Застосування степеневих рядів (реферат)

Реферат Застосування степеневих рядів.

1. Обчислення значень функції.

Якщо функцію f (х) можна розвинути у ряд Тейлора і точка x0 належить його області збіжності, то для обчислення наближеного значення функції у точці х0 залишають перших п членів, а останні відкидають, тобто, якщо.

$$(x)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n(x-a{)}^n$$.

і x0 належить області збіжності цього ряду, то приймають.

$$(x_0)\underset{k=0}{\overset{n}{}}{a}_k(x_0-a{)}^k$$.

Оцінка похибки такого наближення, тобто оцінка.

$$|(x_0)-\underset{k=0}{\overset{n}{}}{a}_k(x_0-a{)}^k|$$.

зводиться до оцінки модуля суми відкинутих членів ряду, т $$$$ обто до оцінки залишку ряду $$|r_n(x_0)|=|\underset{k=n+1}{\overset{n}{}}{a}_k(x_0-a{)}^k|$$.

Якщо ряд $$\underset{k=n+1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_k(x_0-a{)}^k$$ знакосталий, то його, як правило, порівнюють з геометричною прогресією. Якщо він знакопереміжний, то використовують оцінку $$|r_n(x_0)|<=|a_{n+1}(x_0-a{)}^{n+1}|$$. І, нарешті, у загальному випадку оцінюють залишковий член формули Тейлора.

У тому випадку, коли $$(x_0)$$ треба знайти з наперед заданою точністю, то, оцінюючи залишок ряду, визначають число членів частинної суми (по можливості якомога менше), яке гарантує таку точність.

Приклад 1.

Обчислити $$e^{1/2}$$ з точністю до 105.

Розв’язування.

Використаємо розклад у ряд Маклорена функції $$e^x$$: $$e^x=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{x^n}{n!}$$ Тоді для $$x(0-n+1)$$.

$$\begin{array}{c}{e}^x-\underset{k=0}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{x^k}{k!}=r_n(x)=\underset{k=n+1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{x^k}{k!}=\\ \frac{x^n}{n!}\left(\frac{x}{n+1}+\frac{x^2}{(n+1)(n+2)}+\frac{x^3}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\text{.}\text{.}\text{.}\right)\\ \frac{x^n}{n!}\left[\frac{x}{n+1}+{\left(\frac{x}{n+1}\right)}^2\text{++}{\left(\frac{x}{n+1}\right)}^3\text{.}\text{.}\text{.}\right]=\frac{x^n}{n!}\frac{\frac{x^n}{n+1}}{1-\frac{x}{n+1}}=\frac{x^n}{n!}\frac{x}{n+1-x}\end{array}$$.

Для х = ½ визначимо число п таке, щоб похибка наближеної рівності не перевищувала 105. Для цього використаємо знайдену вище оцінку і запишемо нерівність $$r_n\left(\frac{1}{2}\right)\frac{1}{n!2^n}\frac{\frac{1}{2}}{n+1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{n!2^n}\frac{1}{2n+1}{\text{10}}^{-5}$$.

зав’язавши її, одержимо, що $$r_n\left(\frac{1}{2}\right){\text{10}}^{-5}$$ для n=6. Отже $$e^{1/2}\underset{k=0}{\overset{n}{}}\frac{(1/2{)}^k}{k!}=\underset{k=0}{\overset{n}{}}\frac{1}{k!2^k}$$.

Приклад 2.

Обчислити sin 18° з точністю до 10−5.

Розв’язування.

Використаємо розклад у ряд функції у = sin x. Маємо:

$$\text{sin}{\text{18}}^0=\text{sin}\frac{}{\text{10}}=\frac{1}{1!}\frac{}{\text{10}}-\frac{1}{3!}\frac{{}^3}{{\text{10}}^3}+\frac{1}{5!}\frac{{}^5}{{\text{10}}^5}-\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Одержаний ряд є знакопереміжним рядом, отже, залишок ряду не перевищує за абсолютною величиною першого з відкинутих членів ряду. Оскільки $$|R_3|\frac{1}{7!}\frac{{}^7}{{\text{10}}^7}{\text{10}}^{-5}$$ досить взяти 3 члени розкладу. Тому $$\begin{array}{c}\text{sin}{\text{18}}^0=\text{sin}\frac{}{\text{10}}=\frac{1}{3!}\frac{{}^3}{{\text{10}}^3}+\frac{1}{5!}\frac{{}^5}{{\text{10}}^5}=\frac{}{\text{10}}\left(1-\frac{{}^2}{3!{\text{10}}^2}+\frac{1}{5!}\frac{}{{\text{10}}^4}\right)\\ \begin{array}{c}\mathrm{0,}\text{31\hspace{0.17em}416}\left(1-\frac{\mathrm{0,}\text{9\hspace{0.17em}870}}{6}+\frac{\mathrm{0,}\text{974}}{\text{120}}\right)=\mathrm{0,}\text{30\hspace{0.17em}902}\end{array}\hfill \end{array}$$.

2. Обчислення границь та наближене обчислення інтегралів.

Приклад 3.

Знайти $$\frac{2e^x-2-2x-x^2}{x-\text{sin}x}$$.

Розв’язування.

Скориставшись розвиненнями функцій sinx та еx у степеневі ряди, одержимо:

$$\begin{array}{c}\underset{x->0}{\text{lim}}\frac{2e^x-2-2x-x^2}{x-\text{sin}x}=\underset{x->0}{\text{lim}}\frac{2\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\text{.}\text{.}\text{.}\right)-2-2x-x^2}{x^3\left(\frac{1}{3!}-\frac{x^2}{5!}+\text{.}\text{.}\text{.}\right)}=\\ \underset{x->0}{\text{lim}}\frac{2\left(\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}=\text{.}\text{.}\text{.}\right)}{x^3\left(\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}+\text{.}\text{.}\text{.}\right)}=\underset{x->0}{\text{lim}}\frac{x^{3}2\left(\frac{1}{3!}+\frac{x}{4!}=\text{.}\text{.}\text{.}\right)}{x^3\left(\frac{1}{3!}-\frac{x^2}{5!}+\text{.}\text{.}\text{.}\right)}=\frac{2\frac{1}{3!}}{\frac{1}{3!}}=2\end{array}$$.

Приклад 4.

Обчислити $$\underset{0}{\overset{2}{}}\frac{\text{sin}x}{x}\text{dx}$$ з точністю до Ю" 3.

Розв’язування.

Функція $$f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{\text{sin}x}{x},\\ 1\end{array}\begin{array}{c}x(0-2]\\ x=0\end{array}$$ є неперервною на відрізку [0−2], отже, інтегрована на ньому. Проте її первісну не можна подати у скінченному вигляді через елементарні функції. Разом з тим, використавши розклад у ряд функції sinx, одержимо:

$$\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{2}{}}\frac{\text{sin}x}{x}\text{dx}=\underset{0}{\overset{2}{}}\frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\text{.}\text{.}\text{.}(-1{)}^n\frac{x^{2+1}}{(2n+1)!}+\text{.}\text{.}\text{.}}{x}\text{dx}=\underset{0}{\overset{2}{}}\left(1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}\text{.}\text{.}\text{.}\right)\text{dx}=\\ {\left[x-\frac{x^3}{33!}+\frac{x^5}{55!}-\frac{x^7}{77!}+\text{.}\text{.}\text{.}=(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}+\text{.}\text{.}\text{.}\right]}_0^2\\ 2-\frac{4}{9}+\frac{4}{\text{75}}-\frac{8}{\text{2205}}2-\mathrm{0,}\text{4444}-\mathrm{0,}\text{0036}=\mathrm{1,}\text{605}\end{array}$$ Число членів ряду, що гарантує задану точність, ми визначили з нерівності.

$$\frac{2^{2n+1}}{(2n+1)!(2n+1)}{\text{10}}^{-5}$$.

Розвинувши функції в ряд Маклорена, знайти границі таких виразів: