Алгоритми і методи обчислення

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Херсонський національний технічний університет

Контрольна робота з дисципліни:

«Алгоритми і методи обчислення»

Виконала

студентка групи 2зКСМ2

Петрова К. В

Перевірив

Костін В. О

Херсон — 2006

1. Етапи розв’язування інженерних задач на ЕОМ

1.1 Математика й реальність

Розповсюджений погляд, що математика — це специфічна мова. Ця думка має певне підґрунтя. Математика має усі ознаки мови. У зв`язку з цим постають деякі практичні питання, пов`язані із застосуванням математики у житті.

Завдяки певним рисам сучасного викладання математики у школі, іноді частина випускників сприймає математику як зібрання (зведення) деякої кількості правил, які мають до дійсності досить мале відношення, а у головному вигадані людьми — математиками. Це уявлення може бути досить стійким і підтримується в учнях завдяки тому, що головне наполягання у викладанні математиці здійснюється часто-густо не на задачі з життя, а на виконання математичних вправ, в яких головне — не відкрити для себе щось нове у оточуючому житті, а міцно закріпити математичні правила оперування з математичними об'єктами. Це те саме, що при вивченні мови замість опанування змістом нових слів, вивчати лише правила граматичного поєднання слів у речення. Таке уявлення про математику глибоко хибне й шкідливе. Варто нагадати, що саме завдяки досягненням математики, людство спромоглося піднятися на сучасний рівень цивілізації.

Зазначимо, що будь-яка мова складається не лише із правил побудови слів та речень. Найважливішою складовою кожної мови є її змістовна частина, тобто ділянка реальної дійсності, що описується за допомогою цієї мови. Без такої ділянки немає і самої мови. Без установлення змістовного зв’язку між словами мови й об'єктами дійсності, які вони позначають, немає сенсу і вести мову про мову. Власне мову і призначено задля відображення частини реальної дійсності, зберігання й передавання інформації про неї.

У математиці як мові є також ділянка дійсності, про яку математика говорить. Наприклад, арифметика розмовляє з нами про деякі однорідні речі (предмети), надаючи можливість висновувати про їхні кількісні відношення і про їхнє змінювання при реальному оперуванні цими речами.

Коли ми пишемо, то розуміємо, що маємо купу з однакових предметів і іншу купу з таких предметів і додаємо предмети з другої купи до першої. При цьому неявно припускається, що кожна річ із кожної купи існує окремо, незалежно від інших, має деяку стабільність (не змінюється з часом), займає деяку ділянку простору, може переміщуватися у просторі, не змінюючись, може приєднуватися до інших предметів, не змішуючись із ними. І всі ці особливості не вигадані, вони взяті зі спостережень за реальними речами, наприклад, за стадами тварин тощо. Саме із реальної дійсності узята й сама операція додавання, яка математично узагальнює реальні дії по переміщенню окремих речей з одного місця у друге, де вже розміщено інші аналогічні речі. Саме із практики, завдяки простому перераховуванню, було встановлено, що 2+2=4. Подібна операція зворотного напрямку (коли з купи речей відбираються окремі речі і переносяться у інше місце) була названа у математиці відніманням. А через те, що практично усі математичні дії походять з операції додавання як головної, то можна висновувати, що уся математика спирається саме на описані властивості речей і дій з ними.

Таким чином, практично усі властивості математичних об'єктів узяті з реальної дійсності і лише дещо узагальнені. При цьому варто дати собі раду у тому, що математичні дії й оператори мають відношення зовсім не до будь-якої сфери дійсності, а лише до таких її частин, які мають вищезазначені властивості.

Перш за все до таких властивостей відноситься існування реальної операції додавання, яка має таки властивості:

асоціативності:; ця властивість (результат рахунку не залежить від того, у якому порядку здійснюється додавання) має належати реальній операції додавання речей, які переліковуються;

комутативності:; результат додавання не залежить від того, до якої купи додаються речі з інших куп; ця властивість теж не є вигаданою, вона має належати реальній операції додавання речей;

наявність нуля — є місце, а в ньому немає речей; і ця властивість повинна мати місце у дійсних операціях із речами, що перераховуються;

операція додавання має приводити до результату, який кількісно перевищує кожний з доданків.

Якщо хоча б одна із зазначених властивостей на практиці не властива фізичній операції додавання, до цих речей не можна прикладати математичні дії. А таких речей безліч у нашому оточенні.

Перш за все до них відносяться так звані якісні величини. Наприклад, важко уявити собі реальні операції з речами, внаслідок якої можна було б додавати одна до одній гладкість, гіркоту, або твердість. Деякі з величин можна деяким чином вимірювати, наприклад, твердість матеріалів, або гладкість поверхонь. Але якщо для них неможливо вказати операції їхнього фізичного додавання, яка б мала усі зазначені властивості, такі кількісні величини називають екстенсивними. До них, наприклад, можна віднести таку фізичну величину, як температура, а також вищевказані твердість і гладкість.

Кількісні (тобто такі, які можуть бути тим чи іншим способом виміряні) величини, для яких установлено реальну (фізичну) операцію додавання, називають інтенсивними. До інтенсивних відносяться більшість фізичних величин. Переміщення, маса тіл, електричний струм, напруга, механічна напруга, сила, моменти сил, час — усе це приклади інтенсивних величин. Деякі з цих величин мають власну фізичну операцію додавання, інші - ні, але можуть бути подані як деякі прості функції від тих величин, що мають таку операцію.

Наприклад, операцією додавання для довжини (або переміщення) є така, коли початок однієї із двох довжин сполучається з кінцем другої. Результатом при цьому вважається довжина від початку другої довжини до кінця першої. Неважко впевнитися, що за умови розташування довжин вдовж однієї прямої в одному напрямку, така операція матиме усі ознаки операції додавання. У випадку просторового переміщення (або довільного розташування довжин у просторі) аналогічна операція є слушною по відношенню до будь-яких трьох ортогональних напрямків. У цілому в результаті одержуємо правило векторного додавання переміщень у просторі.

Для часу операція додавання може виглядати наступним чином: початок другого процесу сполучається з кінцем першого. Результатом є тривалість від початку першого процесу до кінця другого.

Додавання мас збігається з операцією жорсткого з'єднання мас в одну масу.

Додавання електричних зарядів полягає у об'єднанні зарядів при дотиканні заряджених тіл.

Величини, що є похідними від тих, що мають операцію додавання, також є інтенсивними. Наприклад, інтенсивною величиною є швидкість, яка визначається як результат ділення переміщення на проміжок часу, протягом якого це переміщення здійснюється, а також прискорення матеріальної точки. Аналогічно, електричний струм, що визначається як відношення приросту електричного заряду до проміжку часу, за який цей приріст відбувся, також є інтенсивною величиною.

Виходячи з того, що усі математичні операції (віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, взяття похідної та інтегрування) є похідними від операції додавання, можна зробити висновок, що у повній мірі математичні висновки торкаються лише інтенсивних величин. Лише по відношенню до цих величин можна застосовувати усі здобутки математики як мови.

Математика (принаймні, це стосується диференціального й інтегрального зчислень, теорії диференціальних і інтегральних рівнянь) — це мова про інтенсивні величини, тобто, повторимо, про величини, які, з одного боку, є вимірюваними (кількісними), а, з іншого боку, мають реальну фізичну операцію додавання.

1.2 Моделювання

Моделювання є основою пізнання людиною навколишнього світу. Проводячи експерименти, теоретичні досліджування, навіть обговорювання власних дій, намірів, висновків, ми практично займаємось моделюванням. Цілі, задачі, засоби й методи моделювання у цих випадках значно відрізняються один від одного, але загальна спрямованість залишається єдиною — одержання нового знання шляхом випробування (досліджування) деякого замінника реального об'єкта дослідження — моделі. У випадку експериментальних досліджень моделлю є реальний об'єкт, який має ту саму фізичну природу, що й досліджуваний об'єкт. При теоретичних досліджуваннях модель має знакову форму — математичних формул, співвідношень, рівнянь, а задачею моделювання є встановлення нових знань про об'єкти, що описуються цими співвідношеннями. Обговорення встановлює слушність тих припущень і висновків, які були зроблені, шляхом моделювання відношення до них досвідчених співрозмовників.

Узагалі, спрощено, моделювання можна розглядати як певний експеримент, об'єктом якого у першому випадку є матеріальний аналог досліджуваного об'єкта, у другому випадку об'єктом іспитів є знакова (математична) модель, у третьому — відношення до моделі, яка обмірковується, з боку громади.

Результатом розв’язування інженерних (прикладних) задач будь-якого рівня є, як правило, чисельні оцінки (параметрів пристроїв, процесів, технічних і економічних характеристик, тощо), які є наслідком розрахунків, що здійснюються з наближеними первісними даними. Більшість прикладних задач зводяться до математичних задач, які розв’язуються різноманітними обчислювальними методами.

Послідовність розв’язуванні таких задач можна подати у виді наступних етапів:

постановка задачі;

створення математичної моделі (формулювання задачі); перевірка моделі на адекватність;

побудова розрахункової (обчислювальної) моделі, яка відповідає прийнятій математичній моделі;

проведення розрахунків за обраною обчислювальною моделлю при заданих (відомих) значеннях первісних даних;

аналіз одержаних результатів.

У цілому процес розв’язування інженерної задачі може бути поданий у вигляді схеми, наведеної на рис. 1.1.

Розглянемо докладніше кожний з цих етапів.

Похибка ММ

Математична

модель

Похибка

методу

Розрахункова модель

(алгоритм, програма)

Похибки

початкових даних

Результат

моделювання

Рис. 1.1 Схема розв’язування інженерної задачі

1.3 Постановка задачі

Постановка задачі має передумовою словесне, змістовне формулювання задачі, умов, за яких вона ставиться, та вимог до її розв’язування. Слова «змістовне формулювання» слід розуміти так, що задача має бути сформульована у термінах опису реального об'єкта (технічного пристрою або процесу), поводження якого підлягає вивченню.

Як приклади розглядатимемо такі найпростіші інженерні задачі.

Задача 1. Визначити характеристики власного руху фізичного маятника за умови малих його коливань.

Задача 2. Визначити змінення швидкості тіла при його падінні, враховуючи опір оточуючого середовища.

Задача 3. Відшукати моменти інерції ротора гіроскопа.

Задача 4. Визначити характеристики власного руху гіроскопа у кардановому підвісі, а також характеристики його вимушеного руху під дією моментів зовнішніх сил, що діють по осях карданового підвісу і змінюються з часом за гармонічним законом.

1.4 Створення математичної моделі

Математична модель — це математичний опис співвідношень постановки задачі. Такий опис можливий лише на ґрунті попередньо одержаних знань про поводження об'єкта, що вивчається, і про способи правильного й ефективного опису цього поводження у математичних термінах. В одних випадках утворення математичної моделі не складає труднощів (наприклад, модель є відомою заздалегідь за результатами раніше проведених досліджень), а в інших потрібно неодноразове уточнення постановки задачі, виділення головних визначальних чинників, відкидання чинників, які незначно впливають на результат і т.д.

Так, для задачі 1 математична модель може бути утворена, якщо врахувати наступні теоретичні відомості.

До характеристик власного руху коливальної ланки, яким є фізичний маятник, відносять:

частоту власних коливань;

коефіцієнт загасання цих коливань.

При малих відхиленнях від вертикалі рух маятника з достатньою точністю описується лінійним диференційним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами:

(1.1)

де — кут відхилення маятника від вертикалі; - момент інерції маятника відносно його осі обертання; - коефіцієнт демпфірування; - маса маятника; - прискорення вільного падіння; - зміщення центра мас маятника відносно осі його обертання; - кутова швидкість повороту маятника навколо його осі обертання; - кутове прискорення маятника.

Власний рух маятника описується співвідношенням

(1.2)

де — початкове значення амплітуди власних коливань і - початкова фаза власних коливань визначаються початковими умовами руху маятника, а — частота власних коливань та — коефіцієнт загасання власних коливань — це параметри, які визначаються лише параметрами самого маятника і не залежать від інших чинників. Фактично і є шуканими величинами.

Величини і є відповідно уявною і дійсною частинами пари комплексно спряжених коренів характеристичного рівняння

(1.3)

яке випливає з диференційного рівняння (1), тобто корінь рівняння (3) має вигляд:

. (1.4)

У підсумку математично розв’язування задачі 1 зводиться до відшукування комплексних коренів квадратного рівняння (3) і виділенню їхніх дійсної й уявної частин за заданими первісними даними — значеннями параметрів, та .

У задачі 2 треба припустити, що тіло є матеріальною точкою маси, з’ясувати, під дією яких сил відбувається падіння тіла, визначити чинники, що впливають на силу опору, встановити залежність сили опору від цих факторів. Якщо вважати, що на тіло діють сила тяжіння та сила опору, що є пропорційною до швидкості падіння, тобто, то, на основі законів механіки одержимо рівняння, або

. (1.5)

Це диференційне рівняння із врахуванням початкової умови і є математичною моделлю задачі.

У задачі 3 насамперед слід з’ясувати форму ротора, його розміри, розподіл мас, потім виділити у тілі ротора ряд частин, відшукування моментів інерції яких робиться досить просто (циліндри, кільця, конуси тощо). Тоді задача зводиться до обчислень моментів інерції окремих елементарних тіл і їхньому підсумовуванню. Формули обчислення моментів інерції окремих частин ротора і їх підсумовування і складуть математичну модель цієї задачі.

Постановка задачі 4 має містити опис власних параметрів системи «гіроскоп у кардановому підвісі», опис параметрів зовнішніх моментів сил, опис рівнянь руху. Наприклад, рівняння руху гіроскопа для цієї задачі можуть бути взяті у наступному вигляді

. (1.6)

Тут і - кути повороту гіроскопа навколо осей підвісу; та — його моменти інерції, — власний кінетичний момент гіроскопа, — початкове значення кута;; ;;; , — амплітуди змінювання моментів зовнішніх сил; - частота (колова) цього змінювання; , — початкові фази коливань цих моментів.

За математичну модель у цьому випадку може правити сукупність розв’язків рівнянь (6), наведена нижче:

(1.7)

де і - початкові значення кутів визначаються і; - частота власних (нутаційних) коливань гіроскопа;, ,, ,, визначаються сукупністю співвідношень:

;;; ;

;;; ;

— відносна частота коливань моментів сил; і - початкові значення кутових швидкостей і .

Рух гіроскопа за цими співвідношеннями може бути визначений у довільний момент часу.

Але як математичну модель можна також розглядати і первісну систему диференційних рівнянь (6) за вказаних початкових умов.

Складання математичної моделі у прикладній задачі є найбільш складним і відповідальним етапом розв’язування і потребує, окрім істотних знань у спеціальній області, також і математичних і теоретичних знань.

Уже на цьому етапі розв’язування прикладної задачі доводиться нехтувати багатьма реальними процесами, як такими, що незначно впливають на процеси, які вивчаються, абстрагуватися від впливу багатьох чинників. Інакше кажучи, навіть коректно утворена математична модель завжди неповно, лише наближено. відображає реальні процеси. Але при цьому вона набуває риси більшої ясності, прозорості, більш доступна вичерпному дослідженню (із того боку, що підлягає вивченню).

1.5 Математичне моделювання

Модель утворюється задля подальшого її дослідження з метою одержати нові знання про відповідний реальний об'єкт. Таке дослідження вже готової моделі називають моделюванням. Дослідження математичної моделі називатимемо математичним моделюванням.

Математична задача є абстрагованою від конкретної сутності задачі. Для її розв’язування створюються спеціальні обчислювальні методи, причому до тої самої математичної моделі можуть зводитися зовсім різні прикладні задачі.

Так, задача 1 звелася до розв’язування квадратного рівняння, яке може відображувати характеристичне рівняння не тільки фізичного, але й математичного маятника, маси, яка з'єднана пружиною з корпусом (лінійного акселерометра), гіроскопічного тахометру і т. і.

Диференційне рівняння (5) у задачі 2 може бути моделлю і для багатьох інших задач (вивчення змінювання швидкості тіла у в’язкому середовищі, змінювання електричного струму у найпростішому електричному ланцюзі, змінювання швидкості репродукції бактерій тощо).

Задля розв’язування задачі 3 потрібно обчислити низку визначених інтегралів. До обчислення визначених інтегралів приходять і при відшукуванні площ складних фігур, об'єму тіла або дуги плоскої кривої, розрахунках роботи змінної сили й у багатьох інших фізичних задачах.

Математична модель (7) задачі 4 може описувати не тільки поводження гіроскопу, але й будь-якої іншої системи, якщо диференційні рівняння руху останньої збігаються з рівняннями (6).

1.5.1 Побудова обчислювальної моделі

Побудова обчислювальної моделі може здійснюватися різними методами, які можна поділити на точні й наближені. Точні методи — це такі, які після скінченої кількості дій (обчислень) приводять до точного результату за умови, що обчислення здійснюються без похибок. Наближеними називають такі методи, які за тих же умов дозволяють одержати результат лише з деякою похибкою.

При використанні точних методів етап досліджування математичної моделі поділяється на такі підетапи:

відшукування точного розв’язку математичної моделі;

підставляння вихідних даних у знайдений точний розв’язок і реалізація передбачених ним обчислень.

Наприклад, для розв’язування задачі 1 краще використати точний метод, тобто формулу

(1.8)

(припускається, що), але можна застосовувати й наближені способи відшукування коренів квадратного рівняння.

Диференційне рівняння (5) задачі 2 краще розв’язувати, розділяючи змінні, тобто приводячи його до вигляду

. (1.9)

Однак, його можна розглядати і як лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами, або розв’язувати (інтегрувати) наближеними чисельними методами.

При розв’язуванні задачі 3 слід використовувати методи наближеного обчислення визначених інтегралів.

Задачу 4 також можна розв’язувати двома шляхами. Розглядаючи систему диференційних рівнянь (6) як вихідну математичну модель, можна, з одного боку, знайти точний її розв’язок (7), а потім здійснити підставляння значень вихідних даних і дійти явних залежностей і, а отже, й. З іншого боку, до системи (6) можна безпосередньо застосувати методи чисельного інтегрування диференційних рівнянь (наближені методи).

Досліджування математичної моделі наближеними методами поділяється на такі етапи:

обрання обчислювального методу (зазвичай наближених чисельних методів буває декілька);

вивчення або складання алгоритму метода;

реалізація алгоритму за допомогою обчислювальних засобів.

При виборі чисельного методу суттєвими є обсяг обчислень, швидкість збіжності обчислень (як швидко здобувається результат) та інші чинники. Зокрема, обрання методу залежить і від вхідних даних.

Крім того, на вибір метода впливають засоби його реалізації (ручний розрахунок, наявність обчислювальної машини, наявність готової програми тощо). Так, якщо буде використані швидкодіюча ЕОМ і готова програма, то обсяг обчислень не повинен засмучувати виконавця і бути визначальним фактором при обранні метода. При ручному ж розрахункові слід віддати перевагу методу, який, можливо, потребує деяких певних попередніх досліджень і перетворень математичної моделі, але завдяки цьому потребує й значно меншу кількість обчислень.

1.5.2 Алгоритм методу

Алгоритмом метода називається система правил, яка задає точно визначену послідовність операцій, яка приводить до шуканого результату (точного або наближеного).

Алгоритм — одне із ґрунтовних понять математики. Хід розв’язування обчислювальної (і взагалі будь-якої) задачі має бути поданий через алгоритм.

Алгоритм можна записати словесно-формульно або у вигляді схеми. Так, словесно-формульний опис алгоритму розв’язування задачі 1 за формулою (8) має наступний вигляд:

Обчислити .

Обчислити .

Якщо, перейти до п. 7.

Обчислити і .

Подати на пристрій виведення інформацію: «Рівняння має два дійсні корені:» і роздрукувати значення шуканих коренів і .

Перейти до п. 8.

Вивести на пристрій виведення інформацію:

«Коефіцієнт загасання дорівнює «і вивести значення

«Частота власних коливань дорівнює» і роздрукувати значення .

Кінець обчислень.

При виконанні алгоритму перехід від однієї дії до іншої здійснюється строго у порядку їхнього запису. Якщо ж потрібно перервати природний хід дій за деякої умови, слід указувати на це (див. п. 3 наведеного алгоритму).

Структурною схемою алгоритму називають графічне зображення послідовності дій обчислювального процесу.

У схемі кожна дія розміщується у певному геометричному символі (фігурі). Послідовність дій указується на схемі напрямком стрілок на лініях, якими з'єднують ці символи. Зазвичай прийнято початок і кінець обчислень зображувати овалами, введення даних і виведення результатів — у вигляді паралелограма. Обчислювальні операції розміщуються у прямокутниках, а операція перевірки деякої умови зображується у вигляді ромбу. Усередині кожної фігури розміщується стислий формульний опис відповідної операції.

Символи операцій перевірки умови мають два виходи: «так» і «ні». Стрілка на лінії, що виходить із виходу «так» вказує на операцію, до виконання якої потрібно перейти, якщо умову, яка перевіряється, виконано. Стрілка з написом «ні» вказує на операцію, до виконання якої слід перейти у випадку, коли умову не виконано.

На рис. 1.2. подані зображуючи елементи блок-схеми алгоритму обчислень. Фігури з'єднуються лініями зі стрілками, які вказують на операцію, до виконання якої слід перейти.

Для прикладу на рис 1.3 зображено схему алгоритму відшукування коренів квадратного рівняння.

Початок (кінець) алгоритму

— Введення (виведення) даних

— Обчислювальні операції (формули)

так

— Операція перевірки умови

ні

Рис. 1.2 Елементи блок-схеми алгоритму

ні так

Рис. 1.3. Схема алгоритму відшукання коренів квадратного рівняння

1.5.3 Реалізація методу обчислень

Обчислення по алгоритмах відбувається за допомогою різних обчислювальних засобів.

При ручних (безпосередніх) розрахунках зазвичай використовуються найпростіші обчислювальні засоби: логарифмічна лінійка, таблиці, механічні, електричні, електронні клавішні обчислювальні машини. Проміжні результати дій алгоритму треба записувати у спеціальний розрахунковий бланк. Наявність програмувальних мікрокалькуляторів дозволяє реалізовувати обчислення автоматично, під керуванням програми.

Суттєвим є контроль обчислень, який проводять за так званим контрольним прикладом (тестом). Результат контрольного прикладу має бути заздалегідь відомим, тобто він або є очевидним, або його відшукують яким-небудь іншим способом. При ручному рахунку контроль рекомендується проводити поетапно. При розрахунках на ЕОМ за складеною програмою контрольний приклад заздалегідь прораховують вручну, а потім звіряють поетапно результати розрахунків із здійснюваними машиною.

Розв’язання нелінійних рівнянь методом дихотомії

Метод дихотомії (ділення навпіл)

Алгоритм методу легко зрозуміти з мал.1

y

y=f (x)

f (b)

a f[(a+b)/2]

f (a) a+b b x

Мал.1 Схема методу дихотомії

Заданий інтервал ділиться навпіл. Цим знаходиться наближене значення кореня. Обчислюється значення функції при цьому значенні аргументу. Якщо воно дорівнює нулю, є точним значенням кореня й процес закінчується. Якщо ні, то визначається знак значення. Обирається той інтервал, на межах якого задана функція набуває значень протилежного знаку. Наприклад, якщо виявиться, що, то як нове значення верхньої межі інтервалу приймається:. У протилежному випадку змінюється нижня межа інтервалу. Далі процес повторюється для нового звуженого удвічі інтервалу доти, поки значення похибки (5) не стане меншою за задане припустиме її значення За остаточне значення кореня при цьому слід узяти значення (4).

Якщо обчислення потрібно проводити з максимальною точністю, процес звуження інтервалу слід продовжувати доти, поки нижня й верхня межі інтервалу не збіжаться у машинному поданні.

Схема алгоритму метода дихотомії для останнього випадку наведена на Мал.2.

ні

так так ні

Мал 2. Схема алгоритму метода дихотомії

До переваг метода дихотомії слід віднести те, що він може бути застосований навіть до тих неперервних функцій, що є недиференційованими у деяких точках усередині заданого інтервалу визначення кореня.

Список літератури

1. Бахвалов Н. С. и др. Численные методы. -М.: Наука, 1987.

2. Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование. -М.: Высшая школа, 1990.

3. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1970.

4. Войцехівський, І.П. Гаврилюк та ін. — К.: Вища шк., 1995, 303 с.

5. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по вычислительной математике. -М.: Высшая школа, 1990, 208.

6. Гаврилюк І.П., Макаров В. Л. Методи обчислень: Підручник: У 2ч. — К.: Вища шк., 1995. — Ч.1., 367 с.

7. Гаврилюк І.П., Макаров В. Л. Методи обчислень: Підручник: У 2ч. — К.: Вища шк., 1995. — Ч.2., 431 с.

8. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. — М.: Мир, 1977.