Абсолютно неперервні випадкові величини (реферат)

Реферат на тему:

Абсолютно неперервні випадкові величини.

Функція розподілу випадкової величини це ймовірність F (x)=P{-x}. Функція розподілу F (x): а) неперервна зліваб) неспадна на.

(-в) F (-, F (+.

Для кожної функції F (x), яка має ці властивості можна побудувати ймовірний простір (Р) і випадкову величину на ньому, яка має функцію розподілу F (x).

Випадкова величина $$$$ називається абсолютно неперервною, якщо існує невід'ємна функція р (х), яка називається щільністю ймовірності, така що [ 5] $$F(x)=\underset{-\mathrm{}}{\overset{x}{}}p(x)\text{dx}$$ .

Майже при всіх х виконується рівність F=p (x). Для щільністі розподілу мають місце рівністі $$\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}p(u)\text{du}=1$$, P{a = $$\underset{a}{\overset{b}{}}p(u)\text{du}$$ = F (b) — F (a) (a<b).Якщо р (х) — неперервна функція, то.

Р{ x = p (x) 0(.

Рівномірний розподіл. Випадкова величина ає рівномірний розподіл на відрізку [a, b], якщо щільність розподілу орівнює.

$$$$ p (x)= $$\{\frac{1}{b-a},x(a,b)$$.

0, $$x(a,b)$$.

Нормальний розподіл N (a, Випадкова величина має нормальний N (a, розподіл, якщо щільність розподілу орівнює.

p (x)= $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ exp $$\left\{-\frac{1}{2}\frac{(x-a{)}^2}{{}^2}\right\}$$ , — $$\mathrm{}x\mathrm{}\text{.}$$.

Показниковий розподіл. Випадкова величина має показниковий розподіл з параметром якщо щільність розподілу орівнює.

p (x)= $$\{{\mathit{}}^{-},x\mathrm{0,}$$.

0, $$x<=0\text{.}$$.

Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.

Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань.

Функція розподілу випадкового вектора (…, — це ймовірність.

F (x1,…, xn)=P{ltx1…, ltxn}.

Незалежні випадкові величини. Випадкові величини …, незалежні, якщо.

P{tx1,…, txn}= P{tx1}… P{txn}.

Теорема. Випадкові величини $$$$ 1, $$$$ 2,…, $$$$ n незалежні тоді і тільки тоді, коли.

$$F_{{}_1{}_{\mathrm{2,}\text{.}\text{.}\text{.},}{}_n}$$ (х1,х2,…, хn)= $$F_{{}_1}($$ х1) $$F_{{}_2}($$ х2)… $$F_{{}_n}($$ хn).

Щільність розподілу випадкового вектора. Якщо функцію розподілу F (x1,…, xn) вектора (…, можна подати у вигляді.

F (x1,…, xn)= $$\underset{-\mathrm{}}{\overset{x_1}{}}\text{.}\text{.}\text{.}\underset{-\mathrm{}}{\overset{x_n}{}}p(u_1,\text{.}\text{.}\text{.},u_n){\text{du}}_1\text{.}\text{.}\text{.}{\text{du}}_n,$$.

то кажуть, що випадковий вектор (…, має щільність розподілу р (x1,…, xn). Щільність розподілу р (x1,…, xn) випадкового вектора (…, є невід`ємна функція і.

$$\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}\text{.}\text{.}\text{.}\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}p(x_1,\text{.}\text{.}\text{.},x_n){\text{dx}}_1\text{.}\text{.}\text{.}{\text{dx}}_n=1$$

.

.

Для неї майже всюди має рівність $$\frac{{}^{n}F(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}{x_1\text{.}\text{.}\text{.}{x}_n}=p(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)\text{.}$$.

Знаючи щільність розподілу випадкового вектора, можна знайти щільність розподілу кожної його компоненти.

$$p_{{}_1}(x_1)=\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}{p}_{({}_1,{}_2)}(x_1,x_2){\text{dx}}_2$$

.

.

Математичне сподівання випадкової величини. Нехай.

випадкова величина на ймовірному просторі (Р).

Випадкова величина має математичне сподівання, якщо існує інтеграл.

Мmath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >-xp (x)dx ,.

де р (х) — щільність розподілу /p>

Якщо g (x) — однозначна функція і $$\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}|g(x)|p(x)\text{dx}\text{<+}\mathrm{}$$, то.

Мg ($$\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}g(x)p(x)\text{dx}$$ .

Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.

Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань.

Дисперсія випадкової величини.

D $$$$ = M ($$$$ -M $$$$)2=M $$$$ 2- (M $$$$)2= $$\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}(x-\mathit{M}{)}^{2}p(x)\text{dx}$$ .

Випадковий вектор (…, має нормальний розподіл, якщо його щільність розподілу дорівнює.

$$p(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)=\frac{1}{{\left(2\right)}^{\frac{n}{2}}\sqrt{}}{e}^{-\frac{1}{2}\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}{k}_{\text{ij}}^{-1}(x_i-\stackrel{}{a_i)(x_j-a_j)}}$$ де, $$a_i$$ = M $$$$ i ,.

(i =1,…, n), $$$$ — визначник, який складений з елементів матриці коваріацій,.

$$k_{\text{ij}}^{-1}$$ -елементи оберненої до матриці $$$$ .

Задача 1. В книзі Г. Крамера дана функція розподілу рівних доходів осіб, які обкладаються податком:

$$\begin{array}{c}1-{\left(\frac{x_0}{x}\right)}^{},x_0\mathrm{^3}x,>0\\ \mathrm{0,}x<x_0\\ \\ F(x)=\begin{array}{c}\{\end{array}\\ \end{array}$$.

Визначити розмір річного доходу, який для випадково вибраного платника податку може бути перевершеним з ймовірністю 0,5.

Розв’язування. Р{= 0,5, за умовою задачі.

Р{=1 — Р{tx}=1−1+ (х0 0,5×0 1×0 (½)1/br>х0 = (½)1/, х=20.

Задача 2. Нехай випадкова величина з неперервною функцією розподілу F (x) і F (Обчислити функцію розподілу p>

Розв’язування. Нехай $$0<x<1\text{.}$$ Тоді $$P\left\{h<x\right\}=P\left\{F\left(x\right)<x\right\}=P\left\{x<F^{-1}\left(x\right)\right\}=F\left(F^{-1}\left(x\right)\right)=x\text{.}$$ При $$x<=0P\left\{h<x\right\}=0$$ (так як F (x) — функція розподілу), при $$x>1P\left\{h<x\right\}=1\text{.}$$ Отже, ає рівномір-ний розподіл на [0,1).

Задача 3. Нехай івномірно розподілена на [0, 1] випадкова величина. Знайти функцію розподілу випадкової величини 1 ln (1- (Відповідь: показниковий розподіл з параметром /p>

Задача 4. Нехай випадкова величинаає нормальний розподіл N (а, Показати, що $$\mathit{M}=a,$$ $$\mathit{D}={}^2$$ .

Задача 5. Випадкова величина має нормальний розподіл N (0, При якому мовірність попадання в інтервал (а, b) буде максимальною?

Розв’язування. $$P\left\{a<=x<b\right\}=\frac{1}{\sqrt{2p}}\underset{\frac{a}{s}}{\overset{\frac{b}{s}}{}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\text{dx}-$$.

$$p_s^{\text{'}}\text{=-}\frac{b}{s^2\sqrt{2p}}{e}^{-\frac{b^2}{2s^2}}+\frac{a}{s^2\sqrt{2p}}{e}^{-\frac{a^2}{2s^2}}=0s=\sqrt{\frac{b^2-a^2}{2(\text{ln}b-\text{ln}a)}}$$

.

.

Задача 6. Нехай має показниковий розподіл з параметром Обчислити а) М б) D в) Р{(Вказівка. $$\mathit{M}=\frac{1}{}$$, $$\mathit{D}=\frac{1}{{}^2}$$).

Задача 7. Нехай ипадкова величина, яка має показниковий розподіл з параметром Знайти розподіл випадкової величини [Обчислити Мp>

(Відповідь.Геометричний розподіл з параметром р=1- е-/p>

Задача 8 а) Знайти М| якщо випадкова величина розподілена нормально з параметрами (0, .б) Нехай ормально розподілена з параметрами (а,. Обчислити М|а|. Відповідь $$M|-a|=\sqrt{\frac{2}{}}$$ .

Задача 9. Нехай ипадкова величина, яка рівномірно розподілена на проміжку [-a, a]. Обчислити: а) Мб) Dв) Р{ |> a/2 }.

Задача 10. Щільність випадкової величини ає вигляд р (х)=Ае-х при хй р (х)=0 при х<0. Знайти коефіцієнт А. Обчислити дисперсію /p>

Задача11. Випадкова величина івномірно розподілена на проміжку $$\left[-\frac{}{},\frac{}{}\right]$$, $$=a\text{sin}$$, а та одатні постійні. Знайти математичне сподівання та дисперсію (М0 — Dа2.

Задача12. Випадкова величина має щільність $$\begin{array}{c}\frac{2}{}{\text{cos}}^{2}x-|x|<=\frac{}{2}-\\ 0-|x|>\frac{}{2}-\\ \\ p(x)=\begin{array}{c}\{\end{array}\\ \end{array}$$ Знайти математичне сподівання та дисперсію. Відповідь М $$\mathit{D}=\frac{{}^2}{\text{12}}-\frac{1}{2}$$ .

Задача13. Нехай випадкова величина адана наступним чином:.

$$\begin{array}{c}A\text{cos}x-|x|<=\frac{p}{2}-\\ 0-|x|>\frac{p}{2}-\\ \\ p(x)=\begin{array}{c}\{\end{array}\\ \end{array}$$ Знайти а) коефіцієнт, А й функцію розподілуб) математичне сподівання та дисперсію (А=½, F (x)=½ (sin x -1) приlt-x/2, F (x)=0 при х F (x)=1 при х б) М D.

Задача14. Випадкова величина розподілена по закону Лапласа, тобто її щільність дорівнює р (х)= $$\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$$ .Знайти математичне сподівання та дисперсію.

Задача 15. Випадкова величина ає щільність $$f(x)=\frac{A}{1+x^2}$$ (закон Коші).

а) коефіцієнт, А та функцію розподілу б) знайти ймовірність нерівності.

-1в) яке математичне сподівання, цього розподілу?

(Відповідь. А=1/ $$F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{p}\text{arctg}x$$ — Р2- математичного сподівання не існує).

Задача 16. Випадкова величина озподілена логарифмічно нормально, тобто її щільність р (х)=0, при хй $$p(x)=\frac{1}{\mathit{x}\sqrt{2}}{e}^{-\frac{1}{2{}^2}(\text{ln}x-{)}^2}$$, при х>0. (овільне число, одатнє). Знайти Ма D (Відповідь $$\mathit{M}=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{}}{}}{e}^{-\frac{1}{2{}^2}(\text{ln}x-{)}^2}\text{dx}=e^{+\frac{{}^2}{2}}$$, $${\mathit{M}}^2=e^{2+2{}^2}$$). $$\mathit{Dx}=e^2\left(e^{{}^2}-1\right)e^{{}^2}$$).

Задача 17. Нормальний розподіл з щільністю $$p(x)=\frac{1}{s\sqrt{2p}}{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2s^2}}$$

зрізано значенням х=b, а значення менше b відкинуті. Знайти математичне сподівання та дисперсію цього розподілу.

.

(відповідь: Щільність зрізаного розподілу.

$$p(x-b)=\frac{1}{\mathit{sM}\sqrt{2p}}{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2s^2}}-M=\frac{1}{s\sqrt{2p}}\underset{b}{\overset{\mathrm{yen}}{}}{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2s^2}}\text{dx}$$.

$$\mathit{Mx}=a+\frac{s}{M\sqrt{2p}}{e}^{-\frac{(b-a{)}^2}{2s^2}}-\mathit{Dx}=s^2+\frac{s^2}{M\sqrt{2p}}\left(\frac{b-a}{s}\right)e^{-\frac{(b-a{)}^2}{2s^2}}-\frac{s^2}{M^{2}2p}{e}^{-\frac{(b-a{)}^2}{2s^2}}$$.

Задача 18. Нехай випадковий вектор (th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >1, th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >2) має нормальний розподіл.

N (а $${}_1$$, а $${}_2$$, th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >12, th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >22, ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" > на площині. Показати, що кожна з величин th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >1 і th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >2 має відповідно нормальний розподіл N (а $${}_1$$, th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >12) і N (а $${}_2$$, th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >12).

Розв’язування. Випадковийо вектор ($$$$ 1, $$$$ 2) має нормальний розподілN ($$a_1$$, $$a_2$$, $${}_1^2$$, $${}_2^2$$) на площині, якщо його щільність.

$$P(,{}_2)$$ (х, у)= $$\frac{1}{2{}_1{}_2\sqrt{1-{}^2}}$$ ехр {- $$\frac{1}{2}$$ [ $$\frac{(x-a_1{)}^2}{{}_1^2}$$ — 2 $$$$ $$\frac{(x-a_1)(y-a_2)}{{}_1{}_2}$$ + $$\frac{(y-a_2{)}^2}{{}_2^2}$$ ] }. $$$$ При цьому $${\mathit{M}}_1=$$ $$a_1$$, $${\mathit{M}}_2$$ = $$a_2,$$ $$$$ $$$$ $${\mathit{D}}_1={}^{2_1}$$, $${\mathit{D}}_2={}_2^2$$ ,.

$$M({}_1-a_1)({}_2-a_2)=$$

.

.

Зробимо заміну змінних.

$$$$.

$$\frac{х-{а}_1}{{}_1}=u$$, $$\frac{y-{а}_2}{{}_2}=$$ v.

та врахуємо, що $$\frac{1}{1-r^2}[u^2-2\text{ruv}+v^2]=u^2+\frac{(v-\text{ru}{)}^2}{1-r^2}$$ .

Одержимо $$p_{{}_1}(u)=e^{-\frac{u^2}{2}}\frac{1}{{}_{1}2\sqrt{1-r^2}}$$ $$\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}{e}^{-\frac{(v-\text{ru}{)}^2}{2(1-r^2)}}\text{dv}=$$ $$\frac{1}{{}_1\sqrt{2}}{e}^{-\frac{u^2}{2}},$$.

або $$p_{{}_1}(x)=$$ $$\frac{1}{{}_1\sqrt{2}}{e}^{-\frac{(x-a_1{)}^2}{2}}$$ .

Задача19. Випадкові величини $${}_1,{}_2$$

незалежні і мають нормальні розподіли.

$$N(a_1,{}_1^2$$

),.

$$N(a_2,{}_2^2$$

). Довести, що випадкова величина.

$$=$$ $${}_1+{}_2$$

має.

.

нормальний розподіл $$N(a_1+a_{{}_2},{}_1^2+{}_2^2$$

). (Скористатись формулою.

.

$$p_{}(x)=\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}{p}_{{}_1}(x-v)p_{{}_2}(v)\text{dv}$$ = $$\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}{p}_{{}_2}(x-v)p_{{}_1}(u)\text{du}$$ ,.

де $$p_{{}_i}(x)$$ -щільності випадкової величини $${}_i$$, і=1,2.).

Задача 20. Випадковий вектор ($$,$$) з невід'ємними компонентами має функцію розподілу.

F (х, у)=1- $$e^{-\mathit{}}-e^{-\mathit{}}+e^{-\mathit{}-\mathit{}}(\mathrm{0,}0)$$ .

Знайти математичне сподівання та матрицю коваріацій цього вектора. Залежні чи незалежні його компоненти? (Відповідь. Випадкові величини $$$$ та $$$$ незалежні. M $$$$ = $$\frac{1}{{}^2}$$, M $$$$ = $$\frac{1}{{}^2}$$, D $$$$ = $$\frac{1}{{}^2}$$, D $$$$ = $$\frac{1}{{}^2}$$).

Задача21. Випадкова величина $$$$ рівномірно розподілена на інтервалі (-1, 1), $$$$ = $$$$ m (m-ціле додатнє число). Знайти коефіцієнт кореляції $$$$ та $$$$. Розлянути випадки парного та непарного n.

Задача 22. Випадковий вектор ($$$$, $$$$) має щільність р (х, у)= $$\frac{a}{1+x^2+y^2+x^2{y}^2}$$ .

Знайти коефіцієнт $$a$$. Знайти одновимірні щільності випадкових величин $$$$ та $$$$. Установити, залежні чи ні випадкові величини $$$$ та $$$$ .