Застосування патричного числення та похідної в економіці (реферат)

Реферат на тему:

Застосування патричного числення та похідної в економіці.

Застосування патричного числення в економіці.

Для розв’язку багатьох економічних задач використовуються елементи алгебри матриць. Особливо при розробці і використанні баз даних. При роботі з ними, майже вся інформація зберігається і обробляється в матричній формі.

Приклад. Підприємство виготовляє чотири види виробів з використанням чотирьох видів сировини. Норма споживання сировини задана матрицею.

Вид сировини

1 2 3 4.

$$A=\left(\begin{array}{cccc}2& 3& 4& 5\\ 1& 2& 5& 6\\ 7& 2& 3& 2\\ 4& 5& 6& 8\end{array}\right)\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}$$ вид виробу.

Потрібно знайти затрати сировини кожного виду при заданому плані випуску виробів відповідно 60, 50, 35, 40 од.

Розв’язання. Вектор-план випуску продукції відомий (60, 50, 35, 40). Враховуючи норми споживання кожного виду сировини на одиницю кожного виробу, вектор затрат є добуток матриць (матриця — рядок) та матриці А.

$$\stackrel{}{b}A=(\text{60},\text{50},\text{35},\text{40})\left(\begin{array}{cccc}2& 3& 4& 5\\ 1& 2& 5& 6\\ 7& 2& 3& 2\\ 4& 5& 6& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{575}\\ \text{550}\\ \text{835}\\ \text{990}\end{array}\right)\text{.}$$.

Використання систем лінійних рівнянь Задача. Підприємство випускає три види продукції, використовуючи при цьому три види сировини. Характеристики виробництва задані таблицею:

Визначити план випуску продукції кожного виду, використавши всі запаси. Задачі такого типу виникають при прогнозах і оцінках функціонування підприємств, планування мікроекономіки підприємств.

Розв’язання. Нехай x1 х2, х3 — невідомі, поки що, об'єми випуску продукції. При умові повного використання запасів, можна забезпечити балансові співвідношення, які задовольняють систему рівнянь.

$$\begin{array}{c}6x_1+4x_2+5x_3=\text{2400}\\ 4x_1+3x_2+x_3=\text{1450}\\ 5x_1+2x_2+3x_3=\text{1550}\\ \text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Розв’язуючи систему довільним способом, отримаємо значення невідомих: х1 =150, х2=250, х3 =100.

Загальна постановка задачі прогнозу випуску продукції. Нехай $$C=\left\{(c_i),i=\stackrel{}{\mathrm{1,}m}-j=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}\right\}$$ — матриця затрат сировини т видів на випуск одиниці продукції п видів. Нехай x (x1, x2, x3) — вектор — план випуску продукції. Тоді цей вектор знаходиться із системи рівнянь.

Схт=bт, де b — вектор запасів сировини кожного виду;

т — індекс транспонування.

Лінійна модель торгівлі

Процес взаємних закупок товарів аналізується з використанням понять власного числа і власного значення вектора матриці. Будемо вважати, що бюджети п країн, які позначимо відповідно х1, х2,., хп, витрачаються на закупку товарів. Розглянемо лінійну модель обміну, або модель міжнародної торгівлі.

Нехай аij — частина бюджету хj, яку j-та країна витратить на закупку товарів в ій країні.

Введемо матрицю коефіцієнтів аij:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}\right)$$ (1).

Тоді, якщо бюджет витрачається тільки на закупки всередині країни і поза нею (це трактують як торговий бюджет), справедлива рівність.

$$\underset{i=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ij}}=1\begin{array}{cc}-& j=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}\end{array}\text{.}$$ (2).

Матриця (1) з властивістю (2) називається структурною матрицею торгівлі. Для ії країни загальна виручка від внутрішньої і зовнішньої торгівлі виражається формулою Рі= аі1×1+аі2×2+…+ аіп хп. (3).

Умова збалансованої (бездефіцитної) торгівлі формулюється так: для кожної країни її бюджет має бути не більший від виручки від торгівлі, тобто.

$$P_i{x}_i>=0$$, або $$a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{\text{in}}{x}_n>=x_i$$ для $$i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}\text{.}$$ (4).

Покажемо, що в умові (4) не може бути рівності. Дійсно, додамо всі ці нерівності для всіх $$i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}$$. Групуючи доданки з величинами бюджетів хj, отримаємо.

$$\begin{array}{c}{x}_1(a_{\text{11}}+a_{\text{21}}+a_{\text{31}}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{n1})+x_2(a_{\text{12}}+a_{\text{22}}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{n2})+\text{.}\text{.}\text{.}+x_n(a_{1n}+a_{2n}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{\text{nn}})>=\\ x_1+x_2+\text{.}\text{.}\text{.}+x_n\text{.}\end{array}$$.

Легко бачити, що вирази в дужках рівні одиниці, тому.

$$x_1+x_2+\text{.}\text{.}\text{.}+x_n>=x_1+x_2+\text{.}\text{.}\text{.}+x_n\text{.}$$.

Це можливо лише тоді, коли є знак рівності. Таким чином нерівності (4) приймають вигляд.

$$a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{\text{in}}{x}_n=x_i\text{.}$$ для $$i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}$$ (5).

Введемо вектор бюджетів х (матриця — стовпчик), колена компонента якого характеризує бюджет відповідної країни. Система (5) набере вигляду Ах=х. (6).

Вектор, який є розв’язком матричного рівняння Ах=називають власним вектором, а число власним значенням.

Рівняння (6) означає, що власний вектор структурної матриці А, що відповідає її власному значенню складається із бюджетів країн бездефіцитної міжнародної торгівлі.

Рівняння (6) запишемо у вигляді, який дозволяє знайти х.

(А-Е) x=0. (7).

Приклад. Структурна матриця торгівлі чотирьох країн, має вигляд.

$$\left(\begin{array}{cccc}0\text{.}2& 0\text{.}3& 0\text{.}2& 0\text{.}2\\ 0\text{.}4& 0\text{.}3& 0\text{.}1& 0\text{.}2\\ 0\text{.}3& 0\text{.}3& 0\text{.}5& 0\text{.}2\\ 0\text{.}1& 0\text{.}1& 0\text{.}2& 0\text{.}4\end{array}\right)\text{.}$$.

Знайти бюджети цих країн, які задовольняють збалансовану бездефіцитну торгівлю при умові, що сума бюджетів задана х1+х2+х3+х4=6270.

Розв’язання. Необхідно знайти власний вектор х, який відповідає власному значенню матриці А, тобто розв’язати рівняння (7), що в нашому випадку має вигляд.

$$\left(\begin{array}{cccc}-0\text{.}8& 0\text{.}3& 0\text{.}2& 0\text{.}2\\ 0\text{.}4& -0\text{.}7& 0\text{.}1& 0\text{.}2\\ 0\text{.}3& 0\text{.}3& -0\text{.}5& 0\text{.}2\\ 0\text{.}1& 0\text{.}1& 0\text{.}2& -0\text{.}6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=0\text{.}$$.

Ранг системи рівний 3, тому одна невідома вільна. Розв’язок системи методом Гаусса дає такі значення невідомих:

$$\begin{array}{cccc}{x}_1=\frac{\text{140}}{\text{121}}C-& x_2=\frac{\text{146}}{\text{121}}C-& x_3=\frac{\text{20}}{\text{11}}C-& x_4=C\text{.}\end{array}$$.

Підставивши ці значення в суму бюджетів, визначимо величину СC=1210.

Отже, шукані величини бюджетів країн при бездефіцитній торгівлі рівні.

x1=1400- x2=1460- x3=2200- x4=1210.

Застосування похідної в економіці.

Наведемо приклади двох граничних показників в мікроекономіці - поняття собівартості та еластичності.

Під еластичністю функції y=f (x) розуміємо границю відношення відносного приросту функції до відносного приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

$$E_x(f(x))=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{\frac{\mathit{}(x)}{f(x)}}{\frac{\mathit{}}{x}}=\frac{x}{f(x)}f\text{'}(x)$$ (1).

1. Розглянемо залежність собівартості С виробленої продукції від її об'єму Q, тобто С = f (Q). Так звана гранична собівартість характеризує приріст собівартості С до приросту продукції Q:

$${С}_{Г}\frac{\mathit{}}{\mathit{}}\text{.}$$.

Вважаючи залежність С від Q неперервною, отримаємо в границі.

Cr=C'(Q) (2).

Наприклад, нехай залежність витрат виробництва від об'єму випущеної продукції виражається формулою С=40Q-0.03Q3. Визначити середні і граничні витрати при об'ємі продукції Q=15 ден.од.

Функція середніх витрат на одиницю продукції визначається за формулою $$\stackrel{}{C}=\frac{C}{Q}$$, або в нашому випадку $$\stackrel{}{C}=\text{40}-0\text{.}\text{03}{Q}^2$$ .

Звідси (15)=40−0.0333,25 ден. од.

Граничні витрати, згідно (2), визначаються за формулою С' =40 — 0,09 М Q2. Звідси С'(15) =19,75 ден. од.

Іншими словами, при середніх витратах на виробництво одиниці продукції в 33,25 ден. од., додаткові затрати на виробництво одиниці додаткової продукції складуть 19,75 ден.од. і не перевищать середніх затрат.

2. В аналізі і прогнозах цінової політики використовується поняття еластичності попиту. Нехай D = D (P) — функція попиту від ціни товару Р. Тоді під еластичністю попиту розуміємо відносну зміну попиту при зміні ціни товару на один відсоток:

$$E=\frac{\raisebox{1ex}{$\mathit{}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$D$}\right.\text{100}}{\raisebox{1ex}{$\mathit{}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$p$}\right.\text{100}}$$.

В границі отримаємо: $$E(D)=P\frac{D\text{'}(P)}{D(P)}$$ (3).

Аналогічне поняття можна ввести і для функції пропозиції S (Р). Нагадаємо, що функція D (P) спадає, а функція S (P) — зростає із ростом P.

Формулу (3) можна записати так: E (D) = P (ln D (P))'. Отже функція E (D) має властивості логарифму.

E (D1D2) = E (D1) + E (D2),.

E (D1/D2) = E (D1) -E (D2).

Зауважимо, що оскільки D (P) спадна, то D'(P)< 0, а отже E (D)< 0.

Розрізняють три види попиту в залежності від величини E (D): а) якгцо а). якщо $$|E(D)|>1$$ (або E (D)< -1), то попит вважається еластичним;

б) якщо $$|E(D)|=1$$ (E (D)= - 1), то попит нейтральний;

в) якщо $$|E(D)|<1$$ (E (D)> - 1), то попит нееластичний.

Приклад і. Нехай функція попиту задається формулою $$D(P)=D_0{e}^{-{\text{kp}}^2}$$ ,.

Де D0, k — відомі величини. Знайти, при яких значеннях ціни Р попит буде еластичним?

Розв’язання. Згідно формули (3), маємо.

$$E(D)=\frac{-2{\text{kPD}}_0\text{exp}(-{\text{kp}}^2)}{D_0\text{exp}(-{\text{kp}}^2)}P=-2{\text{kP}}^2\text{.}$$.

Щоб попит був еластичним, необхідно, щоб 2кР2 > 1. Звідси $$P>\frac{1}{\sqrt{2k}}\text{.}$$.

Приклад 2. Знайти зміну виручки із збільшенням ціни товару при різних варіантах еластичності попиту.

Розв’язання. Виручка І(Р) рівна добутку ціни товару Р на величину попиту I (P)=D (P)P. Знайдемо похідну цієї функції.

I'(P) = D (P) + PD'(P). (4).

Проаналізуємо всі варіанти еластичності попиту з врахуванням формули (3). Нехай:

а) E (D) < -1. Тоді, підставляючи (3) в цю нерівність, отримаємо, що права частина (4) від'ємна. Таким чином, при еластичному попиті підвищення ціни Р веде до зниження виручки. Навпаки, при зниженні ціни на товар — збільшується виручка;

б) E (D) = - 1. Із формули (3) випливає, що права частина виразу (4) рівна нулю. Тобто, при нейтральному попиті зміна ціни на товар не впливає на виручку;

в) E (D) > -1. Тоді І'(Р) > 0, тобто при нееластичному попиті підвищення ціни Р на товар веде до росту виручки.

Поняття еластичності розповсюджується і на інші області економіки. Розглянемо один характерний приклад. Нехай залежність між собівартістю продукції С і об'ємом виробництва Q задається формулою С=50−0.4Q. Визначити еластичність собівартості при випуску продукції Q = 15 од. в день.

За формулою (2), знаходимо.

$$E(C)=-\frac{0\text{.}4Q}{\text{50}-0\text{.}4Q}\text{.}$$.

Звідси, при Q=15, маємо еластичність Е© .14. Тобто, приданому об'ємі випуску продукції збільшення його на 1% веде до зниження собівартості близько на 0.14%.

Отримання максимального прибутку

Нехай Q — кількість реалізованого товару, R (Q) — функція доходу, C (Q) — функція затрат на виробництво товару. Вигляд цих функції залежить від способу виробництва, організації інфраструктури і т.д. Прибуток від реалізації товару рівний П (Q) = R (Q) — C (Q). (5).

В мікроекономіді відомо твердження: для того, щоб прибуток від реалізації товару був максимальний, необхідно, щоб граничний дохід і граничні витрати були рівні. Цей принцип можна записати так: R'(Q)=C'(Q).

Дійсно, тоді П'(Q) = 0, звідси і отримується основний принцип.

Приклад 3. Знайти максимальний прибуток, якщо відома функція доходу R (Q) = 100 Q — Q2, та функція затрат C (Q) = Q3 — 37Q2 +169Q + 4000.

Розв’язання. Згідно (5), прибуток рівний П (Q) = - Q3 +36Q2 — 69Q — 4000.

Прирівнюючи похідну до нуля, отримаємо рівняння.

Q2 — 24Q + 23 =0.

Корені цього рівняння Q =1, Q2=23. Перевірка показує, що максимум функції П (Q) досягається при Q2=23. Тоді Пmax=1290.

Оптимізація оподаткування підприємств

Нехай t — податок на одиницю випущеної продукції. Тоді загальний податок з Q одиниць продукції T = tQ. Функція прибутку має вигляд П (Q) = R (Q) — C (Q) — tQ. (6).

Виникає питання: який має бути податок t, щоб величина сумарного податку Т зі всієї продукції була найбільшою? Розглянемо це на такому прикладі.

Нехай R (Q) = 16Q — Q2, C (Q) = Q2 +1. Тоді функція прибутку має вигляд:

П (Q)=16Q-2Q2-tQ-1.

Дослідимо функцію П (Q) на максимум. Знайдемо Q при якому П' (Q) =0;

П'(Q) = 16−4Q-t.

З рівняння 16 — 4 Q — t =0, знаходимо Qорt = 4 — ¼. Отже.

T=Qt = t (4-t/4) — T' = 0,.

звідки t =8.

Отримали Qopt = 2, Пmax=7, Topt = 16.

Співставимо отримані результати. При t=0, розв’язок задачі на максимальний прибуток дає Qopt = 4, Пmaх = 31.

Отже, зменшення оподаткування стимулює ріст випуску продукції і веде до збільшення прибутку від реалізації. Тому виробники прикладають різні зусилля, щоб знизити рівень податку.

Закон зменшення ефективності виробництва

Цей закон стверджує, що при збільшенні одного із основних факторів виробництва, наприклад, капітальних витрат К, приріст виробництва, починаючи з деякого значення К, є спадна функція. Іншими словами, об'єм виготовленої продукції V, як функції від К описується графіком зі зміною випуклості вниз на випуклість вверх.

Характерний вигляд цієї функції.

$$V(K)=\frac{V_{\text{lim}}}{(1+a\text{exp}(-\text{bk}+c))}$$ (7).

a, b, c — відомі числа, що визначаються структурою організації виробництва.

З допомогою другої похідної визначають точку перегину графіка функції(7).

З умови V" (К) =0, знаходимо Kopt = (с + In a)/ b.

При К > Кopt, приріст об'єму виробленої продукції знижується, т.т. V" (K)<0, і ефективність капіталовкладень спадає (рис. 60).

Знаючи цей прогноз, можна постаратися вдосконалити структуру виробництва (регулюючи а, b, с в сторону підвищення ефективності капіталовкладень).