Морфологический аналіз кольорових (спектрозональных) изображений

Морфологічний аналіз кольорових (спектрозональных) изображений.

Пытьев Ю.П.

Московський державний університет, Москва, Россия.

1.

Введение

.

Відомо, що зображення одному й тому ж сцени, отримані при різних таких умовах освітлення і (або) измененных[1] оптичних властивості об'єктів можуть бути різні радикально. Ця обставина породжує значні складнощі у прикладних завданнях аналізу та інтерпретації зображень реальних сцен, у яких розв’язання має не залежати та умовами реєстрації зображень. Йдеться, наприклад, про завданнях виділення невідомого об'єкта і натомість відомої місцевості, відомого об'єкта на довільному тлі при неконтрольованих таких умовах освітлення, про завданню суміщення изображенний одному й тому ж сцени, здобутих у різних спектральних діапазонах і т.д.

Методи морфологічного аналізу, розроблені понад десятиліття тому тому, [1−5], на вирішення перелічених завдань, були переважно орієнтовані до застосування до чорно-білим изображениям[2] і були досить ефективними, [5−11].

Тим більше що, по меншою мірою дві обставини свідчить про доцільність розробки морфологічних методів аналізу кольорових зображень. По-перше, в завданню виявлення й виділення об'єкта останній, зазвичай, передусім кольором відрізняється від фону. По-друге, опис форми зображення на термінах кольору дозволить практично усунути ефект тіней і вплив невизначеності в просторовому розподілі інтенсивності спектрально однорідної освещения.

2. Колір і яскравість спектозонального изображения.

Розглянемо деякі аспекти теорії кольору про многоспектральных (спектрозональных, [13]) зображень, аналогічної класичної колориметрии [12]. Вважатимемо заданими n детекторів випромінювання зі спектральними чувствительностями [pic] j=1,2,…, n, де l (0,() — довжина хвилі випромінювання. Їх вихідні сигнали, відповідальні потоку випромінювання зі спектральною щільністю e (l)0, l ((0,(), далі званої випромінюванням, утворюють вектор [pic], w (Ч)=[pic]. Визначимо сумарну спектральную чутливість детекторів [pic], l ((0,(), і відповідні сумарний сигнал [pic] назвемо яскравістю випромінювання e (Ч). Вектор [pic] назвемо кольором випромінювання e (Ч). Якщо [pic] колір e (Ч) і саме випромінювання назвемо чорним. Оскільки рівності [pic] і [pic] еквівалентні, рівність [pic] можна буде й у чорного кольору, причому у цьому випадку [pic] - довільний вектор, яскравість оторого дорівнює одиниці. Випромінення e (Ч) назвемо білим та її колір позначимо [pic] якщо відповідальні йому вихідні сигнали всіх детекторів одинаковы:

[pic]. Вектори [pic], і [pic], [pic], зручно вважати елементами n-мерного лінійного простору [pic]. Вектори fe, відповідні різним випромінюванням e (Ч), зберігають у конусі [pic][pic]. Кінці векторів [pic] зберігають у безлічі [pic], де П — гиперплоскость [pic].

Далі передбачається, що всяке випромінювання [pic], де E — опуклий конус випромінювань, у якому разом із будь-якими випромінюваннями [pic] всі ці опуклі комбінації (суміші) [pic] Тому вектори [pic] в [pic] утворюють опуклий конус [pic], а вектори [pic].

Якщо [pic]то та його аддитивная суміш [pic]. Для нее.

[pic] [pic] [pic]. (1) Звідси следует.

Лема 1. Яскравість fe і колір (e будь-який аддитивной суміші e (Ч) випромінювань e1((),…, em ((), m=1,2,… визначаються яркостями та квітами слагаемых.

Підкреслимо, що рівність [pic], що означає факт збіги яскравості і кольору випромінювань e (Ч) і [pic], зазвичай, містить порівняно не велику інформацію про їхнє відносному спектральному складі. Проте заміна e (Ч) на [pic] у будь-якій аддитивной суміші випромінювань не змінить ні барви, ні яскравості последней.

Далі передбачається, що вектор w (Ч) такий, що у E можна вказати базові випромінювання [pic], котрим вектори [pic], j=1,…, n, лінійно незалежні. Оскільки колір таких випромінювань неодмінно різниться від чорного, їх яскравості вважатимемо поодинокими, [pic], j=1,…, n. У разі випромінювання [pic] характеризується лише кольором [pic], j=1,…, n.

Для будь-якого випромінювання e (Ч) можна записати разложение.

[pic], (1*).

в якому [pic] - координати [pic] в базисі [pic], чи, як вихідних сигналів детекторів випромінювання, — [pic], де [pic], [pic], — вихідний сигнал i-го детектора, відповідальний j-ому випромінюванню (j ((), і, j=1,…, n. Матриця [pic] - стохастичну, бо її матричні елементи, як яскравості базових випромінювань [pic] неотрицательны і [pic], j=1,…, n. У цьому яскравість [pic] і вектор кольору [pic], [pic], j=1,…, n, (кінець якого в П) визначаються координатами (j та квітами випромінювань [pic], j=1,…, n, і залежать безпосередньо від спектрального складу випромінювання e (Ч).

Нерідко біле випромінювання природно визначати з базових випромінювань, а чи не у вихідних сигналів детекторів, вважаючи білим всяке випромінювання, якій у (1*) відповідають рівні координати: [pic].

Зауважимо, що складові в (1*), які мають (j0: [pic]. У такій формі рівність (1*) представляє «баланс излучений».

Визначимо в [pic] скалярне твір [pic] і вектори [pic], биортогонально пов’язані з [pic]: [pic], i, j=1,…, n.

Лема 2. У розкладанні (1*) [pic], j=1,…, n, [pic]. Яскравість [pic], де [pic], причому вектор y ортогонален гиперплоскости П, оскільки [pic], i, j=1,…, n.

Що ж до скалярного проиведения [pic], його природно визначати те щоб вихідні сигнали детекторів [pic] були координатами fe у певному ортонормированном базисі [pic]. У цьому вся базисі конус [pic]. Зауважимо, що з будь-яких векторів [pic] і більше, для [pic], [pic][4].

Нехай Х — зору, наприклад, обмежена область, на площині R2, чи сітці [pic], [pic] спектральна чутливість j-го детектора випромінювання, що за точці [pic] [pic]; [pic] - випромінювання, що потрапляє в точку [pic]. Зображенням назвемо векторнозначную функцію [pic].

[pic] (2**).

Точніше, нехай Х — зору, (Х, З, m) — вимірне простір Х з мірою m, З — (-алгебра підмножин X. Цвітне (спектрозональное) зображення [pic]определим равенством.

[pic], (2) у якому майже всіх [pic], [pic], — (-вимірні функції на зору X, такі, что.

[pic]. Кольорові зображення утворюють підклас функцій [pic] лебеговского класу [pic] функцій [pic]. Клас кольорових зображень позначимо LE, n.

Втім, спрощення термінології далі будь-який елемент [pic] називається кольоровим зображенням, а условие.

[pic] (2*).

условием физичности зображень f (().

Якщо f (Ч) — кольорове зображення (2), то [pic], як неважко перевірити, — чорно-біле зображення [2], тобто. [pic], [pic]. Зображення [pic], назвемо чорно-білим варіантом кольорового зображення f (Ч), а кольорове зображення [pic], f (x)0, x (X — кольором зображення f (Ч). У точках безлічі В={x (X: f (x)=0} чорного кольору j (x), x (В, — довільні вектори з [pic], задовольняють умові: яскравість j (x)=1. Чорно-білим варіантом кольорового зображення f (Ч) будемо також називати кольорове зображення b ((), має в кожній фазі Х таку ж яскравість, як і f (Ч), b (x)=f (x), x (X, та білий колір, ((x)=b (x)/b (x)=(, x (X.

3. Форма кольорового изображения.

Поняття форми зображення покликане охарактеризувати форму зображених об'єктів в термінах характерності зображень, інваріантних щодо певного класу перетворень зображення, моделюючих міняються умови його. Наприклад, частенько не може змінюватися висвітлення сцени, зокрема, при практично незмінному спектральному складі може радикально змінюватися розподіл інтенсивності висвітлення сцени. Такі зміни висвітлення формулі (2**) виражаються перетворенням [pic], у якому множник k (x) модулює яскравість зображення [pic] в кожній фазі [pic]при незмінному розподілі кольору. Причому у кожної точці [pic]у вектора f (x) може змінитися довжина, та напрямок залишиться неизменным.

Нерідко зміна розподілу інтенсивності висвітлення супроводжується значною зміною та її спектрального складу, але — просторово однорідним, у тому ж у межах всієї зображуваної сцени. Оскільки між спектром випромінювання e і (немає взаємно однозначного відповідності, модель супутнього перетворення зображення f (x) в термінах перетворення кольору (((). І тому визначимо відображення A (():[pic], що ставить у відповідність кожному вектору кольору [pic]подмножество полем зору [pic]в точках якого зображення [pic], має постійний колір [pic].

Нехай при аналізованому зміні висвітлення [pic]и, відповідно, [pic]; запропонована модель перетворення зображення у тому, що колір [pic] перетвореного зображення має бути також постійним на кожному безлічі A ((), хоча, власне кажучи, — іншим, відмінними від (. Характекрным у разі є також те, що рівність [pic] тягне [pic]. Якщо [pic] - саме детальне зображення сцени, то, власне кажучи, в різних безлічах A ((() і A (() колір зображення [pic] може бути одинаковым[5].

Зазвичай, треба враховувати мінливість оптичних характеристик сцени, і т.д. В усіх випадках форма зображення мусить бути инвариантна щодо перетворення з виділеного класу тут і, більше, повинна визначати зображення з точністю до довільного перетворення від цього класса.

Для визначення поняття форми кольорового зображення f (() на [pic] зручно запровадити частковий порядок (, тобто. бінарну ставлення, що задовольнить умовам: 1)[pic], 2) [pic], [pic], то [pic], [pic]; ставлення (має бути узгоджених із визначенням кольорового зображення (з вимогою физичности), саме, [pic], якщо [pic]. Ставлення (інтерпретується аналогічна тій, як це заведено в чорно-білої морфологии[2], саме, [pic] означає, що зображення f (Ч) і g (Ч) можна порівняти формою, причому форма g (Ч) не складніше, ніж форма f (Ч). Якщо [pic] і [pic], то f (Ч) і g (Ч) назвемо збігаються формою (ізоморфними), f (Ч) ~ g (Ч). Наприклад, якщо f (Ч) і g (Ч) — зображення одному й тому ж сцени, то g (Ч), говорячи згрубша, характеризує форму зображених об'єктів не точніше (докладніше, детальніше), ніж f (Ч), якщо [pic].

У означеному вище прикладі перетворення зображення [pic], якщо між множинами A ((),[pic] і A ((((),[pic] існує взаимно-однозначное відповідність, тобто., якщо є функція [pic], така, що A (((((())= A ((),[pic], причем[pic], якщо [pic]. І тут рівності [pic] і [pic] еквівалентні, [pic] і [pic] ізоморфні і однаково детально характеризують сцену, хоча у різних цветах.

Якщо ж [pic] не взаємно однозначно, то A (((()=U A (() і [pic]. У цьому вся разі рівність [pic] тягне [pic] (але з еквівалентно) [pic], [pic] передає, власне кажучи, в повному обсязі деталі сцени, представлені у [pic].

Нехай, скажімо, g (Ч) — чорно-білий варіант f (Ч), тобто. g (x)=f (x) і g (x)/g (x)=(, x (X. Якщо перетворення [pic] - слідство змінених умов реєстрації зображення, то, природно, [pic]. Аналогічно, якщо f (Ч), g (Ч) — зображення одному й тому ж сцени, але у g (Ч), внаслідок несправності вихідні сигнали деяких датчиків рівні нулю, то [pic]. Нехай F — деяка полугруппа перетворень [pic], для будь-якого перетворення F (F [pic], оскільки, коли деякі деталі форми об'єкта не відбито у зображенні f (Ч), всі вони, тим паче, ні відбито у g (Ч).

Формою [pic] зображення f (Ч) назвемо безліч зображень [pic], форма яких немає складніше, ніж форма f`(Ч), та його меж в [pic](черта символізує замикання в [pic]). Формою зображення f (Ч) у сенсі назвемо мінімальне лінійне підпростір [pic], що містить [pic]. Якщо вважати, що [pic] нічого для будь-якого зображення [pic], це означатиме, що безпосереднє відношення (безупинно щодо збіжності в [pic] тому, що [pic].

Розглянемо тепер докладніше поняття форми декому характерних класів зображень та його преобразований.

4. Форма кусочно-постоянного (мозаїчного) кольорового изображения.

Багато практично важливих завданнях форма об'єкта на зображенні то, можливо охарактеризована спеціальної структурою випромінювання, що досягає зору XX ст вигляді [pic] тут [pic] - індикаторні функції непересічних підмножин Аi, i=1,…, N, позитивної заходи полем зору Х, кожному у тому числі функції [pic], [pic], j=1,…, n, i=1,…, N, безупинні. Оскільки відповідно до лемме 2.

[pic] [pic][pic], (3) то кольорове зображення fe (Ч), такого об'єкта характеризує його форму безперервним розподілом яскравості і кольору кожному підмножині Ai, i=1,…, N. Для зображення [pic], [pic] де [pic], також характерно напрерывное розподіл яскравості і кольору кожному Ai, якщо [pic], — безперервні функции.

Якщо, зокрема, колір і яскравість [pic] постійні на Ai, i=1,…, N, то це правильно й у будь-якого зображення [pic], якщо [pic] залежною явно від [pic]. Для такого зображення приймемо таке представление:

[pic], (4).

его чорно-білий вариант.

[pic] (4*) кожному Ai має постійну яскравість [pic], і колір зображення (4).

[pic] (4**).

не змінюється на Ai дорівнює [pic], i=1,…, N.

Коли щодо реальних зображень має виконати умова физичности (2*), [pic], то форму зображення (4), котра має різних безлічах Аi має незбіжні яскравості [pic] й різні кольору [pic], визначимо як опуклий замкнутий в [pic]конус:

[pic] [pic]. (4***).

v (a), очевидно, міститься у n (N мірному лінійному подпространстве.

[pic] [pic], (4****).

яке назвемо формою a (() у широкому смысле.

Форму у сенсі будь-якого зображення a ((), яка має не обов’язково різні яскравості і кольору в різних подмножествах Ai, i=1,…, N, визначимо як лінійне підпростір [pic], натягнуте не вектор-функции Fa ((), F (F, де F — клас перетворень [pic], певних як зміни векторів a (x)(Fa (x) переважають у всіх точках x (X; тут F — будь-яке перетворення [pic]. Факт, що F означає як перетворення [pic], і перетворення [pic], ні викликати недоразумения.

Зображення з конуса (4***) мають форму, яка складніше, ніж форма a (() (4), оскільки може мати один і той ж значення яскравості або (і) кольору в різних безлічах Аi, i=1,…, N. Також безлічі виявляються, сутнісно, об'єднаними за одну, як і призводить до спрощення форми зображення, оскільки він відбиває менше деталей форми зображеного об'єкта, ніж зображення (4). Це зауваження стосується й L (a (()), якщо йдеться форму у сенсі. Лема 3. Нехай {Аi} - вимірне розбивка X: [pic]. Зображення (3) тримає в кожному підмножині Ai: (постійну яскравість [pic] і колір [pic], як і лише коли виконується рівність (4); (постійний колір [pic], як і лише коли в (3) [pic]; (постійну яскравість fi, i=1,…, N, як і лише коли в (3) [pic] не залежить від [pic], i=1,…, N.

Доказ. На безлічі Ai яскравість і колір зображення (3) рівні соответственно[6].

[pic], [pic], i=1,…, N.

Якщо виконано рівність (4), то [pic] і [pic] від [pic] не залежать. Навпаки, якщо [pic] і [pic], те й [pic], тобто. виконується (4).

Якщо [pic], то колір [pic] залежить від [pic]. Навпаки, нехай [pic] залежить від [pic]. З огляду на лінійної незалежності [pic] координати j (i)(x) не залежить від [pic], тобто. [pic] і, отже, [pic] де [pic] - яскравість на A і і [pic]. Останнє твердження очевидно (.

Колір зображення окреслюється електродинамічними властивостями поверхні зображеного об'єкта, і спектральним складом облучающего електромагнітного випромінювання у цьому діапазоні, що використовується для реєстрації зображення. Йдеться спектральному складі випромінювання, покидає поверхню об'єкту і що містить як розпорошеного і власне випромінювання об'єкта. Оскільки спектральний склад падаючого випромінювання, зазвичай, просторово однорідний, вважатимуться, що колір зображення несе інформацію про властивості поверхні об'єкта, про її формі, а яскравість значною мірою залежить та умовами «висвітлення». Тому на згадуваній практиці в завданнях морфологічного аналізу кольорових зображень сцен важливе значення має тут поняття форми зображення, має постійний колір і довільне розподіл яскравості не більше заданих підмножин Ai, i=1,…, N, полем зору X.

Отже, хай у злагоді із леммой 3.

[pic], (5) де, [pic] - індикаторна функція Ai, [pic], функція gi (Ч) задає розподіл яркости.

[pic] (6) не більше Ai при постійному цвете.

[pic], i=1,…, N, (7) причому для зображення (5) кольору ((і), i=1,…, N, вважаються попарно різними, а функції g (i), i=1,…, N, — задовольняючими умовам [pic] i=1,…, N.

Цілком ймовірно, що у висловлюваннях (5); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (6) і (7) без втрати спільності можна взяти умова нормировки [pic], що дозволяє спростити висловлювання (6) і (7) для розподілів яскравості і кольору. З урахуванням нормировки розподіл яскравості на Ai задається функцією [pic] а колір на Ai равен.

[pic] (7*).

Форму зображення (5) визначимо як клас всіх изображений.

[pic] (8).

[pic],.

каждое у тому числі, як і зображення (5), має постійний колір не більше кожного Ai, i=1,…, N. Форма таких зображень не складніше, ніж форма f (Ч) (5), що у зображенні [pic] що на деяких різних подмножествах Ai, i=1,…, N, можуть збігатися значення кольору, які непременрно різні в зображенні f (Ч) (5). Збіг кольору [pic] в різних подмножествах Ai, i=1,…, N веде до спрощення форми зображення [pic] проти формою f (Ч) (5). Усі зображення [pic], мають різний колір в різних Ai, i=1,…, N, вважаються ізоморфними f (Ч) (і), форма інших не складніше, ніж форма f (Ч). Якщо [pic], то, очевидно, [pic].

Якщо (8) яскравість [pic], то колір [pic] на Ai вважається довільним (постійним), Якщо ж [pic] в точках деякого підмножини [pic], то колір [pic] на Ai вважається рівним кольору [pic] на [pic], i=1,…, N.

Колір зображення (8) може збігатися над кольорами (5). Якщо ж із умові завдання все зображення [pic], форма яких немає складніше, ніж форма [pic], повинен мати на Ai, i=1,…, N, хоча б колір, як і в [pic] слід зажадати, щоб [pic], тоді, як яскравості [pic] залишаються довільними (якщо [pic], то колір [pic] на Ai визначається рівним кольору f (Ч) на Ai, i=1,…, N).

Неважко визначити форму будь-якого, необов’язково мозаїчного, зображення f (Ч) у разі, коли припустимі довільні зміни яскравості [pic] за незмінної кольорі ((x) у кожному точці [pic]. Безліч, що містить всі такі изображения.

[pic] (9).

назовем формою у сенсі зображення [pic], яка має f (x)(0, (- майже всіх [pic], [порівн. 2]. [pic] є лінійним подпространством [pic], що містить будь-яку форму.

[pic], (10).

в якої включення [pic]определяет допустимі значення яскравості. У частковості, якщо [pic]означает, що яскравість неотрицательна: [pic], то [pic] - опуклий замкнутий конус в [pic], приналежний [pic].

Більше зручне опис форми зображення то, можливо отримано на основі методів апроксимації кольорових зображень, у яких форма окреслюється оператор найкращого наближення. Наступного параграфі дано уявлення форми зображення на вигляді оператора найкращого приближения.

5. Завдання апроксимації кольорових зображень. Форма як оператор найкращого приближения.

Розглянемо спочатку завдання наближення кусочно-постоянными (мозаїчними) зображеннями. Рішення всіх цих завдань дозволить побудувати форму зображення [pic] у разі, коли вважається, що [pic] нічого для будь-якого перетворення [pic], чинного на зображення [pic] як у вектор [pic] у кожному точці [pic] і залишає [pic] елементом [pic], тобто. зображенням. Форма у сенсі [pic] окреслюється оператор [pic] найкращого наближення зображення [pic] зображеннями [pic].

[pic].

где [pic]- клас перетворень [pic], такий, що [pic]. Інакше можна вважати, что.

[pic] (10*).

а [pic] - оператор найкращого наближення елементами безлічі [pic], форма яких немає складніше, ніж форма [pic]. Характеристичним для [pic] є те що, що, якщо f (x)=f (y), то тут для будь-якого [pic].

5.1. Наближення кольорового зображення зображеннями, колір і яскравість яких постійні на подмножествах розбивки [pic] полем зору X.

Поставлено розбивка [pic], потрібно визначити яскравість і колір найкращого наближення кожному [pic]. Розглянемо завдання найкращого наближення в [pic] кольорового зображення f (() (2) зображеннями (4), в яких вважається заданим розбивка [pic] полем зору X і потрібно визначити [pic] з условия.

[pic].

[pic] (11)[pic].

Теорему 1. Нехай [pic]. Тоді вирішення завдання (11) має вид.

[pic], i=1,…, N, j=1,…, n, (12).

и дані зображення (4) задається равенством.

[pic]. (13).

Оператор [pic] є ортогональным проектором на лінійне підпростір (4****) [pic] зображень (4), яскравості і кольору яких немає змінюються не більше кожного Ai, i=1,…, N.

Чорно-білий варіант [pic] (4*) кольорового зображення [pic](4) є найкращою в [pic] аппроксимацией чорно-білого варіанта [pic] кольорового зображення f (Ч) (2), якщо кольорове зображення [pic](4) є найкращою в [pic] аппроксимацией кольорового зображення f (Ч) (2). Оператор [pic], є ортогональным проектором на лінійне підпростір чорно-білих зображень, яскравість яких постійна не більше кожного [pic].

У точках безлічі [pic] колір [pic](4**) найкращою апроксимації [pic](4) кольорового зображення f (Ч) (2) є кольором аддитивной суміші складових f (Ч) випромінювань, яких опиняються на [pic].

Доказ. Рівності (12) — умови мінімуму позитивно певної квадратичной форми (11), П — ортогональный проектор, оскільки в завданню (11) найкраща апроксимація — ортогональна проекція f (Ч) на [pic]. Друге твердження випливає з равенства.

[pic], який із (13). Останнє твердження випливає з рівностей [pic][pic][pic], i=1,…, N що випливають із (12) і рівності (1), у якому індекс k слід замінити на x (X. (.

Зауваження 1. Для будь-якого вимірного розбивки [pic] ортогональные проектори [pic] і [pic] визначають відповідно форму у сенсі кольорового зображення (4), колір і яскравість якого, постійні не більше кожного [pic], різні щодо різноманітних [pic], бо [pic], і форму у широкому сенсі чорно-білого зображення, яскравість якого постійна кожному [pic] і різна до різних [pic],[2].

Коли ж врахувати, умова физичности (2*), то формою кольорового зображення можна вважати проектор [pic] опуклим замкнутий конус [pic] (4***).

Аналогічно формою чорно-білого зображення можна вважати проектор [pic] опуклим замкнутий конус зображень (4*), таких, що [pic] [2]. Річ у тім, що оператор [pic] визначає форму [pic] зображення (4), а саме [pic] - безліч власних функцій оператора [pic]. Оскільки [pic]f (() — найкраще наближення зображення [pic] зображеннями з [pic], для будь-якого зображення [pic] з [pic] і лише таких [pic]- [pic]. Тому проектор [pic] можна ототожнити з формою зображення (4).

Аналогічно для чорно-білого зображення a (() [pic],[7] [2]. І проектор [pic] можна ототожнити з формою зображення (4*), як це зроблено на роботах [2,3].

Примечания.

Форми у сенсі не визначаються зв’язком завдань найкращого наближення елементами [pic] і [pic], відому як транзитивность проектування. Саме, якщо [pic] оператор найкращого в [pic] наближення злементами опуклого замкнутого (в [pic] й у [pic]) конуса [pic], то [pic]. Інакше висловлюючись, визначення найкращого в [pic] наближення [pic] елементами [pic] можна спочатку знайти ортогональную проекцію [pic] зображення [pic] на [pic], та був [pic] спроектувати в [pic] на [pic]. У цьому конечномерный проектор [pic] кожному за конкретного конуса [pic] може бути реалізовано методом динамічного програмування, а багатьох завдань морфологічного аналізу зображень достатнім виявляється використання самих лише проектора П .

Форма у сенсі [pic] (4***) зображення (4) повністю визначається вимірним розкладанням [pic], останнє, своєю чергою визначається изображением.

[pic],.

если вектори [pic] попарно різні. Якщо за цьому [pic], то форма в широкому значенні [pic] може бути оцінена як і оператор П ортогонального проектування на [pic], певний рівністю (13).

Подивимося, як скористатися цими фактами при побудові форми у сенсі як оператора ортогонального проектування на лінійне підпростір [pic] (10*) для довільного зображення [pic]. Нехай [pic] - безліч значень [pic] і [pic] - вимірне розбивка X, породжене [pic], у якому [pic] - підмножина X, у якого зображення [pic] має постійні яскравість і колір, зумовлені вектором [pic], якщо [pic].

Проте задля знайденого розбивки умова [pic], власне кажучи, невиконуваним і, отже, теорема 1 Демшевського не дозволяє побудувати ортогональный проектор П на [pic]. Покажемо, що П можна як межа послідовності конечномерных ортогональних проекторів. Зауважимо спочатку, що будь-який зображення [pic] можна як краю (в [pic]) належним чином організованою послідовності мозаїчних изображений.

[pic] (*).

где [pic] - індикатор безлічі [pic], належить измеримому разбиению [pic].

У (*) можна, наприклад, використовувати так звану вичерпну послідовність разбиений [], що б наступним умовам — [pic]- З — вимірно, [pic]; - N+1-oe розбивка є продовженням N-го, тобто. нічого для будь-якого [pic], знайдеться i=i (j),[pic], таке, що [pic]; - мінімальна (-алгебра, яка містить все [pic], збігаються з C.

Лема (*). Нехай [pic] - вичерпна последователь-ность разбиений X і [pic]- то безліч з [pic], яке містить [pic]. Тоді для будь-який Звимірної функції [pic].

[pic].

и (-майже всіх [pic] [pic] [ ]. (.

Скористаємося цей результат для побудови форми у сенсі П довільного зображення [pic]. Нехай [pic] - мінімальна (-алгебра, щодо якої вимірно [pic], тобто. нехай [pic], де [pic] - прообраз борелевского безлічі [pic], B — (-алгебра борелевских множин [pic]. Замінимо за умов, визначальних вичерпну послідовність разбиений, З на [pic] і виберемо цю, яка від [pic], вичерпну послідовність ([pic] - вимірюваних) разбиений в лемме (*).

Теорему (*). Нехай [pic], [pic]- вичерпна послідовність разбиений X, причому [pic]- мінімальна (-алгебра, що містить все [pic] і П (N) — ортогональный проектор [pic], певний рівністю [pic], [pic].

Тоді 1) нічого для будь-якого [pic]-измеримого зображення [pic] і майже всіх [pic], [pic], 2) нічого для будь-якого зображення [pic] при [pic] [pic] (в [pic]), де П — ортогональный проектор на [pic].

Доказ. Перше твердження безпосередньо випливає з леми (*) та засобами визначення [pic]. Аби довести другого затвердження зауважимо, що, оскільки A (N+1) — продовження розбивки A (N), N=1,2,…, то послідовність проекторів П (N), N=1,2,…, монотонно неубывает: [pic] і тому сходиться (поточечно) до певного ортогональному проектору П. Так як [pic] - безліч всіх [pic]-измеримых зображень та його меж (в [pic]), а силу леми (*) нічого для будь-якого [pic]-измеримого зображення [pic] [pic], то тут для будь-якого зображення [pic] [pic]и нічого для будь-якого [pic] [pic], бо [pic]-измеримо, N=1,2,… (.

Питання, як то, можливо побудована вичерпна послідовність разбиений, обговорюється наступного пункте.

Задано вектори f1,…, fq, потрібно визначити розбивка [pic], на безлічах якого найкраще наближення приймає відповідно значенния f1,…, fq. Розглянемо завдання наближення кольорового зображення f (Ч), у якій поставлено не розбивка [pic] полем зору X, а вектори [pic] в [pic], і потрібно побудувати вимірне розбивка [pic]поля зору, таке, що кольорове зображення [pic] - найкраща в [pic] апроксимація f (Ч). Так как.

[pic][pic], (14*).

то в Ai слід віднести лише ті точки [pic], котрим [pic], [pic]=1,2,…, q, чи, що таке саме, [pic][pic]=1,2,…, q. Ті точки, котрі відповідно до цьому принципу можна віднести до кількох безлічам, слід віднести до жодного з них зі сваволі. З огляду на це, умовимося вважати, що запись.

[pic] [pic], (14).

означает, що безлічі (14) не перетинаються і [pic].

Щоб сформулювати цей результат в термінах морфологічного аналізу, розглянемо розбивка [pic], в котором.

[pic] (15) і зірочка свідчить про домовленість, прийняту в (14). Визначимо оператор F, діючий з [pic] в [pic] за такою формулою [pic], [pic], i=1,…, q. Вочевидь, F можна узгодити з (14) те щоб включення [pic] і [pic], i=1,…, q, можна було еквівалентними. [8].

Теорему 2. Нехай [pic] - задані вектори Rn. Рішення задачи.

[pic] найкращого в [pic] наближення зображення f (Ч) зображеннями [pic] має вид [pic], де [pic] - індикаторна функція безлічі [pic]. Безліч [pic] визначено рівністю (15). Нелінійний оператор [pic], як усякий оператор найкращого наближення задовольняє умові F2=F, тобто. є пректором.

Зауваження 2. Якщо є завдання доступні лише чорно-білому варіанті, тобто задано числа [pic], i=1,…, q, які вважатимуться упорядкованими відповідно до умові [pic], те, як показано в [3], дані розбивка X полягає з множеств.

[pic].

где [pic], і має мало з розбивкою (14).

Зауваження 3. Виберемо вектори fi, i=1,., q одиничної довжини: [pic], i=1,…, q. Тогда.

[pic]. (16).

Сили-силенної (16) є конусами в Rn, обмеженими гиперплоскостями, що проходять через початок координат. Звідси випливає, що відповідне наближення [pic] зображення f (Ч) инвариантно щодо довільного перетворення останнього, не змінює його колір (наприклад [pic]), зокрема, щодо освіти тіней на f (Ч).

Зауваження 4. Для будь-якого заданого набору попарно різних векторів [pic] оператор F, наведений в теоремі 2, визначає форму зображення, приймаючої значення [pic] відповідно на вимірюваних безлічах [pic] (будь-якого) розбивки X. Будь-яке таке зображення є нерухомій (в [pic]) точкою F: [pic], якщо [pic], усі вони ізоморфні між собою. Якщо деякі безлічі з [pic] - порожні, або нульовий заходи, відповідні зображення мають простішу форму.

Інакше висловлюючись, у разі формою зображення [pic] є безліч всіх зображень, приймаючих задані значення [pic] на безлічах позитивної заходи [pic] будь-якого розбивки X, та його меж в [pic].

Теореми 1 і 2 дозволяють записати необхідні і достатні умови найкращого наближення зображення f (() зображеннями [pic], у якому потрібно з’ясувати, як вектори [pic], і безлічі [pic] так, чтобы.

[pic].

Слідство 1.

Нехай Di, i=1,…, N, — підмножини Rn (15), П — ортогональный проектор (13), [pic], де [pic]. Тоді необхідні і достатні умови [pic] такі: [pic], де [pic], [pic].

Наступна рекуррентная процедура, корисна для уточнення наближень, одержуваних у теоремах 1,2, деяких випадках дозволяє вирішувати названу завдання. Нехай [pic] - вихідні вектори в завданню (14*), [pic] - відповідне оптимальне розбивка (14), F (1) — оператор найкращого наближення і [pic] - невязка. Скориставшись теоремою 1, визначимо для знайденого розбивки [pic] оптимальні вектори [pic]. Відповідно до вираженню (13) [pic], і відповідні оператор найкращого наближення П (1) (13) забезпечить щонайменше точне наближення f ((), ніж F (1): [pic]. Виберемо тепер в теоремі 2 [pic], визначимо відповідне оптимальне розбивка [pic] і побудуємо оператор найкращого наближення F (2). Тоді [pic]. На наступному кроці по разбиению [pic] будуємо [pic] і оператор П (3) і т.д.

На закінчення цього пункту повернемося до питання побудові вичерпного [pic]-измеримого розбивки X, відповідального заданої функції [pic]. Виберемо довільно попарно різні вектори [pic]из f (X) і побудуємо за такою формулою (15) розбивка Rn [pic]. До кожного q=1,2,… створюємо розбивка E (N (q)), безлічі [pic], j=1,…, N (q), якого утворені усіма попарно різними перетинами [pic] множин з [pic]. Послідовність відповідних разбиений X [pic], i=1,…, N (q), q=1,2… [pic] -вимірні і [pic] є продовженням [pic].

5.2. Наближення зображеннями, колір яких постійний на подмножествах розбивки [pic] полем зору X.

Поставлено розбивка [pic], потрібно визначити колір і розподіл яркостей найкращого наближення кожному Ai, i=1,…, N.

Для практики, як було відзначено, великий інтерес представляє клас зображень (5), колір яких немає змінюється не більше деяких підмножин полем зору, і завдання апроксимації довільних зображень зображеннями такого класса.

Запишемо зображення (5) в виде.

[pic] (17).

где [pic].

Нехай A1,…, AN — заданий розбивка X, [pic] - індикаторна функція Ai, i=1,…, N. Розглянемо завдання найкращого в [pic] наближення зображення [pic] зображеннями (17), не вимагаючи, щоб [pic].

[pic] (18).

Йдеться завданню апроксимації довільного зображення [pic] зображеннями, які мають яскравість то, можливо довільній функцією з [pic], тоді, як колір повинен зберігати постійне значення кожному з заданих підмножин A1,…, AN полем зору X, (див. Лемму 3).

Так как.

[pic] то мінімум P. S (19) по [pic] досягається при.

[pic], (20).

и равен.

[pic] (21).

Задача (18) цим зведена до задаче.

[pic]. (22).

У зв’язку з останньої розглянемо самосопряженный неотрицательно певний оператор [pic].

[pic]. (23).

Максимум (неотрицательной) квадратичной форми [pic] на сфері [pic]в Rn, як відомо, (см., например, [11]) досягається у власному векторі yi оператора Фi, що відповідає максимальному власному значенням [pic]>0,.

[pic], дорівнює [pic], тобто. [pic]. Отже, максимум в (22) дорівнює [pic] і досягається, наприклад, при [pic].

Теорему 3. Нехай A1,…, ANзаданий вимірне розбивка X, причем[9] m (Ai)>0, i=1,…, N. Рішенням завдання (18) найкращого наближення зображення [pic][pic] зображеннями g (()[pic] (17) є изображение.

[pic] (24).

Оператори [pic], i=1,…, N, і [pic] - нелинейные (залежать від f (()[pic]) проектори: Пi проектує в Rn вектори [pic][pic] на лінійне підпростір [pic], натягнуте на власний вектор [pic] оператора Фi (23), відповідальний найбільшому власному значенням ri,.

[pic]; (25).

П проектує в [pic] зображення [pic][pic] на мінімальне лінійне підпростір [pic], що містить все зображення [pic] Невязка найкращого приближения.

[pic] (19*).

Доказ. Равентство (24) і вираз для Пi випливає з (17); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (20) і виконання завдання за власні значення для оператора Фi (23). Оскільки Фi самосопряженный неотрицательно певний оператор, то завдання за власні значення (23) можна залагодити, все власні значення Фi неотрицательны у тому числі ri — наибольшее.

Аби довести властивостей операторів Пi, i=1,…, N, і П введемо позначення, що вказують на залежність від f (():

[pic].

[pic] (26*).

Эти рівності, що дають, що результати дворазового дії операторів Пi, i=1,…, N, і П (26) не відрізняється від результатата однократного їх дії, дозволять вважати оператори (26) проекторами.

Нехай fi — cсобственный вектор Фi, відповідальний максимальному власному значенням ri. Щоб співаку визначити [pic] слід вирішити завдання на власні значення для оператора [pic]:

[pic]. Оскільки rank[pic]=1, [pic] має єдине позитивне власне значення, яке, як неважко перевірити, одно ri, і його відповідає єдиний власний вектор fi. Поэтому.

[pic]. Звідси, своєю чергою, слід рівність (26*) для [pic] (.

Лема 4. Для будь-якого зображення [pic] рішення (24) завдання (18) найкращого наближення єдино і є важливим елементом [pic].

Доказ. Досить довести, що єдиний (з точністю до позитивного множника) власний вектор fi оператора (23), відповідальний максимальному власному значенням ri, можна вибрати те щоб [pic], що у такому разі складатимуть виконані импликации:

[pic], складові зміст леми. Справді, якщо [pic] відповідно до (23) [pic], оскільки включення [pic] означає, что[pic][pic]; тому й з (25) одержимо, що [pic][pic], i=1,…, N, тож й у (24) [pic][pic].

Переконаємося в неотрицательности [pic]. У ортонормированном базисі e1,…, en, у якому [pic], вихідний сигнал i-го детектора у точці [pic] (див. зауваження 1) завдання за власні значення (23*) має вигляд [pic], p=1,…, n, де [pic], [pic].

Оскільки матриця [pic] симметрическая і неотрицательно певна ([pic]) вона не має n неотрицательных власних значений[pic], яким відповідають n ортонормированных власних векторів [pic], а оскільки матричні елементи [pic], відповідно до теоремі Фробенуса-Перрона максимальне власне значення [pic] - алгебраїчно просте (некратное), а відповідний власний вектор можна вибирати неотрицательным: [pic]. Отже, вектор fi визначено з точністю до позитивного множника [pic], [pic]. (.

Зауваження 4.

Якщо [pic], тобто. якщо аппроксимируемое зображення на безлічах того ж розбивки [pic]имеет постійний колір, то теоремі 3 [pic], [pic].

Навпаки, якщо [pic], то [pic], тобто. [pic] визначається вираженням (17), у якому [pic].

Отже, хай у зображенні g (() (17) все вектори f1,…, fN попарно не коллинеарны, тюею кольору всіх підмножин A1,…, AN попарно різні. Тоді форма у сенсі [pic] зображення (17) є чимало рішень уравнения.

[pic],[pic], (27).

где [pic], fi — власний вектор оператора Фi: [pic], відповідальний максимальному власному значенням ri, i=1,…, N. У разі [pic], як і лише коли виконано рівність (27).

Оператор П (24), дає вирішення завдання найкращого наближення [pic], природно ототожнити з формою у сенсі зображення [pic] (17).

Задано вектори кольору (1,…, (q, потрібно визначити розбивка A1,…, Aq, на безлічах якого найкраще наближення має відповідно кольору (1,…, (q і оптимальні розподілу яркостей [pic][10].

Йдеться наступній завданню найкращого в [pic] наближення зображення [pic].

[pic]. (28).

Розглянемо спочатку завдання (28) не вимагаючи, щоб [pic]. Оскільки для будь-якого вимірного [pic].

[pic], (29).

и досягається на.

[pic], (30).

то, як неважко убедиться,.

[pic], (31).

где зірочка * означає той самий, що у рівність (14): точки x (X, в яких виконується рівність [pic] може бути довільно віднесено до одного з множин Ai чи Aj.

Нехай [pic] - розбивка [pic], в котором.

[pic] (32).

а F: Rn ((Rn оператор, певний условием.

[pic] (33).

Тогда вирішення завдання (28) можна в виде.

[pic], (34).

где [pic] - індикаторна функція безлічі Ai (31), i=1,…, q і Fоператор, який діє у [pic] за такою формулою (34) (див. виноску 4 на стор. 13).

Неважко переконатися, що завдання щонайменше (29) з вимогою физичности [pic].

[pic] (35).

имеет решение.

[pic] (36).

Відповідно вирішення завдання (28) з вимогою физичности має вид.

[pic], (37).

где [pic] - індикаторна функція множества.

[pic], (38).

Нерідко для побудови (34) корисно визначити оператор F+: Rn ((Rn, діючий відповідно до формуле.

[pic] (39).

где.

[pic], отже [pic], i=1,…q. (40).

Підсумуємо сказанное.

Теорему 4. Рішення завдання (28) найкращого в [pic]приближения зображення [pic] зображеннями на шуканих безлічах A1,…, Aq розбивки X задані квітами (1,…, (q відповідно, дається рівністю (34), дані розбивка A1,…, Aq склала (31). Вимога физичности найкращого наближення призводить до рішенню (37) яких і визначає дані розбивка формулами (38). Рішення (34) инвариантно щодо будь-якого, а (37) — щодо будь-якого, сохраняющего физичность, перетворення, неизменяющего його цвет.

Формою у сенсі зображення, має поставлене набір квітів (1,…, (q що на деяких безлічах позитивної заходи A1,…, Aq розбивка полем зору може бути оператор [pic] (34), формою такого зображення є оператор F+ (37). Будь-яке таке зображення g ((), що задовольнить умовам физичности (неотрицательности яркостей), задовольняє рівнянню F+g (()=g ((), такі, які мають ((Ai)>0, i=1,…, q, ізоморфні, інші мають простішу форму. (.

На закінчення цього розділу повернемося до поняття форми зображення, заданого з точністю до довільного, задовольняючого умовам физичности, перетворення яскравості. Йдеться формі зображення [pic], заданого розподілом кольору [pic], при довільному (физичном) розподілі яскравості, наприклад, [pic]. Для визначення форми [pic] розглянемо завдання найкращого в [pic] наближення зображення [pic] такими изображениями.

[pic], (41).

Теорему 5. Рішення [pic] завдання (41) дається равенством.

[pic], (42).

в якому [pic], де [pic]. Невязка приближения.

[pic], (43).

([pic] !) (.

Визначення. Формою зображення, заданого розподілом кольору [pic], назвемо опуклий, замкнутий конус изображений.

[pic] чи — проектор [pic] на [pic].

Будь-яке зображення g ((), розподіл кольору якого є ((() і лише таке зображення міститься у [pic] і є нерухомій точкою оператора.

[pic]: [pic]g (() = g ((). (#).

Оскільки насправді деталі сцени, передані розподілом кольору (((), не представлені на зображенні f (() = f (()((() у сфері полем зору, у якій яскравість f (x)=0, x (X, вважатимемо, що [pic] - форма будь-якого зображення f (x) = f (x)((x), f (x)>0, x (X (mod (), всі такі зображення ізоморфні, а форма будь-якого зображення g ((), задовольняючого рівнянню (#), не складніше, ніж форма f (().

Зауваження 5. Нехай (1,…, (N[pic] - вихідний набір квітів, [pic], A1,…, AN — відповідне оптимальне розбивка X, знайдене в теореие 4 и.

[pic], (34*).

— найкраще наближення f ((). Тоді, у рівність (24).

[pic], (24*).

если A1,…, AN — вихідне розбивка XX ст теоремі 3. Навпаки, якщо A1,…, AN — заданий в теоремі 3 розбивка X і f1,…, fN — власні вектори операторів Ф1,…, ФN (23) відповідно, відповідальні максимальним власним значенням, то f1,…, fN [pic] і буде виконано рівність (24), тоді як (34*) визначити (і як колір fi в (24), i=1,…, N.

Перевірка цього зауваження технічно нескладне затруднений.

У. Випадок, коли допускаються невеликі зміни кольору ще на межах каждого.

Ai, i=1,…, N.

Зрозуміло, умова сталості кольору на безлічах Ai, i=1,…, N, на практиці може виконуватися лише з певною точністю. Останню можна підвищити як перейшовши до меншому разбиению [pic], і допустивши певні зміни кольору ще на межах кожного Ai, i=1,…, N, наприклад, обравши замість (17) клас изображений.

[pic] (17*) у якому [pic] в (3).

Бо у завданню найкращого наближення f (() зображеннями цього класу доведеться шукати [pic], вектори [pic] незалежно від i=1,…, N, можна вважати ортогональными, определив.

[pic], (*) з умови мінімуму невязки по [pic]. Після цього кожному за i=1,…, N вектори [pic] слід визначити з условия.

[pic] (**) при додатковому умови ортогональности [pic]. Виконання цього завдання дається у наступному лемме.

Лема 5. Нехай [pic] ортогональные власні вектори оператора Фi (23), впорядковані по спадаючій власних значений:

[pic]. Тоді вирішення завдання (**) дається равенствами [pic].

Доказ. Зауважимо, що, оскільки Фi — самосопряженный неотрицательно певний оператор, його власні значення неотрицательны, яке власні вектори можна вибрати те щоб вони утворили ортогональный базис в Rn. Нехай Pi — ортогонально проектує в Rn на лінійну оболонку [pic] власних векторів [pic] і [Pi Фi Pi] - звуження оператора Pi Фi Pi на [pic]. Тоді ліва частина (*) дорівнює сліду оператора [Pi Фi Pi] [pic], де [pic] - j-ое власне значення оператора [pic] (див., наприклад, [10]). Нехай [pic]. Тоді відповідно до теоремі Пуанкаре, [10], [pic], звідки слід затверджуване в лемме. (.

Скориставшись висловлюваннями (*) і леммой 5, знайдемо, що у аналізованому разі має місце твердження, аналогічне теоремі 3.

Теорему 3*. Найкращий наближення будь-якого зображення f (() зображеннями (17*) має вид.

[pic],.

Де [pic]: ортогональный проектор на лінійну оболонку [pic], власних векторів задачи.

[pic].

Невязка найкращого наближення равна.

[pic]. (.

Розглянемо тепер завдання найкращого наближення зображення f (Ч) зображеннями (17), у яких задано і фіксовані вектори [pic], і слід визначити вимірне розбивка [pic] і функції [pic], як вирішення задачи.

[pic] (30).

При будь-якому розбивці [pic]минимум в (30) по [pic] характеризується [pic], визначених рівністю (20). Натомість, очевидно, что.

[pic] (31) де точки [pic], у яких виконується рівність [pic] може бути довільно включені у одна з множин: або у [pic], або у [pic]. Це угоду зазначено зірочкою в (31).

Отже доказана.

Теорему 6. Нехай [pic] задані вектори Rn. Рішенням завдання (30) є изображение.

[pic], де ортогональный проектор [pic] визначено рівністю (25), а [pic] - індикаторна функція безлічі (31), i=1,…, N. Невязка найкращого наближення равна.

[pic]. (.

Зауваження 5. Бо за [pic].

[pic], то умови (31), що визначають розбивка [pic], можна записати в виде.

[pic], (32) показує, що багато [pic] в (32) инвариантно щодо будь-якого перетворення зображення [pic], не змінює його цвет.

Теореми 3 і шість дозволяють сформулювати необхідні і достатні умови найкращого наближення зображення f (() зображеннями (17), у якому повинні бути знайдені [pic] і (i0, i=1,…, N, такі, что.

[pic].

Теорему 7. Для заданого зображення f (() визначимо безлічі [pic] равенствами (32), оператор П — рівністю (24), [pic] - равенствами (25). Тоді [pic], визначено рівністю (32), у якому [pic] - власний вектор оператора Фi (23), відповідальний найбільшому власному значенням, причому у (23) [pic], нарешті, [pic] буде надано рівністю (20), у якому [pic], де [pic] - власний вектор оператора [pic], відповідальний найбільшому власному значенням [pic]; нарешті, [pic]. (.

Зауваження 6. Наступна итерационная процедура корисна при знаходженні [pic]: Для зображення f (() поставимо [pic] і з теоремі 5 знайдемо [pic] і [pic], потім теоремі 3, використовуючи [pic] знайдемо [pic] і [pic]. Після цього знову скористаємося теоремою 3 і з [pic] знайдемо [pic] і [pic] тощо. Побудована в такий спосіб послідовність зображень [pic] очевидно має тим властивістю, що числова послідовність [pic], k=1,2,… монотонно зростає і, отже, сходиться. На жаль нічого певного не можна сказати про збіжності послідовності [pic].

Форми [pic] (10) і [pic] (9) зручно ставити операторами Пf і П*f соответственно.

Теорему 7. Форма [pic] у сенсі зображення [pic]определяется ортогональным проектором П*f :

[pic], у своїй [pic] і [pic].

Доказ. Оскільки для [pic] [pic], то отримуємо перше твердження. Аби довести другого затвердження розглянемо опуклу завдання щонайменше [pic], яке визначається умовами (див., наприклад, [11]) [pic]. Звідси випливає, що [pic] і тим самим доведено і друге твердження (.

Зауваження. Оскільки [pic], де fi (x) — вихідний сигнал i-го детектора у точці [pic], причому fi (x)(0, i=1,…, n, і, отже колір [pic] реальних зображень неодмінно має неотрицательные [pic], то тут для реальних зображень [pic], умови [pic] і [pic], еквівалентні. Якщо ж для деякого [pic], то умова [pic] не тягне [pic]. Зауважимо також, що для зображень g ((), які відповідають умові [pic], завжди [pic].

Для спектрозональных зображень характерна ситуація, коли він k детекторів реєструють розсіяну об'єктами сонячну радіацію буде в діапазоні видимого світла, інші ж n-k реєструють власне теплове випромінювання об'єктів (в інфрачервоному діапазоні). У разі будь-яке зображення можна разложением.

[pic] (40).

В якому [pic]. Якщо ІК складової сонячного випромінювання можна знехтувати по порівнянню зі своїм випромінюванням об'єктів, то цікавить завдання наближення зображеннями f ((), у яких f1(() — будь-яка неотрицательная функція з [pic], (1(() — фіксований векторное полі кольору, f2(() — термояркость, (2(() — термоцвет у точці [pic]. Форма П*f видимої компоненти f (() (40) окреслюється оператор найкращого наближення в завданню [pic], у разі [pic], причому П*f діє фактично лише з «видиму компоненту «g ((), звертаючи «невидиму, ІК, компоненту «g (() в ноль.

Форма ІК компоненти f (() може бути оцінена буде лише тоді, коли відомо безліч можливих перетворень (2(() f2(().

Деякі применения.

Завдання ідентифікації сцен.

Розглянемо спочатку завдання ідентифікації сцен з їхньої зображення, неискаженным геометричними перетвореннями, поворотами, змінами масштабу тощо. Обмежимося завданнями, у яких запропоновані для аналізу зображення отримані при змінюються і неконтрольованих таких умовах освітлення і невідомих і, власне кажучи, різних оптичних характеристиках сцены.

1). Завдання ідентифікації при довільно мінливою інтенсивності освещения.

Чи f (() і g (() зображеннями одному й тому ж сцени, можливо, отличающимя лише распределениями яскравості, наприклад, наявністю теней?

У найпростішому разі для ідентифікації досить скористатися теоремою 5, саме, f (() і g (() вважатимуться зображеннями одному й тому ж сцени, якщо є розподіл кольору [pic], котрій v (((()) містить f (() і g ((). Якщо [pic], і [pic], то, очевидно, існує [pic], у якому f (x)(v (((()), g (x)(v (((()), саме, [pic], [pic], якщо [pic], [pic], якщо [pic], і, нарешті, [pic] - довільно, якщо [pic].

Насправді зручніше використовувати інший підхід, дозволяє одночасно виконувати завдання суміщення зображень і виділення об'єктів. Чи можна, наприклад, вважати g (() зображенням сцени, представленої зображенням f (()? Відповідь можна вважати ствердною, если.

[pic].

Здесь ((() — розподіл кольору на зображенні f ((), символ ~0 означає, що значення ((g (()) можна пояснити наявністю шуму, якихось інших похибок, чи, нарешті, — наявністю чи, навпаки, відсутністю об'єктів що пояснював розбіжність g (() і f (() з точністю до перетворення розподілу яркостей. Такі об'єкти, змінили розподіл кольору g (() проти розподілом кольору f ((), представлені у [pic].

2).Идентификация при довільному зміні розподілу інтенсивності і просторово однорідному зміні спектрального складу освещения.

Чи зображенням сцени, представленої на зображенні f ((), зображення, отримане при змінених умовах реєстрації, наприклад, переміщенням чи зміною тіней і зміною спектрального складу освещения?

Нехай П — форма у сенсі зображення f ((), певна в теоремі @, П* - форма f ((). Тоді у відповідь поставлене запитання можна вважати ствердною, якщо [pic]. Якщо зміна g (() зумовлено не лише зміненими умовами реєстрації, але й появою і (чи) зникненням деяких об'єктів, то зміни, зумовлені цим останнім обставиною буде представлено на [pic].

3). Завдання суміщення зображень й пошуку фрагмента.

Нехай f (() — заданий зображення, A (X — підмножина полем зору, (A (() — його індикатор, (A (()f (() -назвемо фрагментом зображення f (() на підмножині A, представляє виділений фрагмент сцени, зображеною на f ((). Нехай g (() — зображення тієї ж сцени, отримане за інших умовах, зокрема, наприклад, зсунутий, повернене, тобто. геометрично викривлене проти f ((). Завдання у тому, аби вказати на g (() фрагмент зображення, що становить на f (() фрагмент сцени, і поєднати його з (A (()f (().

Обмежимося випадком, коли згадані геометричні спотворення можна моделювати групою перетворень R2->R2, перетворення зображення [pic] назвемо зрушенням g (() на h. Тут Q (h): Rn->Rn, h (H, — група операторів. Векторний зрушення на h ((H дасть [pic].

У задачі виділення, тож суміщення фрагмента розглянемо фрагмент зрушеного на h зображення g (() в «вікні» A:

[pic] (100).

причем, оскільки [pic] де [pic] то (100) [pic] - обмеження на зрушення «вікна» А, які мають залишатися у межах полем зору X.

Якщо крім кольору g (() може відрізнятиметься від f ((), скажімо, довільним перетворенням розподілу яскравості за незмінної розподілі кольору та [pic] - форма фрагмента f ((), то завдання виділення, тож суміщення фрагмента зводиться до наступній завданню на минимум.

[pic]. (101).

При цьому вважається, що фрагмент зображення g ((), відповідний фрагмента (A (()f ((), буде поміщений у «окно».А шляхом відповідного зсуву h=h*, збігаються з (A (()f (() з точністю до деякого перетворення розподілу яскравості у ньому. Це означає, что.

[pic].

т.е. в (101) при h=h* досягається минимум.

4). Нерідко виникає наступна завдання аналізу спектрозональных зображень: виділити об'єкти які «видно», скажімо, в першому каналі і «невеликі» в остальных.

Розглянемо два зображення [pic] і [pic]. Визначимо форму у широкому сенсі [pic] як безліч всіх лінійних перетворень [pic]: [pic] (A — лінійний оператор R2->R2, котрий залежить від x (X). Для визначення проектора на [pic] розглянемо завдання на минимум.

[pic]. [*].

Пусть [pic], [pic], тоді завдання щонайменше [*] еквівалентна наступній: tr A*AS — 2trAB ~ [pic]. Її вирішення [pic] (знаком — позначений псевдообращение). [pic]=[pic] [pic]=[pic].

[pic].

Мал.1. fe — вектор вихідних сигналів детекторів, відповідальний випромінюванню e ((), (e — його колір; (1,(2,(3, — вектори (кольору) базових випромінювань, (- білий колір, кінець вектора (перебуває в перетині биссектрис.

[1] Пытьев Ю. П. Морфологічні поняття на завданнях аналізу зображень, — Докл. АН СРСР, 1975, т. 224, № 6, сс. 1283−1286. [2] Пытьев Ю. П. Морфологічний аналіз зображень, — Докл. АН СРСР, 1983, т. 296, № 5, сс. 1061−1064. [3] Пытьев Ю. П. Завдання морфологічного аналізу зображень, — Математичні методи дослідження природних ресурсів землі з космосу, ред. Золотухін В. Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх. [4] Пытьев Ю. П., Чуличков А.І. ЕОМ аналізує форму зображення, — Знание, сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47 стор. [5] Yu.P.Pyt'ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19−28. [6] Антонюк В. А., Пытьев Ю. П. Спецпроцессоры реального часу для морфологічного аналізу реальних сцен. Обробка зображень і дистанційне дослідження, -Новосибірськ, 1981, сс. 87−89. [7] Антонюк В. А., Пытьев Ю. П., Рау Э. И. Автоматизація візуального контролю виробів микроэлектроники, Радиотехника і електроніка, 1985, т. ХХХ,№ 12, сс. 2456−2458. [8] Єрмолаєв О.Г., Пытьев Ю. П. Апріорні оцінки корисного сигналу для морфологічних вирішальних алглритмов, — Автоматизація, 1984, № 5, сс. 118- 120. [9] Пытьев Ю. П, Задорожний С. С., Лук’янов А.Є. Про автоматизації порівняльного морфологічного аналізу электронномикроскопических зображень, — Изв. АН СРСР, сірий. фізична, 1977, т. 41, № 11, сс. хххххххх. [10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using Pyt «ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE — Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp. 163−167. [11] Пытьев Ю. П. Математичні методи інтерпретації експерименту, Вища школа, 351 стор., 1989. [12] Майзель С. О. Ратхер Е.С. Колірні розрахунки й вимірювання. М: Л:Госэнергоиздат 1941, (Праці всесоюзного Електротехнічного інституту, вып.56). [13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.

———————————;

[1] Наприклад, у зв’язку з зміною часу діб, погоди, пори року і т.п.

[2] Фрагмент морфологічного аналізу кольорових зображень міститься у работе[3].

[3] вектор fe матиме негативні координати, якщо він належить опуклому конусу.

[pic].

[4]черта символізує замикання, [pic] - опуклий замкнутий конус в Rn.

[5] Якщо [pic] - детальніше зображення, то деякі A (() можуть «ращепиться» сталася на кілька підмножин A ((((), кожному у тому числі колір [pic] постійний, але різний різними подмножествах A ((((). Проте, оскільки форма зазвичай будується з даного зображення f ((), v (f (()) неспроможна утримувати зображення, що детальніше характеризують зображену сцену.

[6] Для простоти яскравість зображення вважається позитивної у кожному точці полем зору Х.

[7][pic]- клас неотрицательных функцій [pic] що належать [pic].

[8]Одна й та літера F використана як оператора [pic], і для оператора [pic]. Ця вільність має викликати непорозуміння і найчастіше використовують у работе.

[9]Если m (As)=0, то завданню найкращого наближення (18) колір і розподіл яскравості на As вважатимуться довільними, оскільки з їхньою значення не впливають на величину невязки s.

[10]Векторы (1,…, (q вибираються, наприклад, відповідно до квітам об'єктів, які мають интерес.