Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач (реферат)

Реферат на тему:

Соболівські простори і узагальнені розв’язки крайових задач.

Нехай $$G$$ відкрита обмежена множина (область) дійсного $$n$$ -мірного евклідового простору $$R^n$$, який складається з точок $$x=(x_1,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)$$ .

Границею $$$$ області $$G$$ будемо називати множину $$\stackrel{}{G}$$ $$G$$, де $$\stackrel{}{G}$$ — замикання $$G$$. Будемо говорити, що $$$$ належить класу $$C^m$$ $$$$ (тобто є $$m$$ разів неперервно диференційовною), якщо для кожної точки $$x_0$$ можна вказати кулю $$S_{}(x_0)$$ радіуса $$>0$$ з центром в точці $$x_0$$, таку що множину $$S_{}(x_0)$$, при відповідній нумерації, можна задати рівнянням вигляду.

$$x_1=f(x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n),$$.

де $$f$$ — $$m$$ разів неперервно диференційовна функція точки $$(x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)$$ .

Куском $${}_j$$ границі $$$$ будемо називати будь-яку відкриту множину $${}_j$$. Будемо казати, що границя $$$$ кусково $$m$$ разів неперервно диференційовна, якщо $$$$ співпадає із замиканням об'єднання $$\underset{j}{}{}_j$$, де $${}_j$$ — деякий кусок на $$$$, який є зв’язною поверхнею класу $$C^m$$ .

У подальшому термін «кусково-гладка» або «досить гладка» границя будемо застосовувати у тому сенсі, що $$$$ $$m$$ разів кусково-диференційовна, а число $$m$$ визначається тією задачею, яка буде розглядатися.

Приклад 1. Розглянемо множину $$G$$ вигляду $$G=\{(x_1,x_2,x_3)\mathrm{:}{x}_1^2+x_2^2+x_3^2<1\}$$. Тоді $$=\{(x_1,x_2,x_3)\mathrm{:}{x}_1^2+x_2^2+x_3^2=1\}$$ .

Позначимо через $${}_1$$ і $${}_2$$ множини.

$$\begin{array}{c}{}_1=\left\{(x_1,x_2,x_3)\mathrm{:}{x}_1=\sqrt{1-x_2^2-x_3^2},x_2^2+x_3^2<1\right\},\\ {}_2=\left\{(x_1,x_2,x_3)\mathrm{:}{x}_1=-\sqrt{1-x_2^2-x_3^2},x_2^2+x_3^2<1\right\}\text{.}\end{array}$$.

$${}_1$$ і $${}_2$$ — відкриті підмножини $$$$, тобто куски. Далі, ці куски є зв’язними поверхнями класу $$C^{\mathrm{}}$$, оскільки функції $$f_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{1-x_2^2-x_3^2}$$ нескінченно-диференційовні у своїй області визначення. Крім того, неважко помітити, що $$=\stackrel{}{{}_1{}_2}$$. З цих міркувань випливає, що $$$$ кусково нескінченну кількість разів диференційовна поверхня. л.

Для досить гладкої функції $$f(x),x{R}^n$$ покладемо.

$$D^{k}f=\frac{{}^{k_1+\text{.}\text{.}\text{.}+k_n}f}{x_1^{k_1}\text{.}\text{.}\text{.}{x}_n^{k_n}},$$.

де $$k=(k_1,\text{.}\text{.}\text{.},k_n)$$ — вектор з цілочисловими невід'ємними компонентами. Символом $$|k|$$ будемо позначати порядок похідної, тобто $$|k|=k_1+\text{.}\text{.}\text{.}+k_n$$ .

Введемо далі простір $$C_0^{\mathrm{}}(G)$$ як простір нескінченно-диференційовних функцій з компактним носієм, розташованим строго всередині $$G$$. Таким чином, будь-яка функція з $$C_0^{\mathrm{}}(G)$$ нескінченну кількість разів диференційовна, причому існує компактна множина $$G_{1}G$$, поза якої ця функція дорівнює нулеві.

Означення 1. Кажуть, що функція $$g(x),xG$$, є похідною порядку $$k$$ у сенсі С.Л. Соболєва від функції $$f(x)L_2(G)$$, якщо $$C_0^{\mathrm{}}(G)$$ має місце рівність.

$$(-1{)}^{|k|}\underset{G}{}g(x)(x)\text{dx}=\underset{G}{}f(x)D^k(x)\text{dx}\text{.}$$ (1).

Похідну в сенсі С.Л. Соболєва ще будемо називати узагальненою похідною і позначати символом $$D^{k}f$$ .

Приклад 2. Нехай $$f(x)=|x|,x(-\mathrm{1,}1)$$. Тоді $$C_0^{\mathrm{}}(\mathrm{0,}1)$$ має місце співвідношення.

$$\underset{-1}{\overset{1}{}}|x|\text{'}(x)\text{dx}=-\underset{-1}{\overset{0}{}}x\text{'}(x)\text{dx}+\underset{0}{\overset{1}{}}x\text{'}(x)\text{dx}=-\underset{-1}{\overset{1}{}}\text{sign}x(x)\text{dx}\text{.}$$.

Тут ми скористалися умовою.

$$(-1)=(1)=0\text{.}$$.

За означенням отримуєм, що.

$$D|x|=\text{sign}x\text{.}$$.

Позначимо через $$W^m(G)$$ множину всіх функцій з $$L_2(G)$$, узагальнені похідні порядку $$|k|<=m$$ яких належать простору $$L_2(G)$$ .

Неважко показати, що простір $$W^m(G)$$ з нормою.

$$f_m={\left(\underset{|k|<=m}{}\underset{G}{}{|D^{k}f|}^2\text{dx}\right)}^{1/2}$$ (2).

— гільбертовий.

Простір $$W^m(G)$$ називається ще соболівським.

Соболівський простір $$W^m(G)$$ можна одержати також поповненням простору $$C^m(\stackrel{}{G})$$ $$m$$ разів неперервно диференційовних функцій аж до кусково-гладкої границі $$$$ за нормою (2).

Поповнення простору $$C^m(\stackrel{}{G})$$ за нормою.

$$f_{m,p}={\left(\underset{|k|<=m}{}\underset{G}{}{|D^{k}f|}^p\text{dx}\right)}^{1/p}$$ (3).

називається соболівським простором $$W_p^m(G)$$ .

Визначимо також простір $$W_0^m(G)$$ як поповнення простору $$C_0^{\mathrm{}}(G)$$ відносно норми (2).

Означення 2. Кажуть, що банахів простір $$X$$ цілком неперервно вкладається у банахів простір $$Y$$, якщо всі елементи простору $$X$$ належать також і простору $$Y$$, крім того, з будь-якої обмеженої послідовності простору $$X$$ можна виділити збіжну в сенсі норми простору $$Y$$ підпослідовність.

Приклад 3. Покажемо, що простір $$W_p^1\left((a,b)\right)$$ цілком неперервно вкладається у простір $$C\left([a,b]\right)$$ неперервних на відрізку $$[a,b]$$ функцій.

Нехай $$u(x)C^1\left([a,b]\right)$$. Тоді для $$y(a,b)$$ маємо, що.

$$u(x)=u(y)-\underset{x}{\overset{y}{}}u\text{'}(t)\text{dt}\text{.}$$.

Звідки, інтегруючи по $$y$$ від $$x$$ до $$b$$, одержимо, що.

$$(b-x)u(x)=\underset{x}{\overset{b}{}}u(y)\text{dy}+\underset{x}{\overset{b}{}}(t-b)u\text{'}(t)\text{dt}\text{.}$$.

Аналогічно,.

$$-(a-x)u(x)=\underset{a}{\overset{x}{}}u(y)\text{dy}-\underset{a}{\overset{x}{}}(t-a)u\text{'}(t)\text{dt}\text{.}$$.

Отже,.

$$u(x)=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{}}u(y)\text{dy}+\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{}}R(x,t)u\text{'}(t)\text{dt},$$.

де.

$$R(x,t)={}_{(x,b)}(t)(t-b)+{}_{(a,x)}(t)(t-a)\text{.}$$.

Використовуючи нерівність Гьольдера, одержимо, що.

$$\underset{a<=x<=b}{\text{max}}|u(x)|<=K{u}_{W_p^1\left((a,b)\right)},$$.

де $$K$$ — деяка константа.

Таким чином, якщо послідовність $$u_n$$ фундаментальна в метриці $$\begin{array}{c}a,b)\\ \\ \\ W_p^1\\ \end{array}$$, то вона буде фундаментальною і в метриці $$C\left([a,b]\right)$$, тобто поповнення простору $$C^1\left([a,b]\right)$$ за метрикою $$W_p^1\left((a,b)\right)$$ буде складатися з неперервних функцій, а, отже,.

$$C\left([a,b]\right)W_p^1\left((a,b)\right)\text{.}$$.

Нехай далі послідовність $$u_n(x)$$ обмежена в $$W_p^1\left((a,b)\right)$$. Згідно з доведеною нерівністю ця послідовність буде рівномірно обмеженою і в просторі $$C\left([a,b]\right)$$ .

З нерівності.

$$|u(y)-u(x)|=|\underset{x}{\overset{y}{}}u\text{'}(t)\text{dt}|<={|x-y|}^{1/q}{\left\{\underset{x}{\overset{y}{}}{|u\text{'}(t)|}^p\text{dt}\right\}}^{1/p}<={|x-y|}^{1/q}{u}_{W_p^1\left((a,b)\right)},$$.

де $$1/p+1/q=1$$, випливає рівностепенева неперервність обмеженої множини функцій. В такому випадку з теореми Арцела випливає, що з послідовності $$u_n(x)$$ можна виділити збіжну в $$C\left([a,b]\right)$$ підпослідовність. Таким чином, цілком неперервність вкладення показана.

Наведем далі один результат про цілком неперервність вкладення соболівських просторів.

Теорема 1. Нехай обмежена область $$G$$ має кусково-гладку границю $$$$ і $$0<=k<m-\frac{n}{p}$$. Тоді простір $$W_p^m(G)$$ цілком неперервно вкладається в простір $$C^k(\stackrel{}{G})$$ .

Позначимо далі через $$G_T$$ циліндр висоти $$T>0$$ у просторі $$R^{n+1}=R^{n}x(-\mathrm{}<t<\mathrm{})$$, тобто множина вигляду $$G_T=\left\{(x,t)\mathrm{:}xG,0<t<T\right\}$$. Через $$W^{r\mathrm{,\; 0}}(G_T)$$, де $$r$$ — ціле додатне число, будемо позначати множину функцій $$f(x,t)$$ з простору $$L_2(G_T)$$, у яких існують і належать простору $$L_2(G_T)$$ узагальнені похідні $$\frac{{}^{|k|}f}{x_1^{k_1}\text{.}\text{.}\text{.}{x}_n^{k_n}}$$ при $$|k|<=r$$ .

Через $$W^{2s,s}(G_T)$$ будемо позначати множину всіх функцій $$f(x,t)$$ з простору $$L_2(G_T)$$, у яких існують і належать простору $$L_2(G_T)$$ узагальнені похідні $$\frac{{}^{|k|+m}f}{x_1^{k_1}\text{.}\text{.}\text{.}{x}_n^{k_n}{t}^m}$$ при усіх цілих і невід'ємних $$k_1,\text{.}\text{.}\text{.},k_n,m$$ таких, що $$k_1++k_n+2m<=2s$$. Тут $$s$$ — ціле невід'ємне число.

Простори $$W^{r\mathrm{,\; 0}}(G_T)$$ і $$W^{2s,s}(G_T)$$ — гільбертові з нормами.

$$f_{W^{r\mathrm{,\; 0}}(G_T)}^2=\underset{G_T}{}{\underset{|k|<=r}{}|\frac{{}^{|k|}f}{x_1^{k_1}\text{.}\text{.}\text{.}{x}_n^{k_n}}|}^2\text{dx}\text{dt},$$ (4).

$$f_{W^{2s,s}(G_T)}^2=\underset{G_T}{}\underset{|k|<=2m}{}{|\frac{{}^{|k|+m}f}{x_1^{k_1}\text{.}\text{.}\text{.}{x}_n^{k_n}{t}^m}|}^2\text{dx}\text{dt}\text{.}$$ (5).

Нехай $$G$$ — обмежена область у просторі $$R^n$$ з кусково-гладкою границею $$$$, а функція $$f(x)L_2(G)$$ .

Розглянемо крайову задачу.

$$\mathit{L}=f(x),xG,|{}_{}=\mathrm{0,}$$ (6).

де.

$$\mathit{L}=-\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}\frac{}{x_i}(a_{\text{ij}}\frac{}{x_j})+a_0(x),$$.

$$a_{\text{ij}}(x),i,j=\stackrel{}{\mathrm{1,}n},a_0(x)$$ належать простору $$L^{\mathrm{}}(G)$$ сумовних, майже скрізь обмежених в області функцій, причому існує $$>0$$ таке, що.

$$\underset{i,j=0}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ij}}(x){}_i{}_j>=\left(\underset{i=1}{\overset{n}{}}{}_i^2\right){}_1,\text{.}\text{.}\text{.},{}_n$$.

і $$a_0(x)>=0$$ майже скрізь в $$G$$ .

Означення 3. Узагальненим розв’язком крайової задачі (6) будемо називати таку функцію $$$$ з простору $$W_0^1(G)$$, яка задовольняє інтегральну тотожність.

$$a(,)=(f,{)}_0,W_0^1(G),$$ (7).

де.

$$a(,)=\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}\underset{G}{}{a}_{\text{ij}}\frac{}{x_i}\frac{}{x_j}\text{dx}+\underset{G}{}{a}_0(x)(x)(x)\text{dx},$$.

$$(f,{)}_0=\underset{G}{}f(x)(x)\text{dx}\text{.}$$.

Функцію $$(x)$$, яка задовольняє співвідношення (7), називають також узагальненим розв’язком першої крайової задачі або задачі Діріхле.

Має місце така теорема.

Теорема 2. Для будь-якої функції $$f{L}_2(G)$$ існує єдиний узагальнений розв’язок задачі (1.6) і при цьому $${}_1<=K{f}_0,$$ де додатна константа не залежить від функції $$f$$, а символами $${}_1,{}_0$$ позначені норми в просторах $$W^1(G)$$ і $$L_2(G)$$ відповідно.

Намітимо доведення цієї теореми у тому випадку, коли $$a_{\text{ij}}=a_{\text{ji}}$$ .

Доведення. Білінійна форма $$a(,)$$ в силу зроблених припущень буде симетричною і неперервною на просторі $$W^1(G)$$. За допомогою цієї форми можна ввести новий скалярний добуток у просторі $$W_0^1(G)$$ за формулою $$,=a(,)$$, який буде еквівалентним вихідному скалярному добуткові $$(,{)}_1=(,{)}_{W^1(G)}$$ .

Зауважимо далі, що функціонал $$F()=(f,{)}_0$$ обмежений у просторі $$W_0^1(G)$$, оскільки.

$$|F()|<=f_0{}_0<=f_0{}_1\text{.}$$.

За теоремою Ріса (про загальний вигляд лінійного обмеженого функціоналу в гільбертовому просторі) в просторі $$W_0^1(G)$$ існує єдина функція $$\stackrel{~}{}$$, для якої.

$$(f,{)}_0=\stackrel{~}{},=a(\stackrel{~}{},)W_0^1(G),$$.

що і доводить існування і єдиність узагальненого розв’язку.

Нехай знову обмежена область $$G$$ має кусково-гладку границю $$$$. Через $$L_2()$$ позначимо простір вимірних за мірою Лебега функцій, інтегровних з квадратом по границі $$$$. Для функцій з простору $$W^1(G)$$ існує лінійний неперервний оператор $$$$, що відображує простір $$W^1(G)$$ у простір $$L_2()$$, який називається слідом функцій на границі $$$$ і позначається одним з символів $$$$ або $$|{}_{}$$. Крім того, оператор $$$$ переводить будь-яку обмежену множину функцій з $$W^1(G)$$ в компактну в просторі $$L_2()$$ .

Розглянемо далі наступну крайову задачу.

$$\begin{array}{c}\mathit{L}=f(x),xG\\ \left(\frac{}{}+(x)\right){|}_{}=g(x),\end{array}$$ (8).

де $$\frac{}{}=\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ij}}\frac{}{x_j}\text{cos}(n,x_i),\text{cos}(n,x_i)-i$$ -й напрямний косинус зовнішньої нормалі $$n$$ до границі $$$$ .

Задачу (8) називають третьою, а при $$(x)=0$$ другою крайовою задачею. Крім умов, накладених на коефіцієнти $$a_{\text{ij}}(x),i,j=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}$$ і $$a_0(x)$$, ми будемо припускати також, що $$(x),x$$ — вимірна, невід'ємна і обмежена майже скрізь функція, а функція $$g(x)L_2()$$ .

Означення 4. Під узагальненим розв’язком задачі (8) будемо розуміти таку функцію $$(x)W^1(G)$$, яка задовольняє співвідношення.

$$a_1(,)=(f,{)}_0+(,g{)}_{L_2()},W^1(G),$$ (9).

де.

$$a_1(,)=a(,)+\underset{}{}(x)\text{dx}\text{.}$$.

Має місце наступна теорема.

Теорема 3. Припустимо, що одна з функцій $$a_0(x)$$ або $$(x)$$ не дорівнює нулеві тотожно. Тоді існує єдиний узагальнений розв’язок задачі (1.8) і при цьому має місце нерівність.

$${}_1<=K\left(f_0+g_{L_2()}\right),$$.

де константа $$K$$ не залежить від функцій $$f(x)$$ і $$g(x)$$ .

Приклад 4. Розглянемо рівняння.

$$-\text{''}(x)=\frac{1}{2}\text{sign}x,-1<x<1$$.

і граничні умови.

$$\text{'}(-1)+2(-1)=\mathrm{0,}\text{'}(1)+2(1)=1\text{.}$$.

Покажемо, що узагальненим розв’язком цієї крайової задачі є функція.

$$(x)=\frac{1}{4}{x}^2\text{sign}x,$$.

тобто що $$W^1\left((-\mathrm{1,}1)\right)$$ виконується співвідношення.

$$\underset{-1}{\overset{1}{}}\text{'}(x)\text{'}(x)\text{dx}=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{}}\text{sign}x(x)\text{dx}-$$.

$$-2(-1)(-1)-2(1)(1)+(1)=\frac{1}{2}(-1)+\frac{1}{2}(1)+\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{}}\text{sign}x(x)\text{dx}\text{.}$$.

Враховуючи, що $$\text{'}(x)=\frac{1}{2}|x|$$, будемо мати.

$$\underset{-1}{\overset{1}{}}|x|\text{'}(x)\text{dx}=-\underset{-1}{\overset{0}{}}x\text{'}(x)\text{dx}+\underset{0}{\overset{1}{}}x\text{'}(x)\text{dx}-$$.

$$\underset{-1}{\overset{0}{}}x\text{'}(x)\text{dx}=-\underset{-1}{\overset{0}{}}(x)\text{dx}-(-1)-\underset{0}{\overset{1}{}}x\text{'}(x)\text{dx}=-\underset{0}{\overset{1}{}}(x)\text{dx}+(1),$$.

тобто.

$$\underset{-1}{\overset{1}{}}\text{'}(x)\text{'}(x)\text{dx}=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{}}\text{sign}x(x)\text{dx}+\frac{1}{2}(-1)+\frac{1}{2}(1),$$.

що і треба було довести.

Нехай $$G$$ — обмежена область з кусково-гладкою границею $$,{}_T$$ — бокова поверхня циліндра $$G_T=\left\{(x,t)\mathrm{:}xG,0<t<T\right\}$$, тобто $${}_T=x(\mathrm{0,}T)$$. Позначимо через $$D_0$$ і $$D_T$$ множини $$D_0=\left\{(x,t)\mathrm{:}xG,t=0\right\},$$ $$D_T=\left\{(x,t)\mathrm{:}xG,t=T\right\}$$ .

Розглянемо в циліндрі $$G_T$$ параболічне рівняння.

$$\frac{}{t}+\mathit{L}=f(x,t)$$ (10).

з початковою умовою.

$$|{}_{t=0}=f_0(x)\text{.}$$ (11).

В залежності від вигляду граничних умов.

$$|{}_{}=f_1(x,t),$$ (12).

або.

$$\frac{}{}+(x){|}_{}=g(x,t),$$ (13).

кажуть про першу або третю (другу при $$(x)=0$$) змішану крайову задачу для рівняння (10).

Нехай функція $$f_1(x,t)=0$$. Дамо наступне означення.

Означення 4. Функція $$(x,t)$$, яка належить простору $$W^{\mathrm{1,0}}(G_T)$$, називається узагальненим розв’язком першої змішаної крайової задачі для рівняння (10) з початковими умовами (11), якщо $$|{}_{{}_T}=0$$ і виконується співвідношення.

$$\begin{array}{c}\underset{G_T}{}\left(-\frac{}{t}+\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ij}}(x)\frac{}{x_i}\frac{}{x_j}+a_0(x)\right)\text{dx}\text{dt}=\\ =\underset{D_0}{}{f}_0(x)\text{dx}+\underset{G_T}{}f(x,t)(x,t)\text{dx}\text{dt}\end{array}$$ (14).

для будь-якої функції $$W^1(G_T)$$, яка задовольняє умовам $$|{}_{D_T}=\mathrm{0,}$$ $${|}_{{}_T}=0$$ .

Зауважимо, що співвідношення (1.14) можна переписати у вигляді.

$$-\underset{0}{\overset{T}{}}(,\frac{}{t}{)}_0\text{dt}+\underset{0}{\overset{T}{}}a(,)\text{dt}=(f_0,{}_0{)}_0+\underset{0}{\overset{T}{}}(f,{)}_0\text{dt},$$ (15).

де $${}_o$$ — слід функції $$$$ на множині $$D_0$$ .

Означення 6. Функція $$(x,t)$$, яка належить простору $$W^{\mathrm{1,0}}(G_T)$$, називається узагальненим розв’язком третьої (другої при $$(x)=0$$) змішаної крайової задачі для рівняння (10) з початковою умовою (11), якщо $$W^1(G_T)$$ і такої, що $$|{}_{D_T}=0$$, виконується співвідношення.

$$-\underset{0}{\overset{T}{}}(,\frac{}{t}{)}_0\text{dt}+\underset{0}{\overset{T}{}}{a}_1(,)\text{dt}=(f_0,{)}_0+\underset{0}{\overset{T}{}}(f,{)}_0\text{dt}+\underset{0}{\overset{T}{}}(g,{)}_{L_2()}\text{dt}\text{.}$$ (16).

Тут.

$$a_1(,)=\underset{G}{}\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ij}}\frac{}{x_i}\frac{}{x_j}\text{dx}+\underset{G}{}{a}_0(x)\text{dx}+\underset{}{}(x)\text{dx},$$.

$$$$ — слід функції $$$$ на границі $$$$, $$(g,{)}_{L_2()}=\underset{}{}g(x)\text{dx}\text{.}$$.

Нехай на функції $$a_{\text{ij}}(x),i,j=\stackrel{}{\mathrm{1,}n},a_0(x),(x)$$ накладені ті ж умови, що і раніше, а функції $$f,f_0,g$$ — вимірні інтегровні з квадратом у відповідних областях, тобто $$f{L}_2(G_T),f_0{L}_2(D_0),g{L}_2({}_T)$$. Тоді має місце наступна теорема.

Теорема 4. Існує єдиний узагальнений розв’язок змішаних крайових задач і при цьому для першої крайової задачі виконується нерівність.

$${}_{W^{\mathrm{1,0}}(G_T)}<=K_1\left({f_0}_0+f_{L_2(G_T)}\right),$$ (17).

а відповідно для другої і третьої крайової задачі виконується нерівність.

$${}_{W^{\mathrm{1,0}}(G_T)}<=K_2\left({f_0}_0+f_{L_2(G_T)}+g_{L_2({}_T)}\right),$$ (18).

де невід'ємні константи $$K_1$$ і $$K_2$$ не залежать від функцій $$f_0,f,g$$ .

Нехай $$a_{\text{ij}}(x)=a_{\text{ji}}(x),i,j=\stackrel{}{\mathrm{1,}n,}$$ а $${}_1(x,t),{}_2(x,t)$$ — узагальнені розв’язки першої і третьої змішаних крайових задач. Тоді для цих функцій має місце представлення.

$${}_i(x,t)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{C}_k^{(i)}(t)e_k^{(i)}(x),i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}$$ (19).

де ряд збігається у просторі $$W^{\mathrm{1,0}}(G_T)$$ і.

$$\begin{array}{c}{C}_k^{(1)}(t)=f_{\mathrm{0,}k}^{(1)}{e}^{-{}_{k}t}+\underset{0}{\overset{t}{}}{f}_k^{(1)}(s)e^{-{}_k(t-s)}\text{ds},\\ C_k^{(2)}(t)=f_{\mathrm{0,}k}^{(2)}{e}^{-{}_{k}t}+\underset{0}{\overset{t}{}}[f_k^{(2)}(s)+g_k(s)]e^{-{}_k(t-s)},\\ f_{\mathrm{0,}k}^{(i)}=(f_0,e_k^{(i)}{)}_0,f_k^{(i)}(t)=(f,e_k^{(i)}{)}_0,g_k(s)=(g,e_k^{(2)}{)}_{L_2()},\end{array}$$.

а $$e_k^{(i)}(x),{}_k,{}_k$$ — узагальнені власні функції і власні числа першої і третьої крайових задач для оператора $$L$$, тобто функції, які визначаються з співвідношень.

$$\begin{array}{c}a(e_k^{(1)},{}_1)={}_k(e_k^{(1)},{}_1{)}_0,\\ a_1(e_k^{(2)},{}_2)={}_k(e_k^{(2)},{}_2{)}_0\end{array}$$ (20).

відповідно.

Розглянемо далі деякі властивості функцій з простору $$W^{\mathrm{1,0}}(G_T)$$ і наведем еквівалентні означення узагальнених розв’язків змішаних задач.

Позначимо через $$W^{-\mathrm{1,0}}(G_T)$$ простір, отриманий поповненням гільбертового простору $$L_2(G_T)$$ за нормою.

$$\begin{array}{c}{}_{-}=\text{sup}\\ W^{\mathrm{1,0}}(G_T)\\ /=0\\ \underset{}{\begin{array}{c}\end{array}}(,{)}_{L_2(G_T)}{}_{W^{\mathrm{1,0}}(G_T)}^{-1},\end{array}$$.

де $$L_2(G_T)$$. Простір $$W^{-\mathrm{1,0}}(G_T)$$ — гільбертів, причому $$L_2(G_T)W^{-\mathrm{1,0}}(G_T)$$ .

Зауважимо також, що якщо $$W^{\mathrm{1,0}}(G_T),W^{-\mathrm{1,0}}(G_T)$$, то можна визначити білінійну форму $$(,{)}_{-}$$, де.

$$(,{)}_{-}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\underset{G_T}{}(x,t){}_n(x,t)\text{dx}\text{dt},$$.

де $${}_n(x,t)$$ — послідовність функцій з простору $$L_2(G_T)$$, яка збігається за нормою до функції $$(x,t)$$. Очевидно, що якщо $$L_2(G_T)$$, то $$(,{)}_{-}=(,{)}_{L_2(G_T)}$$. У подальшому білінійну форму $$(,{)}_{-}$$ ми формально будемо записувати у вигляді.

$$(,{)}_{-}=\underset{G_T}{}(x,t)(x,t)\text{dx}\text{dt}\text{.}$$.

Нехай функція $$W^{\mathrm{1,0}}(G_T)$$. Тоді цій функції ми можемо поставити у відповідність узагальнену функцію за правилом.

$$\stackrel{~}{}(v)=\underset{0}{\overset{T}{}}(x,t)v(t)\text{dt},v(t)C_0^{\mathrm{}}(\mathrm{0,}T)\text{.}$$.

Утотожнимо далі функцію $$(x,t)$$ з узагальненою функцією $$\stackrel{~}{}$$. Отже, для функції $$(x,t)$$ можна визначити похідні за часом за формулою.

$$\frac{d\stackrel{~}{}}{\text{dt}}(v)=-\stackrel{~}{}(v\text{'})=-\underset{0}{\overset{T}{}}(x,t)v\text{'}(t)\text{dt}v{C}_0^{\mathrm{}}(\mathrm{0,}T)\text{.}$$.

Введемо простір

$$W(\mathrm{0,}T)=\left\{\mathrm{:}{W}^{\mathrm{1,0}}(G_T),\frac{\mathit{d}}{\text{dt}}{W}^{-\mathrm{1,0}}(G_T)\right\}\text{.}$$.

Цей простір є гільбертовим з нормою.

$${}_W={\left({}_{W^{\mathrm{1,0}}(G_T)}^2+{\frac{\mathit{d}}{\text{dt}}}_{-}^2\right)}^{1/2}\text{.}$$.

Крім того, має місце.

Теорема 5. Простір $$W(\mathrm{0,}T)$$ вкладається у простір неперервних функцій на відрізку $$[\mathrm{0,}T]$$ зі значеннями у просторі $$L_2(G_T)$$ і цілком неперервно вкладається у простір $$L_2(G_T)$$ .

Зауважимо також, що якщо $$u_1,u_{2}W(\mathrm{0,}T)$$, то має місце формула інтегрування за частинами.

$$\begin{array}{c}\underset{G}{}{u}_1(x,t)u_2(x,t)\text{dx}-\underset{G}{}{u}_1(x,s)u_2(x,s)\text{dx}=\\ \underset{s}{\overset{t}{}}\underset{G}{}\left(\frac{u_1(x,)}{}{u}_2(x,)+u_1(x,)\frac{u_2(x,)}{}\right)\text{dx}\mathit{d}\text{.}\end{array}$$ (21).

У цій відповідності ми скористалися формальним записом білінійної форми $$(u_1\text{',}{u}_2{)}_{-}$$ і $$(u_1,u_2\text{'}{)}_{-}$$ у вигляді інтегралів.

Можна показати, що якщо $$(x,t)$$ є узагальненим розв’язком третьої (другої) змішаної крайової задачі, то $$(x,t)W(\mathrm{0,}T)$$ і справедливе співвідношення.