінної. а). Метод підбиття під знак диференціала Нехай потрібно обчислити інтеграл [pic]. Припустимо, що є дифференцируемая функція [pic]и функція [pic]такие, що подынтегральное вираз [pic]может бути записано як: [pic]. Тоді: [pic]. Тобто. обчислення інтеграла [pic]сводится до вирахування інтеграла [pic](который може бути простіше) і наступного підстановці [pic]. Приклад: Обчислити [pic]. [pic]. Підстановка: [pic]. б). Метод підстановки Нехай потрібно обчислити інтеграл [pic], де [pic]. Введём нову зміну формулою: [pic], де функція [pic]дифференцируема на [pic]и має зворотний [pic], тобто. відображення [pic]на [pic]- взаимно-однозначное. Одержимо: [pic]. Тоді [pic]. Тобто. обчислення інтеграла [pic]сводится до вирахування інтеграла [pic](который може бути простіше) і наступного підстановці [pic]. Приклад: Обчислити [pic]. [pic], звідки: [pic]. Інтегрування частинами. Нехай [pic]- дифференцируемые функції, тоді справедлива формула: [pic], або коротко: [pic]. Ця формула використовують у тому випадку, коли подынтегральное вираз [pic]можно так явити у вигляді [pic], що інтеграл [pic]вычисляется простіше вихідного. Приклад: Обчислити [pic]. Поклавши [pic]. Тоді [pic]. Як [pic]выберем первообразную при [pic]. Одержимо [pic]. Знову [pic]. Тоді [pic]. Остаточно одержимо: [pic].

Замечание 26.5: Іноді при обчисленні інтеграла [pic]методом інтегрування частинами виходить залежність: [pic]. Звідки можна отримати роботу вираз для первообразной: [pic].

Интегрирование раціональних функций Постановка задачи:[pic][pic] [pic] |1). [pic] |2). [pic] | |3). [pic] |.

тобто. завдання зводяться до завданню B.2). Теорему 1: Нехай [pic], тоді, якщо: [pic], де [pic], то [pic][pic]Из цієї теореми слід, що з інтегрування будь-який раціональної функції треба вміти інтегрувати такі функції: |1. [pic] |2. [pic] |3. [pic] |4. [pic] |5. [pic] | |6. [pic] |7. [pic] |8. [pic] |9. [pic] |10. [pic]. |.

Інтегрування дробно-линейных і квадратичных иррациональностей [pic] Зробивши підстановку: [pic], одержимо: [pic]. тоді [pic] [pic] a). Підстановки Эйлера. 1). Коріння багаточлена [pic]- комплексні, зробивши підстановку: [pic], одержимо: [pic]. 2). Коріння багаточлена [pic]- справжні: [pic]. Підстановка: [pic], отримуємо: [pic]. b). Підстановка: [pic], далі, якщо: |1). [pic]подстановка — [pic] |2). [pic]подстановка — [pic] | |3). [pic]подстановка — [pic] |.

з). Якщо [pic]подстановка — [pic].

Інтегрування функцій, раціонально залежать від тригонометрических.

[pic] Універсальна підстановка: [pic], тоді: [pic] [pic]подстановка: [pic] [pic]или [pic]- нечётные: вносимо функцію при нечётной ступеня під знак диференціала Інтегрується по частям Неопределенный интеграл Определение 26.1: Функція [pic]называется первообразной для функції [pic]на [pic], якщо: [pic]. Нехай [pic]и [pic]- первообразные функції [pic]на [pic]. Тоді: [pic]. Визначення 26.2: Неопределённым інтегралом від функції [pic]на [pic]называется об'єднання всіх первообразных [pic]на цьому інтервалі. Позначається: [pic].

Замечание 26.1: Якщо [pic]- одне з первообразных [pic]на [pic], то [pic].

Замечание 26.2: Подынтегральное вираження у визначенні представляє з себе цілковитий диференціал первообразной [pic]на [pic], тобто. [pic].

Замечание 26.3: Два невизначених інтеграла рівні «з точністю до постійної». Св-ва невизначеного інтеграла: 1. Дифференциал від невизначеного інтеграла дорівнює подынтегральному вираженню, а похідна неопред. интегр. дорівнює подынтегр. функції. Завдяки цьому св-ву правильність інтегрування перевіряється дифференцированием. [pic], [pic] 2. Неопред. интегр. від диференціала нек-рой функції дорівнює сумі цієї функції і похідною постійної: [pic] 3. Постійний множник м. виносити за знак інтеграла: [pic], де a[pic]0-постоянная. 4. Неопред. интегр. від алгебраич. суми кінцевого числа безперервних функцій дорівнює алгебраич. сумі з дитинства інтегралів від доданків функцій: [pic] 5. (Инвариантность формули інтегрування). Если[pic], те й [pic], де u=[pic]- произвольн. функція, має безперервну производную.

Табличные интегралы.

|[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] |.

Определённый інтеграл. Интегрируемость Визначення 28.1: Безліч точок відрізка [pic]таких, що: [pic]называют розбивкою відрізка [pic]. Довжини часткових відрізків розбивки позначимо: [pic]. Мелкостью розбивки [pic](читается — «дельта велике») назвемо максимальнуя з довжин відрізків розбивки, тобто. [pic]. Визначення 28.2: нехай у визначенні 28.1 всім [pic]точки [pic]. Інтегральної сумою функції [pic]на відрізку [pic]с розбивкою [pic]будем називати суму (яка від розбивки [pic]и вибору точок [pic]) виду: [pic]. Визначення 28.3: Межею інтегральних сум функції [pic]на відрізку [pic]назовём така кількість [pic], що [pic]. Позначається: [pic]. Визначення 28.4: Функція [pic]называется интегрируемой на відрізку [pic], якщо є кінцевий межа її интегнральных сум на [pic]. Позначається: [pic]. Теорему 28.1: Якщо [pic]интегрируема на відрізку [pic], вона обмежена на ньому. Зауваження 1: Ця теорема є необхідною, але недостатньою умовою интегрируемости функції. Приклад — функція Дирихле (обмежена, але неінтегрована). Критерій интегрируемости функцій Теорему 28.2: А, щоб обмежена на деякому відрізку функція, була интегрируема ньому, необхідне й досить, щоб виконувалося умова: [pic]. Слідство 1: Умова Т.2 еквівалентно умові: [pic]. Слідство 2: Якщо функція интегрируема на, то: [pic]. Визначення 28.8: Певним інтегралом функції [pic]на [pic]называется число [pic], однакову межі інтегральних сум [pic]на [pic]. Умова интегрируемости еквівалентно існуванню певного інтеграла. Властивості певного інтеграла 1. Якщо з — постійне число й третя функція f (x) интегрируема на [a;b], то [pic], тобто. посаду. множник з можна виносити за знак певного интегла. 2. Якщо функціями f (x), g (x) интегрируемы на [a;b], тоді интегрируема на [a;b] їх сума і [pic], [pic] 3. Якщо [pic], то: [pic] 4. Якщо функція f (x) интегрируема на [a;b] і a.